不定積分的概念與基本公式教（學(xué)）案

1、 .江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)教案課程名稱高等數(shù)學(xué)教師姓名教 研 室數(shù)理教研室教學(xué)對象授課時間2014.11.25 星期二第1 節(jié)教學(xué)內(nèi)容4.1 不定積分的概念與基本公式學(xué)時數(shù)2教 材高等數(shù)學(xué)教學(xué)目的理解原函數(shù)、不定積分的概念理解不定積分的幾何意義、物理意義及經(jīng)濟(jì)意義并能應(yīng)用不定積分解決簡單問題熟練掌握基本積分公式熟練掌握直接積分法教學(xué)內(nèi)容提要1.原函數(shù)的概念2.不定積分的概念3.不定積分的幾何意義、物理意義及經(jīng)濟(jì)意義4.基本積分公式5直接積分法重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：不定積分的概念、基本積分公式、直接積分法難點(diǎn)：不定積分的概念更新補(bǔ)充刪節(jié)內(nèi)容教學(xué)組織與設(shè)計一、新課引入二、新課講授三、舉例應(yīng)用四

2、、課堂練習(xí)五、課堂小結(jié)六、布置作業(yè)作業(yè)習(xí)題4主任意見教學(xué)實(shí)施情況小結(jié)§51不定積分的概念與基本公式（第一節(jié)課）引入：教師：請一位同學(xué)走到教室門口，然后再倒退著走回來。教師問：倒過來走是什么感覺，有沒有體會到和正常走路不一樣？學(xué)生答：不一樣。教師：相對于正著走，倒過來走是一種逆向過程，就如同數(shù)學(xué)里：加與減，乘與除互為逆運(yùn)算一樣。那么和我們前面學(xué)過的求導(dǎo)數(shù)相對的又是什么呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“不定積分”。要學(xué)習(xí)“不定積分”，需要一點(diǎn)剛才那樣“倒著走”的逆向思維。教師：正因?yàn)榈怪卟涣?xí)慣，因此我們先要通過練習(xí)來加以鞏固，慢慢地尋找感覺。已知導(dǎo)函數(shù)要求在括號里填寫被求導(dǎo)之前原來的函數(shù)。(

3、1) (9) (2) (10) (3) (11) (4) (12) (5) (13) (6) (14) (7) (15) (8) 被求導(dǎo)之前原來的函數(shù)我們給它一個簡稱：原函數(shù)。一、原函數(shù)的概念1、定義：若在某區(qū)間，則稱的一個原函數(shù)。如：是的一個原函數(shù)問：原函數(shù)加上一個常數(shù)還是原函數(shù)嗎？答：，等也是的原函數(shù)。2、一般地，若有一個原函數(shù)，則有無數(shù)個原函數(shù)。問：是否能表示的全部原函數(shù)？答：能，證明如下設(shè)為的任一原函數(shù)即故3、定理：若有一個原函數(shù)，則表示的所有原函數(shù)。這的所有原函數(shù)，我們給它一個名稱：不定積分。二、不定積分的概念1定義：若在某區(qū)間，則稱為的不定積分，記作，即。其中積分號（寫法是拉長的S

4、），被積函數(shù)，被積表達(dá)式，積分變量，積分常數(shù)。注1：積分常數(shù)不可丟，否則只得到一個原函數(shù)，而不定積分表示一個函數(shù)的所有原函數(shù)。注2：檢驗(yàn)積分做得對不對，只需要看原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)。例1(1)(2)(3)(4)例2.驗(yàn)證積分(1)(2)2不定積分與導(dǎo)數(shù)、微分的關(guān)系(1)，(2)，這說明求不定積分與求導(dǎo)、求不定積分與求微分是互為逆運(yùn)算（除了相差一個積分常數(shù)外）例3求(1) (2) (1)(2)什么樣的函數(shù)一定有不定積分？3不定積分存在的充分條件：連續(xù)函數(shù)一定有不定積分。自問：除了連續(xù)函數(shù)，還有其他函數(shù)會有不定積分嗎？自答：其他函數(shù)也可能會有不定積分。三、不定積分的幾何意義、物理意義及經(jīng)濟(jì)

5、意義1、幾何意義：的圖形是一族積分曲線，在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)它們的切線彼此平行。例4已知某曲線上任一點(diǎn)處切線的斜率為，(1)求該曲線方程;(2)若此曲線過，求該曲線方程。解：(1)設(shè)曲線方程為，則，該曲線方程為。（2）由，得，所以該曲線方程為。2、物理意義：若變速直線運(yùn)動物體速度，則運(yùn)動方程。例5 某物體從靜止開始作自由落體運(yùn)動，其速度為，求運(yùn)動方程。解：，把代入得，所以。3、經(jīng)濟(jì)意義：邊際成本的積分是成本，邊際收益的積分是收益，邊際利潤的積分是利潤。例6 某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本是1000元，邊際成本是元，求成本。解：，由知所以四、基本積分公式對照求導(dǎo)公式，邊問邊答邊寫：12345678910

6、111213課堂小結(jié)1.原函數(shù)的概念（被求導(dǎo)之前原來的函數(shù)、不唯一、+C表示全部原函數(shù)）2.不定積分的概念（所有原函數(shù)、與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算、怎么驗(yàn)證）3.不定積分的幾何意義、物理意義及經(jīng)濟(jì)意義（是不定積分運(yùn)用的落腳點(diǎn)）4.基本積分公式（利用導(dǎo)數(shù)公式逆推，熟練掌握）布置作業(yè) 習(xí)題4 P86 1 2直接積分法 （第二節(jié)課）一、 復(fù)習(xí)回顧1、 定義 的全體原函數(shù)所具有的一般形式 2、 基本公式（）3、 運(yùn)算性質(zhì) 二、新課講授直接積分法利用變形湊成公式形狀的積分例1、解：原式= =積分運(yùn)算的性質(zhì)只有關(guān)于函數(shù)的加減法的積分，如果遇到函數(shù)間的乘除法的積分該如何處理？例2、解：原式例3、解：原式=【貼士】同底的冪、同指數(shù)的冪可用指數(shù)的性質(zhì)加以合并，進(jìn)而化為加減形式例4、解：原式例5、（可略講）解：原式=【貼士】“”形可以通過加減常數(shù)、通分的逆運(yùn)算等辦法化為與的和差形式積分公式中有許多三角函數(shù)形式，碰到三角函數(shù)形式的積分運(yùn)算常常會用到高中所學(xué)的三角恒等關(guān)系例6、求解：原式=例7、求解：原式【貼士】常用恒等公式： 例8、求解：原式=例9、求解：原式【貼士】常用恒等公式：練習(xí)鞏固：計算下列積分 課堂小結(jié)：由這一節(jié)得到