2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題104橢圓雙曲線拋物線的定義及其運(yùn)用練習(xí)含解析

1、第四講橢圓雙曲線拋物線的定義及其運(yùn)用【套路秘籍】-千里之行始于足下一.橢圓的定義1 .平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|FIF2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.集合P=MilMF|+|MF=2a,IF1F2I=2c,其中a0,c0,且a,c為常數(shù)：若ac,則集合P為橢圓.(2)若 a=c,則集合P為線段.若ab0)上一點(diǎn)P(xo,v。)(y/0)和焦點(diǎn)Fi(c,0),F2(c,0)為頂點(diǎn)的4PFF2中，若/EPE=0,則IPF|+|PEI=2a.4c2=|PF-+|PE|22|PF|PE|cos0.13APF1F2=2|PR|P

2、|sine,當(dāng)|y|=b,即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，及匹取最大值為bc.焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).二.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,E的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1E|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.集合P=M|MF|MF|=2a,|F1F2I=2c,其中a,c為常數(shù)且a0,c0.(1)當(dāng) 2a產(chǎn)后|時(shí),P 點(diǎn)不存在.三.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.【修煉套路】-為君聊賦今日詩(shī)，努力請(qǐng)從今日始考向一橢圓的定義及其運(yùn)用22【例

3、 1】已知Fl,F2是橢圓M.L1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上.43(1)若點(diǎn)P到焦點(diǎn)Fi的距離等于1,則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為;(2)過(guò)E作直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，則/慶852的周長(zhǎng)為;(3)若點(diǎn)P在第二象P且/PFF2=120,求PFF2的面積.(4)設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，R、F2是橢圓的焦點(diǎn)，若/EPF-60。，求FPE的面積.【答案】(13;(2)8;(3)65【解析】(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：a124，b23,故a2，b城3cb7/431由橢圓的定義可得|PF|+|PF|=2a,又|PF|=1,所以|PE|=4-1=3ABF?的周長(zhǎng)LAABF2|AB|AF2|BF21|AF1|BF1|A

4、F?|BF?|(|AF1|AF21)(|BF1|BF2|)2a2a4a8(3)由已知得 a=2,b=、3,所以 c=Ja-b2=4-3=1,|EF2|=2c=2.在PFF2中，由余弦定理，得|PE|2=|PF|2+|FF2|22|PF|1E|cos120,即|PE|2=|PF|2+4+2|PF|.由橢圓定義，得|PF|+|PE|=4,即|PF=4-|PF|,將代入解得|PF|=1.51.所以 SiAPFF2=2|PF|,|FF2|,sin120一，得 3|PF|PF2|=12,所以|PF|PF|=4,16=-x-x2X25a2=4,b2=3,c2=1,-c=1,2c=2.在APFFz中，|FF

5、2|2=|PF|2+|PE|22|PF|PB|cos60即 4=|PF|2+|PF|2-|PF|PF|.由橢圓的定義得 4=|PF|+|PE|,即 4=|PF|2+|P桎|2+2|PF|PR|.(4)由橢圓方程知,1所以SAFiPF2=|PF|PF2|sin60=%3【套路總結(jié)】斗皿、E=一gE、j1.善于利用橢圓的定義進(jìn)行靈活運(yùn)用，看到焦點(diǎn)可以考慮用定義，條件不夠，定義來(lái)湊。2.求雙曲線、橢圓中的焦點(diǎn)三角形PF1F2面積的方法|類型一：當(dāng)已知角是PF1F2或PF2F1、F1PF2I根據(jù)雙曲線、橢圓的定義求出|PF|PE|=2a、|PF|+|PE|=2a；I利用余弦定理表示出|PF|、|PE|

6、、|FF2|之間滿足的關(guān)系式；1通過(guò)配方，利用整體的思想方法求出|PE|PE|的值；|1-I利用公式SzPFF2=2X|PF|PF2|sin/F1PE求得面積*I:.1.一|類型二：當(dāng)有一邊垂直于x軸時(shí)：利用公式SAPFF2=5X|FE|X|yP|求得面積2BaMMBBi ：MMBMHaBiaMMBHaa【舉一反三】22xy1 .如圖所小，F(xiàn) 為雙曲線 C:一=1=1 的左焦點(diǎn)，雙曲線 C 上的點(diǎn) Pi 與 P7-i(i=1,2,3)關(guān)于 y916【答案】C【解析】設(shè)右焦點(diǎn)為 F, 雙曲線 C 上的點(diǎn) P 與 P7i(i=1,2,3)關(guān)于 y 軸對(duì)稱 PI和 P6,P2和 P5,P3和 P4分

7、別關(guān)于 y 軸對(duì)稱 |FPI|=|F/P6|,|FP2|二|FP5|,|FP3|=|F/P4|,|F/P6|-|P6F|=2a=6,|F/P5|-|P5F|=2a=6,|FP4|-|P4F|=2a=6,.|P1F|+|P2F|+|P3F|P4F|-|P5F|-|P6F|=(|FP6|-|P6F|)+(|FP5|-|PsF|)+x2V2.一,一,一,.2.已知橢圓 C:一1-1的右焦點(diǎn)為 F,點(diǎn) P(1,3),若點(diǎn) Q 是橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，13627值為A.273B.17C.30D.17+13【答案】D【解析】設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為 F/,則PQF勺周長(zhǎng)lQFQPPF2aQF/QPPF2aPF/P

8、F12513,當(dāng)點(diǎn)Q為 P的延長(zhǎng)線與橢圓C的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故選 D.考向二雙曲線的定義及其運(yùn)用22【例 2】若F1,F2是雙曲線 216=1 的兩個(gè)焦點(diǎn).(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于 16,求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離(2)若點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，且/F1PE=60,求EPF的面積.【答案】(1)10 或 22163【解析】(1)設(shè)|MF|=16,根據(jù)雙曲線的定義知|MF|16|=6,即|MF16=6.解得|MF|=10 或|MF=22.小、y2(2)由 g=1,得 a=3,b=4,c=5.由定義和余弦定理得|PF|PE|=6,|FF2|2=|PF|2+|PE|22|PF|PB|

9、cos60,所以 102=(|PF|-1PR|)2+|PF|PE|,所以|PF|PE|=64,c113“c.SF1PF2=2|PF|PF，|-sin/FPF2=萬(wàn)*64X?=163.【舉一反三】22xy1 .如圖，右 F1,F2是雙曲線 9-=1 的兩個(gè)焦點(diǎn).(|FP4|-|P4F|)=18UVPQF周長(zhǎng)的最大1713(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于 16,求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離;(2)若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF|PE|=32,試求FiP桎的面積.【答案】(1)10 或 2216【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 X-y-=1,916故a=3,b=4,c=/a2+b2=5.(1)

10、由雙曲線的定義得|MF|一|MF|=2a=6,又雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于 16,假設(shè)點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于x,則|16x|=6,解得 x=10 或 x=22.故點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 10 或 22.(2)將|PE|PF|=2a=6,兩邊平方得|PF|2+|PE|22|PR|PF|=36,.|PF|2+|PE|2=36+2|PF|PE|=36+2X32=100.|PE|2+|PE|2|F1F2|2100-100cos/F1PF=cici-11i-n-i=cici-i1i-n-i=0,2|PF|PR|2|PF|PE|，$FIPB=2|PF|PE|=2*32=16.241(a0

11、,b0)的左右焦點(diǎn)分別為F,F2,實(shí)軸長(zhǎng)為6,漸近線方程為yb動(dòng)點(diǎn) M 在雙曲線左支上，點(diǎn) N 為圓E:x2(y76)21上一點(diǎn)，則MNMF2的最小值為()【解析】由題意可得 2a=6,即 a=3,1b1漸近線方程為 yx,即有一一，即 b=1,3a32可得雙曲線方程為xy219焦點(diǎn)為 Fl(-N10,0),F2,(%,而，0),由雙曲線的定義可得|MF|=2a+|MF|=6+|MF|,在EPE中，由余弦定理得./EPE=90,2x2.已知雙曲線 C：-2a13x，A.8B.9C.10D.11【答案】B由圓E：E:x2(yJ6)21可得E(0,J6),半徑r=i,|M仲|(zhì)MF|=6+|MN+|

12、MF|,連接EF,交雙曲線于M交圓于N,可得|MN+|MF|取得最小值，且為|EF|=4,則則|MN+|MF|的最小值為 6+4-1=9.22一一xy3.設(shè)雙曲線一1的左、右焦點(diǎn)分別為 FiF2,過(guò) F2的直線交雙曲線右支于 A、B 兩點(diǎn)，則AFiBFi43的最小值為()19A.16B.12C.11D.2【答案】C一23【解析】由雙曲線的定義，得AF1AF24,且BF1BF24,則AF1+BF1=8+AB8-11考向三拋物線的定義及其運(yùn)用【例 3】(1)已知拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)M其橫坐標(biāo)為8,它到焦點(diǎn)F的距離為 10,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為;(2)已知點(diǎn)P在拋物線x28y上，點(diǎn)A(2,4),

13、F是焦點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為.【答案】(1)(-8,8)或(-8,8)(2)6【解析】(1)由焦半徑公式可得MF=p(8)10,解彳#p=4,故y28x2由點(diǎn)(-8,y0)在拋物線上，可得y08,所以M的坐標(biāo)為(-8,8)或(-8,-8。(2)因?yàn)?2)284,所以點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部.如圖，過(guò)點(diǎn)P,A分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為QB,則|PF|PQ|,易知當(dāng)AP,Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|PA|最小，即|AB|.易得點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為4(P)4(2)62：【套路總結(jié)】!i.拋物線中經(jīng)常把點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，或者把點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到焦點(diǎn)的；距離，然后根據(jù)平面幾何的有關(guān)

14、知識(shí)求解.;j2.有關(guān)拋物線上一點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F與到已知點(diǎn)M(M在拋物線內(nèi))的距離之和的最小值問(wèn)題，?點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線l的距離與到點(diǎn)M的距離之和最小即可.由拋物線的圖形可知，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線l的：垂線，其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F與到已知點(diǎn)M的距離之和最小.解題時(shí)注意平面幾何知識(shí)的|j應(yīng)用， 例如兩點(diǎn)之間線段最短、 點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線中垂線段最短等.|3.解決與拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線距離有關(guān)的最值、定值問(wèn)題時(shí)，首先注意應(yīng)用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，|!其次是注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間線段最短；三角形中三邊間的不等關(guān)系；點(diǎn)與直線上I點(diǎn)的連線中，垂線段最短等.【舉一反三】1 .已知點(diǎn)P是拋物線y

15、2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值.【解析】由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離.由圖可知，當(dāng)點(diǎn) P,A(0,2),和拋物線的焦點(diǎn)F/,0 三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小.所以最小距離2 .已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)， 又有點(diǎn)出取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo).一7【答案】2(2,2)【解析】如圖，作PNLl于 N(l為準(zhǔn)線)，作ABLl于B,則|PA+|PF|=|PA+|PN刁AB,17當(dāng)且僅當(dāng)P為AB與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取等號(hào).(|PA+|PF)min=|AB=3+-=2.此時(shí) yP=2,代入拋物線得 XP=2,

16、.P 點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).【運(yùn)用套路】-紙上得來(lái)終覺淺，絕知此事躬行221 .已知FI、F2是橢圓 C:，器=1 但20)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF,求若PFF2的面積為 9,則 b=.【答案】3【解析】由題意知|PF|+|PF|=2a,PF,危，.|PF|2+|PF|2=|FIF2|2=4C2,.(IPF|+|PE|)22|PF|PE|=4C2,-2|PF|PE|=4a24C2=4b2.|PF|PR|=2b2,1122cS；APFE=|PF|PE|=2X2b2=b2=9.b=3.A(3,2),求|PA+|PF的最小值，并求X222 .已知ABCW頂點(diǎn)B,C在橢圓-+y=1上，頂點(diǎn)

17、A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊3上，則ABC勺周長(zhǎng)是【答案】43【解析】由橢圓的定義知：|BA+|BF=|CA+|CF=2a,，周長(zhǎng)為 4a=43(F是橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)).3 .已知FI(-8,3),F2(2,3),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PFi|PE|=10,則P點(diǎn)的軌跡是二【答案】一條射線【解析】Fi,F2是定點(diǎn)，且|FE|=10,所以滿足條件|PF|-|PR|=10 的點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為一條射線.4 .雙曲線x-y=1 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2,雙曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離是 12,則點(diǎn)P到焦點(diǎn)E的259距離是。二【答案】2 或 22【解析】依題意及雙曲線定義知，|PF|P同|=

18、10,即 12-|PR|=10,|PFa|=2 或 22。225.過(guò)點(diǎn) M(0,1)的直線 l 交橢圓土E1于 A、B 兩點(diǎn)，F(xiàn) 為橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)VABF的周長(zhǎng)最大時(shí)，VABF84的面積為.410【答案】4103【解析】由題意，橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 FI(-2,0)、F(2,0),又由橢圓的定義可得AF22AF1,BF2J2BF1所以VABF的周長(zhǎng)為|AF|BF|+AB=4、2|AB(AF1|BF1)顯然|AFI|BFJ|AB,當(dāng)且僅當(dāng) A、B、F1共線時(shí)周長(zhǎng)最長(zhǎng)，最大值為 8,2,x2y20此時(shí)直線的方程為 x-2y-2=0,聯(lián)立方程組x2v2可得3y24y20y184,.1所以此時(shí)V

19、ABF的面積為-42nt4則yy234力22_2103一3226.已知 Fi,F2是橢圓土y-1的左、右焦點(diǎn)，直線 1 過(guò)點(diǎn) F2與橢圓交于 A、B 兩點(diǎn)，且AB7,則VABF11612的周長(zhǎng)為.【答案】1622【解析】橢圓土匕1,可得a4,1612根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可得：AF1AF22a8,并且BF1BF22a8又因?yàn)锳F2BF2AB,所以VABF1的周長(zhǎng)為：AF1BF1ABAF1AF2BF1BF216227.已知橢圓2一1的右焦點(diǎn)為 F,P 是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0,2j3),則VAPF的周長(zhǎng)最大值等于一95【答案】14【解析】如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為 F,AFx22(273)24AF,

20、則PF+PF2a6QPAPFAFVAPF的周長(zhǎng)為AFPAPFAFPA6PF14當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn) A,F,P共線時(shí)取等號(hào).VAPF的周長(zhǎng)最大值等于 14.22xV8.已知橢圓C:L1,點(diǎn)M與 C 的焦點(diǎn)不重合。若 M 關(guān)于 C 的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為 A,B,線段 MN94的中點(diǎn)在 C 上，則ANBN為【答案】12【解析】如圖，設(shè) MN 的中點(diǎn)為 Q,橢圓 C 的左右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,連接QFpQF2，QQ在橢圓 C 上，QFiQF22a6ANBN12點(diǎn)，則VFAB的周長(zhǎng)為【答案】202【解析】橢圓X25別于 A,B,且AFIBFI,則AB【答案】1622【解析】由雙曲線-y-1(b0),可得

21、a4,16b2設(shè)AF1BF1m,Q弓是 MA 的中點(diǎn),Q 是 MN 的中點(diǎn),心是MAN 勺中位線；QF1NBQF2同理：1一NB2由雙曲線的定義可得AF2AF12a2am,BF2BF12a2am,人八4-X29.已知 E、F 分別為橢圓25i的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為60的直線 l 過(guò)點(diǎn) E,且與橢圓交于A,B 兩三角形 AFB 的周長(zhǎng)AF2BF2ABABAF1BF12,11所以周長(zhǎng)AF2BF2AF1BF14a20。210.已知雙曲線C:160),FI,F2分別為 C 的左.右焦點(diǎn)，過(guò) F2的直線 l 交 C 的左右支分2211 .已知雙曲線L49M 點(diǎn)關(guān)于 E 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是 B 點(diǎn)，線段 MN

22、勺中點(diǎn)在雙曲線上，則NANB同理，VMNB中，EE是中位線，NB2EF2,結(jié)合雙曲線的NANB2（EFEF2）4a8同理線段 MN 中點(diǎn) E 在雙曲線的右支上,|NANB|8,則NANB812 .若拋物線 y2=4x 上的點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 10,則 M 到 y 軸的距離是?！敬鸢浮?【解析】拋物線 y2=4x 的準(zhǔn)線方程為：x=-1,拋物線 y2=4x 上的點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 10,可得XM9,則 M 到 y 軸的距離是 9.13 .已知 A（3,2）,若點(diǎn) P 是拋物線 y2=8x 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) Q 是圓（x-2）2+y2=1 上任意一點(diǎn)，則PAPQ的最小值為A.3B.4C.5D

23、.6可得ABAF2BF22am(m2a)4a161,Fi、Fa分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),存在一點(diǎn) M,M 點(diǎn)關(guān)于 F1點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是 A 點(diǎn),【解析】如圖所示，線段MN 的中點(diǎn) E 在雙曲線的左支上，在VMNA中，EF1是中位線，NA2EF1【答案】4【解析】拋物線 y2=8x 的焦點(diǎn) F(2,0),準(zhǔn)線 l:x=-2,圓(x-2)2+y2=1 的圓心為 F(2,0),半徑 r=1,過(guò)點(diǎn) P 作 PB 垂直準(zhǔn) l,垂足為 B,由拋物線的定義可知PBlPFl，PAlPQlPA+PFlrlPAlPB1當(dāng) P、AB 三點(diǎn)共線時(shí)PAPB取最小值 3+2=5,PA|PQ|PAPB|1514即人PQ有取得最小

24、值 4。214.設(shè) p 是橢圓3621 上一點(diǎn)，M,N 分別是兩圓：(x-2)2+y2=1 和(x2)23221,乩,y一上的點(diǎn)，則4PMPN的取值范圍為2127【答案】2,2【解析】首先將 P 點(diǎn)固定于一處，設(shè)兩圓心分別為 C、Q,1一11,21,且G、C2為橢圓的焦點(diǎn)則21二根據(jù)圓外一點(diǎn)到與圓上的點(diǎn)的距離的范圍可得PC11PM3PC1PC2PM從而得到2PNPC1PC2PCI1,PC2,.1PMlPC2-根據(jù)橢圓的定義可知PCIPC2I122127所以PMPN的取值范圍為2,22215 .P 是雙曲線y-1上的一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2為焦點(diǎn)，若PF17,則PF2916【答案】132【解析】雙曲線x9又由 P 是雙曲線上一點(diǎn)，則有|PF1PF2|6,又由|PFj7,解得|PF211或13,因?yàn)?ca2,所以?有|PF2|13滿足題意。x2V216 .已知雙曲線C：-y1(a0,b0)過(guò)點(diǎn)(-2,0)，過(guò)左焦點(diǎn) F1的直線與雙曲線