信號的頻域分析

1、信號的頻域分析信號的頻域分析1.周期信號的幅值譜，相位譜，功率譜周期信號的幅值譜，相位譜，功率譜2. 非周期信號的幅值譜密度非周期信號的幅值譜密度3.隨機信號的功率譜密度隨機信號的功率譜密度周期信號的幅值譜，相位譜，功率譜周期信號的幅值譜，相位譜，功率譜（1 1）三角函數(shù)展開式）三角函數(shù)展開式 狄里赫利（狄里赫利（Dirichet）條件）條件 在一個周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。在一個周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。在在一一個個周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。在在一一個個周期內(nèi)，信號絕對可積，即周期內(nèi)，信號絕對可積，即 Tt

2、tttx00d| )(|周期信號的傅立葉級數(shù)：周期信號的傅立葉級數(shù)：)sincos()(0010tnbtnaatxnnnttxTaTTd)(12/2/0000ttntxTaTTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/000其中其中則可以展開為則可以展開為)3sin()2sin()sin()sin()(032021010010nnnntAtAtAAtnAAtx22nnnbaAnnnbaarctan式中式中進一步，可以改寫為進一步，可以改寫為（2）復指數(shù)展開式）復指數(shù)展開式00aC )j(21nnnbaC)j(21nnnbaC，)ee(2jsin)ee(21co

3、ssinjcos00000jj0jj000jtntntntntntntntntnee )j(21e )j(21)(00jj10tnnntnnnnbabaatx所以：所以：)ee()(00jj10tnntnnnCCCtx)sincos()(0010tnbtnaatxnnn歐拉公式歐拉公式tnnnC0jennnnnCCCCjeImjRe按實頻譜和虛頻譜形式按實頻譜和虛頻譜形式 幅頻譜和相頻譜形式幅頻譜和相頻譜形式 22)(Im)(RennnCCCnnnCCReImarctan總結(jié)總結(jié)nnnnCC,幅頻譜圖：幅頻譜圖：| Cn | - , An- 相頻譜圖：相頻譜圖： n - 功率譜圖：功率譜圖：

4、| Cn |2 - , A n2 - 實頻譜圖：實頻譜圖： CnR - 虛頻譜圖：虛頻譜圖： CnI - 00, 2/aCACnn 非周期信號的幅值譜密度非周期信號的幅值譜密度 頻率之比為有理數(shù)的多個諧波分量，其疊加后由于有頻率之比為有理數(shù)的多個諧波分量，其疊加后由于有公共周期，是公共周期，是周期信號周期信號。 當信號中各個頻率比不是有理數(shù)時，則信號疊加后是當信號中各個頻率比不是有理數(shù)時，則信號疊加后是準周期信號準周期信號。 一般非周期信號是指瞬變信號。一般非周期信號是指瞬變信號。de)de)(21e)d)(2de )de)(1limelim)(limjjjjjj2/2/0j00000000t

5、ttttnntnTTTtnnnTTttxtetxttxTCtx 非非周期信號可以看成是周期周期信號可以看成是周期T0 趨于無窮大的周期趨于無窮大的周期信號：信號： 02000 TT非周期非周期信號的傅立葉變換：信號的傅立葉變換：ttxXtde)()(jd)(21)(j teXtx傅里葉變換（傅里葉變換（FT） 傅里葉逆變換（傅里葉逆變換（IFT） 代入得代入得ttxfXftde )()(2jffXtxftde )()(2j記為：記為：x(t)X()FTIFT用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為 )()()(Imj)(Re)(fjefXfXfXfX22)(Im

6、)(Re)(fXfXfX)(Re)(Imarctan)(fXfXf非周期信號的幅頻譜非周期信號的幅頻譜 和周期信號的幅頻譜和周期信號的幅頻譜 很相很相似，但是兩者量綱不同。似，但是兩者量綱不同。 為為信號幅值的量綱。信號幅值的量綱。 為為信號單位頻寬上的幅值信號單位頻寬上的幅值，是頻譜密度函數(shù)。工程測試，是頻譜密度函數(shù)。工程測試中為方便，仍稱為頻譜。中為方便，仍稱為頻譜。 )( fXnCnC)( fX隨機信號的功率譜密度隨機信號的功率譜密度de )()(j2fxxRfSffSRfxxde )()(2j定義隨機信號的自功率譜密度函數(shù)（自譜）為定義隨機信號的自功率譜密度函數(shù)（自譜）為其逆變換為其逆

7、變換為 隨機信號是時域無限信號，不具備可積條件，因此不隨機信號是時域無限信號，不具備可積條件，因此不能進行傅立葉變換。又因為隨機信號的能進行傅立葉變換。又因為隨機信號的頻率頻率、幅值、相位幅值、相位都是隨機的，因此從理論上講，一般不作幅值譜和相位譜都是隨機的，因此從理論上講，一般不作幅值譜和相位譜分析，而是用具有統(tǒng)計特性的功率譜密度來作譜分析。分析，而是用具有統(tǒng)計特性的功率譜密度來作譜分析。自功率譜密度函數(shù)是偶函數(shù)自功率譜密度函數(shù)是偶函數(shù),它的頻率范圍它的頻率范圍 ， 又稱雙邊自功率譜密度函數(shù)。它在頻率范圍又稱雙邊自功率譜密度函數(shù)。它在頻率范圍的函數(shù)值是其在的函數(shù)值是其在 頻率范圍函數(shù)值的頻率

8、范圍函數(shù)值的對稱映射對稱映射，因此因此 。 單邊譜和雙邊譜單邊譜和雙邊譜 )(),(fGfSxxf)( fGx)( fSx),(),0()(2)(fSfGxx)0 ,(同理：同理： 定義定義兩隨機信號的互功率譜密度函數(shù)兩隨機信號的互功率譜密度函數(shù)（雙邊互譜（雙邊互譜）為）為de )()(2jfxyxyRfSffSRfyxyxde )()(2j其逆變換為其逆變換為 其單邊互譜密度函數(shù)：其單邊互譜密度函數(shù)：2( )2( )jfxyGfRed (0)f 相干函數(shù)與頻率響應函數(shù)相干函數(shù)與頻率響應函數(shù)相干函數(shù)為零相干函數(shù)為零 - 輸出信號與輸入信號輸出信號與輸入信號不相干不相干。相干函數(shù)為相干函數(shù)為1 - 輸出與輸入信號完全輸出與輸入信號完全相干相干。相干函數(shù)在相干函數(shù)在01之間之間