電阻電路的一般分析

1、Chapter 3 Chapter 3 電阻電路的一般分析電阻電路的一般分析 主要內容主要內容 1. 圖論的初步概念；圖論的初步概念； 2. 支路電流法；支路電流法； 3. 3. 網孔電流法和回路電流法；網孔電流法和回路電流法； 4. 4. 結點電壓法。結點電壓法。 3-1 3-1 電路的圖電路的圖 1. 求解電路的一般方法 選取合適的電路變量（電流和/或電壓）； 根據KCL、KVL 以及元件的電壓、電流關系（VCR），建立獨立方程組； 解出電路變量。 學習圖論的初步知識，目的是研究電路的連接性質并討論應用圖的方法選擇電路方程的獨立變量 G = ( V, E )，表示 G 是結點和支路的一個集

2、合。 結點(頂點，點)：支路的匯合處； 支路(線段，邊)：是一個抽象的線段（代表一個電路元件）； 孤立結點：不關聯(lián)任何邊的點； 2. 圖 移去支路：移去該支路，但其所關聯(lián)的兩個結點保持不變； 移去結點：把它所關聯(lián)的全部支路同時移去。 3. 電路的“圖” 電路的“圖”：把電路中每一條支路畫成抽象的線段形成的一個結點和支路的集合； 用不同的元件結構定義電路的一條支路時，該電路以及它的圖的結點數(shù)和支路數(shù)將隨之而不同。 有向圖：賦予支路方向的圖。 a. 指定電路中每條支路電流的參考方向，電壓取關聯(lián)參考方向； b.指定電路的圖中每一條支路的方向。 3-2 3-2 KCL和和 KVL的獨立方程數(shù)的獨立方程

3、數(shù) 一、KCL 的獨立方程數(shù)（n -1） 可以證明，對于具有 n 個結點的電路，在任意( n - 1)個結點上可以得出( n - 1 )個獨立的 KCL 方程，相應的( n - 1 )個結點稱為獨立結點。 0)()()(11 bjjjnkkiii 因為每一支路電流 ij 必然流出一個結點，并流入另一結點,故獨立方程數(shù) n 從這 n 個方程中，去掉任意一個，余下的( n -1 )個方程一定互相獨立，因去掉一個方程后，必有某些支路電流不可能與其他支路電流相消。 1. 獨立回路 連通圖：圖 G 的任意兩個結點之間至少存在一條路徑； 子圖：如果 G1 的每個結點都是圖 G 中的結點，G1的每條支路都是

4、 G 中的支路，則 G1 是G 的子圖； 回路：如果一條路徑的起點和終點重合，且經過的其他結點都相異，這條閉合路徑就構成 G 的一個回路。 二KVL 的獨立方程數(shù)（ b - ( n -1)） 樹：連通圖G 的一個樹 T ，是指 G 的一個子圖，a, 它必須是連通的；b, 包含 G 的全部結點；c,不包含回路。 回路：(1,3,4);(2,3,5);(4,5,6);(1,2,6);(1,2,4,5);(1,3,5,6);(2,3,4,6) 可以證明，任一個具有 n 個結點的連通圖，它的任何一個樹的樹支數(shù)為（n -1）。 T1 樹支:(3,4,5) 連支:(1,2,6)T2 樹支:(1,4,5)

5、連支:(2,3,6) 單連支回路：G 的任意一個樹，加入一個連支后形成的一個回路 。 a.除所加連支外均由樹支組成； b.由全部連支形成的單連支回路（基本回路）構成基本回路組?；净芈方M是獨立回路組 ； c.根據基本回路列出的 KVL 方程組是獨立方程組； d.選擇不同的樹，可以得到不同的基本回路組。 T1 ： 樹支： (1, 3, 5 )； 回路：(2, 3, 5)；(1, 3, 4) ； (1, 3, 5, 6) T2 ： 樹支： (3, 4, 5 )； 回路：(1, 3, 4)；(2, 3, 5) ； (4, 5, 6) T3 ： 樹支： (1, 2, 4 )； 回路：(1, 3, 4)

6、；(1,2, 4, 5) ； (1, 2, 6) 網孔：平面圖的一個 “網孔” 是指它的一個自然 “孔”，它限定的區(qū)域內不再有支路； 平面圖的全部網孔是一組獨立回路； 平面圖網孔數(shù) = 獨立回路數(shù) . 平面圖：把一個圖畫在平面上，能使它的各條支路除連接的結點外不再交叉，否則，稱為非平面圖； 2.網孔 3. KVL 的獨立方程數(shù) = 獨立回路數(shù) 平面電路，找網孔，對網孔列 KVL 方程; 非平面電路：先找樹，再找單連支回路，對單連支回路列 KVL 方程 ;3-3 3-3 支路電流法支路電流法 12b 法 以支路電壓和電流為電路變量，共有 2b 個未知量 . 按 KCL 列出（ n-1）個獨立電流

7、方程； 按 KVL 列出 b -（ n-1）個獨立電壓方程； 按支路的電壓、電流關系( VCR )列出 b 個 VCR 方程； 由 2b 個方程求解 2b 個未知量。 2.支路電流法 將 b 個支路電壓、電流關系(VCR)代入（b - ( n - 1 ) 個KVL 方程；消去支路電壓變量，得到（b - ( n - 1 ) )個以支路電流表示的 KVL 方程，加上原有的（ n - 1 ）個獨立的結點電流方程； b個方程求解 b 個支路電流. (2) 000 642543321uuuuuuuuuKVL(3) 666555554443332221111iRuiRiRuiRuiRuiRuiRuuVCR

8、Ss (1) 000 654432621iiiiiiiiiKCL 將式（3）代入式（2）得 000664422555544333322111iRiRiRiRiRiRiRiRiRiRuSS(4) 066442255554433S1332211iRiRiRiRiRiRiRuiRiRiRS式（1）和式（4）聯(lián)立求解可得支路電流。 3KVL 方程的一般形式 SkkkuiR Rk ik 為回路中第 k 個支路的電阻上的電壓，ik 參考方向與回路方向一致時，取 “+ ”，否則，取 “- ”； 4. 列寫出支路電流法電路方程的步驟 選定各支路電流的參考方向； 選取 b - ( n -1) 個獨立回路（平面電

9、路取網孔），指定回路的繞行方向，列出 KVL 方程。 根據 KCL 對 ( n -1) 個獨立結點列寫電流方程； uSk 為回路中第 k 支路的電源電壓（既包括電壓源電壓，也包括電流源引起的電壓），當 uSk 與回路方向一致時取 “- ”（因移到等號另一側），否則取 “+”。 3-4 3-4 網孔電流法網孔電流法 1. 網孔電流是一組完備的獨立電流變量。 網孔電流是一種沿著網孔邊界流動的假想電流，共 b-(n-1)個； a. im1 ,im2 為分析簡便而設的假想電流； b. i1 , i2 , i3 可用 im1 ,im2 線性表示； 完備性：一旦求出了網孔電流，所有支路電流可根據KCL 隨

10、之確定。 獨立性：因每個網孔電流沿著網孔流動，當它流到某個結點時，從該結點流入，又從該結點流出，在該結點所列的 KCL 方程中相互抵消，因此，就 KCL 來說，各網孔電流彼此獨立無關。 求網孔電流需要根據 KVL 及 VCR 來列方程。 流入:im1 ,im2 流出: im1 ,im2即 im1 + im2 = im1 + im2 整理后可得 32232122122121)()(SSmmSSmmUUiRRiRUUiRiRR概括為一般形式 2222212111212111SmmSmmuiRiRuiRiR0)(0)(12223231221211mmSSmSSmmmiiRUUiRUUiiRiR以網孔

11、電流方向為列KVL 方程時的繞行方向（順時針） 2. 求解過程及網孔電流方程的普遍形式 這里: 自電阻 第 個網孔的全部電阻之和； , , , 2 , 1 , 0miRiii 互電阻 第 個網孔與第 個網孔之間的公共電阻，如果 與 通過公共電阻時方向一致，取 “ + ”，相反，取 “ - ” ； , , , 2 , 1 , , , mjijiRijijmiimji 總電壓源電壓 ：第 i 個網孔電壓源電壓升的代數(shù)和， Siiumi , , 2 , 1SmmmmmmmmmmSmmmmmSmmmmmuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR2211222222121111212111推廣到 m 個

12、網孔的電路，其網孔電流方程的普遍形式為 例3-1：用網孔分析法求解下圖電路的各支路電流。解：網孔電流方程為10 )3010( 3020 30 )305(2121mmmmiiii10 40 3020 30 35 2121mmmmiiii利用行列式法可求出AiAimm 5 . 0 121AiiiAiiAiimmmm 5 . 0 ; 5 . 0 ; 1 1232211例3-2：試求下圖中電流 I 。解：網孔電流方程為240 30 )3020(221mmmiii! 4 . 0 21方程已知，只需列一個KVLiAimmAiiImm 6 . 1) 2(4 . 021例3-3：試用網孔法求下圖所示電路中受控

13、源電流 Ix 。 解：列網孔電流方程時先將受控電源等同于獨立電源，寫出網孔電流方程后，再將受控源控制量用網孔電流表示。XmmXmmIIIIII84626821221214226612 2121mmmmIIII2mXII又AIAIAIXmm 3 , 3 , 121例3-4：試列寫下圖中所示電路的網孔電流方程。解：因電流源兩端有電壓，假設為 U ，則0632036723321321321UIIIIIIUIIImmmmmmmmm731mmII補充：VUAIAIAImmm 5 .13 , 0 . 2 , 5 . 2 , 9321 將 7V 電壓源移至圖右側，可不設電流源電壓 U，迅速求出各支路電流！3

14、-5 3-5 回路電流法回路電流法 1. 回路電流法是以一組獨立回路電流為電路變量的求解方法 回路電流是在一個回路中連續(xù)流動的假想電流； 選單連支回路作為基本回路(獨立回路)，回路電流就是連支電流； a ，樹支：支路（4，5，6） 連支：支路（1，2，3） b ，回路電流（連支電流）為 ,分別在 3 個基本回路中流動; 321,llliii3216315214332211 , , , , lllllllllliiiiiiiiiiiiiiii a,完備性: 支路電流是流過的回路電流(連支電流)的代數(shù)和；樹支電流可以通過連支電流來表達。全部支路電流可用連支電流(回路電流)來表達； b,獨立性:因每

15、個回路電流沿著回路流動,當它流到某個結點時，從該結點流入，又從該結點流出，在該結點所列的 KCL 方程中相互抵消，因此，就 KCL 來說，各回路電流彼此獨立無關. 回路電流(連支電流)是完備的獨立電流變量。 b 條支路，n 個結點的電路，b 個支路電流受 n - 1個KCL 方程的約束，僅有 b - ( n -1) 個支路電流是獨立的； 連支數(shù)恰好是b - ( n -1) 個，連支電流可以作為獨立電流變量，由 KVL 提供求解連支電流所需的 b - ( n -1) 個獨立方程。 列出圖示 3 個回路的回路電壓方程，將所有電流均用回路電流表示； 整理后可得 4336432641441364264

16、2114141342411541)()()()()()()(SSlllSSlllSSlllUUiRRRiRRiRUUiRRiRRRRiRRUUiRiRRiRRR2求解過程及回路電流方程的一般形式 一般形式（設 ） ) 1( nbpSpplppplplpSlppllSlpplluiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR2211222222121111212111這里： a,自電阻 第 個回路的全部電阻之和; , 2 , 1 , 0piRiii b, 互電阻 第 個回路與第 個回路的公共電阻之和，若兩個回路電流通過公共電阻時方向一致取“+ ”，否則,取 “- ”； , 2 , 1, , ,pjij

17、iRijij c, 電壓源電壓 第 i 個回路電壓源電壓升的代數(shù)和,電壓源電壓的方向與回路電流方向一致時取“-”, 否則取“+ ”., 2 , 1 ,piuSii3. 電路中含有電流源的情況 含有電流源和電阻的并聯(lián)組合，可經等效變換成為電壓源和電阻的串聯(lián)組合再列回路方程； 存在無伴電流源時 a, 選取電流源支路作連支，則該回路的電流（連支電流）就是電流源電流（見例 3-1）； b，把電流源的電壓作為變量，增加一個獨立的回路電流與電流源之間的約束關系（見例 3-4 ）。 4.電路中含有受控電壓源的情況 先將受控電壓源作為獨立電壓源列出回路電流方程； 再把受控電壓源的控制量用回路電流表示； 然后將

18、用回路電流表示的受控源電壓移至方程的左邊。 例3-5：試求下圖中電流 I1 。 解：選樹時，使電壓源支路作為樹支，并使電流源、受控電流源及受控源的控制支路位于連支中，由于只有一個未知數(shù)I1， 故只需對 I1 所流經的回路列寫方程AIII123019255 . 144)42()425(111 例3-6：下圖所示電路中有無伴電流源 iS1 ，無伴電流控制電流源 iC = i2,電壓控制電壓源 uC = u2, 電壓源 US2,，US3 ,列出回路電流方程。解：選樹支如粗實線所示，將連支電流作為回路電流，則)(212222llliiRuii34433323233243332321211 )( )(

19、SCllllClSSllllSlUuiRRiRiRiiiUUiRiRiRRiRii整理可得123443232123243232 )( )1 ( )1 ( SSllSSSlliRUiRRiRRiRUUiRiRRR1 對回路電流無影響!5. 回路電流法的步驟 根據給定的電路，通過選擇一個樹確定一組基本回路(使電流源、受控電流源出現(xiàn)在連支中）。指定各回路電流(連支電流)的參考方向； 按一般公式列出回路電流方程，自電阻總是正的，互電阻的正負由相關的兩個回路電流通過共有電阻時的參考方向是否相同而定。另外,要注意右邊項取代數(shù)和時有關電壓源前面的“ + ”、“-” 號 ; 電路中含有受控源或無伴電流源時，按

20、前述方法處理。 3-6 3-6 結點電壓法結點電壓法 1. 結點電壓是一組完備的獨立電壓變量 任選一個結點為參考點，其他結點到參考點的電壓降，稱為該結點的結點電壓，共 n - 1 個 ； 完備性：一旦求出了 n - 1 個結點電壓，全部 b 條支路電壓均可根據 KVL 隨之確定，因一條支路必然關聯(lián)兩個結點。 a, 選結點 4 為參考點;b, un1, un2, un3 為結點電壓;c, G1,G3,G5 上的結點可用 un1, un2, un3 線性表示; 獨立性，因沿任一回路的各支路電壓如以結點電壓表示，列寫的 KVL 方程恒等于零，因此，就 KVL 來說各結點電壓彼此獨立無關。 圖中所示回

21、路： 0)( 02332423423nnnnuuuuuuu 求結點電壓需要根據 KCL 及 VCR 來列方程 。2.求解過程及結點電壓方程的普遍形式 53154343323222121154332151)( ,)( ,)( : 000:iuuGiuGiuuGiuGiuuGVCRiiiiiiiiiKCLnnnnnnnnS整理可得 0)(0)()(35432315332321113521151nnnnnnSnnnuGGGuGuGuGuGGGuGiuGuGuGG概括為一般形式 333332321312232322212111313212111SnnnSnnnSnnniuGuGuGiuGuGuGiuG

22、uGuG推廣到 個結點的電路，其結點電壓方程的普遍形式為 n)1)(1()1()1)(1(22)1(11)1(22)1()1(222212111)1()1(1212111nnSnnnnnnnnSnnnnnSnnnnniuGuGuGiuGuGuGiuGuGuG這里： 自電導 連接到第 i 個結點的全部電導之和； , 1,2, 1 ,0niGii 互電導 連接在結點 i 和結點 j 之間的電導之和的負值； , 1,2, 1 , ,0nijiGij 注入電流 注入到第 i 個結點的電流源電流的代數(shù)和； , 1,2, 1,niiSii例3-7：列出下圖的結點電壓方程。 解：結點編號如圖所示，則有kuk

23、kkukkukukkknnnn4090 )401101201( 10120120 101 )101401201(2121VuVunn 10 , 40 21習慣畫法!例3-8：試列出下圖所示電路的結點電壓方程。 解：列結點電壓方程時，如果電壓源跨接在兩個結點之間，怎么辦？先設一個未知電流！IuGGuGuGuGGGuGIuGuGGnnnnnnn354243424311121121 )( 0 )( )(SnnUuu31補充：如果將結點 3 選作參考結點，則只需列兩個結點方程！ 列結點電壓方程時，不需要事先指定支路電流的參考方向，如要檢驗答案，應按支路電流用 KCL 進行. 4電路中含有無伴電壓源的情況 選無伴電壓源的一端連接點作為參考點， 則關于另一端的結點電壓已知，無需再列方程！ 把無伴電壓源的電流作為附加變量列入 KCL 方程，增加結點電壓與無伴電壓源電壓之間的關系。 3.求得各結點電壓后，可以根據VCR求出各支路電流； 列寫結點電壓方程列寫結點電壓方程（例3-5 PP71）。用結點電壓法求各支路電流用結點電壓法求各支路電流（例3-6 PP71 ）。例3-9：試列出下圖所示電路的結點電壓方程。解法一：2232131