高數(shù)微積分方向導數(shù)梯度

1、1引例：引例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？到達較涼快的地點？問題的問題的實質實質：應沿：應沿由熱變冷變化最驟烈由熱變冷變化最驟烈的方向的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行第七節(jié)第七節(jié) 方向導數(shù)與梯度方向導

2、數(shù)與梯度一、問題的提出一、問題的提出2 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點P沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 二、方向導數(shù)的定義二、方向導數(shù)的定義引射線內有定義，自點的某一鄰域在點設函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),(00).P(),(,00UPlyyxxPlx上的另一點且為并設為的轉角軸正向到射線設oyxlP xyp3|PP線段長,)()(22yx ),(),(00yxfyyxxfz函數(shù)增量當當 沿著沿著 趨于趨于 時，時，P Pl),(),(lim000yxfyyxxf研究,稱為平均變化率其比值z是否存在？是否存在？oyxlP xyp4.),(),(lim000

3、00Pyxfyyxxflf的方向導數(shù)沿方向則稱這極限為函數(shù)在點在，時，如果此比的極限存趨于沿著當之比值，兩點間的距離與函數(shù)的增量定義：lPPlPyxPPyxfyyxxf220000)()(),(),(記為記為在偏導數(shù)存在的前提下在偏導數(shù)存在的前提下5證明證明: 由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到coscos是方向余弦是方向余弦6 sincos故有方向導數(shù)故有方向導數(shù) ),(),(lim0yxfyyxxf coscos .ffxy lf )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf cosco

4、s亦等于亦等于.sincos yfxf 7xz y0 l y x zzlflzPP0lim00PP0z = f (x,y) x y )()(lim y,xfyy,xxfQ )()(lim00PfPf M 是曲面在是曲面在點點P0 處沿處沿方向方向l 的變化率，的變化率，即半切線即半切線0Plz MN方向導數(shù)方向導數(shù) 方向導數(shù)的幾何意義方向導數(shù)的幾何意義的斜率的斜率.N （ 看成是割線，看成是割線，切線是割線的極限位切線是割線的極限位置）置）QM8例例 1 1 求函數(shù)求函數(shù)yxez2 在點在點)0 , 1(P處沿從點處沿從點)0 , 1(P 到點到點)1, 2( Q的方向的方向導數(shù)的方向的方向導

5、數(shù). 解：解：; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz)21(2210, 1lz.22 所求方向導數(shù)所求方向導數(shù)21cos,21cos9解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向導數(shù)的計算公式知由方向導數(shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 10),4sin(2 故故（1）當）當4 時，時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當當45 時時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最小小值值2 ;（3）當）當43 和和47 時，時，方向導數(shù)等于

6、方向導數(shù)等于 0.11,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）12.coscoscos zfyfxflf ,cos x,cos y,cos z13解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故),(zyxFFFn )2 , 6 , 4( ,142264222 n方向余弦為方向余弦為14,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu

7、22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故15三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點函數(shù)在點問題問題P16 coscosyfxflf )cos,(cos),( yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| eyxgradf其中其中),(,eyxgradf lf 有有最最大大值值.由方向導數(shù)公式知由方向導數(shù)公式知,cos| ),(| yxgradf 17結論：結論：沿梯度方向的方向導數(shù)取得最大值，沿梯度方向的方向導數(shù)取得最大值， 即即函數(shù)沿梯度方向增長最快，函數(shù)沿梯度方向增長最快， 這個最大值等于這點處

8、梯度的模。這個最大值等于這點處梯度的模。22)()(| ),(| yxffyxgradf18 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內具有內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點GzyxP ),(，都可定義一個向量都可定義一個向量(梯度梯度).,(),(zfyfxfkzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模為方向導數(shù)的與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模為方向導數(shù)的最大值最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)19面上

9、的投面上的投在在曲線曲線xoyCzyxfz ),(CyxfL ),(:*影影稱為函數(shù)稱為函數(shù) f f 的的等值線等值線 . . ,不同時為零不同時為零設設yxff則則L L* *上點上點P P 處的法向量為處的法向量為 Pyxff),(Pfgrad oyx1cf 2cf 3cf )(321ccc設P同樣同樣, , 對應函數(shù)對應函數(shù), ),(zyxfu 有有等值面等值面( (等量面等量面) ),),(Czyxf 當各偏導數(shù)不同時為零時當各偏導數(shù)不同時為零時, , 其上其上 點點P P處的法向量為處的法向量為.gradPf, ),(yxfz 對函數(shù)對函數(shù)20函數(shù)在一點的函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等

10、值面梯度垂直于該點等值面( (或等或等高高線線) ,) ,指向函數(shù)增大的方向指向函數(shù)增大的方向梯度的幾何意義：梯度的幾何意義：梯度的方向與等值面（或者等高線）梯度的方向與等值面（或者等高線）該點的法線該點的法線的的一個方向一個方向相同相同（從數(shù)值低的等高線指向數(shù)值高的）（從數(shù)值低的等高線指向數(shù)值高的）.看書看書p46圖圖21等高線的畫法等高線的畫法22圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,23例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計算公

11、式得由梯度計算公式得),(),(zuyuxuzyxgradu )6 , 24 , 32(zyx 故故)12, 2 , 5()2 , 1 , 1( gradu在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0.24勢與勢場 向量函數(shù)gradf(M)確定了一個向量場(梯度場), 它是由數(shù)量場f(M)產生的. 通常稱函數(shù)f(M)為這個向量場的勢, 而這個向量場又稱為勢場. 必須注意, 任意一個向量場不一定是勢場, 因為它不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場.四. 數(shù)量場與向量場 如果對于空間區(qū)域G內的任一點M, 都有一個確定的數(shù)量f(M), 則稱在這空間區(qū)域G內確定了一個數(shù)量場. 如果對于空間區(qū)域G內的任一

12、點M, 都有一個確定的向量F(M), 則稱在這空間區(qū)域G內確定了一個向量場. 25 解 32)(rmxxrrmrmx同理 3)(rmyrmy 3)(rmzrmz 從而 )(2kjirzryrxrmrmgrad 記kjierzryrxr 它是與rrmrme2grad 32)(rmxxrrmrmx )(2kjirzryrxrmrmgrad 它是與OM同方向的單位向量 則mr試求的梯度.試求的梯度.222,rOMxyz 例例5 設質量為設質量為 m 的質點位于原點的質點位于原點, 質量為質量為 1 的質點的質點 位于位于 ( , , ),M x y z 記記 26它表示兩質點間的引力它表示兩質點間的

13、引力, 方向朝著原點方向朝著原點, 大小與質量大小與質量 的乘積成正比的乘積成正比, 與兩點間距離的平方成反比與兩點間距離的平方成反比. mr這說明了引力場是數(shù)量場這說明了引力場是數(shù)量場 的梯度場的梯度場, 因此因此常稱常稱 mr為為引力勢引力勢.271 1、方向導數(shù)的概念、方向導數(shù)的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向導數(shù)與梯度的關系、方向導數(shù)與梯度的關系（注意方向導數(shù)與一般所說偏導數(shù)的（注意方向導數(shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）小結小結.),(最快的方向最快的方向在這點增長在這點增長梯度的方向就是函數(shù)梯度的方向就是函數(shù)yxf28思考題思考題

14、xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個偏導數(shù)均不存在故兩個偏導數(shù)均不存在.答答29 ( , )lx y 沿沿任任意意方方向向的的方方向向 )0 , 0()0 ,0(lim)0,0(fyxflz 1)()()()(lim2222 yxyx所以沿著任意方向的方向導數(shù)都存在且相等所以沿著任意方向的方向導數(shù)都存在且相等導數(shù)導數(shù)30思考與練習思考與練習1. 設函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點切線方向的方向導數(shù);(2) 求函數(shù)在 M(

15、1, 1, 1 ) 處的梯度梯度與(1)中切線方向切線方向 的夾角 . 31,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:函數(shù)沿 l 的方向導數(shù)lM (1,1,1) 處切線的方向向量32)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgradl cosMfgradl332. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)34指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向導數(shù)是 .在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點Axd d3. 函數(shù))ln(22z