廣州市一模理科數(shù)學試題及答案

1、絕密啟用前2017年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）理科數(shù)學注意事項：1 .本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自 己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上，并用鉛筆在答題卡上的相應 位置填涂考生號。2 .回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑， 如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。寫在本試卷上無效。3 .回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4 .考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷-、選擇題：本小題共 12題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合 題目要求的。22（1）

2、受數(shù)（1 +i） +- 的共軻復數(shù)是1 i(A) 1+i(B) 1 -i(C) -1 +i( D) -1-i(2)若集合 M =x x <1,N =y y = x2, x <1,則(A) M =N(B) MEN(C) N 工 M(D) M AN =0（3）已知等比數(shù)列an的各項都為正數(shù)r 1-，且a3,一8啟4成等差數(shù)列2則a_0的值是a4 a6(A) 5-123 - .52（4）閱讀如圖的程序框圖.若輸入n = 5,則輸出k的值為(A) 2(B)(C) 4(D) 52 x(5)已知雙曲線C : xy a2y4=1的一條漸近線方程為 2x +3y = 0 , F2分別10是雙曲線C

3、的左，右焦點，點P在雙曲線C上，且PR =7,則PF?等于(A) 1(B) 13(C) 4或10(D) 1 或 13(A)(B)(C)(D)(7)五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉自己的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續(xù)坐著.那么, 沒有相鄰的兩個人站起來的概率為(A)15(B)TT3211(D)51622x y 一(8)已知 巳下2分別是橢圓C:-2+1T=1(a>b>0 )的左，右焦點，橢圓C上存在點Pa b使/F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是(9)已知p : 5 >0,e -a <1成

4、立，q :函數(shù)f (x )= -(a -1 )是減函數(shù)，則p是q的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件(10)九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉月需.若三棱錐P - ABC為鱉腌,PA，平面ABC ,P A= A B 2, AC = 4 ,三棱錐P - ABC的四個頂點都在球 O的球面上，則球O的表 面積為(A) 8n(B) 12n(C) 20n(D) 24n(11)若直線y=1與函數(shù)f (x ) = 2sin 2-的圖象相交于點 PjxyJ Q(x2, y2 ),且x1 -x2

5、 =,則線段PQ與函數(shù)f (x )的圖象所圍成的圖形面積是3(A) +V3(B) -+T3(0 空十732 (D) - +V3-233330 3 c 312016k (12)已知函數(shù)f (x )=x -x + x+則£ f . 的值為248,kd2017(A) 0(B) 504(C) 1008(D) 2016第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第1321題為必考題，每個考生都必須作答。第2223題為選考題，考生根據要求作答。二、填空題：本小題共 4題，每小題5分。(13)已知a =1, b = J2,且a _L(ab),則向量a與向量b的夾角是.n(14)(3-x )的展開式中各項

6、系數(shù)和為 64,則X3的系數(shù)為 .(用數(shù)字填寫答案)21"x<0(15)已知函數(shù)f(x)=12 ,若f(a22則實數(shù)a的取值范圍是 1log2x, x>0,(16)設Sn為數(shù)列an)的前n項和，已知a1 =2,對任意p,qw N ,都有ap洶=ap + aq,Sn 60,*則f(n)=莉一n N)的最小值為三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。如圖，在 ABC中，點P在BC邊上，ZPAC(17)(本小題滿分12分)(I )求/ACP；(n)若/ APB的面積是 亞3,求sin/BAP.2(18)(本小題滿分12分)近年來，我國電子商務蓬勃發(fā)展.2016年“6

7、1硼間，某網購平臺白銷售業(yè)績高達516億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網購平臺的商品和服務的評價系統(tǒng)從該評價系統(tǒng)中選出 200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，網購者對商品的滿意率為0.6,對服務的滿意率為 0.75,其中對商品和服務都滿意的交易為80次.(I )根據已知條件完成下面的2M2列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”？對服務滿意對服務不滿意合計對商品淞1息80對商品不滿意合計200(n )若將頻率視為概率，某人在該網購平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務都滿意的次數(shù)為隨機變量 X ,求X的分布列和數(shù)學期望 EX .2附： K2=

8、里史一四J (其中 n = a+b+c+ d為樣本容量)a b c d a c b d2P(K2 >k )0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635(19)(本小題滿分12分)如圖1,在直角梯形 ABCD中，ADBC, AB ± BC , BD，DC ,點E是BC邊的 中點，將 ABD沿BD折起，使平面 ABDL平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如 圖2所示的幾何體.(I)求證：ABL平面ADC；(n)若AD =1,二面角CAB D的平面角的正切值為 J6 ,求二面角B - AD - E的余弦值.(20)(本小題滿分12

9、分)2過點P(a,-2 )作拋物線C：x =4y的兩條切線，切點分別為 A(x1,yj B(x2,y2).(I )證明：X|X2十% V2為定值；(n )記 PAB的外接圓的圓心為點 M ,點F是拋物線C的焦點，對任意實數(shù)a,試 判斷以PM為直徑的圓是否恒過點 F ?并說明理由.(21)(本小題滿分12分)a已知函數(shù)f x ;： = ln x - a 0 .x(I )若函數(shù)f (x )有零點，求實數(shù)a的取值范圍；21(n )證明：當 a 之一，b>1 時，f(lnb)> 一 eb請考生在第2223題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。(22)(本小題滿分10分)選修4一

10、4:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為X=3-t'(t為參數(shù)).在以坐標原點為極點 y =1 t,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C : P =2V2cosie - I.,4(I )求直線l的普通方程和曲線 C的直角坐標方程；(n)求曲線C上的點到直線l的距離的最大值.(23)(本小題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù) f (x ) = |x + a 1 + x 2a .(I )若f (1 )<3 ,求實數(shù)a的取值范圍；(n)若 a5：1,xwr ,求證：f(x)之2.2017年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)理科數(shù)學試題答案及評分參考評分說明：1

11、 .本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題 的主要考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則.2 .對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.3 .解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).4 .只給整數(shù)分數(shù).選擇題不給中間分.、選擇題(1) B C(3) A C(8) A(9) B、填空題(4) B(5) D(6) D(10) C(11) A(12) B(13 ) -(14) -540(1

12、5 ) JooU 收收)(16 )空422三、解答題(17)解：(I )在 APC 中，因為/PAC =60：PC =2,AP+AC=4, 2_ 2_2_由余弦定理得 PC =AP +AC -2 AP AC cosz PAC , 1分-222所以 2 =AP 4- AP -2 AP 4 - AP cos60 ,2整理得 AP 4AP+4=0, 2 分解得AP=2. 3分所以AC = 2 . 4分所以 APC是等邊三角形 5分所以/ACP=60.口 6 分(n)法1:由于/APB是 APC的外角，所以/APB =120 口 7分，一 一 3.3 13 3因為 APB的面積是 ,所以一AP PB

13、sin / APB = 所以PB=3. 9分在 APB 中，AB2 =AP2 + PB2 -2 AP PB cos/APB-2，=23 2 2 3 cos120= 19,所以 AB = .19.10分AB在 APB中，由正弦定理得sin. APBPBsin BAP11分所以 sin BAP =3sin1203 .57,1938法2:作AD _L BC ,垂足為D ,因為 APC是邊長為2的等邊三角形，所以 PD =1,AD =、3, PAD =30 .因為 APB的面積是 逑,所以1 AD PB =12分9分所以PB =3.所以BD -4.在 RtA ADB 中,AB = ；：BD2 AD2

14、= 19,10分所以 sin . BADBD 4-AD 、3,cos BAD .AB .19所以 sin BAP =sin BAD -30二sin BAD cos30 -cos BAD sin3011分(18)解:(I) 2M2列聯(lián)表:4,3、,31=t=父f=父一19219 23.573812分對服務滿意對服務不滿意合計對商品淞1息8040120對商品不滿意701080合計150502002分22 20080 10 40 70K2 二11. 111,1 50 50 1 20 80因為 11.111a6.635,所以能有99%的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系” 4分(n)每次

15、購物時，對商品和服務都滿意的概率為2 ,且X的取值可以是0, 1 2, 3.5 6分P X =0 =、2J54一；_一 一 2P X =2 =C3e：j_3L55125P X =3 =C3,屋一5512510分X的分布列為:X0123P27543681251251251251251211分12分12分27 154 c 36 c 869以 EX =0X 十1M十2 M+ 3M=.125125125125 5或者：由于 X B %,2 I,則 EX =3父2=6.55 5(19)解：(I )因為平面 ABD，平面BCD ,平面ABD P平面BCD = BD ,又BD，DC，所以DC，平面ABD.

16、1分因為AB u平面ABD ,所以DC，AB. 2分又因為折疊前后均有 AD ± AB , DC n AD = D , 3分所以AB，平面ADC. 4分(n )由(I)知AB，平面ADC ,所以二面角C AB D的平面角為/ CAD .5分 又DC，平面ABD , AD u平面ABD，所以DC，AD .CD -依題思tan/CAD= = J6 . 6分AD因為AD=1,所以CD =J6.設 AB=x(x>0),則 BD = Jx2 +1 .依題,sA ABD匕BDC,所以幽=CD，即取一.7分AD BD 1, x2 1解得 x=五，故 AB = 6, BD=m,BC=JBD2

17、+CD2 =3. 8 分法1：如圖所示，建立空間直角坐標系D -xyz,則D(0,0,0),B(J3,0,0),C(0,n,0),9分ADE的法向量m = (x, y,z)設平面-DE =0, T-DA =0,J3x + 76得( 22|晶石X T I 3y =0,z = 0.令 x =氓，得 y = -73, z所以 m =(<,6,-<3,-<3).10分-ln m所以 cos < n, m >=-I n| |m|11分由圖可知二面角 B-AD -E的平面角為銳角,1所以二面角BADE的余弦值為212分法2 ：因為DC，平面 ABD , 過點E作EF DC交B

18、D于F , 則EF，平面ABD.AD仁平面ABD , EF ± AD.F作FG，AD于G ,連接GE ,9分2因為 所以 過點(20)解:(I )法1：由21 2x =4y彳導y = X，所以y11=一 X.所以直線PA的斜率為一22241 21 2因為點A (x1, y1川B (x2, y2)在拋物線C上，所以yi = - Xi , y2 = - X2.121八所以直線PA的方程為y彳入=-X1(x-X1). 1分因為點P(a,-2堆直線PA上，1 212所以 _2 _彳 X =5為(a _X1 ),即 x1 _2axi -8 = 0. 2分同理，x2 -2ax2 8 = 0. 3

19、 分一、2所以X1,X2是方程x 2ax8 = 0的兩個根.所以XX2=T. 4分12 121 2又 y1y2 = 4 X1 '4 X2 = 16 (X1X2 ) =41 5 分所以X1X2 +%丫2 = 口為定值. 6分法2：設過點P(a,2 )且與拋物線C相切的切線方程為y + 2 = k(x a), 1分,y+2=kfxa, 一 ,口 2由2' '消去 y得x 4kx+4ka+8=0,X =4y,由 A=16k2 4(4ak+8) = 0,化簡得 k2ak2 = 0. 所以 k1k2 = -2 .42,口 12 .1由 x =4y ,得 y = - x，所以 y

20、= x.42所以直線PA的斜率為k1 =1 %，直線PB的斜率為k2 =1X2.2214分5分6分7分所以一x1x2 = -2,即 x1x2 = -8.4p121212又y1y2-X2X1X2 =4,4416所以X1X2 + y1y2 = -4為定值.y1 -22 x1 a(n)法1 ：直線PA的垂直平分線方程為 y-1-=X-1- 1,2X12122由于 y1 = - x1 , Xj -8 = 2ax1,所以直線PA的垂直平分線方程為 y-也=2 ,x-X二a 8分4x1 I 2 J. w同理直線PB的垂直平分線方程為 y-ax2 = -'x-2a |' 9分4x2 I 2

21、；- 3a2由解得x= a y =1 2 ,2，所以點M3,lW心 210分拋物線C的焦點為F (0,1 ),則MF =11分-3 3a2 3a2由于MF PF =0, 22T T所以MF _ PF.12分所以以PM為直徑的圓恒過點 F. 3另法：以PM為直徑的圓的方程為 x-a lx a2. 一 ，a(y + 2) y -1 -2；O 0.11分把點F(0,1 y弋入上方程，知點F的坐標是方程的解.所以以PM為直徑的圓恒過點 F. 12分法2：設點M的坐標為(m,n),_2222則 PAB的外接圓方程為(x m) +(y n) = (m a) +(n + 2),由于點 A x,% ,B x2

22、, y2 在該圓上，2222則(x1_m) +(y1一n) =(m a) +(n+2),2222x2 -m jy2 -n = m-a ：i r n 2 .兩式相減得(x1 -x2 八1 +x2 2m)+(y1 y2 N y + y2 -2n )=0,7分1212由(I )知 xI +x2 =2a,x1x2 = -8, y1 =- X , y =x2，代入上式得443 (x1-x2 )(4a-4m+a +4a-2an)=0, 8 分3當 x1#x2 時，得8a -4m + a -2an=0,T假設以PM為直徑的圓恒過點F ,則MF _L PF,即(m,n1姓a,3)=0,得 ma-3(n-1 )

23、 = 0, 9 分31 2八由解得 m=a,n=1十一a , 10分2231 2 )所以點 M .一a,1+ a 1 11 分<22 )當 X)= X2 時，則 a = 0,點 M (0,1).12分所以以PM為直徑的圓恒過點 F.(21)解:g(1 )法1：函數(shù)f (x)=ln x+的定義域為(0,代).X, a zh r r 1 a x -a八由 f (x ) = ln x +_,得 f (x)=r = 1 分xxx x因為 a >0,則 xw (0,a )吐 f'(x )<0； xw (a,+無)時，f x)>0.所以函數(shù)f (*詐(0,3)±單

24、調遞減，在(a,讓單調遞增. 2分當 x=a 時， f (x )皿=m a+1 . 3 分1當In a +1 WO,即0 <a W 時，又f (1 )=ln1 +a =a >0,則函數(shù)f (x)有零點.4分 e1所以實數(shù)a的取值范圍為io,-.I 'e 一法2：函數(shù)f (x)=lnx+9的定義域為(0,十望). xa由 f (x )= In x + = 0,得 a = -xln x 1分令 g (x )=xlnx ,則 g'(x )=_(ln x+1).gx)>o；g'(x)<o.1當 x JO,一< e所以函數(shù)g(x近 Gjl上單調遞增，

25、在,1，+s 1上單調遞減. 2分I e；Ve )1 1111故x = 一時，函數(shù)g (x畫得最大值 g 一 二 In _ =_ . e.e Je e eo*1因而函數(shù)f (x ) = lnx+4有零點，則0<a W_ xe(11所以實數(shù)a的取值范圍為|oj .I 'e -(n )令 h(x )=xln x+a ,則 h'(x )=ln x+1.11當 0<x<-時，f'(x )<0;當 x >一時，f x ) > 0.所以函數(shù)h（x ）在i0 1 1上單調遞減,在口 十五上單調遞增,ee1.1當* = 一時， h(x) =一-+a

26、. 6 分ee2 一11f一于是，當a之_時，h(x )之_+a >-. 7分ee e令 中(x)=xe&,則中'(x)=e& -xe- =e&(1 x).當 0<x<1 時，f'(x )>0;當 x>1 時，f'(x)<0.所以函數(shù)中（x近（0,1）上單調遞增，在（1,收 讓單調遞減1當x=1 時，/(x»ax=r,1 o當x>0時，干(x)E-. e顯然，不等式、中的等號不能同時成立2,.故當 x>0, a 之一時，xlnx+axe . e因為b>1,所以lnb>0.10分所以 lnb ln lnb ra lnbeb11分. . a 11所以 ln (ln b )+ >-,即 f (ln b )>- lnb bb12分(22