如水般的小學數學概念教學

1、如水般的小學數學概念教學以“面積的認識”一課為例（管尤躍 云南省教育科學研究院 650223）在小學教學（數學版）2008年第5期“教學如水”一文中我曾提到讓小學數學教學如水流淌一般的自然，只有回歸自然的教學才是真正的教學、本色的教學。小學數學教學中就應該讓數學概念的建構過程與學生的認知過程水乳交融，如同水與萬物之間密切關系般的自然。因為數學概念是小學數學學習的重要內容，概念教學是小學數學教學中的關鍵環(huán)節(jié)。一、桃花潭水深千尺小學數學教學不“小”，每一個內容，無論大小，都有著“桃花潭水深千尺”的數學知識背景?！懊娣e的認識”是小學數學中“空間與圖形”領域中至關重要的一個內容：其一，它是建立在學生已

2、經掌握了“一維”空間中長度的概念以及認識了長方形和正方形等平面圖形的特征、認識周長以及會計算長方形、正方形周長的基礎之上的；其二，在小學數學中起到承上啟下的作用，這是認識“二維”空間的第一次接觸，也是為今后認識“三維”空間做好準備；其三，在螺旋上升的認知中能正確區(qū)分“周長”與“面積”的含義，也為今后學習“面積”與“體積”以及利用這些知識正確地解決實際問題奠定堅實的基礎。人民教育家陶行知先生認為，“教的法子要根據學的法子，學的法子要根據做的法子。事怎樣做便怎樣學，怎樣學便怎樣教?！?正因為如此，這幾個關鍵性的概念都應該按照陶行知先生提出的“教學做合一”的思想進行教學，這既是教學的總要求，又是最基

3、本最一般的教學方法。基于此，我認為小學生數學概念教學的核心環(huán)節(jié)就是給學生足夠的、充分的時間和空間，讓學生經歷數學概念的形成過程，教學中著重引導學生經歷觀察、操作實踐、猜測、判斷、歸納、類比、交流等數學活動，充分體現出概念本質特征的形成過程，體驗概念的“再創(chuàng)造”的過程。二、水碧山青知好處在一次教學研究過程中，我們對學生學習“面積的認識”一課進行了前測和后測，正如劉禹錫的詩句：“水碧山青知好處，開顏一笑問何人”，要弄清楚教學中的問題最好就是問學生?，F將測試情況介紹如下：1、在日常生活中，你聽說過“面積”這個詞語嗎？（前測）A、聽說過 B沒有聽說過檢測情況：93%的學生選A；6%的學生選B。反映出學

4、生對“面積”的認識在生活中是有這方面的知識經驗的，無論是農村學生還是城市學生，從土地面積到住房面積，與孩子們的實際是有聯(lián)系的。2、在你的腦海中，面積指的是什么呢?根據你的理解，寫出面積的概念。（前測、后測）前測情況：10%的學生基本能正確理解“面積”的概念；16%的學生了解到一點“面積”的內涵；74%學生幾乎對面積沒有認識。后測情況：79%的學生能正確理解“面積”的概念；5%的學生還不了解面積的概念；16%的學生不能根據自己的理解寫出面積的概念。3、在生活中，你看到過比較兩個物體表面大小的事例嗎？簡單的說一說。（前測、后測）前測情況：6%的學生能正確舉例；20%的學生舉的例子有一點沾邊；74%

5、的學生不會。后測情況：78%的學生能根據本節(jié)課所講內容舉出比較面積的例子；12%的學生舉例出錯；10 %的學生沒有作答。4、下面兩個圖形哪個大？請說明你的理由。（前測）AB (A) A >B (B) A =B (C) A<B （答案） (D)無法比較檢測情況：A(3.4%);B(1.7%);C(92%);D(1.7%).沒做（1.7%）。“說明理由”一項60%的學生會用觀察法；17%的學生用周長比較；23%的學生沒做答。5、下面兩個圖形哪個大？請說明你的理由。（前測、后測）B A(A) A >B (B) A =B （答案） (C) A<B (D)無法比較前測情況：A(1

6、6%);B(1.7%);C(73%);D(10%).沒做（3.4%）43%的學生會用觀察法，知道轉一下就一樣了；34%的學生用周長比較；23%的學生沒做。后測情況A(40%);B(40%);C(23%);D(17%).67%的學生會用觀察法，知道轉一下就一樣了；19%的學生用周長比較；14%的學生沒做答。6、下面兩個圖形哪個大？（ 是1厘米）請說明你的理由。（前測、后測） 圖（A） 圖（B）(A) A >B (B) A =B (C) A<B （答案） (D)無法比較前測情況：A(8.3%);B(27%);C(53%);D(6.7%).沒做（5%）。35%的學生會用數方格或面積公式進

7、行比較；40%的學生利用周長比較；25%的學生不會比較。后測情況：A(12%);B(10%);C(76%);D(17%).沒做（5%）。81%的學生會用數方格或面積公式進行比較；10%的學生利用周長比較；9%的學生不會比較。7、下面兩個圖形哪個大？你是怎么比較的？請說明你的理由。（前測、后測） 圖（A）長5厘米，寬2厘米的長方形 圖（B）邊長為3厘米的正方形(A) A >B（答案） (B) A =B (C) A<B (D)無法比較前測情況：A(73%);B(5%);C(10%);D(3%).沒做（8%）。15%的學生會用數方格或面積公式進行比較；52%的學生利用周長比較；33%的學

8、生不會比較。后測情況：A(86%);B(3.4%);C(6.8%);D(1.7%).沒做（1.7%）62%的學生會用數方格或面積公式進行比較；31%的學生利用周長比較；7%的學生不會比較。8、下圖為一張新書桌，現在想在桌面安上一塊玻璃。請問要買多大一塊玻璃才能剛好覆蓋住桌面？你需要測出哪些量？（前測、后測）前測情況：22%的學生知到測出長和寬，但只是直覺。還不清楚是要測面積；38%的學生說要測出周長；40%的學生不會做。后測情況：59%的學生知到測出需要測出面積，部分學生說要測出長和寬，部分學生說利用數方格；12%的學生說要測出周長；29%的學生不會做（可能因為時間不夠）。（后測）比較下面三個

9、圖形面積的大小？請說明你的理由。ABC（A）A<B=C (B) A =B<C (C) A=B=C (D) A<C<B（答案）檢測情況：A(17%);B(5.1%);C(19%);D(50%).沒做（8.9%）。55%的學生會用數方格或觀察進行比較，大部分學生用觀察的方法；6.9%的學生利用周長比較；3.8%的學生不會比較。（注：沒做（8.9%）是指沒做選擇部分的。后面的剩下約34.3%是沒有回答“理由”的。）（后測）下面兩個圖形中的方格大小均相等，請把圖（B）中的方格用線分成兩部分，使其中一部分的面積與圖（A）相等。圖（A） 圖（B）檢測情況：51%的學生會利用數方格來

10、找到面積相等的部分，并能正確的畫出線； 35%的學生雖然有意識利用數方格，但還不能靈活運用； 14%的學生不會做。結合這次實踐研究，僅就這次教學出現的問題反思：課中有學生回答說，比較兩個圖形的面的大小，周長越長的圖形面積就越大。自此以后，一直有學生這樣認為，更為重要的問題是一節(jié)課后還有很多學生還是這樣認為。教學中本應水到渠成地讓學生發(fā)現面積大小的比較是需要用統(tǒng)一標準（面積單位）來度量的，結果發(fā)現一維空間中“周長”的概念對于學生認識二維空間的“面積”來說具有很強的負遷移作用，在平面圖形中可以直接用工具（如直尺）來度量的“線”屬于強刺激源，而只能通過間接度量的“面”屬于弱刺激源，另外長度的學習在前

11、，學生在學習中就會潛意識地受到長度的影響，總覺得周長越長的圖形的面積就越大似地。三、風乍起，吹皺一池春水針對這些情況，我們必須深入思考下面的幾個問題：問題1：學生對面的理解已經具有相當豐富的直觀感知，對“面積”的直觀認識也不乏有其感受，但對“物體的表面或圖形的大小就是它們的面積”這樣的話學生能理解到什么程度？ 問題2：學生已經建立了“一維”空間中長度、周長的概念，這對學生學習“二維”空間中面積的概念所具有的負遷移功能如何讓其弱化至最?。繂栴}3：如何讓學生從面積概念的認識和理解過渡到對面積單位的產生過程？比較兩個圖形（或物體表面）的面積大小是不是必經過程？設計此環(huán)節(jié)的目的和價值何在？問題4：為學

12、生提供多樣的學具操作來引導學生思考面積的大小需要統(tǒng)一的單位來測量這個環(huán)節(jié)是擺設、作秀，還是別有用心？問題5：如何才能做到讓老師結合實際（教學水平、教學藝術、教學特色）在多種多樣的教學設計中選取比較適合于自己的教學，讓教學順其自然，水流成河？韓愈在答李翊書中說：“水大而物之浮者大小畢浮”，教學中的問題就應該如大海中的水，能讓浮者畢浮。面對如此多的質疑或問題，如何應對、分析和解決成為教學這部分內容最為關鍵的問題，今后學習“體積的認識”的時候同樣存在類似的問題。全國著名特級教師華應龍老師寫過一篇文章“讓學習像呼吸一樣自然”，我想：學習如此，教學亦如此，教學設計的流暢就應該像呼吸一樣的自然，我再想：教

13、學如水，像“冰山上的來客”一路奔流而來，像山間水庫般地靜謐，還是像海水奔騰時的洶涌澎湃？四、問渠那得清如許教學也是不怕疑問就怕無疑，朱熹在觀書有感中有兩句詩“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”。教學之水，猶如長江之水，有源頭之水才能清如許，我們不妨從以下幾個方面來看：（一）、關于面積。僅就面積的概念來看，現行的幾套小學數學教材的處理是有差異的，人教版、新世紀版（北師大版）、西師版是有結語的，而蘇教版和青島版是沒有結語的。表述方式上也是有區(qū)別的。人教版的是：物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積；北師大版為：物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積。西師版的是：物體表面或平面圖形的大小叫做它們的面

14、積。幾個結語的不同主要表現在“封閉圖形”和“平面圖形”、“就是”和“叫做”這幾個關鍵詞方面，當然使用某種教材教學時還得注意需要強化和突出概念中的哪些內容。不過要處理好“社會數學”（對面積的生活經驗）與“學校數學”（面積概念的理解）之間的關系，也就是指學生對面積的認識是一個漸進的過程，需要不斷地完善與豐富。（二）、關于測試。如果僅就上面的測試結果來看，其中反映出來的教學中的問題是不應該出現的，甚至是不可原諒的，但是幾次試教都出現這種情況就絕不是偶然，雖不能說是必然，至少可以說是自然。此次測試的成功之處在于：深入了解了學生對認識面積前后的思維狀況，暴露出學生思維深處根深蒂固的認知對新知學習的干擾，

15、感受到學生認識事物前后不斷更新、矯正的過程。測試不僅僅是一種手段，一種了解學生思考問題的手段，也是一種工具，是診斷教學的工具。（三）、關于設計。僅就此內容，幾易其稿，先后完全不一樣的教學設計使教學效果也大相徑庭，特別是對于面積概念的內涵和外延，學生理解的層次是千差萬別的。如引入環(huán)節(jié)的設計就分別從教材主題圖、生活中比手掌印、土地測量、圖形比大小等方面嘗試過；“比一比，哪個圖形面積大”這個環(huán)節(jié)的設計最主要是思考和嘗試是否為學生提供學具、提供什么樣的學具、如何組織引導學生操作學具；比較圖形面積大小的方法（如觀察、重疊、測量）有沒有必要刻意為之，是為了比較方法的多樣化還是對學生理解概念真有其用等等。（

16、四）、關于教學。實際上，要想讓教學如水，不僅是流水般的自然，還應該成為滋潤學生心田的甘露，就應該讓教學在精心的設計之下順勢而行、順應而生。結合學生的認知水平，在前測和后測的基礎上，靈活地設計教學，根據教學現實適時地作出應對和調整。關鍵是理清教學思路：面積的認識認識物體的面物體的面有大有小面積的含義比較物體表面的大小比大小封閉圖形的大小面積的含義觀察重疊測量統(tǒng)一測量標準（五）、關于問題。問題1：對于學生對面的理解已經具有相當豐富的直觀感知，對“物體的表面或封閉圖形（平面圖形）的大小就是（叫做）它們的面積”這種描述性的語言，學生基本上是能理解的，但是這句話對于學生真正理解“面積”的概念在突出和強化

17、其內涵方面是很有價值的，如果不注重處理好操作和理解過程僅僅一句話是沒有多少實際意義的。問題2：學生已經建立了“一維”空間中長度、周長的概念，盡量弱化其對學生學習“二維”空間中面積的概念所具有的負遷移功能使之最小。需要一個過程，教學如水之流淌需要一個過程，一個兼容、流失、蒸發(fā)、補充的過程。陶行知先生如是說：“我以為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學。”葉圣陶先生也曾指出：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機誘導?！币关撨w移功能失效或低效的最好的方法就是因勢利導。根據教學生成設計一組或者一系列的情境讓其辨識，以盡力幫助學習解決認知沖突的問題。問題3：讓學生經歷從面積概念的認識和理解過渡到

18、對面積單位的產生過程，就是認真履行概念教學注重“概念形成過程”的要求。在教學中設計“比較兩個或幾個圖形（或物體表面）的面積大小”應該是必經過程，設計這個環(huán)節(jié)的目的和價值最主要就是體現在：落實教材安排的 “物體有面每個面都有大小面的大小是面積比較面積的大小多種比較方法統(tǒng)一的標準”線索；通過比較的過程，讓學生在數學活動中得到經驗的培養(yǎng)，在如何選擇度量方式的過程中使大家都體會到方法的多樣性。問題4：為學生提供多樣的學具操作來引導學生思考面積的大小需要統(tǒng)一的單位來測量這個環(huán)節(jié)雖不能說是獨具匠心，當然不是擺設、作秀，這是一種數學思想方法化歸思想的體現，化歸思想就是化未知為已知、化繁為簡、化難為易，在此，

19、將所要比較的圖形的面積采取大化小的方法，只是在實際的教學中學生真的是不可能想到用小長方形、小三角形、圓形、正方形來測量，但是學生參與這個探索和研究的過程是很有價值的，“別有用心”之處在于讓學生體驗到測量工具的別樣導致測量方法的優(yōu)劣，感受到不管用什么工具度量能做到密鋪和統(tǒng)一是測量面積最為有價值的好方法。問題5：在教學中老師如何設計出結合自身實際（教學水平、教學藝術、教學特色）的教學，如何在多種多樣的教學設計中選取比較適合于自己的教學，讓教學順其自然，如水般地滲透到能滲透之地，關鍵在于“預則立不預則廢”，教學的務實設計、教學目標的制定、教學方法的選取等因素直接制約著概念教學的成敗，正如華東師范大學張奠宙教授所說：定義很重要，但不是所有的定義都重要，如此看來，教學概念亦如此，遵循學生認知規(guī)律的教學才是適合于自己的教學。小學數學中的