2010年高三數(shù)學(xué)高考模擬試題壓軸大題選編（一）

1、20092010年高考模擬試題壓軸大題選編（一） 1.（重慶八中高2010級高三（上）第一次月考）已知在數(shù)列中，其中，是函數(shù)的一個極值點.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求證：.解答. (1) 由題意得： ，即 故，則當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以 由此式對也成立，所以6分（2），因為，所以，則 ，有故12分2.（南充高中2010屆高三第二次月考）已知函數(shù)f(x)=，其中n（1）求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；（2）設(shè)函數(shù)f(x)取得極大值時x=，令=23，=，若p<q對一切nN恒成立，求實數(shù)p和q的取值范圍解答（1） =，1分=。2分令，從而x1<x2<x3

2、. 當(dāng)n為偶數(shù)時f(x)的增減如下表x（-，0）0（0，）（，1）1（0，+）+0+00+無極值極大值極小值所以當(dāng)x=時，y極大=；當(dāng)x=1時，y極小=0. 5分當(dāng)n為奇數(shù)時f(x)的增減如下表x（-，0）0（0，）（，1）1（0，+）+0+00無極值極大值無極值所以當(dāng)x=時，y極大=。8分（2）由（1）知f(x)在x=時取得最大值。所以=，=23=，=。，即；所以實數(shù)p和q的取值范圍分別是，。143.(2010屆揚州市高三數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研測試)已知數(shù)列，設(shè) ，數(shù)列。 （1）求證：是等差數(shù)列； （2）求數(shù)列的前n項和Sn； （3）若一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。解答：（1）由題意知，數(shù)列

3、的等差數(shù)列（2）由（1）知，于是兩式相減得（3）當(dāng)n=1時，當(dāng)當(dāng)n=1時，取最大值是又即4.(安徽省野寨中學(xué)2010屆高三第二次月考)已知函數(shù). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）若在0，2上是增函數(shù)，是方程的一個實根，求證：；（2）若的圖象上任意不同兩點的連線斜率小于1，求實數(shù)的取值范圍. 解答：（1） 由題可知在0，2上恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時此式顯然成立，；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時有恒成立，易見應(yīng)當(dāng)有，可見在0，2上恒成立，須有 又 （2）設(shè)是圖象上的兩個不同點，則此式對于恒成立，從而 此式對于也恒成立，從而注：用導(dǎo)數(shù)方法求解

4、略，按相應(yīng)步驟給分.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.(衡陽市八中2010屆高三第二次月考數(shù)學(xué)（理科）設(shè)函數(shù)， (1) 求函數(shù)的極大值與極小值；(2) 若對函數(shù)的，總存在相應(yīng)的，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.解答(1)定義域為R -30+0極小值極大值令，且 ：極大值為，極小值為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)依題意，只需在區(qū)間上有 在，取小值或 又 當(dāng)時，當(dāng)時， 又在 式即為 或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解的 （無解） 6.(遼寧省東北育才學(xué)校2010屆高三第一次模擬（數(shù)學(xué)理）已知函數(shù)（）為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u

5、.c.o.m （）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；（）當(dāng)時，且，證明：.解答：（1）， 因為對，有不存在實數(shù)使，對恒成立 2分由恒成立，而，所以經(jīng)檢驗，當(dāng)時，對恒成立。當(dāng)時，為定義域上的單調(diào)增函數(shù) 4分（2）當(dāng)時，由，得 當(dāng)時，當(dāng)時，在時取得最大值，此時函數(shù)的最大值為 7分（3）由（2）得，對恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 當(dāng)時，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 同理可得， 12分法二：當(dāng)時（由待證命題的結(jié)構(gòu)進行猜想，輔助函數(shù)，求差得之），在上遞增令在上總有，即在上遞增當(dāng)時，即令由（2）它在上遞減 即 ，綜上成立 12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 其中7.(銀川一中2010屆高三年級第二次月

6、考)已知 （）當(dāng)且有最小值為2時，求的值； （）當(dāng)時，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍解答（1）=又，當(dāng)，解得當(dāng)，解得，舍去所以（2），即，依題意有而函數(shù)因為，所以8.(廣東省廣州市2010屆第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題（理科）等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時，記 求數(shù)列的前項和解答:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當(dāng)時, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時,又因為為等比數(shù)列, 所以, 公比為, 所以（2）當(dāng)b=2時，, 則 w.w.w.k.s.5.u.c.

7、o.m 相減,得 所以9.(廣東省廣州市2010屆第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題（理科）.設(shè)函數(shù)有兩個極值點，且（I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；（II）證明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解答: （I） 令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得當(dāng)時，在內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時，在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時，在內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I），設(shè)，則當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減。故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m10(湖北黃岡中學(xué)2010屆8月份月考數(shù)學(xué)試題（理科）已知是定義在-1,1上的奇函數(shù)，且，若任意的，當(dāng)時，總有（1）判

8、斷函數(shù)在-1,1上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式：；（3）若對所有的恒成立，其中（是常數(shù)），求實數(shù)的取值范圍解答（1）在上是增函數(shù)，證明如下：任取，且，則，于是有，而，故，故在上是增函數(shù)；（2）由在上是增函數(shù)知：，故不等式的解集為（3）由（1）知最大值為，所以要使對所有的恒成立，只需成立，即成立當(dāng)時，的取值范圍為；當(dāng)時，的取值范圍為；當(dāng)時，的取值范圍為Rw.w.w.k.s.5.u.c.o.m11.(湖北黃岡中學(xué)2010屆8月份月考數(shù)學(xué)試題（理科）已知（1）若函數(shù)時有相同的值域，求b的取值范圍；（2）若方程在（0，2）上有兩個不同的根x1、x2，求b的取值范圍，并證明解答（1）當(dāng)時，的

9、圖象是開口向上對稱軸為的拋物線，的值域為，的值域也為的充要條件是，即b的取值范圍為（2），由分析知不妨設(shè)因為上是單調(diào)函數(shù)，所以在上至多有一個解.若，即x1、x2就是的解，與題設(shè)矛盾. 因此，由，所以；由所以故當(dāng)時，方程上有兩個解.由消去b，得 由12.(湖北省黃岡中學(xué)2010屆高三10月份月考)已知數(shù)列中，且w.w.w.k.s.5.u.c.o.m () 求數(shù)列的通項公式；() 令，數(shù)列的前項和為，試比較與的大??；() 令，數(shù)列的前項和為求證：對任意，都有 解：()由題知， ， 由累加法，當(dāng)時，代入，得時，又，故 4分（II）時，方法1：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，猜想當(dāng)時， 6分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

10、：當(dāng)時，由上可知成立；假設(shè)時，上式成立，即.當(dāng)時，左邊，所以當(dāng)時成立由可知當(dāng)時, 綜上所述：當(dāng)時,；當(dāng)時, ；當(dāng)時, 10分方法2：記函數(shù)所以 6分則所以由于，此時；，此時；，此時；由于，故時，此時 綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng)時, 10分（III）當(dāng)時，所以當(dāng)時且故對，得證 14分13.(湖北省部分重點高中2010屆高三聯(lián)考（數(shù)學(xué)理）已知二次函數(shù)（為常數(shù)且），滿足條件，且方程有等根()求的解析式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()設(shè)的反函數(shù)為,若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；()是否存在實數(shù)，使的定義域和值域分別為和，如果存在，求出 的值，如果不存在，說明理由解：() ， ，又方程有等根 &

11、#219;有等根， 3分（）由（I）得 5分對恒成立對， 解得的取值范圍是 9分（）為開口向下的拋物線，對稱軸為，1° 當(dāng)時，在上是減函數(shù)， (*)，兩式相減得：，上式除以得：，代入 (*) 化簡得：無實數(shù)解2° 當(dāng)時，在上是增函數(shù)，3° 當(dāng)時，對稱軸，與矛盾綜合上述知，存在滿足條件 13分14. (湖北省部分重點高中2010屆高三聯(lián)考（數(shù)學(xué)理已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），。（）若在處的切線與直線平行，試用表示，并求此時在上的最大值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若時方程在上恰有兩個相異實根，求的取值范圍；（）在，時,求使的圖象恒在圖象上方的最大

12、自然數(shù)。解：（），由得，2分此時，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，則此時；當(dāng)時，在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，則此時；當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，即時，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則此時，若，即時，在上為增函數(shù)，則此時；綜上所述：當(dāng)時；當(dāng)時； 6分（），故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；故在上恰有兩個相異實根，10分（）恒成立（），因為故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；故（），設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；而，且，故存在使，且時，時，又故時使的圖象恒在圖象的上方的最大自然數(shù)； 14分15.(湖北省荊州中學(xué)2010屆高三九月月考數(shù)學(xué)卷（理科）如果是函數(shù)的一個極值，稱點是函數(shù)的一個極值點.已知函數(shù)

13、（1）若函數(shù)總存在有兩個極值點，求所滿足的關(guān)系；（2）若函數(shù)有兩個極值點，且存在，求在不等式表示的區(qū)域內(nèi)時實數(shù)的范圍.（3）若函數(shù)恰有一個極值點，且存在，使在不等式表示的區(qū)域內(nèi)，證明：.解：（1）令得 又 3分（2）在有兩個不相等的實根.即 得 7分（3）由當(dāng)在左右兩邊異號是的唯一的一個極值點由題意知 即 即 存在這樣的的滿足題意 符合題意 9分當(dāng)時，即這里函數(shù)唯一的一個極值點為由題意即 即 13分綜上知：滿足題意 的范圍為. 14分16.(湖南省師大附中2010屆高三第二次月考數(shù)學(xué)理試題21.(本小題滿分13分)已知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，是首項為，公比為的等比數(shù)列，且滿足，其中.（

14、）求的值；（）若數(shù)列與數(shù)列有公共項，將所有公共項按原順序排列后構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（）記（）中數(shù)列的前項之和為，求證：.【解】（）由題設(shè). （1分）由已知，所以.又b0，所以a3. （2分）因為，則.又a0，所以b2，從而有. （3分）因為，故. （4分）（）設(shè)，即. （5分）因為，則，所以. （6分）因為，且bN*，所以，即，且b3. （7分）故. （8分）（）由題設(shè)，. （9分）當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以. （11分）于是. （12分）因為S13，S29，S321，則. (13分)17.(湖南師大附中2010屆高三第三次月考試卷)如圖，在以點O為圓心，AB為直徑的半圓中，

15、D為半圓弧的中點， P為半圓弧上一點，且AB4，POB30°，雙曲線C以A，B為焦點且經(jīng)過點P.ABDOP（）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求雙曲線C的方程；（）設(shè)過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，若OEF的面積不小于2，求直線l的斜率的取值范圍.【解】（）方法一：以O(shè)為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點A(2，0），B(2，0），P(，1). （2分）設(shè)雙曲線實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則2aPAPB，2c|AB|4. （3分）所以a，c2，從而b2c2a22. （4分）故雙曲線C的方程是. （5分）方法二：以O(shè)為原點，AB、OD所

16、在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點A(2，0），B(2，0），P(，1). （2分）設(shè)雙曲線C的方程為0，b0），則. （3分）解得a2b22，故雙曲線C的方程是 （5分）()據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程得，即(1k2)x24kx60. （6分）因為直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，則 即 （7分）設(shè)點E(x1，y1），F(xiàn)(x2，y2)，則x1x2. （8分）所以EF分）又原點O到直線l的距離d. （10分）所以SDEF= （11分）因為SOEF，則（12分）綜上分析，直線l的斜率的取值范圍是，1)(1，1)(1，. （13分）18.(湖南師大附中20

17、10屆高三月考試題（一）已知二次函數(shù)直線l2與函數(shù)的圖象以及直線l1、l2與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形如圖中陰影所示，設(shè)這兩個陰影區(qū)域的面積之和為 （I）求函數(shù)的解析式； （II）定義函數(shù)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍。解：（I）由， 2分 （II）依據(jù)定義，7分10分所以，當(dāng)當(dāng) 11分因此，關(guān)于x0的方程 12分故實數(shù)m的取值范圍是（4，4）。 1319.(吉林省實驗中學(xué)2010屆高三第一次模擬)已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q） （）求橢圓C的方程; （）設(shè)點P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點，過點P的直線與橢圓C相交于M

18、,N兩點，當(dāng)線段MN的中點落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線的斜率的取值范圍。解: （）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程為 -3分 （）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點為G， 由得 由解得 因為是方程的兩根，所以，于是 =， 因為，所以點G不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為即 亦即 解得，此時也成立故直線斜率的取值范圍是20.(湖南省長沙市一中2010屆高三第四次月考試卷)對于函數(shù)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，則稱x0為f

19、(x)的不動點如果函數(shù)f(x)有且僅有兩個不動點0和2()試求b、c滿足的關(guān)系式；()若c2時，各項不為零的數(shù)列an滿足4Sn·f()1，求證：；()設(shè)bn，Tn為數(shù)列bn的前n項和，求證：T20091ln2009T2008()設(shè) 2分()c2 b2 ，由已知可得2Snanan2，且an1當(dāng)n2時，2 Sn -1an1an12 ，得(anan1)( anan11)0，anan1 或 anan1 1，當(dāng)n1時，2a1a1a12 a11，若anan1，則a21與an1矛盾anan11， ann4分要證待證不等式，只要證 ，即證 ，只要證 ，即證 考慮證不等式(x0) *6分令g(x)xln(1x)， h(x)ln(x1) (x0) g '(x)， h '(x)，x0， g '(x)0， h '(x)0，g(x)、h(x)在(0, )上都是增函數(shù)，g(x)g(0)0， h(x)h(0)0，x0時，令則*式成立，9分()由()知bn，則