(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二立體幾何第1講空間幾何體學(xué)案

1、2 第 1 講空間幾何體 考情考向分析1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、 體積的計算 2 考查空間幾何體 的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題. 熱點分類突破 熱點一三視圖與直觀圖 1 .一個物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖的長度一樣，側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正 視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣.即“長對正、高平齊、寬相等”. 2 .由三視圖還原幾何體的步驟 一般先依據(jù)俯視圖確定底面再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體. 例 1 （1）（2018 全國川）中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭, 凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭

2、若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的 木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 （ ） 答案 A 解析 由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選 （2）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形 / ABC= 45, AB= AD= 1, DCL BC,則這塊菜地的面積為 _ . 答案 解析 如圖，在直觀圖中，過點 A作AE! BC垂足為點E,師生講練互動熱點苔個擊破 A. （如圖所示） , 2 則在 Rt ABE中，AB= 1,Z ABE= 45,二 BE=-. 而四邊形AEC曲矩形，AD= 1, EC= AD= 1BC= BE+

3、 EC= + 1. 由此可還原原圖形如圖所示. 1 這塊菜地的面積為 S= 2(A D 思維升華 空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到 的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底 面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征, 面的位置， 再確定幾何體的形狀， 即可得到結(jié)果在還原空間幾何體實際形狀時， 一般是以 正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮. 跟蹤演練 1 (1)(2018 浙江省臺州中學(xué)模擬 )在一個幾何體的三視圖中， 正視圖和俯視圖如 圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為 ( 在原圖形中，A D = 1

4、, A B 且 A D/ B C , A B丄 B C, 調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、 2= 2 3 俯覘圖 4 答案 D 解析由正視圖和俯視圖得該幾何體可以為一個底面為等腰三角形的三棱錐和一個與三棱錐 等高，且底面直徑等于三棱錐的底面等腰三角形的底的半圓錐的組合體，則其側(cè)視圖可以為 D 選項中的圖形，故選 D. 如圖，在正方體 ABCB AiBiCD中，E, F, G分別為棱 CD CC, AB的中點，用過點 E, F, G的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)視圖為 （ ） 答案 解析 延長 取AA的中點H,連接GH貝U GH為過點E, F, G的平面與正方體的面 ABBA的交線.

5、GH交BA的延長線與點 P,連接EP,交AD于點N,則NE為過點E, F, G的平面與正方 體的面ABC啲交線. 同理，延長EF, 交DC的延長線于點 Q連接GQ交BC于點M則FM為過點E, F , G的平 5 熱點二幾何體的表面積與體積 空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點， 解決這類問題，首先要熟練掌握 各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割 成幾個規(guī)則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧. 例 2 （1）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何 體的表面積為（ ）面與正方體

6、的面 BCCB的交線. 所以過點E, F, G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形 EFMGHN 故可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)視圖為選項 C所示. 6 A. 8+ 4 2 + 8 5 B. 24 + 4 2 C. 8+ 20 2 D. 28 答案 A 解析 由三視圖可知，該幾何體的下底面是長為 4,寬為 2 的矩形，左右兩個側(cè)面是底邊為 2, 高為 2 2 的三角形，前后兩個側(cè)面是底邊為 4，高為 5 的平行四邊形，所以該幾何體的表面 1 積為 S= 4X 2+ 2X 2X2 2 + 2X 4X 5 = 8+ 4 2 + 8 5. （2）（2018 杭州質(zhì)檢）一個幾何體的三視圖如圖所示

7、， 則該幾何體的體積是 _ ，表面積 是 _ . 解析 由三視圖知，該幾何體是由四分之一球與半個圓錐組合而成，則該組合體的體積為 V 3 1 1 2 14 X2 + 寸 3 冗 X2 X 3=亍 n , 1 2 1 2 1 1 1 t2 2 / f 表面積為 S= 4X4 n X2 + X n X2 + X 4X 3+ X 2X2 n X 2X；-;3 + 2 = 6 + （ 6 13） n . 思維升華 （1）求多面體的表面積的基本方法就是逐個計算各個面的面積，然后求和. （2）求簡單幾何體的體積時，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解； 求組合體的體積時，若所給定的幾何體

8、是組合體，不能直接利用公式求解，常用轉(zhuǎn)換法、分 割法、補形法等進行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時，應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何 體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解. 跟蹤演練 2 （1 ）（2018 寧波期末）圓柱被一個平面截去一部分后與半球 （半徑為r）組成一個 幾何答案 14 6 + (6 + .13) n =4 X 3n 7 體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為 16+ 20 n , 則r等于（ ） 正視圖 俯視圖 A. 1 B . 2 C . 4 D . 8 答案 B 解析由三視圖得該幾何體為一個半球和一個半圓柱的組合體，且半圓柱的底面和半球體的 1 2 2

9、1 2 2 一半底面重合，則其表面積為 2X4 n r + n r + 2r X22 + 2X2 n r X2 r = 4r + 5n r = 16 + 20 n，解得r = 2,故選 B. 3 （2）（2018 紹興質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示 （單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm） 是（） 正視團 俯觀圖 A. 2 B . 3 C . 4 D . 6 答案 A 解析 將俯視圖的對角線的交點向上拉起，結(jié)合正視圖與側(cè)視圖知，此空間幾何體是底面為 1 1 正方形（邊長2），高為 3 的正四棱錐，則其體積 V= 3Sh= 3X（ 2）2X 3= 2,故選 A. 3 3 熱點三多面體與球

10、與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接 點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖如球內(nèi)切于正方體，切點為 正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑球外接于正方體，正方體的頂點均在球 面上，正方體的體對角線長等于球的直徑8 球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題， 球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心 （或“切點”“接點”）作出截面圖. 例 3 （1）已知正三棱錐 S ABC的頂點均在球 O的球面上，過側(cè)棱SA及球心O的平面截三棱9 A. 16n C. 24 n 答案 A 解析 設(shè)正三棱錐的底面邊長為 a,外接球的半徑為 R

11、因為正三棱錐的底面為正三角形，邊長為 a, 所以-a= R 即 a= 3R 又因為三棱錐的體積為 2 3, 所以 3X aR= 3（ 3R）* R= 2 3, 解得 R= 2,所以球的表面積為 S= 4 n R = 16n . 如圖是某三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為 （ ） 答案 D 解析 把此三棱錐嵌入長、寬、高分別為 20,24,16 的長方體 ABCB ABCD 中, 錐及球面所得截面如圖所示，已知三棱錐的體積為 2.3，則球0的表面積為（ ） B. 18 n D. 32 n 25 n A. B. 4 25n 1 125 n 16 C. D. 1 125 n 16 則AD= ，

12、則 A0= |AD= I T o 1 10 KG= 9, GL= LB= 12, BB= 16罟=囂, 則厶 KGLsA LBB,Z KLA 90, 故可求得三棱錐各面面積分別為 SABKL= 150， SAJKL= 150, SAJKB= 250, SAJLB = 250, 故表面積為 S表=800. 4 1 125 n 故三棱錐內(nèi)切球體積 V球=3n r3= 16 思維升華三棱錐P- ABG可通過補形為長方體求解外接球問題的兩種情形 (1)點P可作為長方體上底面的一個頂點，點 A, B, G可作為下底面的三個頂點. P-ABG為正四面體，則正四面體的每條棱都可作為正方體的一條面對角線. 跟

13、蹤演練 3 (1)在三棱錐 P- ABG中, PAL平面 ABG AB! BG 若 AB= 2, BC= 3, PA= 4，則 該三棱錐的外接球的表面積為 ( ) A. 13 n B . 20 n G . 25 n D . 29 n 答案 D 解析 把三棱錐P- ABG放到長方體中，如圖所示, 所以長方體的體對角線長為2 + 3+4 = 29, 所以三棱錐外接球的半徑為 J9, (2)已知一個圓錐的側(cè)面積是底面積的 2 倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為 面積為S2，則匚等于( ) 82 A. 1 : 2 B . 1 : 3 G . 1 : 4 D . 1 ：8 答案 G 解析如圖，三棱錐B- K

14、LJ即為所求的三棱錐，其中 設(shè)內(nèi)切球半徑為 3V ，則 r = 8表= 15 7， S,外接球的表 三棱錐體積 JK= 1 000 , 所以外接球的表面積為 11 由已知圓錐側(cè)面積是底面積的 1 2 則，IR = 2 n r , 1 2 即 2 2 n r R= 2 n r , 解得R= 2r, 故/ AD= 30,則厶DEF為等邊三角形， 設(shè)B DEF的重心，過 B作BCL DF, 則DB為圓錐的外接球半徑， BC為圓錐的內(nèi)切球半徑, 真題押題精練 【真題體驗】 1.（2018 全國I改編）某圓柱的高為 2，底面周長為 16,其三視圖如圖所示. 圓柱表面上的 點M在正視圖上的對應(yīng)點為 A,圓

15、柱表面上的點 N在側(cè)視圖上的對應(yīng)點為 B,則在此圓柱側(cè)面 上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為 _ . 答案 2 5 解析 先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點 M N的位置如圖所示. J 2 N 0 4 N J 圓柱的側(cè)面展開圖及 M N的位置（N為OP的四等分點）如圖所示，連接MN則圖中MN即為 一 1 M到N的最短路徑.ON=；X 16= 4，OM= 2， 4 2 倍，不妨設(shè)底面圓半徑為 r, I為底面圓周長，R為母線長, BC 1 BD=2， r內(nèi)=1，故 |= 4. 真題押題體味咼考 I) 12 MN= OM+ ON= 22+ 42= 2 5.13 2 . （2017 北京

16、改編）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為 答案 2 3 解析 在正方體中還原該四棱錐，如圖所示, 可知SD為該四棱錐的最長棱. 由三視圖可知，正方體的棱長為 2, 故 SD= ,22+ 22+ 22= 2 3. 3. （2017 天津）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為 則這個球的體積為 _ . 解析 設(shè)正方體的棱長為 a,則 6a2 = 18,. a= 3. 設(shè)球的半徑為 R則由題意知 2R= a2+ a2 + a2= 3, 3 亠日 4 3 4 肌 9 R= 2故球的體積 V= 3 冗 R= 3 冗X q = 2 n . 4. （2017 全國I

17、 ）已知三棱錐 S- ABO的所有頂點都在球 O的球面上，SC是球O的直徑.若 平面SCA_平面SCBSA= ACSB= BC三棱錐S ABC勺體積為9,則球O的表面積為 _ 答案 36 n 解析如圖，連接OA OB 18, A 14 由 SA= AC SB= BC, SC為球 O 的直徑知，OAL SC, OBL SC 由平面SCAL平面SCB平面SCAO平面SCB= SC OA平面SCA OAL平面 SCB 設(shè)球O的半徑為r,貝U OA= OB= r, SC= 2r, 一 + 、 11 r3 二棱錐 S ABC的體積 V= 3 x x SC OB OA=, 3 2 3 3 r 即=9, r

18、 = 3, 球 O的表面積 S= 4 n r = 36 n 3 【押題預(yù)測】 1一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示,則該幾何體的表面積為 （ ） 押題依據(jù) 求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考命題的熱 點.此類題常以三視圖為載體，給出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求幾何體的表面積或體積. 答案 D 解析 由三視圖知，該幾何體是底面邊長為 ，22 + 22 = 2 2 的正方形，高 PD= 2 的四棱錐P ABCD因為PCL平面 ABCD且四邊形 ABC是正方形， 易得 BCL PC BAL PA 又 PC= PD+ CD = 22 + 2 2 2 = 2 3 , 1 所以 S PC

19、D= & PAD= x 2 X2 ；J2 = 2 2 , SPAB= SPBC= 2X22X2 J3 = 2*6. 所以幾何體的表面積為 4 .6+ 4 2 + 8. 2 .在正三棱錐 S- ABC中，點M是SC的中點，且 AML SB,底面邊長 AB= 2 2 ,則正三棱錐A. 16 C. 2 2 + 2 6 + 8 B. 8 2+ 8 D. 4 2+ 4 6 + 8 惻視圖 15 S ABC勺外接球的表面積為( ) A. 6 n B . 12 n C . 32 n D . 36 n 押題依據(jù)靈活運用正三棱錐中線與線之間的位置關(guān)系來解決外接球的相關(guān)問題，是高考的 執(zhí)占 八、八、 答案

20、 B 解析 因為三棱錐 S- ABC為正三棱錐，所以 SBL AC又AML SB A8 AM= A, AC AM?平面 SAC所以SBL平面SAC所以SB丄SA SEL SC同理SAL SC即SA SB SC三線兩兩垂直， 且 AB= 2-2,所以 SA= SB= SC= 2,所以(2 R) 2= 3x2= 12 ,所以球的表面積 S= 4 n R = 12 n , 故選 B. 3._ 已知半徑為 1 的球O中內(nèi)接一個圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時， 球的體積與圓柱的體積的 比值為 _ . 押題依據(jù) 求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題之一，主 要是求柱體、錐體、球體或簡

21、單組合體的體積.本題通過球的內(nèi)接圓柱，來考查球與圓柱的 體積計算，命題角度新穎，值得關(guān)注. 答案舞 解析 如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為 r,則圓柱的側(cè)面積為 所以當(dāng) r = 4 *2 3 16 S= 2n r X2 1 r2 =4 n r 1 r2 3, 6,三視圖還 1 1 原為幾何體是圖中的三棱錐 p ABC且 &PAB= SB= 2x4X 6= 12 , AB= -x4X2 3= 4 3, PAC是腰長為 52，底邊長為 4 的等腰三角形，SPAC= 8 3.綜上可知，該幾何體的表面積 為 2X 12+ 4 3 + 8 3 = 24 + 12 3.故選 C. 5. 已知如圖所示的

22、三棱錐 D ABC的四個頂點均在球 0的球面上， ABCHA DBC所在的平面 A. 4 n C. 16n 答案 C 解析 如圖所示， AB + AC = BC,. ./ CAB為直角，即A ABC外接圓的圓心為 BC的中點 O . ABCHA DBC所在的平面互相垂直，則球心在過A DBC的圓面上，即A DBC勺外接圓為 球的大圓，由等邊三角形的重心和外心重合，易得球半徑 R= 2,球的表面積為 S= 4n R = 16 n，故選 C. 6. 已知正四棱錐 P ABCD勺各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為 ：,：2， 若該正四棱 錐的體積為 2，則此球的體積為（ ） 互相垂直, AB=

23、 3, AC=/3 B. 12 n D. 36 n A. 124 n 3 B. 625 n 81 C. 500 n 81 D. 256 n 9 21 答案 C 解析 如圖所示，設(shè)底面正方形 ABC啲中心為O ,正四棱錐P ABC啲外接球的球心為 022 底面正方形的邊長為 2, O D= 1, 正四棱錐的體積為 2, - VP-ABCS= 3 x（ 2）2X PO = 2, 解得PO = 3, OO = | PO PO = |3 R , 在 Rt OO D中，由勾股定理可得 OO 2+ O Df= O&, 即（3 R）2+ 12= R2, 解得R= 5， 3 4 3 4 |&3

24、 500 n V球=3n R=3n x 3 =_T. 7 .在三棱錐 S ABC中，側(cè)棱 SA!底面 ABC AB= 5, BC= 8，/ ABC= 60, SA= 2 半，則該 三棱錐的外接球的表面積為 （ ） 64 256 A. y n B. 丁 n 436 2 048 3 C. 3 n D. 27 n 答案 B 解析 由題意知，AB= 5, BO 8,Z ABO 60, 則在 ABC中，由余弦定理得 AC= AB+ BC 2 x AB BCx cos / ABC 解得A（=乙 設(shè)厶ABC的外接圓半徑為r，則 2 又側(cè)棱SAL底面ABC 三棱錐的外接球的球心到平面 ABC的距離d =扌SA

25、= 5 ,則外接球的半徑R =23 8 某幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示，在下列圖形中，可能是該幾何體側(cè)視圖的圖形是 _ （寫出所有可能的序號） 答案 解析 如圖 a 三棱錐C ABD正視圖與俯視圖符合題意，側(cè)視圖為; 如圖 b 四棱錐P ABCD正視圖與俯視圖符合題意，側(cè)視圖為； 如圖 c 三棱錐P- BCD正視圖與俯視圖符合題意，側(cè)視圖為. 9 如圖 1 所示是一種生活中常見的容器，其結(jié)構(gòu)如圖 都是等腰梯形，且 ADL平面CDE F現(xiàn)測得 AB= 20 cm , AD= 15 cm, EF= 30 cm , AB與EF間 3 的距離為 25 cm，則幾何體 EF ABC的體積為 _ cm.

26、 答案 3 500 解析 在EF上 ,取兩點 M N（圖略），分別滿足EM= NF= 5,連接DM AM BN CN則該幾 何體就被分割成兩個棱錐和一個棱柱，根據(jù)柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關(guān)量，可 1 1 1 以求得 V= 2X 20X 15X 20+ 2X -X -X 20X 15X 5= 3 500. 2 3 2 o 256 S= 4 n R = _3 Tt 2,其中 ABCD是矩形，ABFE和 CDEF 則該三棱錐的外接球的表面積為 b 圖I 圖2 24 10. （2018 浙江省杭州二中等五校聯(lián)考 ）一個三棱錐的三視圖如圖所示，則其表面積為 _ ,其外接球的體積為 _ 25 解

27、析 由三視圖得該幾何體是一個底面為直角邊分別為 3,4 的直角三角形，咼為 5 的三棱錐， 且三棱錐的頂點在底面的投影為底面直角三角形中邊長為 4 的直角邊所對的頂點，則其表面 1111 積為 2 X 3X4 + 2 X 3X5 + 2 X 5X5 + 2 X . 34 X4 = 26 + 2 34 ,其外接球的半徑為 寸審甲弓蘆!=字，則外接球的體積為 4X X警=耳遲. 11. （2018 全國n ）已知圓錐的頂點為 S,母線SA SB所成角的余弦值為8, SA與圓錐底面 所成角為 45,若厶SAB的面積為 5 屮 5,則該圓錐的側(cè)面積為 _ 答案 40,2 n 解析 如圖，I SA與底面

28、所成角為 45 , SAC為等腰直角三角形. 設(shè) OA= r，貝U SC= r, SA= SB= 2r. 在厶 SAB中, cos / ASB= 7, 8 sin / ASE= 1 SSAB= SA- SB- sin / ASB =JcNr)2,專=5.15, 解得 r = 2 ,10, 答案 26 + 2 34 125 .2 P n 26 SA= /2r = 45，即母線長 l = 4J5,27 S 圓錐側(cè)=n r l =nX2 10 X4 5 = 40 f 2 n . n 12. 已知二面角a - l - 3的大小為，點Pa，點P在3內(nèi)的正投影為點 A過點A作 A吐I，垂足為點 B,點C

29、I , BC= 2 2, PA= 2 3,點D 3 ,且四邊形 ABCD滿足/ BCDF / DAB= n .若四面體PAC啲四個頂點都在同一球面上，則該球的體積為 _ . 答案 8 6 n 解析 I / BCD-Z DAB= n , A, B, C, D四點共圓，直徑為 AC / PAL平面 3 , AB丄 I，易得 PBL I , 即/ PBA為二面角a - I - 3的平面角， n 即/ PBA=, PA= 2 3 , BA= 2, / BC= 2 2 , AC= 2 3. 設(shè)球的半徑為 R則 2 3 F2- ( .3)2=“ .氏一(3)2, R= 6, V=-( 6) 3= 8 6

30、n . B 組能力提高28 13若四棱錐P- ABCD勺三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為 （ ） 由于 PAD為等腰三角形，PA= PD= 3, AD= 4,四邊形ABC為矩形，CD= 2,過厶PAD勺外心 F作平面PAD勺垂線，過矩形 ABC啲中心H作平面ABCD勺垂線，兩條垂線交于一點 0,則0 32+ 32 一 42 1 4/5 外接球的球心，在 PAD中, cosZ APD= =石，貝U sin Z APD= , 為四棱錐2 3X3 9 9 2PF= sin Z APD 二，PF=嚅， g- PE= 9 4 = 5, OH= EF= _ 5- BH= 2 ,16 + 4 = 5, 所以 S= 4n X 105 101 n A. 81 n 5 B. 81 n 20 C. 101 n 5 D. 101 n 20 答案 C 解析根P- ABCD如圖所示，平面 PADL平面 ABCD AD 10， 5 505 100 + 5 = 10 ， 0B= 0H+ BH= 29 則 AH= |PQ0, 8tan x 8tan x S- (1 + tan x j 1 + tan2x + 2tan