太奇MBA數(shù)學全部筆記

1、2011年太奇MBA數(shù)學全部筆記i.備考資料：基礎(chǔ)講義數(shù)學高分指南太奇?？季?+周測+精選500題+歷年真題2.兩個教訓：A、不要死摳題，要有選擇的放棄，舍得一定的機會成本。每年都會有難題，考試時不要隨便嘗試死盯住一題不放。B、一定要找巧妙的方法(例如，特殊值法、看題目中條件間的關(guān)系等)3、基礎(chǔ)知識基本公式：22_2(1) (a b)a2ab b(2) (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b322(3) (a b)(a b) a b3322(4) a b (a b)(a 堿力口 ab b )(5) (a bc)2a2b2 c22ab2ac 2bca2 b2c2abacbc2(a2b2 c2

2、 abac bc)1222-(a b) (a c) (b c)2指數(shù)相關(guān)知識：nnn 1m m na a a a (n 個 a 相乘) a aVaa若a 0,則 ja為a的平方根，指數(shù)基本公式：對數(shù)相關(guān)知識：對數(shù)表示為logb(a>0且a 1,b>0),當a=10時，表示為lgb為常用對數(shù)； 當a=e時，表示為lnb為自然對數(shù)。有關(guān)公式:Log (MN) =logM+logN m log nlog m log nlog；：1 10gbm換底公式:loga10gte1log： loga單調(diào)性:題型為給出題干S2有關(guān)充分性判斷:P,條件S1P則題目選A若 &W>P,而 S

3、2P 則題目選BS P,而 S2P則題目選S)牛P，而S2半PS1S1S2S2P貝燦目選CP貝燦目選E形象表不：，X X特點：(A)(B)聯(lián)(合)立V(D)聯(lián)(合)立X(C)(E)(1)肯定有答案，無(2)準確度解決方案：“自檢機會”、“準確性高”(1)自下而上帶入題干驗證(至少運算兩次(2)自上而下，(關(guān)于范圍的考題)法寶：特值法，注意只能證“偽”不能證“真”圖像法，尤其試用于幾何問題第一章實數(shù)自然數(shù)：自然數(shù)用 N表示(0, 1, 2)(2)正整數(shù)整數(shù)Z 0負整數(shù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)：質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個約數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù),1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)最小的合數(shù)為4,最小的質(zhì)數(shù)為2;10以內(nèi)質(zhì)數(shù)：2、3、5

4、、7; 10以內(nèi)合數(shù) 4、6、8、 9。除了最小質(zhì)數(shù)2為偶數(shù)外，其余質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)，反之則不對除了 2以外的正偶數(shù)均為合數(shù)，反之則不對只要題目中涉及 2個以上質(zhì)數(shù)，就可以設(shè)最小的是2,試試看可不可以Eg:三個質(zhì)數(shù)的乘積為其和的5倍，求這3個數(shù)的和。解：假設(shè)3個質(zhì)數(shù)分別為mi、mt、mso由題意知：mm>m3=5(mi+m>+m3)一欠定方程不妨令 mi=5,貝U mm2=m+m2+5mmi-mi-m2+1=6(mi-1)(m 2-1)=6=1 x 6=2X3則 m-1=2,m2-1=3 或者 m-1=1,m2-1=6即m=3,m2=4 (不符合質(zhì)數(shù)的條件，舍)或者m=2,m2=7貝U

5、 m+m2+m3=14。小技巧：考t時，用 20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)稍微試一下。（4）奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)Z/奇數(shù)2n+1 .I偶數(shù)2n相鄰的兩個整數(shù)必有一奇一偶合數(shù)一定就是偶數(shù)。（X） 偶數(shù)一定就是合數(shù)。（X）質(zhì)數(shù)一定就是奇數(shù)。（X） 奇數(shù)一定就是質(zhì)數(shù)。（X）奇數(shù)偶數(shù)運算：偶數(shù)土偶數(shù)才禺數(shù)；奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)*奇=奇數(shù)；奇*偶=偶；偶*偶=偶合數(shù)=質(zhì)數(shù)*質(zhì)數(shù)*質(zhì)數(shù)* *質(zhì)數(shù)例：12=2*2*3= _ 一*3分數(shù)：p,當p<q時為真分數(shù)，p q時為假分數(shù)，帶分數(shù)（有整數(shù)部分的分數(shù)） q（6）小數(shù):純小數(shù)：0.1 ;混小數(shù)：1.1 ;有限小數(shù);無限小數(shù);實數(shù)R有理數(shù)

6、Q整數(shù)（Z）分數(shù)（m）n無理數(shù)有理數(shù)Q:包括整數(shù)和分數(shù)，可以知道所有有理數(shù)均可以化為衛(wèi)的形式，這是與無理數(shù)的區(qū)別,q有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)均是有理數(shù)。p.循環(huán)節(jié)數(shù)字無限循環(huán)小數(shù)化成 上的方法：如果循環(huán)節(jié)有 k位，則此小數(shù)可表示為：人Exqk個9oo0.a bc =abc999.0例1、0.213 =0.2131313化為分數(shù)分析:. O0 00.213=0.2+ 0.013=0.2+0.1*_1 + ±*130.13=5 + 10 99oo例2、0.abc化為最簡分數(shù)后分子與分母之和為137,求此分數(shù).abc 26.分析：0 abe = 從而 abc=26*9999 111無理數(shù)：無

7、限不循環(huán)小數(shù)常見無理數(shù)：兀、e帶根號的數(shù)（根號下的數(shù)開不盡方），如， 2,，3對數(shù)，如log 23有理q （Q）有限小數(shù)實數(shù)（R）無限循環(huán)小數(shù)1無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)有理數(shù) 整數(shù)Z分數(shù)真分數(shù)（分子分母，如3/5 ）假分數(shù)（分子 分母，如7/5 ）考點：有理數(shù)與無理數(shù)的組合性質(zhì)。A、有理數(shù)（+ X+ ）有理數(shù)，仍為有理數(shù)。（注意，此處要保證除法的分母有意義）B、無理數(shù)（+-X+ ）無理數(shù)，有可能為無理數(shù)，也有可能為有理數(shù)；無理數(shù)+非零有理數(shù) =無理數(shù)eg.如果兩個無理數(shù)相加為零，則它們一定互為相反數(shù)（X）。如，揚口2 T2oC、有理數(shù)（+ ）無理數(shù)=無理數(shù)，非零有理數(shù)（X + ）無理數(shù)=無理數(shù)（

8、8） 連續(xù)k個整數(shù)之積可被k!整除（k !為k的階乘）（9）被k（k=2,3,4-）整除的性質(zhì)，其中被 7整除運用截尾法。被7整除的截尾法：截去這個整數(shù)的個位數(shù)，再用剩下的部分減去個位數(shù)的是7的倍數(shù)，該數(shù)就可以被 7整除2倍，所得結(jié)果若同余問題被2 整除的數(shù)，個位數(shù)是偶數(shù)被3 整除的數(shù)。各位數(shù)之和為3 倍數(shù)被 4 整除的數(shù)，末兩位數(shù)是4 的倍數(shù)被 5 整除的數(shù)，個位數(shù)是0 或 5被 6 整除的數(shù)，既能被2 整除又能被3 整除被 8 整除的數(shù)，末三位數(shù)之和是8 的倍數(shù)被 9 整除的數(shù)，各位數(shù)之和為9 的倍數(shù)被10整除的數(shù)，個位數(shù)為0被11 整除的數(shù)，奇數(shù)位上數(shù)的和與偶數(shù)位上數(shù)的和之差（或反過來）

9、能被11 整除被7、11、 13整除的數(shù)，這個數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)之差（或反過來）能被7、11、 13 整除第二章絕對值（考試重點）1 、絕對值的定義：其特點是互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值是相等的穿線法：用于求解高次可分解因式不等式的解集要求：（1） x系數(shù)都要為正（ 2）奇穿偶不穿2、實數(shù)a 的絕對值的幾何意義：數(shù)軸上實數(shù)a 所對應(yīng)的點到原點的距離【例】充分性判斷f（x）=1 只有一根（ 1） f（x）=|x-1|（2） f（x）= |x-1|+1解：由（1） f（x）=|x-1|=1 得 x 11 兩根由（2） f（x）=|x-1|+1=1 得 |x-1|=0, 一根答案：（B）3、基

10、本公式：|x|<a -a<x<a |x|>a x>a 或 x<-a |x|=a x= a4、幾何意義的擴展：|x| 表示 x 到原點的距離|x-a|表示 x 到 a（ 兩點 ） 的距離|x-a|+|x-b|表示 x 到 a 的距離與x 到 b 的距離之和，并且有最小值|a-b| ，沒有最大值，當x 落入 a,b 之間時取到最小值|x-a|-|x-b|表示 x 到 a 的距離與x 到 b 的距離之差，并且有互為相反數(shù)的最小值 -|a-b| 和最大值|a-b| ，當 x 在 a,b 兩點外側(cè)時取到最小值與最大值5、性質(zhì)：對稱：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等等價：

11、（1） |a|（升次）應(yīng)用：1 x1 x2 1(Xl x2)2_(Xl x2)2 4x1x2,22(2) |a| a (去絕對值符號)a2 |a|非負性（重點）：歸納具有非負性的量11242n24a ,a a 0； a 2 ,a 46、重要公式兇 -x-X |x|1x>01x<0cj Labcl有幾種取值情況?c abc|b|形如三角形三邊關(guān)系【例】a,b,c都為非零實數(shù)， 回 Lbl a b討論：兩正一負：2兩負一正：-2三正 2三負 -27、絕對值不等式定理三角不等式：|a| |b| |a b| |a|左邊等號成立的條件：ab 0且|a| |b|右邊等號成立的條件：ab 0第二

12、章整式和分式一、內(nèi)容提要1、整式單項式：若干字母與數(shù)字之積 多項式：若干單項式之和2、乘法運算(1)單項式X單項式2x 3x2=6X3(2)單項式X多項式x (2x-3) =2x2-3x(3)多項式X多項式(2x+3) (3x-4) =6x2+x-123、乘法公式(重點),.、222(1) (a b) a 2ab b，一、2222(2) (a b c) a b c 2ab 2bc 2ac(3) (a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2,.、22(4) a b (a b)(a b)3322(5)a b (a b)(a ab b )4、分式：用A,B表示兩個整式，A+ B就可以表示成 公的形式

13、，如果B中還有字母，式子 上 就叫分BB式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。在解分式方程的時候要注意檢驗是否有增根5、有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式6、分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變7、分式的約分：其目的是化簡，前提是分解因式8、分式通分：目的是化零為整，前提是找到公分母，也就是最小公倍式9、分式的運算：bebdcb ac - b a - b加減法:adbc-acac乘法：a?cacbdbdacad除法：一一一？一bdbc乘方：(a)n bbn10、余式的定義(重點)：被除式=除式x商株式F(x)=f (x) g(x)+r(x)當r (

14、x) =0時，稱為整除11、f(x)含有(x a)因式 f(x)能被(x a)整除12、二次三項式：十字相乘可以因式分解2 . K 1形如13.因式定理f(x) 含有(ax-b )因式f(x)含有(x-a )因式14、余式定理：ax + bx + ca1f(x)可以被(ax-b )整除 f( )=0 af(a)=0f (x)除以ax-b的余式為f() a二、因式分解常用的因式分解的方法1、提公因式法【例】2、公式法3、十字相乘因式分解，適用于2ax bx c ,見上面第12小點4、分組分解法2(1) ax bx c十字相乘，一、3.一 ，、(2) ax bx c 了解內(nèi)容、，3.3,2C、萬法

15、： ax bx c= ax b1x b2x c = x(axb1) b2(x 一)或b2_3j -_3j -3 ax bx c= ax bx g C2 =axCi bx C2(3) ax4 bx2 c 設(shè)t x2將原式化為 at2 bt c3.2(4) ax bx c方法一、拆中間項J方法二I立方公式平方差ex : 2x3 13x2 3 2x3 x2 12x2 3(5) ax5 bx c方法一、ax5 dx3 dx3 bx c方法二、ax5 dx2 dx2 bx c(6)待定系數(shù)法(見講義 24頁)多項式anxn an ixn 1 .aixa。0的根為a°的約數(shù)除以an的約數(shù)(7)雙

16、十字相乘法2,2應(yīng)用：ax by cxy dx ey fx y常數(shù)=(aix biy f1)(a2x b2yf2)a1a2其中aib2d,b1f2 b2 fl ea,b1b2 b, f1f2 fa2 bl c,a1f2 a2 fl經(jīng)典例題:1.實數(shù)范圍內(nèi)分解(x 1)(x 6)(x25x 16) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)120 有(B)A. (x1)(x6)(x25x16)2_B. (x1)(x6)(x5x16)C. (x 1)(x 6)(x25x16)2D. (x 1)(x 6)( x5x16)E.以上都不對解答：用特殊值代入得2.已知abc 0且aA. -3 B-2adb

17、D1) c.3b(l aE1、，11)c( cab以上全不對(A)1) c1) ca1 ab)bd aa)(bb)(bcacacba-)(-)(bb解答：(c)(a bc-)(a-) a第三章比和比例一、 基本定義2.關(guān)系(1)原值為 原值為a,增長了a,下降了P%P%現(xiàn)值為現(xiàn)值為a(1+P%)a(1-P%)如果原值先增加a (1+P%)(1-x)=a如果原值先減少P%減少多少可以恢復原值P% x 1 P%P%增加多少可以恢復原值P%a(1-P%)(1+x)=aP% iP%P%(2)比較大小甲比乙大P%,P%甲二乙(1+P%)乙比甲小甲比乙少P%,P%甲二乙(1- P%)乙比甲大p%p% 1p

18、%1 p%(3)甲是乙的P%,甲一P% 甲二乙P%3.比例：a:b=b:c ba、c比例中項4.正比y=kx （k 可正可負）、性質(zhì)a:b c:dad bc內(nèi)項積=外向積三、重要定理1 .更比定理2 .反比定理3 .合比定理4 .分比定理*5.合分比定理*6.等比定理a c b d a c b da c b d a c b da c b da b c d b d a ca bba bba mcb md（兩邊取倒數(shù)）c ddc dd（兩邊加1,通分）（兩邊減1,通分）aceace ab d f b d f bbc 3a ac 3b ab 3c【例】 a,b,c 為非0頭數(shù)，且m ,求mabc（1

19、） 當a b c 0時由等比定理，分子分母同加減，得 m=-1（2） 當a+b+c=0時a+b=-c 代入原式，得 m=-4 陷阱在分母的取值，要分開討論7.增減性（比較大?。゛,b,m均大于0什 aam a,若一1 則一（m 0）bb mb若0 a 1則與3a （m>0）b b m b四、平均值1、算術(shù)平均值：2、幾何平均值要求是n個正數(shù)，則xg yx,x2.xnnjX五、平均值定理1、Xix2xnnn x1x2.xn當且僅當x1x2Xn時，兩者相等2、n=2 時，b Tab2113、當 a -, a 2ba六、比較大小的方法：1、整式作減法，與 0比較大小2、分式作除法，與1比較 技

20、巧方法：1、特值法2、極端法（趨于 0或無窮大）111111【例】 一：一：一 一： 一 ：一，且 a+b+c=27,求 a-2b-2c a b c 2 3 4a b c 2 3 4 9由題思可知，a:b:c=2:3:4, - 可得 a=6 b=9,c=12a22算出 a-2b-2c=-36第四章方程不等式 一、基本定義：1、元：方程中未知數(shù)的個數(shù) 次：方程中未知數(shù)的最高次方數(shù) 2、一元一次方程Ax=b 得 x b a3、一兀二次方程22ax +bx+c=0(a w 0)一兀一次方程 ax +bx+c=0,因為一兀一次方程就忌味著aw 0。.2b當 =b -4ac>0時，方程有兩個不等實

21、根，為X1,2=-。當 =b2 -4ac=0時，方程有兩個相等的實根。當 =b2 -4ac<0時，方程無實根。一元n次方程根的情況：一元二次方程中帶根號的根是成對出現(xiàn)的，一元三次方程至少有一個 有理根，或者說奇數(shù)次方程至少有一個有理根、重要公式及定理21、 一兀一次方程 ax +bx+c=0的解法(1) 因式分解：十字相乘(為完全平方數(shù))b 、一求根公式X12 = 1,2 2a2、 拋物線y=ax2+bx+c圖像的特點及性質(zhì)2y= ax +bx+c(拋物線)，則開口方向由 a決定：a>0時，開口向上，a<0時，開口向下c決b定與y軸的交點對稱軸 x= 2a ,對稱軸左右兩側(cè)單

22、調(diào)性相反兩根決定了與x軸交點2- ( _b_ 4ac b2)lx1 x2|= la代表拋物線在x軸上截取的長度頂點坐標2a， 4a 當 >0時，有兩個不等實=0,有兩個相等實根，<0時，無實根恒正：a>0,<0;恒負：a<0,<0、根與系數(shù)關(guān)系(韋達定理)bc, X1X2aa ,注意：韋達定理不僅對實(1)1Xi1X2XiX2X1X2b 一 十一與a無關(guān)c2X12X2(K X2)2 2X2b2 2ac儀憶)2c2(3) |x X2 | Ja X2)2 4X1X2匚|a|(4) X12 X22 (X1 X2)2 2X1X2(5)3X13X2(X1(x X2)(

23、X1X2)(X12 KX2、2 x2)3X1X22X2丫丫 2Xi X2如果X1、x2是ax bx c 0的兩個根，則根是適用的，對虛根也適用韋達定理的擴展應(yīng)用：考試題型1、題型一2.aX bX c 0的根的分布情況(1)有兩個正根(2)有兩個負根(3) 正一負根如果再要求X1 X2 0,X,X2一 0 ,aaX1 x2 0,x,x2 - 0,aac 一 一 x1x2- 0即a和c異方即可;a|正根|>|負根|,則再加上條件a,00b異號;如果再要求|正根|<|負根|,則再加上a, b同號(4) 一本:艮比k大,一個根比 k小af(k)<02、對數(shù)方程，不等式的應(yīng)用方程：lo

24、g；(x) loga(x) f (x) g(x) 0不等式：a>1 時 log；(x) loga(x) f (x) g(x) 00<a<1時 log；(x)10gg(x) f(x) g(x) 0n 指數(shù)相關(guān)知識：an a a a(n個a相乘) a nnam mana1對于an ,若n為正偶數(shù)，則a 0;若n為正奇數(shù)，則a無限制；若n為負偶數(shù)，則a>0;若n為負奇數(shù)，則a 0。若a 0,則 ja為a的平方根，負數(shù)沒有平方根。指數(shù)基本公式：am an am nnmamanamn其他公式查看手冊題型三、韋達定理的應(yīng)用不等式的性質(zhì)：1、同向皆正相乘性2、皆正倒數(shù)性b 0a bd

25、 0d c不等式a3、c,_224、a b 0 a b不等式解集的特色： 解集端點的值代入不等式時，不等式左邊等于右邊。元一次不等式ax b 若，a>0時x aa<0時 x babax b 右，a>0時x aa<0時 x a2x 12x 12xi移向通分得：竺i3x 23x 2二、含絕對值的不等式三、一元一次不等式組3 x3x 22x 3 03x 2 7求交集得2x 3x 332x 3 03x 2 75x 4 0x 234斛得 x 3 一 一 x 一254x 5一一， 3臨界點為-1 , 32x<-1時，解得 8 x 13-1 w xW 時，解得-1 w xW 2

26、2 x>3 時，3 vx<422合并得，8x43性質(zhì)：1.a>b>0,a2 b2一 一2. 22.a<b<0,ab四、一元二次不等式注：將系數(shù)調(diào)整為正數(shù)后在求解 ax2 bx c 0 時，a>0 時，x x2,x x1 ax2 bx c 0 時，a>0 時，xi x x2解高次不等式：方法：穿針引線法(由右上開始往下穿)注：偶次方先穿時，不考慮，穿后考慮特殊點；奇次方不考慮全看為一次。x<1 且 xw -1 ,或 2Vx<3類似于|ax+b| |cx+d|>e的不等式，可以分段討論，但計算量大，這時使用折線法，限于一次方 程，步

27、驟如下：根據(jù)ax+b=0,cx+d=0求出折點0,向上折|a|c|0,水平0,向下折一些圖像的畫法y=|ax+b|, 下翻上，把原下方圖像上翻后去掉原下方y(tǒng)=|ax|+b, 右翻左，把右邊翻到左邊，去掉原來左邊的|y|=ax+b, 上翻下，原來下方去掉五、超級不等式：指數(shù)、對數(shù)問題(1)對數(shù)的圖像要掌握方程：log；(x) loga(x)f (x) g(x) 0不等式：a>1 時 log；(x)loga(x)f (x) g(x) 0單調(diào)遞增0<a<1時 log；(x)10gg(x) f(x) g(x) 0 單調(diào)遞減1對于an,若n為正偶數(shù)，則a 0;若n為正奇數(shù)，則a無限制;

28、若n為負偶數(shù)，則a>0;若n為負奇數(shù)，則a 0。若a 0,則 J3為a的平方根，負數(shù)沒有平方根。第五章應(yīng)用題、比、百分比、比例（1）知識點利潤=售價-進價利潤=出廠價-成本壬H、/門玄禾U潤十小玄變化量禾I潤率=變化率=、，一進價（成本）變刖重技巧（思路）思維方法：特值法如果題目中出現(xiàn)必需涉及的量，并且該量不可量化，則此量一定對結(jié)果無影響。可引入一個特殊 值找出普遍規(guī)律下的答案。1、用最簡潔最方便的量作為特指2、引入特指時，不可改變題目原意3、引入兩個特值時需特別注意，防止兩者間有必然聯(lián)系而改變題目原意講義P131/例20一般方法：十字相交法：優(yōu)秀 906人數(shù)比非優(yōu).3 一非優(yōu)=3 50

29、=305十字交叉法的使用法則1、標清量2、放好位 （減得的結(jié)果與原來的變量放在同一條直線上）3、大的減小的題型歸納1.增長率（變化率問題）2.利潤率3.二因素平均值 4.多比例問題5.單量總量關(guān)系 6.比例變化7.比例性質(zhì)二、工程問題（總量看成1）（1）知識點工量=功效*工時（效率可以直接相加減）工量定時，工效、工時成反比工效定時，工量、工時成正比工時定時，工量、工效成正比縱向比較法的使用范圍：如果題目中出現(xiàn)兩條以上可比較主線，則可用縱向比較法的使用法則：1、一定要找到可比較的橋梁2、通過差異找出關(guān)系并且利用已知信息求解工程問題題型：效率計算；縱向比較法；給排水問題；效率變化問題三、速度問題知

30、識點：1 . S=vtS表示路程（不是距離或位移），v勻速，t所用時間s 定，v、t 成反比;v 定，s、t 成正比;t 定，s、v 成正比2 .相遇問題S為相遇時所走的路程；S相遇=s1+s2=原來的距離；V相遇=v1+v2t 6目遇相遇時所用時間“目遇3 .追擊問題S追擊=s1-s2 （走的快的人比走的慢的人多走的路程）V 追擊=v1-v24.順水、逆水問題V 順二丫船+v水V逆7船7水（丫順“逆=2 V水）16016022例16.公共汽車速度為v,則有 v v 803得v=40;最好用中間值代入法中間值代入的適用范圍：往往在速度問題中，得到分母出現(xiàn)未知數(shù)，并且不可以簡單化解的方程，此時最

31、有效的方法是中間值 代入法，而回避解一元二次方程。使用法則：用中間值代入而非中間答案同等條件下用最簡潔最方便的代入如果第一次代入后不符合題意，則一定要判斷準答案的發(fā)展方向。例 17. （V卡+60） 6= （48+ V卡）7 得V卡=24（V卡 +60） 6= （V丙 +24） 8 得V丙=39例20.第一次相遇：小明走了500,小華走了 S-500;第二次相遇：小明走了 S+100,小華走了 S-100第一次相遇：小明和小華走了S；第二次相遇：小明和小華走了2S說明第二次2個人走的都是第一次的2倍;對于小明來說：S+100=2X 500S=900例21.設(shè)船速V,水速x,有1208016v

32、x V x6012016v x v x解得 x 2.5速度問題題型總結(jié)：1.s=vt（中間值代入法）2. S 相遇=s1+s2, V相遇=v1+v2 3. 順水逆水問題四、濃度問題溶質(zhì)知識點：定義：濃度=溶液 溶液=溶質(zhì)+溶劑溶質(zhì)=濃度X溶液溶質(zhì)溶液=溶度例24.屬于補水（稀釋）問題第一次剩下純：（x 20） ?60%純：T°%30(x 20) ?60%剩x 20) ?60%30 T60%濃度為：（x 20） ?60%-30x /x=20%x=60通用公式：原濃度（v a） （v b） 后濃度倒兩次：v2原濃度（v a） （v b） （v- c） 后濃度倒三次：v3v為原來溶液的量，

33、a為第一次倒出的量，b為第二次倒出的量 題型歸納；濃度計算；補水問題五、畫餅問題1 .兩餅相交;=A+B-x+y例25.設(shè)只有小提琴人數(shù)為 5x,則總?cè)藬?shù)=46=22+5x+3x-3x+14 只會電子琴的=22-6=162 .三餅相交總=A+B+C-x-y-z+m得x=2例 28.總=3?30-5-6-8+3=74六、不定方程1.3.步驟:1.最優(yōu)化方案選擇的不定方程；2.帶有附加條件的不定方程不等式形式的不定方程要勇敢的表達出方程 ；2.觀察方程和附加條件拉關(guān)系;3.求解（窮舉法）例27.設(shè)一等獎，二等獎，三等獎人數(shù)為 a, b, c,則有a b c（a, b, c為正整數(shù)）6a+3b+2c

34、=229a+4b+c=22得a 2接著窮舉法當 a=1 時，b=2, c=5當a=2時，不符題意最優(yōu)化方案選擇題目的解決方案：1、找到制約最優(yōu)的因素（穩(wěn)，準，狠）；2、判定什么情況下最優(yōu)；3、求解不等式形式的不定方程解決方案：列出不等式通過不等式組求出解得范圍 根據(jù)附加條件判定具體解集 例29.東歐2/3歐美歐美2/3總數(shù) 亞太1/3總數(shù)七、階梯價格問題 圖表型、語言描述型 做題步驟：1.分段找臨界； 例30.少于1萬1萬-1.5萬1.5歐美15個總數(shù)3/2歐美總數(shù)182.確定區(qū)間;0125150350萬-2萬2400總數(shù)少于213.設(shè)特殊部分求解萬-3萬3萬-4萬125+150+350+x

35、?4%=770 x=3625第六章數(shù)列、等差數(shù)列an 1 an常數(shù)，則an為等差數(shù)列，公差 d 常數(shù)1、an a1 n 1 d通項公式ak n k d起始項不是第一項，n的系數(shù)。dn a1 d關(guān)于n的函數(shù)，說明等差數(shù)列通項是關(guān)于n的一次函數(shù)，公差為注：an 3是等差數(shù)列，為常數(shù)列，通項就是該常數(shù)，常數(shù)列是數(shù)列題特值法的首選。2、Snn a ana1an 已知n n22 項數(shù)求S幾就是腳碼乘以一個數(shù)，&3 13 X、等比數(shù)列等比數(shù)列通項是關(guān)于 n的指數(shù)函數(shù),3n【補例】an 4- 2n1是等比數(shù)列，q33二，a124S a1 1 q3 _aqn,為一定有常數(shù)項的指數(shù)函數(shù)。n 1 q1 q

36、 1 q*如果一個數(shù)列既是等差又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)列數(shù)學思想1、定性排除加反向驗證；2、首選特值法和圖像法；3、充分性判斷先猜后做。【補例】Snn2 11n有最大值，在對稱軸處取得，總結(jié)：Sn f(n) an2 bnai 0,d0,Sn有最大值；aiN的取值四舍六入，例：(1) n=5, S5有最值(2) n=5.1 , S5 有最值,(3) n=5.6, S6 有最值,n 一，即S5 S6 =S最大值2 14對稱軸：n2 d0,d 0,Sn有最小值0,a6 0(4) n=5.5 , S5S6 有最值，且 S11總結(jié)：(1) an為n的一次函數(shù)(2) Sn為n的無常數(shù)項的二次函數(shù)

37、(3)若an為常數(shù)列，an退化為常數(shù)，Sn退化為n的一次函數(shù)，如 為 3? Sn 3n【補例】an , bn前n項和為Sn,Tn ,則§9：丁19 3： 2(1) an , bn為等差數(shù)列(2) a10：bi03: 2利用S=卻碼*中間項，選C【補例】等差數(shù)列中 S9 72 ,求a2 a4 a9S9 9 a5 72, a5 83n33【補例】an -nr是等比數(shù)列，q 二，a12241 nS a -a_aqn,為一定有常數(shù)項的指數(shù)函數(shù)。 n 1 q 1 q 1 q【補例】Sn 2n 1是等比數(shù)列【補例】Sn3n2n 1不是等比數(shù)列，需要配一個常數(shù)Sn1 ,常數(shù)與系數(shù)相反數(shù)，q232,

38、a11一的等比數(shù)列4注：sn2n是等比數(shù)列，但是只影響第一項,從第二項開始與n ),Sn21所代表的等差數(shù)列的第二項開始完全相等。【補例】09-01-11 ,1- an 0, a1 二，an2202s 11 口,貝 U TESn_1A、首項為2, q -2的等比數(shù)列；日首項為2,q2的等比數(shù)列C、既非等差又非等比;D首項為2,1 ，一d 的等差數(shù)列2E、首項為2, d 2的等差數(shù)列SnSm252Sn2Sn21Sn2SnSn 1 Sm-0 G2Sn2答案選ESnSn1總結(jié):an為n的指數(shù)函數(shù)(2) Sn為n的有常數(shù)項的指數(shù)函數(shù)，且系數(shù)相反(3)若an為非0常數(shù)列時，an退化為常數(shù),Sn退化為n的

39、一次函數(shù)，如an a1該常數(shù)，Sn na1(4)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的一定是非0常數(shù)列【補例】等差數(shù)列，3a50,則Sn最小A、S1 或0B、S12C、S13S15E、以上都不對3a5a14d7 a19d51三個數(shù)成等差:d, a, a三個數(shù)成等比:2a,aq,aq ,1 5113.2所以n取13,答案選Ca一，a,aq ,分式未必好處理) q四個數(shù)成等差：a d,a,a d,a 2d , （ a 3d,a d,a d,a 3d ,對稱，但公差為 2d ,易錯）a2 a a 32四個數(shù)成等比： 一，a,aq,aq , （ ,-,aq,aq ,對稱，但公比為q ,易錯） qq qM總結(jié):等差

40、數(shù)列等比數(shù)列1、定義2、通項3、通項公式技巧（an是關(guān)于n的一次函數(shù)）（an是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)）4、前n項和公式Sn1a1 anqa1(1 qn)q 1 , Sn/1 q1 qq 1, Snna15、Sn技巧關(guān)于n的無常數(shù)項的二次函數(shù)關(guān)于n的中常數(shù)項的指數(shù)函數(shù)6、角碼規(guī)律7a、b、c成則 b a cb叫做等差中項. 一 .2.a、b、c成等比，則b ac （奇數(shù)項同號、偶數(shù)項同號）b叫做等比差中項8,S2k i (2k 1同bkT2k 1第七章排列組合（解決計數(shù)問題）一、兩個原理? 加法原理（分類）做一件事有n類辦法，每一類中的每一種均可單獨完成此事件，如果第一類有m1種方案，第二類有 m2種

41、方案. 第n類有mn種方案，則此事件共有方案數(shù)m1種方案，第二個步驟有m2種方案.N1mlm2 mn? 乘法原理（分步）做一件事分n個步驟，如果第一步有第n步有mn種方案，則做此事件的方案數(shù)N m1 m2模型：從甲到乙有2種方法；從甲到丙有4種方法；從乙到丁有3種方法； 從丙到丁有2種方法； 問從甲到丁有幾種方法?解：2*3+4*2=14二、兩個概念排列1、排列定義：從n個不同元素中，任意取出 m (m n )個元素，按照一定順序排成一列，稱為從 n個不同元素中取出 m個元素的一個排列2、排列數(shù)定義：從 n個不同元素中取出 m ( m n)個元素的所有排列的種數(shù)，稱為從n個不同元素中取出m個元

42、素的一個排列數(shù)P1mn(n 1)3、(n m 1)n!(n m)! P：n!n個不同元素對應(yīng) n個不同位置的方案總數(shù)記為n!(一一對應(yīng))常用的階乘數(shù)： 0! =1, 1! =1, 2! =2, 3! =6, 4! =24, 5! =120組合cnm?1、組合的定義：從n個不同元素中，任意取出m (m n )個元素并為一組，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個組合，所有可能的組合的個數(shù)稱為組合數(shù)常用的組合數(shù)：CO 1 C： n C42 6C3 20c3c；3 c4 C434C； C； 10 C2 C： 15 C72 C75 21C；C"28(1)、(2)、(3)、Cnmn mCn(

43、化簡用)(4)、CnmCm1(5)、Cn°C：Cn 2n3、二項展開式:(ab)n C；an C：an 1bC：anrbr.C；bn存在選擇cnm存在對應(yīng) n !2、組合的性質(zhì):只要存在選擇，使用 C只要涉及到順序，就階乘(不同元素對應(yīng)不同位置)建議：盡量畫位置圖 盡量具體化 各種題型總結(jié)：平均分組問題：注意要修正，看所分的組間是否有區(qū)別，無區(qū)別為平均分組，要再除以階乘對元素或位置限定：思想是先特殊后一般相鄰：捆綁法，解決元素相鄰問題。步驟是先把相鄰元素作為一個元素進行大排列，然后可能存 在小排列不相鄰：插空法，解決元素不相鄰問題。先不管不相鄰元素，把剩下的大元素進行大排列，然后 選

44、取間隔插空，可能存在小排列m 1(6)隔板法：n個相同的元素分給 m (m n)個人，每人至少一個名額Cn 1使用隔板法要滿足以下三個條件1、所要分的物品規(guī)格必須完全相同2、所要分的物品必須分完，絕不允許有剩余3、參與分物品的每個成員至少分到一個，絕不允許出現(xiàn)分不到物品的成員每人至多一個cmcmm n 1代表無任何約束的隔板問題例：從1, 2, . , 20這20個自然數(shù)中任取3個不同的數(shù)字組成等差數(shù)列，問有()多少個。解：等差數(shù)列a1，a2,a3, a2 a1 d,a3 a1 2d,可知a1，a3奇偶性相同。這20個數(shù)中有10個奇數(shù)，每選的兩個奇數(shù)選出后可構(gòu)成2個等差數(shù)列，則10個奇數(shù)可構(gòu)成

45、等差數(shù)列的個數(shù)為 p)同理偶數(shù)也可以構(gòu)成 P0,總共2吊個第八章平面幾何和解析幾何(為考點，為重點，為運用，*為總結(jié))一、平面幾何部分1、平行直線(1) 一條直線與一組平行線之間的關(guān)系231與4是同位角，同位角相等2與4是內(nèi)錯角，內(nèi)錯角相等3與4是同旁內(nèi)角，同旁內(nèi)角互補 內(nèi)錯角的角平分線平行；同位角的角平分線平行；同旁內(nèi)角的角平分線垂直。2、多邊形奇數(shù)條的多邊形任意多邊形的外角和是 360三角形(1)三個內(nèi)角和： A+ B+ C=180o四角形內(nèi)角和為360°n邊形內(nèi)角和為(n-2) X 180°外角：三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和(2)三條邊：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小

46、于第三邊例1、已知三角形 ABC,其中A(1,3)、B(4,6)、C點在x軸上運動求(1) C點在何位置時，AC BC值最??；(2) C點在和位置時,AC BC值最大。解：(1)錯誤答案：，AC BC AB , AC BC最小值為AB分析：由于等號取不到，答案錯誤正確答案：作 A點關(guān)于x軸的對稱點得 A'A(1,3)、A'(1, 3)、B(4,6)、求C點，利用等比關(guān)系 - CD, CD 2 93當點C在(2,0),時AC BC的最小值為3月。(2)：作AB的延長線，C點是AB延長線與x軸的交點因此可知，當C點在(-2,0 )時,AC BC最大彳1為3垃*總結(jié)1、當A點、B點在

47、坐標軸的同側(cè)時，求 AC BC最小值，需做對稱點，求AC BC值最大，直接連線即可。2、當A點、B點在坐標軸的兩側(cè)時，求 AC BC最小值，直接連線即可，求AC BC值最大，需做對稱點。(3) 三角形的四心 重心：三條中線的交點，將中線分成1： 2兩段，坐標為(“ x2 x3 ,當3 垂心：三條高的交點。 內(nèi)心：內(nèi)切圓圓心，三條角平分線交點，角平分線到角兩邊的距離相等 外心：外接圓圓心，三條邊的中垂線交點。*總結(jié)1、內(nèi)心與重心必在三角形內(nèi)部。在三角形內(nèi)2、外心與垂心在邊界上在三角形外銳角三角形一存外心在斜邊中點 二角形重心在直角頂點鈍角三角形(4) 周長與面積1周長 L=a+b+c 面積 S=

48、 - absinc= Jp( pa)( pb)( pc) ,p 為半周長(等底等高等面積；若等高，面積比等與底邊比)(5) 全等和相似三角形相似的判定定理(其他皆為此二種的變形)兩個三角形中有兩個角對應(yīng)相等兩個三角形兩組對邊對應(yīng)成比例，且其夾角相等概念：相似比 R=f似三角形邊長之比一組相似形中線性比均為R,面積比為R2,體積比為R3全等：R=1的相似即為全等全等判定：邊角邊，邊邊邊，角邊角定理可判定兩個三角形全等，相似時比全等多了一個角角角判定。周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方相似：周長、中線、高之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方。(6)特殊三角形1) Rt角： A+ B= 9

49、0o邊：勾股定理：a2 b2 c22.22對于一個給定的三角形，如果a b c (c為最長邊)，則該三角形為鈍角三角形，反之為銳角三角形常用的勾股數(shù)：(3,4,5),( 5,12, 13) , ( 7,24,25) , ( 1,1,72),(1,62) , (9, 40, 41)(觀察夠股數(shù)發(fā)現(xiàn)以下特點1、首數(shù)字為基數(shù)；2、其周長為n2 n n(n 1)。例1、Rt ,直角邊最短為17,求周長？周長為 n2 n n(n 1) 17 18 306等腰直角，角度45 ° 45 ° 90 ° 三邊1:1: 好等差數(shù)列直角， 角度30 ° 60 ° 90 ° 三邊1:J3 ： 230o所對的邊是斜邊的一半一般Rt ,外接圓半徑R