初中數(shù)學(xué)專題10圖形變換綜合題探究專題(解析版)

1、專題十圖形變換綜合題探究專題【考題研究】本專題主要包括圖形的變換和相似形.其中軸對(duì)稱圖形、平移、中心對(duì)稱圖形的識(shí).另1，相似三角形性質(zhì)以填空和選擇題為主，主要是考查對(duì)圖形的識(shí)別和性質(zhì)；圖形的折疊、平移、旋轉(zhuǎn)與幾何圖形面積相關(guān)的計(jì) 算問題以填空題和解答題為主，主要是考查對(duì)幾何問題的綜合運(yùn)用能力；而相似三角形的性質(zhì)及判斷定的 應(yīng)用往往還會(huì)結(jié)合圓或者解直角三角形等問題一并考查，主要是以解答題為主?！窘忸}攻略】圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)是近年中考的新題型、熱點(diǎn)題型，它主要考查學(xué)生的觀察與實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，探索與實(shí)踐能力，因此在解題時(shí)應(yīng)注意以下方面：1.熟練掌握?qǐng)D形的軸對(duì)稱、圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)和基本

2、方法。2.結(jié)合具體問題大膽嘗試，動(dòng)手操作平移、旋轉(zhuǎn)，探究發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律是解答操作題的基本方 法。3.注重圖形與變換的創(chuàng)新題，弄清其本質(zhì)，掌握其基本的解題方法，尤其是折疊與旋轉(zhuǎn)等?！窘忸}類型及其思路】1 .變換中求角度注意平移性質(zhì)：平移前后圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等.2 .變換中求線段長時(shí)把握折疊的性質(zhì)：折線是對(duì)稱軸、折線兩邊圖形全等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線垂直對(duì)稱軸、對(duì)應(yīng) 邊平行或交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.3 .變換中求坐標(biāo)時(shí)注意旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角的大小不變，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角4 .變換中求面積，注意前后圖形的變換性質(zhì)及其位置等情況?！镜淅敢款愋鸵弧緢D形的平移】【典例指引111.兩個(gè)三角板 A

3、BC, DEF按如圖所示的位置擺放，點(diǎn) B與點(diǎn)D重合，邊AB與邊DE在同 一條直線上（假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi) ），其中，/ C=/DEF=90°, /ABC = /F = 30°, AC = DE = 4 cm.現(xiàn)固定三角板 DEF,將三角板ABC沿射線DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè) 三角板平移的距離為 x（cm）,兩個(gè)三角板重疊部分的面積為 y （cm2）.（1）當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)，x=cm；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量 x的取值范圍；設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M,邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N,直接寫出在三角板平移過程中，點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最

4、小值.【答案】(1)10；(2)見解析；(3) J3【解析】分析：(1)由銳角三角函數(shù)，得到 BG的長，進(jìn)而得出 GE的長，又矩形的性質(zhì)可求解；(2)分類討論：當(dāng)0GV 4時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式可得答案；當(dāng)44V8時(shí)，當(dāng)8 X 10時(shí)，根據(jù)面積的和差求解；(3)根據(jù)點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短，可得M在線段NG上，根據(jù)三角形的中位線，可得 NG的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得 MG的長，然后根據(jù)線段的和差求解 .詳解：(1)如圖：作CGLAB于G點(diǎn).在 RtAABC 中，由 AC=4, / ABC=30,得ACBC=0tan30在 RtABCG 中，BG=BC?cos30 =6.四邊形CG

5、EH是矩形,CH = GE=BG+BE=6+4=10 cm,故答案為：10 .(2)當(dāng)0 x 4時(shí)，如解圖. / GDB = 60°, / GBD= 30°,DB = x，DG=% bg=x,重疊部分的面積 y=：DG BG= :乂xx0x = gx24 x 8時(shí)，如解圖BD=x, DG = 1x, BG=g，x, BE=x-4EH =里(x- 4)重疊部分的面積 y= SZBDG - SzxBEH = D DG即 y= '>ixXx ( (x4)4(x 4),BG-tBE EH,化簡得:248.33當(dāng)8x 10時(shí)，如解圖AC = 4,BC=4小,BD=x,

6、BE = x 4eg=¥(X 4)重疊部分的面積 y= S ZABC S/BEG = - AC 即 y=lX4X4-。 (x 4)彎(x 4),BC ：BE EG,4.316.3x 33綜上所述，y、.3 2x243 2x6x2 (0 x 4)84.383 q、x (4 x 8)334-316、.3 Qx 8 x 1033出【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換綜合，利用銳角三角函數(shù)和矩形的性質(zhì)，利用三角形的面積，面積的和差，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏，利用垂線段最短，三角形的中位線定理，銳角三角函數(shù)解答即可.【舉一反三】如圖，將兩塊全等的三角板拼在一起，其中 那BC的邊BC在直線l上

7、，ACLBC且AC=BC;EFP的邊FP也在直線l上，邊 EF與邊AC重合，EFLFP且EF=FP.(1)在圖中，通過觀察、測量，猜想直接寫出AB與AP滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不要說明理由；(2)將三角板AEFP沿直線l向左平移到圖的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP、BQ .猜想寫出BQ與AP滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.A fE)CfF) F E 嚴(yán) C F圖ts【答案】(1) AB=AP且ABAP, (2) BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系是 AP=BQ,位置關(guān)系是 API BQ 【解析】分析：(1)根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出AB=AP, / BAC=/PAC=45° ,求

8、出/ BAP=90°即可；(2)求出CQ=CP,根據(jù)SASffiABCQA ACP,推出AP=BQ, /CBQ=/PAC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ CBQ+Z BQC=90° ,推出/ PAC+/AQG=90° ,求出/ AGQ=90° 即可.詳解：(1) AB=AP且ABLAP。理由如下：AC，BC且AC=BC, ABC為等腰直角三角形，1 ./ BAC=/ABC= 2 (180°-/ACB) =45°.又ABC與4EFP全等，同理可證/ PEF=45°,/ BAP=45° +45° =90°

9、; ,AB=AP 且 AB± AP .(2) BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系是 AP=BQ,位置關(guān)系是 APXBQ,理由如下：延長 BQ 交 AP 于 G,由(1)知，/ EPF=45° , / ACP=90° , ./ PQC=45° = /QPC, CQ=CP. /ACB=/ACP=90 °, AC=BC, 在 ABCQ 和 AACP 中,BC ACBCQ ACP CQ CP . BCQ ACP (SAS),.AP=BQ, /CBQ=/PAC.,/ACB=90 °, . CBQ+/BQC=90 °. / CQB=/AQG,

10、./ AQG+/ PAC=90 °, ./AGQ=180° 90 =90° , API BQ.B F C P7755點(diǎn)睛：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，主要考查了學(xué)生的推理能力和猜想能力，題目比較好.類型二 【圖形的軸對(duì)稱-折疊】【典例指引2】將一個(gè)直角三角形紙片 啟片。放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 月13,口），點(diǎn)B（4），點(diǎn)9（口,心產(chǎn)是 邊43上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)注, 3重合），沿著?？谡郫B該紙片，得點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)片 （I ）如圖，當(dāng) 口仇?p = 30,'時(shí)，求點(diǎn)ZT的坐標(biāo);（n）如圖，當(dāng)點(diǎn)中落在入軸上

11、時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);（出）當(dāng)P皆與坐標(biāo)軸平行時(shí)，求點(diǎn) f的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.【答案】（1）點(diǎn)8'的坐標(biāo)為（2第,2）； （n ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,）；（出）點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（生，學(xué)）或（12, 16）. 55【解析】（I）如圖，過B作BCx軸于C,由B點(diǎn)坐標(biāo)可得OB的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/ BOP=ZPOB' =30°OB=OB',即可求出/ BOC=30°,利用/ BOC的正弦和余弦值求出 BC和OC的長即可得點(diǎn) B'的坐標(biāo)；（n）過P作PD，x軸，由折疊性質(zhì)可知/ BOP=/BOP=45° ,可得PD = OD, D

12、A=3-OD ,利用/ OAB的正切值即可求出 PD的值，進(jìn)而可得點(diǎn) P的坐標(biāo)；（出）分兩種情況討論：當(dāng) PB'X/軸時(shí)，過B作BE±x軸于E,根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得/BOE = Z OBA,利用/ BOE的正弦和余弦求出 B E和OE的長即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；當(dāng) PB' y/軸時(shí)，PB ±x軸，設(shè)PB交x軸于F,根據(jù)折疊性質(zhì)可得/ B' N OBA,利用/ B'的正弦和余弦即可求出 OF和BF的長，即可得點(diǎn) B'的坐標(biāo).【詳解】（I ）如圖，過B作B'Cx軸于C,-A (3, 0), B (0, 4), .-.OB=4

13、, OA=3,沿著o兩疊該紙片，得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B,. ./ BOP=/POB' =30° OB' OB=4, ./ B'OC=30° , .BC=OB.sin30 =2, OC= OB：cos30°=2j.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2V 2）8（II）如圖，過點(diǎn)P作PDx軸于D, OPB是AOPB沿OP折疊得到，點(diǎn)8，落在再軸上, ./ BOP=ZBOP=45° , .PD = OD, .AD = OA-OD=3-OD,1. tan Z PAD=,php& as 4= 一AD04 晉 .PD = OD =點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）.1313（

14、出）如圖，當(dāng)PB' MA由時(shí)，過B作BEX x軸于E, OPB是AOPB沿OP折疊得到，/ PB'O=/OBA, OB=OB=4,. OA=3, OB=5,.AB=5,. PB' X/軸, ./ PBO=Z BOE,.B'OE=/OBA,1. sin Z BOE=sinZ OBA= = , cos/ B OE= =, A aDB 4-AB 5AB S.BE=OB ,sinZ BOE=TOE = OB：cos/ BOE=,-1在T.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（.，J .Lfr 4I -T T如圖，當(dāng)PB' y/軸時(shí)，則PB ±x軸，設(shè)PB交x軸于F,. / B

15、' NOBA/. sin / Bcos/ B.OF=OB'sin/ B' 二, i:5BF=OB cosZ B' 二，5.點(diǎn)B在第四象限,點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（，-）101855綜上所述：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（竺，絲）或（坦，絲）353：5【名師點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，正確得出折疊后的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵 .【舉一反三】如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將該矩形沿 AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FG /CD,交AE于點(diǎn)G,連接DG .（1）求證：四邊形DEFG為菱形；CE（2）若

16、CD=8, CF=4,求 的值.DE【答案】（1）證明見試題解析；（2） 3.5【解析】（1）由折疊的性質(zhì)，可以得到DG=FG,ED=EF,/1=/2,由FG/CD,可得/ 1 = /3,再證明FG = FE,即可得到四邊形 DEFG為菱形； CE(2)在RtAEFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE,從而求出 一的值.DE【詳解】解：(1)證明：由折疊的性質(zhì)可知：DG = FG, ED=EF, / 1 = /2, . FG / CD, / 2=/3, .FG = FE, .DG=GF = EF=DE, 四邊形DEFG為菱形；(2)設(shè)DE=x,根據(jù)折疊的性質(zhì)， EF=DE=x, EC=8-x,

17、在 RtEFC 中，F(xiàn)C 2 EC 2 EF2,即 42 (8 x)2 x2 ,解得：x=5, CE=8 - x=3,CE _ 3 = 一 DE 5ADBF C考點(diǎn)：1.翻折變換(折疊問題)；2.勾股定理；3.菱形的判定與性質(zhì)；4.矩形的性質(zhì)；5.綜合題.類型三【圖形的旋轉(zhuǎn)】【典例指引3】如圖1,點(diǎn)。是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形 OEFG,連接AG, DE .G'(1)求證：DELAG;(2)正方形ABCD固定，將正方形 OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) “角(0。 “V 360。)得到正方形 OE

18、FG',如圖2.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/ OAG是直角時(shí)，求 ”的度數(shù)；”的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求 AF長的最大值和此時(shí) 理由.【答案】（1）見解析；（2）30°或150°,AF的長最大值為2 1,此時(shí) 3150 .2【解析】（1）延長ED交AG于點(diǎn)H,易證ZOGADOE ,得到/ AGO = /DEO,然后運(yùn)用等量代換證明/ AHE=90° 即可；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，/ OAG成為直角有兩種情況：a由0°增大到90°過程中，當(dāng)/ OAG' =9時(shí)，«=30° ,a由

19、90°增大到180過程中，當(dāng)/ OAG' =90寸，爐150°；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F在一條直線上時(shí)，AF'的長最大，AF'AO+OF'匹+2,此時(shí)0=315°.【詳解】如圖1,延長ED交AG于點(diǎn)H,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),.-.OA=OD, OAXOD, .OG = OE,在4AOG和4DOE中，OA OD AOG DOE 90 ,OG OE.AOG，DOE, ./ AGO=Z DEO, . / AGO+ Z GAO=90° , ./ GAO+Z DEO=90° ./ AHE=90°即 DEA

20、G； (2)在旋轉(zhuǎn)過程中，/OAG成為直角有兩種情況:=90寸,(I )“由0。增大到90。過程中，當(dāng)/ (11 . OA=OD=-OG=-OG ,22 在 RtOAG 中,sin/AGO= 0AOG ./ AG O=30° ,.OA±OD,OA±AG，, OD II AG', ./ DOG' gAGO=30° °,即產(chǎn)30° ；(H)a由90 °增大到180 °過程中，當(dāng)/同理可求/ BOG' =3Q° a=180° -30 =150°.綜上所述，當(dāng)/ OAG

21、 ' =9呵,a=30°或如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A. O、F在一條苣OAG' =90寸,150°. 正方形ABCD的邊長為1, .OA=OD = OC=OB=也.2. OG=2OD OG' 0G=O .OF' = 2 .AF，AO+OF，匪+2, / COE' =45° 此時(shí) ”=315°.【名師點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角相等，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用.【舉一反三】（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1,在Rt"BC中，

22、AB=AC=2, /BAC = 90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以 CD為一邊作正方形 CDEF ,點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為 （2）（拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形 CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE, CE, AF ,線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；（3）（問題發(fā)現(xiàn)）當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B, E, F三點(diǎn)共線時(shí)候，直接寫出線段 AF的長.【解析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD= 72 ,再得出BE=AB=2,即可得出結(jié)論；（2）先利用三角函數(shù)得出 CA ,同理得出CF ,夾角相等即可得出ZCFA BCE,進(jìn)而得出CB 2C

23、E 2結(jié)論;（3）分兩種情況計(jì)算，當(dāng)點(diǎn) E在線段BF上時(shí)，如圖2,先利用勾股定理求出 EF=CF=AD= J2 , BF = J6即可得出BE=J6 J2,借助（2）得出的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn) E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）在RtAABC中，AB=AC=2,根據(jù)勾股定理得，BC= _ 2 AB=2 . 2，.一 一一 . 一 1 一點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AD=BC=J2， 2'四邊形 CDEF 是正方形，AF=EF=AD= J2, BE=AB=2,BE=72AF,故答案為be=af；（2）無變化；如圖 2,在 RtAABC 中，AB=AC=2, ./ABC=

24、/ACB=45°, .sin/ABCnCA 叵,CB 2在正方形 CDEF 中，/ FEC= Z FED =45° ,2在 RtCEF 中，sinZ FEC= CF 叵,CE 2 'CF CACE CB ' . / FCE = /ACB=45° , /. Z FCE - Z ACE= Z ACB - Z ACE , /. Z FCA=Z ECB,BE CB 一 . ACFs-CE, 黑=近,b BE= 72AF, 線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無變化；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AF上時(shí)，如圖2,由（1）知，CF=EF=CD=、.2，在 RtBCF 中，CF=72

25、, BC=2 我，根據(jù)勾股定理得，BF=而,BE=BF - EF=而-亞，由（2）知，BE=&AF, . AF=m1,當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長線上時(shí)，如圖 3,在 RtAABC 中,AB=AC=2, . ABC=/ACB=45°sinZ ABC=cA 二CB 2在正方形 CDEF 中，/ FEC=- Z FED =45° ,2CACB在 RtACEF 中，sin / FEC=CF 巫 CFCE 2 ' CE. / FCE = /ACB=45° , . . / FCB+ /ACB = /FCB+ /FCE, . . / FCA= / ECB ,BE C

26、B -ACFABCE, - =72 ,BE=V2AF,由（1）知，CF=EF=CD=5/2 ,在 RtBCF 中，CF= 72 , BC=2&,根據(jù)勾股定理得，bf=76, . be=bf+ef= J6 + J2 ,由（2）知,BE=72AF, . AF= J3+1 .即：當(dāng)正方形 CDEF旋轉(zhuǎn)到B, E, F三點(diǎn)共線時(shí)候，線段 AF的長為J3 - 1或J3 +1 .類型四【圖形的位似】【典例指引4】如圖，二次函數(shù) y=x2-3x的圖象經(jīng)過O (0, 0), A (4, 4), B (3, 0)三點(diǎn)，以點(diǎn) O為位 似中心，在y軸的右側(cè)將AOAB按相似比2： 1放大，得到OA'B

27、',二次函數(shù)y=ax2+bx+c (aQ的圖象經(jīng) 過O, A', B'三點(diǎn).(1)畫出OAB',試求二次函數(shù) y=ax2+bx+c (aw°的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P ( m, n)在二次函數(shù) y=x2-3x的圖象上，mwq直線OP與二次函數(shù) y=ax2+bx+c (awo)的圖象 交于點(diǎn)Q (異于點(diǎn)O).連接AP,若2AP>OQ,求m的取值范圍；當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，過點(diǎn) Q作QQ平行于x軸，與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a(j)的圖象交于另一點(diǎn) Q；與二次函數(shù)y=x2-3x的圖象交于點(diǎn) M, N (M在N的左側(cè))，直線OQ與二次函數(shù)y=x2 - 3

28、x的圖象交于點(diǎn)P'. QPMsQBN,則線段【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為mw。； 6【解析】(1)根據(jù)位似的性質(zhì)得出A'(8, 8), B'(6, 0),將。(0, 0), A'(8, 8), B'(6, 0)代入 y=ax2+bx+c,利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得;(2)如圖1,由P (m, n)在二次函數(shù)y=x2-3x的圖象上，可得P (m, m2- 3m),根據(jù)待定系數(shù)法易求得OP的解析是為y= (m-3) x,繼而可求得 Q (2m, 2m2 - 6m),過點(diǎn)P作PC，x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)Q作QDx軸于點(diǎn)D,證明OCPsODQ,可得OQ=2OP,

29、然后根據(jù)2AP>OQ,可得AP>OP,從而可得關(guān) 于m的不等式，解不等式即可得；如圖2, P (m, m2-3m), Q (2m, 2m2-6m),根據(jù)點(diǎn)Q在第一象PM,可得 m>3, QQ'的表達(dá)式是y=2m212 Qy - x 3x一-6m,解方程組2,可得點(diǎn)Q (6-2m, 2m2-6m),繼而可得OQ的解析式為y= - mx,從而y 2m2 6m求得點(diǎn)P'(3-m, m2-3m),由QQ與y=x2-3x交于點(diǎn)M、N,求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù) QPMs4QB N,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于的方程，解方程求出m的值即可得答案.【詳解】(1)如圖1,由以

30、點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)將OAB按相似比2： 1放大，"A' OB' 1得一OA OB 2 A (4, 4), B (3, 0), A，(8, 8), B' (6, 0),將。(0, 0), A' (8, 8), B' (6, 0)代入 y=ax，bx+c,1c 0a 2得 36a 6b c 0,解得 b 3,64a 8b c 8 c 0，.1c 二次函數(shù)的解析式為 y=-x2- 3x；(2)如圖1, P (m, n)在二次函數(shù)y=x2-3x的圖象上，/. n=m2- 3m,P (m, m2 - 3m),設(shè)直線OP的解析式為y=kx,將點(diǎn)P

31、 (m, m2 - 3m)代入函數(shù)解析式,得 mk= m2- 3m,.k=m - 3,，OP的解析是為y= (m- 3) x,. OP 與 y -x2- 3x 交于 Q 點(diǎn)， 2x22my2 2 m2ym 3xk 06m12,解得 c (不符合題意舍去)，yx 3xy1 021. Q (2m, 2m2 - 6m),過點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)Q作QDx軸于點(diǎn)D,則 OC=|m|, PC=|m2- 3m|, OD=|2m|, QD=|2m2- 6m|,OD OQ o2 OC OP '. OCPsODQ ,.OQ=2OP,/2AP>OQ,.-.2AP>2OP,即 AP>O

32、P,2 22 o /222 o 2q m 4 m 3m 4 Jm m 3m ，化簡，得m2- 2m- 4 V 0,解得1 -而v mv 1+ J5 ,且如圖 2, P (m, m2 - 3m) , Q (2m, 2m2- 6m)點(diǎn)Q在第一象限，2m 02,解得m>3,2m 6m 0由 Q (2m, 2m2-6m),得 QQ'的表達(dá)式是 y=2m2 - 6m,1 一QQ父y=X2-3x父于點(diǎn)Q',x 3x2,解得22m 6mXiyi2m2（不符合題意，舍）2m 6mx2 6 2m 2 y2 2m 6m . Q z (6 - 2m, 2m2 6m),設(shè) OQ'的解析是

33、為 y=kx, (6-2m) k=2m2 - 6m,解得k= - m, OQ的解析式為y= - mx, . OQ 與 y=x2-3x交于點(diǎn) P',-mx=x2 - 3x,解得 xi=0 (舍)，x2=3 - m, P' ( 3 - m, m2- 3m),QQ 與 y=x2-3x交于點(diǎn) M、N, . .x2 - 3x=2m2 - 6m,解得 xi=3 府 24m 9 ,x2=3、8m2 24m 9, 22. M在N左側(cè)，. M (3 V8m2 24m 97 2m2-6m), N(3 后2 24m3 2m2-6m), 22 QPMA QB'N,P'Q' QM

34、QB' QN2P'QQB2223 m m 3m22m 6222m 6m38m2 24m 96 2m.即2 1c 3 8m2 24m 922m 2化簡彳導(dǎo):m2-12m+27=0,解得：mi=3 (舍)，m2=9,N (12, 108), Q (18, 108), .QN=6,本題考查了幾何與代數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法、位似圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、解不等式等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵【舉一反三】如圖所示，網(wǎng)格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)間連線為邊的三角形稱為 格點(diǎn)三角形”，圖中的AABC是格點(diǎn)

35、三角形.在建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1, 1).(1)把GABC向下平移5格后得到 那1B1C1,寫出點(diǎn)A1, B1, C1的坐標(biāo)，并畫出 AA1B1C1；(2)把AABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 180。后得到AA2B2c2,寫出點(diǎn)A2, B2, C2的坐標(biāo)，并畫出 AB2c2；(3)把AABC以點(diǎn)O為位似中心放大得到 AA3B3c3,使放大前后對(duì)應(yīng)線段的比為1 ：2,寫出點(diǎn)A3, B3, C3的坐標(biāo)，并畫出那3B3c3.r k LI j_ L r r-1 - - R l-ulJd 二 i T i 4, t i -T + 11 L卜LLIE 二 ，J ilr r J * T t-a

36、-b-1-11 工十二千H. J JI J fcl-B: r b .Lr r LI r K L ri . 一二一二二- 二|*|二二 t-l * +1TT + A rr ALIr-ILNr-一L jL J- L J. -J_ L. Jj _1_ L _，iL-L1 i v i i 4 i 一n-rrTT-i-r *+ 一1Hfe" 4 T-卜 a Jr ：r I t r /FTYlVr K-L _li_ L-I-J.L J. JL LfJ.L 1 J'.L,| i t 1 i 曰T i 1 i * 1a-it t t ri-r rITTm J :m ju / h 卜 llrl

37、rILLit t nr- r n -r r i -r t " 1. J 41> > J -j 4 " . J事» -t-H+H-S-H-Hi -i-ni'-*-r-ri-ii-r*-| -kjji -L X JJL _j -pCV-rH-rl-； l -jF f- -I -十-1 -It -. jfl J-X1 J-ui J A r ri t i ft ii i i i * i .【答案】（1）Ai（3, 2）, Bi（-1, 6）, Ci（5, 6）,圖見解析；（2）A2（3, 3）, B2（1, 1）, C2（ 5, 1）,圖見解析；（3）

38、A3（6, 6）,B3（2, 2）,C3（10, 2）或A3（ 6, 6）,B3（2,2）,C3（-10, 2）,圖見解析【解析】（1） AABC的各點(diǎn)向左平移 8格后得到新點(diǎn)，順次連接得AA1B1。；（2）祥BC的另兩點(diǎn)繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°后得到新的兩點(diǎn)，順次連接得祥2B2C；（3）利用位似放大的性質(zhì)作圖.【詳解】 A1（3, 2）, B1（-1, 6）, C1（5, 6）.（2）A2（-3, -3）, B2（1, 1）, C2（-5, 1）.2）.（3）A3（6, 6）, B3（-2, 2）, C3（10, 2）或 A3（6, -6）, B3（2, 2）, C3（-10

39、,【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-平移變換；作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-位似變換.難點(diǎn)是第三問，即把AABC以點(diǎn)A為位似中心放大，就是在AB、AC的延長線上取點(diǎn)B3、C3,使B3c3=2BC,也就是說，BC是那B3c3的中位線.【新題訓(xùn)練】1.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）ABC的頂點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別為（-4, 5）, （-1, 3）.（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系；（2）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo) ；（3）將祥BC向右平移5個(gè)單位長度，向下平移 2個(gè)單位長度，畫出平移后的圖形 祥BC'（4）計(jì)算AABC的面積.(5)在x軸上存在一

40、點(diǎn)P,使PA+PC最小，直接寫出點(diǎn) P的坐標(biāo).【答案】 詳見解析；(2)B(-2,1);(3)詳見解析；(4)4;(5)P( 17 ,0).8【解析】(1)直接利用已知點(diǎn)位置得出x,y軸的位置;(2)利用平面直角坐標(biāo)系得出B點(diǎn)坐標(biāo)即可；(3)直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；(4)利用AAB C'所在矩形形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出答案.(5)作C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D,連接AD交x軸一點(diǎn)就為所求點(diǎn)【詳解】 如圖所示J.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,5),在A點(diǎn)y軸向右平移4個(gè)單位，x軸向下平移5個(gè)單位得到即可;(2)B (2,1)；(3)如圖所示：那BC即為所求;(4)祥BC的面積為

41、:mw£二。二=r =*二=*=«'=*=?*二iiiiiiiiaidauiii3 >4 X3>2 X1>2 X2 >4=4.(5)作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D(-1,-3)，連接AD交x軸于一點(diǎn)，該點(diǎn)為所求點(diǎn)設(shè)直線 AD:y=kx+b,將 A(-4,5),D(-1,-3)代入5 4x b3 1x bk解得：b8317817直線AD： y x 33,17令y=0,貝U x= 81 P點(diǎn)坐標(biāo)為(17 ,0)8此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，正確得出平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.2.如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為(-1

42、, 0), (3, 0),將線段AB先向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到線段 CD,連接AC, BD,構(gòu)成平行四邊形 ABDC.(1) 請(qǐng)寫出點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ,點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 , S四邊形ABDC；(2)點(diǎn)Q在y軸上，且SQAB= S四邊形ABDC ,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖(2),點(diǎn)P是線段BD上任意一個(gè)點(diǎn)(不與 B、D重合)，連接PC、PO,試探索/ DCP、/ CPO、 / BOP之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.| 圖(1 ) 圖(2)【答案】(1)(0, 2), (4,2),8；(2)Q(0, 4)或 Q(0,4)；(3)Z CPO = Z DCP+ZBOP,證明見解

43、析【解析】(1)根據(jù)平移直接得到點(diǎn)C, D坐標(biāo)，用面積公式計(jì)算 S四邊形ABDC即可；(2)設(shè)出Q的坐標(biāo)，OQ=|m|,用S/qab=S四邊形abdc建立方程，解方程即可;(3)作PE/AB交y軸于點(diǎn)E,利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出結(jié)論.【詳解】解：(1)二.線段AB先向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到線段 CD,且 A ( 1, 0), B (3, 0), C (0, 2), D (4, 2); . AB=4, OC=2, 二S四邊形ABDC = AB >OC = 4X2=8；故答案為：(0, 2); (4, 2); 8;(2) .點(diǎn) Q 在 y 軸上,設(shè) Q (

44、0, m), .OQ=|m|, 1 Saqab= >AB>OQ=工 X4X|m| = 2|m|,22S 四邊形 ABDC= 8, -2|m|=8, . m= 4或 m= 4, .Q (0, 4)或 Q (0, 4).（3）如圖, 線段CD是線段AB平移得到，/.CD / AB,作PE/AB交y軸于點(diǎn)E, .CD / PE, ./ CPE=Z DCP,. PE /AB, ./ OPE = Z BOP, ./ CPO = Z CPE+/OPE = / DCP+Z BOP, ./ CPO = Z DCP+Z BOP.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的平移及平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)并作出輔

45、助線是解題的關(guān)鍵.3.（問題情境）在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以圖形的平移”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，先將一張長為4,寬為3的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，拼成如圖所示的四邊形ABCD, AD 3, BD 4,則拼得的四邊形ABCD的周長是（操作發(fā)現(xiàn)）將圖中的zABE沿著射線DB方向平移，連ZAD、BC、AF、CE ,如圖.當(dāng)4ABE1 _的平移距離是一BE的長度時(shí)，求四邊形 AECF的周長.2（操作探究）將圖中的 4ABE繼續(xù)沿著射線 DB方向平移，其它條件不變，當(dāng)四邊形 ABCD是菱形時(shí)，將四邊形ABCD沿對(duì)角線剪開，用得到的四個(gè)三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫出所有可能拼成的 矩形周長【答案】【問

46、題情境】16；【操作發(fā)現(xiàn)】6+2 J13 ；【操作探究】20或22.【解析】【問題情境】首先由題意，可得 AB=CD, AC=BD, / ADB = /DBC =90° ,然后根據(jù)勾股定理，可得 AB,即可求得四邊形ABCD的周長；【操作發(fā)現(xiàn)】首先由平移，得 AE=CF=3, DE = BF,再根據(jù)平行，即可判定四邊形AECF是平行四邊形，然后根據(jù)勾股定理，可得AF,即可求得四邊形 AECF的周長；【操作探究】首先由平移，得當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn)F重合時(shí)，四邊形 ABCD為菱形，得出其對(duì)角線的長，沿對(duì)角線剪開的三角形組成的矩形有兩種情況：以6為長，4為寬的矩形和以3為寬，8為長的矩形，即可求得

47、其周長 .【詳解】由題意，可得 AB=CD, AC=BD, / ADB = / DBC=90°又 AD 3, BD 4,根據(jù)勾股定理，可得 AB .ad2 BD2 .3r-42 5四邊形ABCD的周長是2(AB AD) 2 5 316故答案為16.由平移，得 AE=CF=3, DE=BF. AE II CF,，四邊形AECF是平行四邊形.BE=DF=4,，EF=DE=2.在 RtAAEF 中,A AEF =90°,由勾股定理，得 AF=JAE2 EF2 =癡 .四邊形 AECF 的周長為 2AE+2AF=6+2 J13.由平移，得當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn)F重合時(shí)，四邊形 ABCD為菱形

48、，AE=CE=3, BE=DE=4,沿對(duì)角線剪開的三角形組 成的矩形有兩種情況：以6為長，4為寬的矩形，其周長為6 4 2 20;以3為寬，8為長的矩形，其周長為3 8 2 22.故答案為20或22.【點(diǎn)睛】此題主要考查根據(jù)平移的特征，矩形和菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解，熟練運(yùn)用，即可解題4 .如圖，在6 6的正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1,頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線交點(diǎn)處的三角形，VABC是一個(gè)格點(diǎn)三角形.1在圖 中，請(qǐng)判斷VABC與VDEF是否相似，并說明理由；2在圖中，以O(shè)為位似中心，再畫一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與VABC的位似比為2： 13在圖中，請(qǐng)畫出所有滿足條件的格點(diǎn)三角形，它與 VABC相似，且有

49、一條公共邊和一個(gè)公共角.【答案】（1）相似；（2）見解析；（3）見解析【解析】試題分析：（1）利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理得出三角形各邊長，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)邊的比相等，進(jìn)而得出答案;（2）利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合位似比得出答案；（3）利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合有一條公共邊和一個(gè)公共角進(jìn)而得出答案.試題解析：:1如圖所示：VABC與VDEF相似，理由：Q AB 1, BC 蕊,AC 2亞；DE 亞，EF 屈,DF 4,ABBCAC12DEEFDF4i2'VABC與VDEF相似；2如圖所示：VA'B'C'即為所求； 3如圖 所示：VADC和VCEB即為所求.點(diǎn)睛：三條邊對(duì)應(yīng)成比例，

50、兩個(gè)三角形相似5 .已知：AD是 ABC的高，且BD CD.(1)如圖 1,求證： BAD CAD ;(2)如圖2,點(diǎn)E在AD上，連接BE,將 ABE沿BE折疊得到 A'BE , A'B與AC相交于點(diǎn)F，若BE=BC,求 BFC的大??；(3)如圖3,在(2)的條件下，連接 EF ,過點(diǎn)C作CG EF ,交EF的延長線于點(diǎn)G ,若BF 10,【答案】(1)見解析，(2) BFC 60o (3) CF 8.【解析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一，易得AB=AC, BAD(2)在圖2中，連接CE ,可證得 BCE是等邊三角形，一1知 ABE A'BE - ABF ,可得 BFC

51、 FAB22 BED 600；BEC 60o , BED 30o且由折疊性質(zhì)可ABF 2 BAD ABE(3)連接CE,過點(diǎn)E分別作EH AB于點(diǎn)H , EMBF于點(diǎn)M , EN AC于點(diǎn)N ,可證得Rt BEM Rt CEN , BM CN , BF FMCF CN ,可得線段CF的長.【詳解】解：(1)證明：如圖1, QAD BC, BD CDAB ACBAD CAD ；(2)解：在圖2中，連接CEQ ED BC , BD CDBCE是等邊三角形BEC 60oBED由折疊性質(zhì)可知 ABEA'BEABF 2 ABEA圖1BE CE又Q BE BCBE CE BC30o1 ABF2由(

52、1)可知 FABBAEBFC FAB ABF 2 BAD ABE2 BED 2 30o 60o圖2(3)解：連接CE,過點(diǎn)E分別作EH AB于點(diǎn)H , EMBF于點(diǎn)M , EN AC于點(diǎn)NQ ABE A'BE , BAD CADAFE BFE又 Q BFC 60oEM EH ENAFE BFE 60o在 Rt EFM 中，Q FEM 90o 60o 30oEF 2FM令 FM m,則 EF 2mFG EG EF 6 2m1同理 FN -EF m, CF 2FG 12 4m 2BM CN在 Rt BEM 和 Rt CEN 中，Q EM EN , BE CE Rt BEM Rt CEN B

53、F FM CF FN10 m 12 4m m解得m 1CF 8A圖3故答案為(1)見解析，(2) BFC 60o (3) CF 8.【點(diǎn)睛】含30本題考查翻折的性質(zhì)，涉及角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、度角的直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難的題型C在y軸的正半6.如圖，長方形 OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)，點(diǎn) a在x軸正半軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)D、E分別是OC、BC的中點(diǎn)， CDE 30，點(diǎn)E的坐標(biāo)為 2,aOFA(1)求a的值及直線 DE的表達(dá)式;（2）現(xiàn)將長方形OABC沿DE折疊，使頂點(diǎn)C落在平面內(nèi)的點(diǎn) C'處，過點(diǎn)C'作y軸的平行線分別交 x軸 和BC于點(diǎn)F , G.求C'的坐標(biāo)；若點(diǎn)P為直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PC',當(dāng) PC'D為等腰三角形，求點(diǎn) P的坐標(biāo).（說明：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）【答案】（1） a=4 點(diǎn)；y= J3x+2 點(diǎn);（2） C，（3, 3如）；（1, 3乖），（B 3+2）, （3, 5,/3）或（-石，273-3）【解析】（1）由點(diǎn)E的坐標(biāo)為 2,a可知CE=2,由30°角的性質(zhì)可求 DE=4,由勾股定理