(完整word)2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷答案與解析

1、2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共 14小題，每小題5分，共計(jì)70分）1. （5分）（2015?江蘇）已知集合 A=1 , 2, 3, B=2 , 4, 5,則集合AU B中元素的個(gè)數(shù)為 5 .考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算.專(zhuān)題：集合.分析：求出AUB,再明確元素個(gè)數(shù)解答：解：集合 A=1 , 2, 3, B=2 , 4, 5,則 A U B=1 , 2, 3, 4, 5;所以AU B中元素的個(gè)數(shù)為5;故答案為：5點(diǎn)評(píng)：題考查了集合的并集的運(yùn)算，根據(jù)定義解答，注意元素不重復(fù)即可，屬于基礎(chǔ)題2. （5分）（2015?江蘇）已知一組數(shù)據(jù) 4, 6, 5, 8, 7, 6,那么

2、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì).分析：直接求解數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可.解答：解：數(shù)據(jù)4, 6, 5, 8, 7, 6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為： 弛注笆至=6.|6|故答案為：6.點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)據(jù)的均值的求法，基本知識(shí)的考查.3. （5分）（2015?江蘇）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i （i是虛數(shù)單位），則z的模為訴考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模.專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).分析：直接利用復(fù)數(shù)的模的求解法則，化簡(jiǎn)求解即可.解答：解：復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i,可得 |z|z|=|3+4i尸石窺了=5,|z|=/.故答案為：后點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，注意復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)

3、算能力.4. （5分）（2015?江蘇）根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為_(kāi).5*-1*11vhm 7<S/T + ?End khik Print S考點(diǎn)：偽代碼.專(zhuān)題：圖表型；算法和程序框圖.分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的I, S的值，當(dāng)1=10時(shí)不滿足條件IV 8, 退出循環(huán)，輸出 S的值為7.解答：解：模擬執(zhí)行程序，可得S=1 , I=1滿足條件IV 8, S=3, I=4滿足條件IV 8, S=5, I=7滿足條件IV 8, S=7, I=10不滿足條件IV 8,退出循環(huán)，輸出 S的值為7.故答案為：7.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序，正確判斷退出循環(huán)的

4、條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ) 題.5. (5分)(2015?江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只紅球、2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為-.一6一考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式.專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì).分析：根據(jù)題意，把4個(gè)小球分別編號(hào)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率即可.解答：解：根據(jù)題意，記白球?yàn)?A,紅球?yàn)锽,黃球?yàn)镃1、C2,則一次取出2只球，基本事件為 AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6種，其中2只球的顏色不同的是 AB、AC1、AC 2、BC1、BC2共5種；所以所求的概率是 PL同故答案為：反點(diǎn)評(píng)：本題考查了用列舉法求

5、古典概型的概率的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.6. (5 分)(2015?江蘇)已知向量 |打=(2, 1), b|= (1, -2),若 ma+nb= (9, -8) (m,nCR),則m n的值為 -3 .考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義.專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用.分析：直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求解即可.解答：一一一 r解：向量 a= （2, 1）, b= （1, 2）,若 ma+nb=（9, 8）可得f2*n±9,解得m=2,門(mén)=5,I in_ 2n= - 8故答案為：-3.點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量相等條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.7. （5分）（2015?江蘇）不等式 2 / 一芯

6、4的解集為 （1, 2）.考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法.專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用.分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為x2-x2,求解即可.解答：解；：2 K 式4,x2 - xv 2,即 x2 - x - 2V 0,解得：-1vxv2故答案為：（-1, 2）點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次不等式的求解，屬于簡(jiǎn)單的綜合題目，難度不大.8. （5分）（2015?江蘇）已知 tan“=-2, tan （ “+份 "，貝U tan （的值為 3 .考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù).專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值.分析：直接利用兩角和的正切函數(shù)，求解即可.解答：解：tan a= - 2, t

7、an （ a+ 3） r，可知 tan ( o+ 3)=一 tan 口 tan P即|=T解得 tan 3=3.故答案為：3.點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和的正切函數(shù)，基本知識(shí)的考查.9. （5分）（2015?江蘇）現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為 5,高為4的圓錐和底面半徑為 2, 高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變， 但底面半徑相同的新的 圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為 考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.專(zhuān)題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.分析：由題意求出原來(lái)圓柱和圓錐的體積，設(shè)出新的圓柱和圓錐的底面半徑r,求出體積,由前后體積相等列式求得 r.解答:解：由題意可知，原來(lái)圓錐和圓柱的

8、體積和為:1k196兀7乂25兀工4+4元甘二-設(shè)新圓錐和圓柱的底面半徑為r,則新圓錐和圓柱的體積和為：工乂4n/十§兀r2二招處工.28TTt 1967U 解得：33故答案為：JR點(diǎn)評(píng):本題考查了圓柱與圓錐的體積公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.10. (5分)(2015?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線 mx - y(x-1) 2+y2=2 .考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程.專(zhuān)題：計(jì)算題；直線與圓.分析：求出圓心到直線的距離 d的最大值，即可求出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.nrh1IT解答:解：圓心到直線的距離d=-11Vni2M-2m-1=0 (mCR)相切的所有圓中，

9、半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為21m=1時(shí)，圓的半徑最大為、叵，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1) 2+y2=2.故答案為：(x-1) 2+y2=2 .點(diǎn)評(píng)：本題考查所圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基 礎(chǔ). 一一一*、 E111. (5 分)(2015?江辦)設(shè)數(shù)歹U an滿足 a1=1,且 an+1 - an=n+1 (nCN ),則數(shù)列的刖 %10項(xiàng)的和為.231L考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.數(shù)列an滿足a1=1 ,且an+1 - an=n+1 (nCN ),利用 累加求和 可得n (n+1J an=利用裂項(xiàng)求和”即可得出.斛答：斛：數(shù)列an

10、滿足 a1=1,且 an+1 - an=n+1 (nCN ),一一一.、 ，一nn+1).當(dāng) n凄時(shí)，an= (an-an-1) +(/-a1) +a1=+n+2+1=當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立,n (n+1) . an=_(n+1)數(shù)列工的前 n 項(xiàng)的和 Sn=21 (1 - ) + () + (223n rr+1-L L篇)=工n+1數(shù)列二L的前10項(xiàng)的和為&.日歷故答案為:2011點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的 累加求和”方法、查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考12. (5分)(2015?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，P為雙曲線x2-y2=1右

11、支上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為 返 .-2 -考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).專(zhuān)題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析：雙曲線x2-y2=i的漸近線方程為 x勺=0, c的最大值為直線 x - y+1=0與直線x - y=0 的距離.解答：解：由題意，雙曲線 x2- y2=i的漸近線方程為x與=0,因?yàn)辄c(diǎn)P到直線x - y+1=0的距離大于c恒成立，所以c的最大值為直線 x-y+1=0與直線x- y=0的距離，即 返.2故答案為：返2點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).色，0<«<113. (5 分)

12、(2015?江蘇)已知函數(shù) f (x) =|lnx|, g (x) =.,貝U方程1| -k>1|f (x) +g (x) |=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為 _4_考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.專(zhuān)題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：由|f ( x) +g ( x) |=1可得g (x) =- f (x) 土，分別作出函數(shù)的圖象，即可得出結(jié) 論.解答：解：由 |f (x) +g (x) |=1 可得 g (x) =-f (x) =y.g (x)與h (x) = - f (x) +1的圖象如圖所示，圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；八5 -y4 -44g (x)與(f) (x) =- f (x) - 1的圖象如圖所示，圖

13、象有兩個(gè)交點(diǎn);所以方程|f (x) +g (x) |=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為4.故答案為：4.點(diǎn)評(píng)：本題考查求方程|f (x) +g (x) |=1實(shí)根的個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生 分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題./八、,八、十什、汗心目k , k兀k叮kn、,、14. (5 分)(2015?江蘇)設(shè)向量 = (cos, si+cos) (k=0, 1, 2,，12),k661L則£ (ak?ak+1)的值為 _.k=0考數(shù)列的求和.點(diǎn):專(zhuān)等差數(shù)列與等比數(shù)列；平面向量及應(yīng)用.題:分利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、積化和差公式、三角函數(shù)的周期性即可 析得出.解解:-3-

14、'coskirOdd)江)Csin6(k+1) H（k+l幾7l-COST6b(Hl)元-6.kTl (k+1)n sin- 6 - 8 sGkTT . (k+1)兀83 不 sin- 0=，+ -二2一+ 二 1Tkn (k+1)兀COSC0S8二1二一I 二二2H17T11，£ (ak?ak+i)k=0=. 一+ 亡）一+1 tJTI+ (cos+26SlYT-jT-5TTco.lin sinrV+ - 13 兀+ h9T117T.+b 6+ . 十13n.二2+23兀COSe-6=9 小+0+0 =-故答案為：9n.點(diǎn)本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、積

15、化和差公式、三角函數(shù)的周期評(píng)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15. （14 分）（2015研蘇）在 4ABC 中，已知 AB=2 , AC=3 , A=60 °.（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求sin2c的值.考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用；二倍角的正弦.專(zhuān)題：解三角形.分析：（1）直接利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求出 C的正弦函數(shù)值，然后利用二倍角公式求解即可.=7=7,2解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB?ACcosA=4+8 - 2>2>3所以 bc=

16、Vt|.（2）由正弦定理可得:AB上上則sinc"minC sinABC SLnABO2sin60* V21.ABvBC,，C 為銳角,則cosc=vu而邛.因此 sin2c=2sinCcosC=2 第1 乂空1rb共.777點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，二倍角的三角函數(shù)，注意角的范圍的解 題的關(guān)鍵.16. (14 分)(2015?1蘇)如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AC ± BC , BC=CC 1, 設(shè)AB 1的中點(diǎn)為D, B1CABC1=E.求證：(1) DE / 平面 AA 1C1C；(2) BC11AB 1.考點(diǎn)：直線與平面平行

17、的判定；直線與平面垂直的性質(zhì).專(zhuān)題：證明題；空間位置關(guān)系與距離.分析：(1)根據(jù)中位線定理得 DE/AC,即證DE/平面AA1C1C；(2)先由直三棱柱得出 CC1,平面ABC ,即證ACLCC1；再證明AC,平面BCC1B1, 即證BCHAC ;最后證明BC1,平面B1AC,即可證出BCHAB 1.解答：證明：(1)根據(jù)題意，得；E為B1C的中點(diǎn)，D為AB1的中點(diǎn)，所以 DE/AC;又因?yàn)镈E?平面AA1C1C, AC?平面AA1C1C,所以DE /平面AA 1C1C;(2)因?yàn)槔庵?ABC - A1B1C1是直三棱柱，所以CC平面ABC ,因?yàn)锳C?平面ABC ,所以 ACXCC1；又因?yàn)?/p>

18、AC ± BC,CC1?平面 BCC1B1,BC?平面 BCC1B1,BC ACC1=C,所以AC,平面BCC1B1；又因?yàn)锽C1?平面平面BCC1B1,所以 BC11AC ;因?yàn)锽C=CC 1,所以矩形BCC1B1是正方形，所以BCU平面B1AC;又因?yàn)锳B1?平面B1AC, 所以 BCiXAB 1.點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與直線，直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，也考查了空間想象 能力和推理論證能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.17. (14分)(2015?江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的 交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互

19、垂直的公路為11, 12,山區(qū)邊界曲線為 C,計(jì)劃修建的公路為1,如圖所示，M, N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得 點(diǎn)M到11, 12的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到11, 12的距離分別為20千米和2.5千米，以12,11在的直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系 xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=:(其中a, b為常數(shù))模型.(1)求a, b的值；(2)設(shè)公路1與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t. 請(qǐng)寫(xiě)出公路1長(zhǎng)度的函數(shù)解析式 f (t),并寫(xiě)出其定義域;當(dāng)t為何值時(shí)，公路1的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度.考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用.專(zhuān)題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.分析：(1)由題意知，點(diǎn)M, N的坐標(biāo)分別

20、為(5, 40), (20, 2.5),將其分別代入y二建立方程組，即可求 a, b的值；(2) 求出切線1的方程，可得 A, B的坐標(biāo)，即可寫(xiě)出公路 1長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f (t),并寫(xiě)出其定義域；設(shè)g (t) =tJ,利用導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性，即可求出當(dāng) t為何值時(shí)，公路1的長(zhǎng)度最短，并求出最短長(zhǎng)度.將其分別代入y=0=1000 b=0解答：解：(1)由題意知，點(diǎn) M, N的坐標(biāo)分別為(5, 40), (20, 2.5),(2)由(1)(5»磴0) , P (t,. .、= 一2000切線l的方程為1000 2000(x t)設(shè)在點(diǎn)p處的切線l交x, y軸分別于A, B點(diǎn)，則A，0),

21、 B (0,3000V-f(D'，+：1"-=.Gtq5, 20；設(shè)g(t) = .絲乎貝U g' (t) =2t-te (5,10'在)時(shí)，g'(t) V0, g (t)是減函數(shù)；te (1/，20)時(shí)，g'(t)>0,g (t)是增函數(shù)，從而t=10加時(shí)，函數(shù)g (t)有極小值也是最小值,1- g (t) min=300 ,f (t) min=15'/3,答：t=io%用時(shí)，公路i的長(zhǎng)度最短,最短長(zhǎng)度為 1正千米.點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，確定函數(shù)關(guān)系，正 確求導(dǎo)是關(guān)鍵.18. (16分)

22、(2015?江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓b2=1 (a>b>0)的離心率為 X 且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為 2|(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)F的直線與橢圓交于 A , B兩點(diǎn)，線段ABC,若PC=2AB ,求直線 AB的方程.3.的垂直平分線分別交直線 l和AB于點(diǎn)P,y *3考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.專(zhuān)題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析：(1)運(yùn)用離心率公式和準(zhǔn)線方程，可得a,c的方程,解得a, c,再由a, b, c的關(guān)系，可得b,進(jìn)而得到橢圓方程；(2)討論直線 AB的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程, 定理和弦長(zhǎng)公式，

23、以及兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)即可得到所求直線的方程.解解：(1)由題意可得，e=£=V_2?3 P22且 c+三=3,解得 c=1, a=v'2,c則b=1,即有橢圓方程為 工+y2=i ；回(2)當(dāng) ABx 軸，AB=J2，CP=3,不合題意；當(dāng) AB 與 x 軸不垂直，設(shè)直線 AB : y=k (x-1), A (xi, yi) , B (x2, y2), 將AB方程代入橢圓方程可得(1+2k2) x2-4k2x+2 (k2T) =0,|ABl+2k2若k=0,則AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意;(1+lc2)貝U k0,故 P

24、C: y+-=-i (x- 2k ), P ( 2,"5k _),1+2l+2k?k Cl+2k2)“2(3k2+lD Vl+k2從而|PC|二|k| (l+2k2)由 |PC|=2|AB|,可得,解得k=42(5儲(chǔ)+1)小+/=遂 U+M)|k| (1+20l+2k?此時(shí)AB的方程為y=x - 1或y= - x+1 .點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查兩直線垂直和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，屬于中檔題.19. (16 分)(2015?!蘇)已知函數(shù) f (x) =x3+ax2+b (a, bCR).(1)試討論f

25、 (x)的單調(diào)性；(2)若b=c- a (實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f (x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(-OO+ °°),求C的值.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.專(zhuān)題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.分析：(1)求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得出f (x)的單調(diào)性；(2)由(1)知，函數(shù)f (x)的兩個(gè)極值為f (0) =b, f (-)=魚(yú)/+b,則函數(shù)327f (x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于f (0) f (-+b) < 0,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為a>°時(shí)，磊君3Ia+c> 0 或 a< 0 時(shí)，4 q-a

26、+c<0.設(shè) g (a)石尸-a+c,禾1J用條件即可求C的值.解答：解：(1) -. f (x) =x3+ax2+b, 9f (x) =3x +2ax,令 f' (x) =0 ,可得 x=0 或3a=0 時(shí)，f'(x) >0, . .f (x)在(-巴 +oo)上單調(diào)遞增;a> 0 時(shí),OO-孕)U (0, +8)時(shí)，f' (x) >0, x (一除 JJ,0)時(shí)，f' (x)<0,函數(shù)f(x)在(- 8,普)，(0,+ OO)上單調(diào)遞增，在(-年，0)上單調(diào)遞減;Ja< 0 時(shí),oooo)時(shí)，f' (x) >

27、0, x (0, 一空)時(shí)，f' (x)J<0,函數(shù)f(x)0)(-+ 8)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減;(2)由(1)知，函數(shù)f (x)的兩個(gè)極值為f (0) =b, f (-&)3+b,則函數(shù)f (x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于f (0) f (-I 327a<0,b=c- a,.a>。時(shí)，爰'a4 q-a+c>0 或 a<0 時(shí)，京a。-a+c< 0.設(shè) g (a)27-a+c,-3) U (1謂)函數(shù)f (x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)， a的取值范圍恰好是(-8,u (, +°°), 在(-8,-3)

28、77;, g (a) < 0 且在(1, -|) U (H, +8)± g (a) > 0 均恒成立,g (- 3) =c- 1),且 g (為=c- 10, c=1,此時(shí) f (x) =x3+ax2+1 - a= (x+1) x2+ (a- 1) x+1 - a,函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，x2+ (a - 1) x+1 - a=0有兩個(gè)異于-1的不等實(shí)根，= (a- 1) 2 - 4 (1 - a) > 0,且(-1) 2- ( a- 1) +1 - a咻解得 aC ( 8, 3)U (1,-2) U 應(yīng)，+8),22綜上c=1.點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的

29、單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類(lèi)討論 的數(shù)學(xué)思想，難度大.20. (16分)(2015?1蘇)設(shè)ai, a2, a3. a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為 d (d加)的等差數(shù)列.(1)證明：2 ai, 2叼，2 %, 2、依次構(gòu)成等比數(shù)列；(2)是否存在a1，d,使得a1, a?2, a33, a44依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；(3)是否存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a/，a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由.考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定；等比數(shù)列的性質(zhì).專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：(1)根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義即可證明；(2)利用反證法，假設(shè)存在 a1，d使彳導(dǎo)a1

30、, a22, a33, a44依次構(gòu)成等比數(shù)列，推出矛 盾，否定假設(shè)，得到結(jié)論；(3)利用反證法，假設(shè)存在a1，d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列，得至ij a1n (a1+2d) n+2k= (a+2d) 2(n+k),且(a+d) n+k (aI+3d) n+3k= (a1+2d) 2(n+2k),利用等式以及對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)整理得到ln (1+3t) ln (1+2t) +3ln(1+2t) In (1+t) =4ln (1+3t) In (1+t), (*),多次構(gòu)造函數(shù)，多次求導(dǎo)，利用零點(diǎn) 存在定理，推出假設(shè)不成立.解答：-一解：(1)

31、證明：-.1二/工+1J=2d, (n=1 , 2, 3,)是同一個(gè)常數(shù)，3. 二2 ". .2 %, 2%，2 %, 2 %依次構(gòu)成等比數(shù)列;(2)令 a1+d=a,貝U a1, a2, a3, a4分另1J為 a- d, a, a+d, a+2d (a>d, a> 2d, d4) 假設(shè)存在a1, d使得a1, a22, a33, a44依次構(gòu)成等比數(shù)列，貝U a4= (a-d) (a+d) 3,且(a+d) 6=a2 (a+2d) 4,令 t=q,貝u 1=(1。(1+t)3,且(1+t)6=( 1+2t)4, (-<t< 1, t用),3 '&#

32、39;2化簡(jiǎn)得 t3+2t2- 2=0 (*),且 t2=t+1 ,將 t2=t+1 代入(*)式，t (t+1) +2 (t+1) 2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0 ,貝U t=I，4顯然t=-4不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在a1，d,使得a1, a22, a33, a44依次構(gòu)成等比數(shù)列.(3)假設(shè)存在a1，d及正整數(shù)n, k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)mtt n z 、 n+2k /、 2(n+k) 口 /、 n+k /、 n+3k /、 2(n+2k：貝Ua1(a1+2d)=(a1+2d),且(a1+d)(a1+3d)

33、=(a1+2d)分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以=a12(n+k), a12(n+2k),并令t=包，(t>t加)，勺 3則(1+2t) n+2k= (1+t) 2(n+k),且(1+t) n+k (1+3t) n+3k= (1+2t) 2(n+2k),將上述兩個(gè)等式取對(duì)數(shù)，得( n+2k) ln (1+2t) =2 (n+k) In (1+t),且(n+k) In (1+t) + (n+3k) In (1+3t) =2 (n+2k) In (1+2t),化簡(jiǎn)彳導(dǎo),2kln (1+2t) - In (1+t) =n2ln (1+t) - In (1+2t),且 3kln (1+3t) - In

34、 (1+t) =n3ln (1+t) - In (1+3t),再將這兩式相除，化簡(jiǎn)得，ln (1+3t) ln (1+2t) +3ln (1+2t) In (1+t) =4ln (1+3t) In (1+t), (*)+3ln (1+2t) In (1+t),令 g (t) =4ln (1+3t) In (1+t) In (1+3t) In (1+2t)則 g' (t)+3 (1+t)=?(1+t)(l+3t)2,、ln (1+t),(1+3t)2ln令()(t) = (1+3t) 2ln (1+3t) - 3 (1+2t) 2ln (1+2t)(1+3t) - 3 (1+2t) 2l

35、n (1+2t)+3 (1+t) 2ln (1+t),則(f)'(t) =6 (1+3t) In (1+3t) - 2 (1+2t) In (1+2t) +3 (1+t) In (1+t),令 .(t) =(f)'(t),則 5' (t) =63ln (1+3t) - 4ln (1+2t) +ln (1+t),令怩-t),則花,(t)=(心皿>0由 g (0) =4(0) =(f)1 (0)=幟(0) =0, M' (t) >0,知 g (t), (f) (t), % (t), (1)2 (t)在(一，0)和(0, +8)上均單調(diào)，故g (t)只有唯

36、一的零點(diǎn)t=0 ,即方程(* )只有唯一解t=0 ,故假設(shè)不成立，所以不存在a1, d及正整數(shù)n, k,使得a，a2n+k, a3n+2k, a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力，屬于難題.三、附加題(本大題包括選做題和必做題兩部分)【選做題】本題包括 21-24題，請(qǐng)選定其中兩小題作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟【選修4-1:幾何證明選講】21. (10分)(2015?1蘇)如圖，在 4ABC中，AB=AC , AAB

37、C的外接圓。的弦AE交 BC于點(diǎn)D.求證：ABDsaeb.考點(diǎn)：相似三角形的判定.專(zhuān)題：推理和證明.分析：直接利用已知條件，推出兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即可證明三角形相似.解答：證明：.AB=AC , ./ABD= /C,又 / C=/E, . / ABD= / E,又 / BAE 是公共 角，可知：ABDsaeb.點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的基本性質(zhì)與相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力.【選修4-2:矩陣與變換】22. （10分）（2015?江蘇）已知 x, yCR,向量 d是矩陣的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量，求矩陣 A以及它的另一個(gè)特征值.考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算.專(zhuān)題：矩陣和變換.解

38、：由已知，可得 a a = -2d力價(jià).利用a d=-2 Q,可得A= 1 1 ,通過(guò)令矩陣A的特征多項(xiàng)式為 0即得結(jié)論.K - 1= - 2 y=2.矩陣a=,l_2 oj從而矩陣a的特征多項(xiàng)式f （ X）= （ H2）（入-1）,矩陣A的另一個(gè)特征值為1.點(diǎn)評(píng)：本題考查求矩陣及其特征值，注意解題方法的積累，屬于中檔題.【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】23. （2015?江蘇）已知圓 C的極坐標(biāo)方程為+2/2 psin（ Q-1） -4=0,求圓C的半徑.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.專(zhuān)題：計(jì)算題；坐標(biāo)系和參數(shù)方程.分析：先根據(jù)x= pcos 0, y= psin 0,求出圓的直角坐標(biāo)方程，求

39、出半徑.解答.解：圓的極坐標(biāo)方程為02+2歷psin （。-工）-4=0,可得p2-2 pcos卅2 ©in 9-4=0,化為直角坐標(biāo)方程為 x2+y2 - 2x+2y - 4=0 ,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1） 2+ （y+1） 2=6, 圓的半徑r=7&.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，以及求點(diǎn)的極坐標(biāo)的方法，關(guān) 鍵是利用公式 x= pcos 0, y= psin 為比較基礎(chǔ)，選彳4-5:不等式選講】24. （2015?江蘇）解不等式 x+|2x+3|皮.考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法.專(zhuān)題：不等式.分析：思路1 (公式法)：利用|f (x) |再(x) ?

40、f (x)為(x),或f (x) <- g (x);思路2 (零點(diǎn)分段法)：對(duì)x的值分xn-x之-2”進(jìn)行討論求解.| 21解答：解法1： x+|2x+3|或 變形為|2x+3蘆-x,得 2x+3 或-x,或 2x+3 >- (2-x),即 x>-,或 x<- 5,3即原不等式的解集為x|x ,或x<- 5.3解法2:令|2x+3|=0,得x=-至.2 當(dāng)x>-時(shí)，原不等式化為 x+ (2x+3)名 即xA2, 所以x>-;T gx< 謂時(shí)，原不等式化為 x(2x+3)或，即x<- 5,所以x<- 5.綜上，原不等式的解集為x|x ,

41、或 x<- 5.點(diǎn)評(píng)：本題考查了含絕對(duì)值不等式的解法.本解答給出的兩種方法是常見(jiàn)的方法，不管用哪 種方法，其目的是去絕對(duì)值符號(hào).若含有一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，利用公式法要快捷一些， 其套路為：|f (x) | 司(x)? f(x)為(x),或 f(x)<- g(x);|f (x) | 匐(x) ?-g (x) < (x)可(x).可簡(jiǎn)記為：大于號(hào)取兩邊，小于號(hào)取中間.使用零點(diǎn)分段 法時(shí)，應(yīng)注意：同一類(lèi)中取交集，類(lèi)與類(lèi)之間取并集.【必做題】每題10分，共計(jì)20分，解答時(shí)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟25. (10分)(2015?江蘇)如圖，在四棱錐 P- ABCD中，已知PAL平面A

42、BCD ,且四邊形_71 _ABCD 為直角梯形，Z ABC= Z BAD=, PA=AD=2 , AB=BC=1 .(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線 CQ與DP所成的角最小時(shí)，求線段 BQ的長(zhǎng).考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離；空間角.分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AB、AD、AP所在直線分別為x、v、z軸建系A(chǔ) - xyz .(1)所求值即為平面 PAB的一個(gè)法向量與平面 PCD的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可；(2)利用換元法可得 cos2CQ, 口口>仁良，結(jié)合函數(shù)y=cosx在

43、(0,工)上的單調(diào) 102性，計(jì)算即得結(jié)論.解答:解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AB、AD、AP所在直線分別為x、v、z軸建系A(chǔ) - xyz如 圖，由題可知 B (1, 0, 0), C (1, 1, 0), D (0, 2, 0), P (0, 0, 2).(1) .，平面PAB, . AD= (0, 2, 0),是平面 PAB的一個(gè)法向量， PC= (1, 1, 2) , FD= (0, 2, 2),設(shè)平面PCD的法向量為，=(x, v, z),FnrFC 二 Qm*PD=0取 y=1,得 ir= (1, 1,1),.1. cosv AD,f AD * in y/3r>=：一=''| AB