備戰(zhàn)中考數(shù)學圓與相似綜合題匯編含詳細答案

1、備戰(zhàn)中考數(shù)學圓與相似綜合題匯編含詳細答案、相似Lj1.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+ 士 x+c的圖象與y軸交于點A （0, 4）,與x軸交于點B、請直接寫出二次函數(shù) y=ax2+ x+c的表達式;(1)(2)判斷 ABC的形狀，并說明理由;(3)若點N在x軸上運動，當以點 A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；（4）若點N在線段BC上運動（不與點 B、C重合），過點 N作NM / AC,交AB于點M,當4AMN面積最大時，求此時點 N的坐標.【答案】（1）解：. A （0, 4） , .-.c=4,把點 C坐標（8, 0）代入解析式，得：a=-，二次函數(shù)表達式為(

2、2)解：令y=0,則解得，x1=8, x2="-2" ,.點B的坐標為(-2,0),由已知可得，在RtA AOB 中,AB2=BO2+AO2=22+42=20 ,在 RtA AOC 中 AC-2=AO2+CC2=42+82=80 ,又 . BC=OB+OC=2+8=10 .在4ABC中 AB-2+ AC-2=20+80=102=BC2 , . 4ABC是直角三 角形；（3）解：由勾股定理先求出AC,時，NO=CO=8, .此時 N (-8, 0)AC=M - 6 點，在x軸負半軸，當 AC=AN ;在x軸負半軸，當 AC=NC時，NC=AC=.曰,.CO=8,NO=(8-,

3、0）；在x軸正半軸，當 AN=CN時，設CN=x,貝U AN=x,此時 N (3, 0);ON=8-x,在 RtA AON 中,|斟十出一、/= .r ,解得：x=5,在 x 軸正半軸，當 AC=NC時，AC=NC=A/ , .ON=J、ON=3,+ 8,，此時;綜上所述：滿足條件的N點坐標是（-8, 0）、（ 8-, 0)、( 3,0)、 (8+0)；（4）解：設點 N的坐標為（n, 0）,則BN=n+2,過M點作MD，x軸于點D, .MD / OA, . . BMDsBAO,. OA=4 ,BC=10 , BN=n+2 ,瞰 MbBA OA , . MN /AC,一1MD= 3( n+2

4、),期)BSOA BC ,. ' Sa amn= Saabn- Sabmn = BMDsBAO,于是有比，也例式即一鋼，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得所以期 將已知線段代/1112-BN L QA - -BN ' W - - X (n * 2) X 4 -二 X :彷如 X (n * 2) (J4BJifqqju-U1.I_(n 3)1+5, 一，0,，n=3時，S有最大值，當AAMN面積最大時，N點坐標為（3, 0）.【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式;（2）因為拋物線交 x軸于 曰C兩點，令y=0,解關于x的一元二次方程可得點 B的坐 標，然后計算 AB

5、、BC AC的長，用勾股定理的逆定理即可判斷；（3）由（2）可知AC的長，由題意可知有 4種情況：在x軸負半軸，當 AC=AN叱 在x軸負半軸，當 AC=NC時； 在x軸正半軸，當 AN=CN時； 在x軸正半軸， 當AC=NC時；結(jié)合已知條件易求解；（4）設點N的坐標為（n, 0）,則BN=n+2,過M點作MDx軸于點D,由平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所構成的三角形與原三角形相似可得入比例式可將 MD用含n的代數(shù)式表不出來，根據(jù)三角形的構成可得Saamn= Saabn- Sabmn =/1-? BN?OA-BN?MD,將BN、MD代入可得關于n的二次函數(shù)，配成頂點式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

6、解。 2.如圖：在 中，BC=2,AB=AC點D為AC上的動點，且10(1)求AB的長度；(2)求ADAE的值；(3)過 A 點作 AHXBD),求證：BH=CD+DH.【答案】(1)解：作AM ± BC, . AB=AC,BC=2 AM ± BC, 1.BM=CM= BC=1,在 RtAAMB 中， 留 xfji .cosB=,BM=1,y/7dAB=BM + cosB=1 1 4 =寸位.(2)解：連接CD, .AB=AC,/ ACB=Z ABC, 四邊形ABCD內(nèi)接于圓O, / ADC+Z ABC=180, °又 / ACE+Z ACB=180,/ ADC=

7、Z ACE, Z CAE之 CAD, .EACACAD,A 兇, .AD AE=AG=AE2=2=10.(3)證明：在 BD上取一點N,使得BN=CD,Cl!在 ABN和AACD中AB = AC f/3 = Z1 . 小 CD .ABNAACD) (SAS ,.AN=AD, . AHXBD), AN=AD,.NH=DH,又 BN=CD,NH=DH, .BH=BN+NH=CD+DH./【解析】【分析】(1)作AMBC,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得BM=CM=_ BC=1,在BM5RtA AMB中，根據(jù)余弦定義得 cosB=川，由此求出AB.(2)連接CD,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)等邊對等角得 /ACB

8、=/ABC,再由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì) 和等角的補角相等得 /ADC=/ ACE由相似三角形的判定得 EA8 4CAD,根據(jù)相似三角 形的性質(zhì)得網(wǎng) AE初 水；從而得AD AE=A(2=AB2(3)在BD上取一點N,使得BN=CD根據(jù)SAS得 ABN AACD,再由全等三角形的性質(zhì) 得AN=AD,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得NH=DH,從而得BH=BN+NH=CD+DH.3.已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然后它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形，如圖，在4CFE中，CF=6,CE=12/ FCE=45，以點C為圓心，以任意長為半徑作 AD,再分別以點 A和點D

9、為圓心，大于AD長為半徑做弧，交出于點B,AB/ CD.(1)求證：四邊形 ACDB為4CFE的親密菱形;(2)求四邊形 ACDB的面積.【答案】(1)證明：由已知得：AC=CD,AB=DEft已知尺規(guī)作圖痕跡得：BC是/FCE的角平分線，/ ACB=Z DCB,又 AB/ CD,/ ABC=Z DCB,/ ACB=Z ABC,.AC=AB,又 AC=CD,AB=DB, .AC=CD=DB=BA四邊形ACDB是菱形，又 / ACD與4FCE中的/ FCE重合，它的對角 /ABD頂點在EF上, ，四邊形ACDB為4FEC的親密菱形.(2)解：設菱形 ACDB的邊長為x, CF=6,CE=12,

10、. FA=6-x, .sin/ACH=把， 產(chǎn).AH=4 X- =2 ",四邊形ACDB的面積為： X入號H也.【解析】【分析】(1)依題可得：AC=CD,AB=DB,BC是/ FCE的角平分線，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得 /ACB=/ ABC,根據(jù)等角又卡?邊得 AC=AB,從而得 AC=CD=DB=BA根據(jù)四邊相等得四邊形是菱形即可得四邊形ACDB是菱形；再根據(jù)題中的新定義即可得證(2)設菱形 ACDB的邊長為x,根據(jù)已知可得 CF=6,CE=12,FA=6-x根據(jù)相似三角形的判定 6 - x .和性質(zhì)可得6-1，解得：x=4，過點A作AHLCD于點H,在RtACH中，根

11、據(jù)銳角三角形函數(shù)正弦的定義即可求得AH再由四邊形的面積公式即可得答案.4 .如圖(1),已知點 G在正方形 ABCD的對角線 AC上，GE± BC,垂足為點 巳 GF± CD,垂足為點F.BdH D圖AG： BE的值為(00< a< 45。)，如圖(2)所示，試探究線段圖回(1)證明與推斷： 求證：四邊形 CEGF是正方形； 推斷：(2)探究與證明：將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)“角AG與BE之間的數(shù)量關系，并說明理由：(3)拓展與運用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當 B, E, F三點在一條直線上時，如圖(3)所示，延長 CG交 AD于點 H.若 AG=

12、6, GH=2 袒,則 BC=:【答案】(1)證明：二四邊形ABCD是正方形，/ BCD=90 ； / BCA=45 ；-. GE± BC GFXCD,/ CEG=Z CFG=Z ECF=90,°，四邊形 CEGF是矩形，/CGE=Z ECG=45,°EG=EC，四邊形CEGF是正方形在 RtA CEG和 RtA CBA 中,Cb 的CL =cos45 =° 2、t>i =cos45 =° 2 ,C6 CA 2=赤 ,一 ,.AC8 4BCE線段AG與BE之間的數(shù)量關系為 AG= V- BE(3)為飛【解析】【解答】(1)由 知四邊形CE

13、GF是正方形,/CEG4 B=90 ,° /ECG=45,°B、E、F三點共線,/ BEC=135, ° .ACGABCE,/ AGC=Z BEC=135 ,/ AGH=Z CAH=45 ； / CHA=Z AHG, .AHGsCHA,. .云一新F,設 BC=CD=AD=a 貝U AC= . a,AG Ch 6為口則由AC .他得卻，.AH= ”,1 皿則 DH=AD- AH= a, CH十戒=3 a,I2-d63AGAh窗豆ylbi Aa由 4f a得,解得：a=3 / ,即 BC=3 xfl,【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出 /BCD=90, / BCA=

14、45 ,根據(jù)垂直的定義及等量 代換得出/CEG=Z CFG=Z ECF=90,根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形得出四邊形CEGF是矩形，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出/CGE=Z ECG=45,根據(jù)等角對等邊得出 EG=EC根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得出四邊形CEGF是正方形； 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出GE/ /CD,根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行得出GE/ AB,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出 GC： EC= AG： BE,根據(jù)等腰直角三角形的邊之間的關系得出GC： EC=T ,從而得出答案；CG CACE CB ，從而判斷出(2 )連接CG,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知/ BCEW ACG=,根據(jù)余弦函

15、數(shù)的定義得出 CE ©° WCG2 CA2 ACGsBCE,根據(jù)相似三角形對應邊的比等于相似比即可得出結(jié)論線段AG與BE之間的數(shù)量關系為AG= . BE ;(3 )根據(jù)/CEF=45,點B、E、F三點共線，由鄰補角定義得出/ BEC=135 ,根據(jù) ACGABCE , 得 出 /AGC=/ BEC=135 °, 故 / AGH=/ CAH=45° , 然后 判斷出 AHGACHA,根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出AG： AC= GH ： AH = AH ： CH,設BC=CD=AD=a則AC=- a,根據(jù)比例式得出關于 AH的方程，求解 AH的值，根據(jù) D

16、H=AD -AH表示出DH,根據(jù)勾股定理表示出 CH,根據(jù)前面的比仞式得出關于a的方程，求解得出a的值，從而得出 BC的值。5.問題提出;(1)如圖1,矩形ABCD, AB= 4, BC= 8,點E為CD的中點，點 P為BC上的動點，CP= 時， APE的周長最小.(2)如圖2,矩形 ABCD, AB= 4, BC= 8,點E為CD的中點，點 P、點Q為BC上的動 點，且PQ= 2,當四邊形APQE的周長最小時，請確定點 P的位置(即BP的長) 問題解決；(3)如圖3,某公園計劃在一片足夠大的等邊三角形水域內(nèi)部(不包括邊界)點 P處修一 個涼亭，設計要求 PA長為100米，同時點 M, N分別

17、是水域 AB, AC邊上的動點，連接 P、M、N的水上浮橋周長最小時，四邊形 AMPN的面積最大，請你幫忙算算此時四邊形 AMPN面積的最大值是多少？【答案】(1)3(2)解：點A向右平移2個單位到 M,點E關于BC的對稱點F,連接MF ,交BC于Q, 此時MQ+EQ最小，N p Q ： . PQ=3, DE= C曰2, AE= 2、£；,，要使四邊形APQE的周長最小，只要 AP+EQ最小就行,即 AP+EQ= MQ+EQ,過 M 作 MNLBC于 N, .MN / CD .MNQs"CQcf a .盅V 瓶2 6 - NQ.NQ=4 .BP= BQ- PQ= 4+2-

18、2=4(3)解:如圖，作點 P關于AB的對稱點 G,作點P關于AC的對稱點H,連接GH,交 AB, AC于點M, N,此時 APMN的周長最小.,-.AP = AG= AH=100 米，/GAM=/PAM, Z HAN = Z PAN, / PAM+Z PAN= 60 °,/ GAH= 120 ;且 AG= AH,/ AGH= ZAHG= 30 °,過點A作AOXGH, .AO=50 米，HO= GO=50米，.GH= 100 & 米，口/.Saagh=上 GHX AO2500、后平方米,S 四邊形 ampn= Saagm+Saanh= Skagh Saamn ,S

19、aamn的值最小時，S四邊形ampn的值最大，MN = GM=NH=3 時，S 四邊形 ampn= Szagh Saamn = 2500 J = ：二 平方米.【解析】【解答】（1） 四邊形ABCD是矩形，Z D= 90=/ABC, AB= CA 4, BC= AD= 8, .E為CD中點, .DE=CE= 2,在RtADE中，由勾股定理得：AE= 416+疵=k/出*4=2行,即 APE的邊AE的長一定，要 APE的周長最小，只要 AP+PE最小即可，延長AB到M ,使BM = AB= 4,則A和M關于BC對稱，連接EM交BC于P ,此時AP+EP的值最小， 四邊形ABCD是矩形， .AB/

20、 CD ,.ECFPAMBP ,CE 色a.CP=故答案為：【分析】（1）延長AB至Ij M ,使BM=AB,則A和M關于BC對稱，連接 EM交BC于P, 此時AP+EP的值最小，根據(jù)勾股定理求出AE長，根據(jù)矩彩f質(zhì)得出 AB/ CD,推出 ECFAMBP,得出比例式，代入即可求出CP長；（2）點A向右平移2個單位到 M,點E關于BC的對稱點F,連接 MF,交BC于Q,要使四邊形 APQE的周長最小，只要 AP+EQ最小就行，證 MNQsfCQ即可求BP的長；（3）作點P關于AB的對稱點 G, 作點P關于AC的對稱點H,連接GH,交AB, AC于點M, N,此時 PMN的周長最小.S四 邊形a

21、mpn=Sagm+Saanh=Saagh-Sa amn ,即Sa amn的值最小時，S四邊形ampn的值最大.6 .已知銳角 4ABC中，邊BC長為12,高AD長為8E、F分別在 AB、AC邊上，EF(1)如圖，矩形 EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點交AD于點K求AA的值設EH=x,矩形EFGH的面積為S,求S與x的函數(shù)關系式, (2)若ABAC,正方形 PQMN的兩個頂點在 4ABC 一邊上, 兩邊上，直接寫出正方形 PQMN的邊長.并求 S的最大值另兩個頂點分別在 4ABC的另【答案】(1)解：、EF/ BC .AEFAABC v AD± BC /.AKI EF咬 BC

22、12 =J，:E!l+得:EH EF訪* BCy.- EH=x, AD=8, BC=12 . .EF=12國 x .S=EHEF=-+ 12x= 行 沙+24 S的最大值為24(2)解:【分析】根據(jù) EF/ BC得出AEFABC,從而得到,求出答案；根據(jù)題意得出EHAbBEEF Ab身和歐加，將兩式相加得到附,BC,根據(jù) EH=x,得出 EF=12-X,根據(jù)答案S=EHEF得出函數(shù)關系式，求出最大值；根據(jù)三角形相似，然后分兩種情況得出7 .拋物線y=ax2+bx+3 (aw。經(jīng)過點A ( - 1, 0) , B (-，0),且與y軸相交于點 C.(2)求/ ACB的度數(shù)；(3)設點D是所求拋物

23、線第一象限上一點，且在對稱軸的右側(cè)，點E在線段AC上，且DE±AC,當4DCE與4AOC相似時，求點 D的坐標.【答案】(1)解：當x=0, y=3,.C (0,3) J設拋物線的解析式為 y=a(x+1)(x-幺).J將c (0, 3)代入得：-上a=3,解得a=2,，拋物線的解析式為 y=-2x2+x+3(2)解：過點 B作BMLAC,垂足為 M,過點 M作MNLOA,垂足為 N。 . OC=3, AO=1, tanZ CAO=3, 直線AC的解析式為y=3x+3.ACXBM,I 1 =BM的一次項系數(shù)為''。BM的解析式為y= ? 二：. ;133# mH將 丫

24、=3*+3與丫= .7二聯(lián)立解得：x= i ,y= 1| J1.區(qū).MC=BM= 7 / = /. .?MCB為等腰直角三角形。/ ACB=45o. / ACB=45o點D是第一象限拋物線上一點， / ECD>45o.又. ？DCE與？AOC相似，Z AOC=Z DEC=90o,/ CAO=Z ECD.CF=AF.設點F的坐標為（a, 0）,則（a+1） 2=32+a2 ,解得a=4.F （4,0）.設CF的解析式為y=kx+3，將F （4,0）代入得4k+3=0,解得k= 4。 3，CF的解析式為y= ? x+3.J/將y= ' x+3與y=-2x2+x+3聯(lián)立，解得x=0 （

25、舍去）或x=方.0 n g將x= 6代入y= x+3得y=:七.z腎.D （ S ,把）【解析】【分析】（1）易求得 C的坐標，利用交點式設出解析式，再把 C的坐標代入可 求出；（2）過點 B作BMLAC,垂足為 M,過點 M作MNLOA,垂足為 N.由tan / CAO=3先求出 直線AC的解析式，從而求出 BM的解析式，兩個解析式聯(lián)立求出M的坐標，再由兩點之 間的距離求出 MC=BM,進而得出？MCB的形狀，求出答案；(3)延長CD,交x軸于點F,由？DCE與？AOC相似可得出CF=AF利用勾股定理求出 F的 坐標，由待定系數(shù)法求出CF的解析式，再與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立求出D的坐標.8.在

26、正方形 ABCD中，AB=8,點P在邊CD上，tan/PBC=',點Q是在射線 BP上的一個 動點，過點Q作AB的平行線交射線 AD于點M,點R在射線AD上，使RQ始終與直線BP(1)如圖1,當點R與點D重合時，求PQ的長；刑1(2)如圖2,試探索：，幅的比值是否隨點 Q的運動而發(fā)生變化？若有變化，請說明你的 理由；若沒有變化，請求出它的比值；(3)如圖3,若點Q在線段BP上，設PQ=x, RM=y,求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出 它的定義域.【答案】(1)解：由題意，得嗣=比-6 =必鼠比'r在Rt及中，"靖PC弋融/PBC - TBC.j弋式支/PBC - JPB

27、 PCRP PQ 1062 PQ6(2)解：答：版的比值隨點匕的運動沒有變化 理由：如圖，KH 3 - 一MQ 1融J.耀的比值隨點兒的運動沒有變化，比值為4(3)解：延長 屏交態(tài)的延長線于點b/拓PD 必 二 .AB VAA 'A = ND 四=8，&926,0 x 它的定義域是【解析】【分析】(1)由題意解直角三角形PBC可求得CP=6, PB=10,根據(jù) PBCAPRQ可得比例式求解；AV KPC 6 3 由題意易得RMQsFCB,可得比例式 必 應，由(1)知應I3/為一定值，所以居的比值不會發(fā)生變化；(3)延長B P交A D的延長線于點 N,因為PD/ AB,所以由平

28、行線分線段成比例定理可得比例式求得ND、PN,由題意易得PD/ MQ,根據(jù)平行線成比例定理可得比例式PD A7二第 4t,則y與x的關系可求解。、圓的綜合9.如圖，已知 4ABC內(nèi)接于OO, BC交直徑AD于點E,過點C作AD的垂線交AB的延長 線于點G,垂足為F.連接OC.(1)若/ G=48 ,求/ ACB的度數(shù)；(2)若 AB=AE,求證：/BAD=/ COF;(3)在(2)的條件下，連接 OB,設4AOB的面積為Si, 4ACF的面積為若1,、Si tan / CAF=,求 丁 的值._ 3【答案】(1) 48。(2)證明見解析(3)【解析】 【分析】(1)連接CD,根據(jù)圓周角定理和垂

29、直的定義可得結(jié)論；(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：/ABE=/ AEB,再證明/ BCG=Z DAC,可得Cd Pb Pd ,則所對的圓周角相等，根據(jù)同弧所對的圓周角和圓心角的關系可得結(jié) 論；(3)過 O作 OG，AB于 G,證明 ACOFAOAG,則 OG=CF=x AG=OF,設 OF=a,則OA=OC=2x-a根據(jù)勾股定理列方程得：(2x-a) 2=x2+a2,則a=3 x,代入面積公式可得結(jié)論.【詳解】(1)連接CD,.AD是。的直徑，/ ACD=90 ； / ACB+Z BCD=90 ,° .ADXCG, ./AFG=/ G+/BAD=90 ,° / BAD=Z

30、BCD,/ ACB=Z G=48 -(2) AB=AE/ ABE=Z AEB,. /ABC=/G+/BCG, Z AEB=Z ACB+Z DAC,由(1)得：/G=/ACB,/ BCG=Z DAC,Cd Pb ,.AD 是。的直徑，AD± PC,Cd ?d，Cd ?b ?d ,Z BAD=2/ DAC, / COF=2Z DAC, / BAD=Z COF;(3)過 O作 OG±AB于 G,設 CF=%1 CF . tanZ CAF=,2 AF.AF=2x, . OC=OA,由(2)得：/COF=/OAG, / OFC玄 AGO=90 ； .-.COFAOAG, ，OG=CF

31、=x AG=OF, 設 OF=a,貝U OA=OC=2x- a,RRCOF 中,CC2=Cf2+OF2, (2x-a) 2=x2+a2,a=3x,43.OF=AG=-x 4， . OA=OB, OG± AB, .AB=2AG=3x,213 AB OGx x 02 2 3S2 1CF AF x 2x 42【點睛】圓的綜合題，考查了三角形的面積、垂徑定理、角平分線的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定以及解直角三角形，解題的關鍵是：(1)根據(jù)圓周角定理找出 /ACB+/ BCD=90;(2)根據(jù)外角的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得：CD pB PD； ( 3)利用三角函數(shù)設未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程解決問題.

32、10.如圖1,將長為10的線段OA繞點。旋轉(zhuǎn)90得到OB,點A的運動軌跡為 Ab，P是 半徑ob上一動點，q是ab上的一動點，連接 pq.發(fā)現(xiàn)：/POQ=時，PQ有最大值，最大值為 ;思考：(1)如圖2,若P是OB中點，且QPLOB于點P,求?Q的長；(2)如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點B的對應點B'恰好落在OA的延長線上， 求陰影部分面積；探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧 QB恰好與半徑OA相切，切點為C,若OP=6,求點O到折痕PQ的距離.【答案】發(fā)現(xiàn)：90 °, 10 J2 ;思考：(1) 鼻；(2) 25 % -10072 +100; (3

33、)點 O 到折痕PQ的距離為瘋.【解析】分析：發(fā)現(xiàn)：先判斷出當 PQ取最大時，點Q與點A重合，點P與點B重合，即可得出結(jié) 論；思考：(1)先判斷出Z POQ=60,最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論；(2)先在 RtA B'OP 中，OP2+(10 J2-10)2= (10-OP) 2,解得 OP=10j2-10,最后用面積 的和差即可得出結(jié)論.探究：先找點 。關于PQ的對稱點O',連接OO、O' E O' G O' ?證明四邊形 OCOB是矩形，由勾股定理求 O' H從而求出OO的長，則om=2oo 430.2詳解：發(fā)現(xiàn)：p是半徑ob上一動點，q

34、是ab上的一動點，當PQ取最大時，點Q與點A重合，點P與點B重合，此時，/POQ=90, PQ=J0A2 由=10 6；f:思考：(1)如圖，連接OQ,彳點P是OB的中點,_ 1 _ 1 一.OP= OB= OQ. .QPXOB,/ OPQ=90 °OP 1在 RtA OPQ 中，cos/ QOP= 一,OQ 2/ QOP=60 ；6010 10 lBQ= 一 ；1803(2)由折疊的性質(zhì)可得，BP= BP, AB'= AB= 10 J2 ,(10-OP)在 RtB'OP 中,OP2+(10 J2-10)2=解得 op=10J2-10,2 1 10 (10.2 10)

35、90102S 陰影一S 扇形 aob-2Sa aop=360= 25 71-10072+100；180探究：如圖2,找點。關于PQ的對稱點O',連接 OO、O' R O' G O' R則OM=OM , OO ± PQ, O' P=OP=3點O'是？ Q所在圓的圓心, ,.O' C=OB=10 折疊后的弧QB'恰好與半徑OA相切于C點, .O' dAO, .O' a ob, 四邊形OCO'建矩形，在 RtO' B呻，O B='62 422V5，在 RtA OBO K, OO $02

36、(275)2=2而，11 . OM= _ OO X2V3q = v130 ，22即O到折痕PQ的距離為向.點睛：本題考查了折疊問題和圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握弧長公式n Rl=(n為圓心角度數(shù),R為圓半徑)，明確過圓的切線垂直于過切點的半徑，這是常11 .如圖，在 ABC 中，BAC 90 , AB AC A,D的。O分別與AB,AC交于點E,F ,連接EF (1)求證： ADE 且 CDF ;(2)當BC與。相切時，求。的面積.本【答案】 見解析；(2) 一.4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)知AD=CD /叵AD BC ,垂足為D ,過 ,de,df .1 = /

37、C=45°,由 / EAF=90°知 EF是。O考的性質(zhì)；對稱點的連線被對稱軸垂直平分.的直徑，據(jù)此知 Z2+Z 4=7 3+7 4=90°,得/2=/3,利用(2)當BC與。相切時，AD是直徑，根據(jù) /C=45°、 公式可得答案.詳解：(1)如圖，- AB=AC, /BAO90'ZC=45°.1又AD，BC, AB=AC,/ 1= / BAC=45 ； BD=CD, /2又 / BAC=90 °, BD=CD,. AD=CD.又 / EAF=90 °, EF是。的直徑，Z EDF=90 °,又/3+/4=

38、90 ： ，/2=/3.在 ADE和 CDF中.1 C. . AD CD ,AADEACDF (ASA) .2 3/松(2)當BC與。相切時，AD是直徑.在 RtADC中,AD. 1 .sin/C=,AD=ACsinZ C=1, . 0O 的半徑為一， AC2點睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是熟練掌握等腰 三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關的位置關系等知識點.“ASAE明即可得；ac=J2可得AD=1 ,利用圓的面積(ADC=90 :7 2+7 4=90°.Z C=45 °, AC=T2 ,2. OO的面積為.43直角三角形的性質(zhì)、全等12.如圖，在。0中，直徑 AB，

39、弦CD于點E,連接AC, BC,點F是BA延長線上的一 點，且 / FCA= / B.求證：CF是。的切線；（2）若 AE= 4, tan/ACD=叵,求 FC的長.3【答案】（1）見解析【解析】分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出/OCF=90,進而得出答案；（2）根據(jù)正切的性質(zhì)求出 EC的長，然后利用垂徑定理求出圓的半徑，再根據(jù)等邊三角形 的性質(zhì)，利用勾股定理求出即可.詳解：（1）證明：連接 OCAB是。的直徑， ，/ACB= 90； . . /OCB+/ ACO= 90： -. OB=OC,，/B=/OCB.又 / FCA= / B,/ FCA= / OCB, / FCA+

40、 / ACO= 90 ；即/ FCO= 90 ； FC± OC,二.FC是。O切線.AE（2）解：-.ABI CD, ，/AEC= 90°, . EC=tan ACE設 OA= OC= r,則 OE= OA-AE= r-4.在 RtOEC中，OC2=OE2+C彥， 即 r2=（r4）2+石）2,解得 r=8.-，OE=r-4 = 4= AE. .CE± OA,，CA=CO8, .AOC是等邊三角形， / FOO 60 ；/ F= 30 .在 RtFOC 中，/ OCF= 90 ； OC= 8, / F= 30 °, ,-.OF=2OC= 16, fc=、

41、OF2 OC2 8、3.點睛：此題主要考查了切線的判定、垂徑定理的推論以及勾股定理等知識，得出BC的長是解題關鍵.13.如圖，OB是以（O, a）為圓心，a為半徑的。1的弦，過B點作。O1的切線，P為劣MOB上的任一點，且過 P作OB、A® OA的垂線，垂足分別是 D、E、F.（1）求證：PD2=PE?PF（2）當/BOP=30, P點為OB的中點時，求D、E、F、P四個點的坐標及S/XDEF.BE【答案】（1）詳見解析；（2）D ( ga,3、 一，4 a）,0) , P (-2a 、 a,1)2& DE" a2.16【解析】試題分析:連接PB,t PBOPPD同

42、理,OP,利用AB切。Oi于B求證PBa4POD,得PB PD OPFABPD,得出 ，然后利用等量代換即可.OP PF(2)連接 OiB,O1P,得出OiBP和OiPO為等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解得D、E、F、P四個點的坐標.再利用三角形的面積公式可直接求出三角形 積.DEF的面試題解析：（1）證明：連接PB, OP,-. PE± AB, PD± OB,/ BEP=/ PDO=90 ；. AB 切。O1 于 B, /ABP=/ BOP,.,.PBEAPOD,(2)連接 OB, O1P,. AB 切。O1 于 B, Z POB=3O°,/ ABP=30

43、 ；/ O1BP=9O - 30 =60 °, .O1B=O1P, .O1BP為等邊三角形， .O1B=BP, .P為弧BO的中點，BP=OP,即OlPO為等邊三角形,，OiP=op=a / OiOP=6O°,又P為弧BO的中點， -.OiP± OB,在OiDO 中， ZJOiOP=6O°OiO=a,. .O1D= a, OD=a, 11過 D 作 DM，O。于 M,DMOD=-a,OM= DM=ja, D （一ga, y a）,4 q Z OiOF=9O°, ZOiOP=6O°/ POF=3O ；. PE，OA,PF=r-OP=7-

44、a, OF=-a,22， 2V3 a VsP （-芋a, ） , F （-皆a, O）. AB 切。Oi 于 B, /POB=3O°, / ABP=Z BOP=3O ,°-. PE± AB, PB=a, / EPB=6O °.P為弧BO的中點,BP=PO,/ PBO=Z BOP=3O ,°/ BPO=i2O ,° / BPE吆 BPO=i2O + 6O = i8O ；即OPE三點共線,.OE=2 a+a=2 a,過E作EMx軸于M, .AO切。Oi于O, / EOA=3O ；，EMa OM= aW -4，4E (一E (一a,a) ,

45、 D (-蜉a,亍 a)，44. DE=-率-挈"除'DE邊上的高為:a,Sa de故答案為：D (-a2.a) , F (一Vs2a,-)；SDEF=" 3 a【答案】(1) P1 和 P3； (2) 1<x< 33_J； (3) 3wrW3 V3 2. ： 1&B個動點，過點中心，將垂線關聯(lián)點如圖，M (1, (1)在點P1(2)如果點P在直線y x 1上，且點P是線段MN的 關聯(lián)點”，求點P的橫坐標 值范圍；(3)如果點P在以O (1, 1)為圓心，r為半徑的OO±,且點P是線段MN的 點”，直接寫出OO半彳仝r的取值范圍.14.

46、對于平面直角坐標系 xOy中的線段MN和點巳 給出如下定義：點 A是線段MN上一A作線段MN的垂線1,點P是垂線l上的另外一個動點.如果以點P為旋轉(zhuǎn)MN的l沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60。后與線段MN有公共點，我們就稱點 P是線段2) , N (4, 2).3) ,3), P2 (4, 0) , P3 (3, 2)中，線段 MN 的關聯(lián)點”有x的取關聯(lián)【解析】【分析】(1)先根據(jù)題意求出點 P的橫坐標的范圍，再求出P點的縱坐標范圍即可得出結(jié)果；(2)由直線y=x+1經(jīng)過點M (1, 2),得出x>l設直線y=x+1與P4N交于點A,過點A 作ABMN于B,延長 AB交x軸于C,則在 4AMN中，

47、MN=3, / AMN=45 ,/ANM=30 °,設 AB=MB=a, tan Z ANM= -AB-,即 tan30 = a,求出 a 即可得出結(jié)果；BN3 a(3)圓心。到P4的距離為r的最大值，圓心 。到MP5的距離為r的最小值，分別求出兩 個距離即可得出結(jié)果.【詳解】(1)如圖1所示： Q卻點A是線段MN上一個動點，過點 A作線段MN的垂線1,點P是垂線l上的另外一個動 點，M (1, 2) , N (4, 2),，點P的橫坐標1 < x頁4以點P為旋轉(zhuǎn)中心，將垂線1沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60后與線段MN有公共點，MN 3當/MPN=60 時，PM=-= = J3tan6

48、0 、3 ' '同理P' N=3 ,，點P的縱坐標為2- J3或2+ J3 ,即縱坐標2-73<y<2+3,線段MN的關聯(lián)點”有Pi和P3；故答案為：Pi和P3 ；(2)線段MN的 關聯(lián)點午的位置如圖所示，直線y x 1經(jīng)過點M ( 1, 2),x> 1.設直線y x 1與P4N交于點a .過點A作AB，MN于B,延長AB交x軸于C.由題意易知，在 AMN 中,MN = 3, Z AMN = 45； Z ANM = 30： 設 AB = MB = a,tan ANM -AB-,即 tan30 aBN3 a3.3 3解得a u33 122.點A的橫坐標為

49、x a 13、3 12x綜上3.3 1 .23 3 11 x .2(3)點P在以O (1, -1)為圓心，r為半徑的OO±,且點P是線段MN的關聯(lián)點”，如圖3所示:r 0圖3連接P4O交x軸于點D, P4、M、D、O共線，則圓心。到P4的距離為r的最大值，由(1)知：MP4=NP5 = J3,即 OD+DM+MP4=1+2+J3=3+J3,圓心。到Mp5的距離為r的最小值，作 OEL MP5于E,連接OP5, 則OE為r的最小值，MP5= JmN2_NF52 = J32(拘2 =2百,OM=OD+DM=1+2=3, OMP5 的面積=-OE?MP5=1OM?MN,即1 X OEX73

50、 = X 33 2222解得：OE=3_!,23 w r w 3+3 . 2【點睛】本題是圓的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、最值等知識，熟練掌握 關聯(lián)點”的含義，作出關于 MN的 關聯(lián)點”圖是關鍵.15.如圖1,是用量角器一個角的操作示意圖，量角器的讀數(shù)從M點開始(即M點的讀數(shù)為0),如圖2,把這個量角器與一塊 30° (/CAB= 30°)角的三角板拼在一起，三角板的 斜邊AB與量角器所在圓的直徑 MN重合，現(xiàn)有射線 C繞點C從CA開始沿順時針方向以每 秒2°的速度旋轉(zhuǎn)到與 CB,在旋轉(zhuǎn)過程中，射線 CP與量角器的半圓弧交于 E.連接BE.(1)當射線CP經(jīng)過AB的中點時，點E處的讀數(shù)是 ,此時4BCE的形狀是； (2)設旋轉(zhuǎn)x秒后，點E處的讀數(shù)為V,求y與x的函數(shù)關系式；(3)當CP旋轉(zhuǎn)多少秒時，4BCE是等腰三角形？【答案】(1) 60°,直角三角形；(2) y=4x (0致W45 ； ( 3) 7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理即可解決問題；(2)如圖2-2中，由題意ZACE= 2x, / AOE= y,根據(jù)圓周角定理可知 /AOE= 2/ACE 可得 y= 2x (0»w 45 ;(3)分兩種情形分別討論求解即可；【詳解】解：(1