第六章數(shù)學(xué)教學(xué)基本技能

1、第六章 數(shù)學(xué)教學(xué)的基本技能本章主要介紹如何進(jìn)行備課、說課，如何開展課堂教學(xué)工作以及如何評(píng)價(jià)課堂教學(xué)質(zhì)量。通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解并掌握教學(xué)工作當(dāng)中的各個(gè)重要環(huán)節(jié)。一、當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中的偏差現(xiàn)象隨著教育改革的不斷深入，有效課堂教學(xué)已經(jīng)成為人們關(guān)注的話題。人們已經(jīng)意識(shí)到，只有提高課堂教學(xué)有效性，才能切實(shí)減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。然而，經(jīng)過大量的課堂觀察、調(diào)研，我們發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)中許多偏差現(xiàn)象并沒有隨著教學(xué)改革的迅速推廣而得到改觀。這些偏差現(xiàn)象主要表現(xiàn)以下幾個(gè)方面：（一） 課題導(dǎo)入不自然課題導(dǎo)入是指教師在新知識(shí)教學(xué)之前，為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，創(chuàng)設(shè)問題情境引入教學(xué)內(nèi)容。常用的課題導(dǎo)入方法有直接導(dǎo)

2、入、設(shè)疑導(dǎo)入、實(shí)例導(dǎo)入、游戲?qū)氲鹊取Ｔ诮虒W(xué)中，教師根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況設(shè)計(jì)合適的課題導(dǎo)入有助于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài)。然而，課題導(dǎo)入過程中也存在著一些問題，如導(dǎo)入方法單一、情境問題喧賓奪主、不切主題等等，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與內(nèi)部動(dòng)機(jī)產(chǎn)生不利的影響。案例1 在數(shù)學(xué)歸納法的起始課中，教師為了導(dǎo)入課題使用了三個(gè)實(shí)際問題：?jiǎn)栴}1：美食節(jié)前，班主任老師想在辦公室單獨(dú)了解班上每一位同學(xué)對(duì)本班參與美食節(jié)的組織建議，請(qǐng)幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)面見同學(xué)的程序。問題2：一掛合格的鞭炮，要導(dǎo)爆所有的炮仗，應(yīng)該點(diǎn)燃哪一顆炮仗前的導(dǎo)線。問題3：通過視頻導(dǎo)入多米諾骨牌問題。三個(gè)問題總共耗時(shí)9分30秒，第一個(gè)問題耗時(shí)2分29秒，

3、第二個(gè)問題耗時(shí)1分1秒，第三個(gè)問題耗時(shí)5分鐘，但始終沒有導(dǎo)入數(shù)學(xué)歸納法這一主題。事實(shí)上，“觀察”“發(fā)現(xiàn)”“證明”是發(fā)現(xiàn)定理的基本思路，數(shù)學(xué)歸納法是運(yùn)用遞推的思想，通過有限推理證明無限結(jié)論的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明方法，是對(duì)觀察與歸納所得結(jié)論的嚴(yán)格證明。教師試圖通過三個(gè)實(shí)際問題讓學(xué)生體會(huì)遞推思想，然而，在歸納完多米諾骨牌原理后，教師忽略“觀察”、“發(fā)現(xiàn)”直接使用數(shù)學(xué)歸納法“證明”數(shù)列通項(xiàng)公式，這樣的過渡很牽強(qiáng)甚至驢頭不對(duì)馬嘴。課堂教學(xué)重視知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展，課題導(dǎo)入是教師為學(xué)生再現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生過程的重要方式。隨著教育改革的推進(jìn)，教師們已經(jīng)開始意識(shí)到課題導(dǎo)入的重要性，紛紛開始采取各種途徑導(dǎo)入課題，并取得了一定的成效

4、。然而，許多不自然、不合適的課題導(dǎo)入對(duì)課堂教學(xué)不但沒有什么作用，有的甚至帶來了負(fù)面效應(yīng)，使教學(xué)沒有達(dá)到預(yù)期的效果。（二） 教師提問頻繁與學(xué)生參與度低問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，在數(shù)學(xué)課堂中，問題解決多以教師講析、師生問答的教學(xué)方式呈現(xiàn)，其中教師頻繁提問是當(dāng)前課堂教學(xué)中的一個(gè)顯著特征，師生問答充斥著整個(gè)課堂教學(xué)過程。當(dāng)前，在許多課堂教學(xué)中都存在著教師提問過多的現(xiàn)象，“滿堂灌”似乎變成了“滿堂問”，教師嚴(yán)格控制著整個(gè)教學(xué)進(jìn)程，教學(xué)按照教師預(yù)先設(shè)計(jì)好的意圖進(jìn)行著，牽著學(xué)生走的特點(diǎn)比較明顯。筆者曾聽過一堂分式的乘除的課，一節(jié)課總時(shí)間為2532秒，教師提問160次，所用時(shí)間為585秒，占課堂總時(shí)間的23.

5、10%；學(xué)生參與課堂教學(xué)的人數(shù)為12人，共18次，參與時(shí)間為65.5秒，學(xué)生參與時(shí)間僅占2.59%。事實(shí)上，“滿堂問”究其實(shí)質(zhì)還是“滿堂灌”，教師將知識(shí)分拆成小問題，不斷地提問，以便讓學(xué)生掌握知識(shí)。但由于教師講得多，學(xué)生參與的機(jī)會(huì)隨之變少，許多本該達(dá)到解釋水平的課，不少教師將此下降為記憶水平。（三）教學(xué)形式化現(xiàn)象嚴(yán)重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是已經(jīng)形式化的思想材料，具有較強(qiáng)的抽象性。我們教學(xué)的目標(biāo)應(yīng)是使學(xué)生會(huì)從直觀的現(xiàn)實(shí)材料中抽象出形式化的思想材料，并將此用于新的實(shí)際問題1。在這個(gè)過程中，將教學(xué)內(nèi)容直觀化是幫助學(xué)生理解抽象問題的重要方法，然而，要真正理解、獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，仍得通過緊張、有序的思維活動(dòng)。在教學(xué)實(shí)

6、踐中，教師越來越重視直觀化地展示數(shù)學(xué)內(nèi)容、組織學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)對(duì)問題進(jìn)行深入思考。不過，隨之也出現(xiàn)了過猶不及的現(xiàn)象，如過度關(guān)注直觀、忽視數(shù)學(xué)抽象本質(zhì)，合作學(xué)習(xí)表面化等。案例2：父：“如果你有一個(gè)橘子，我再給你兩個(gè)，你數(shù)數(shù)看一共有幾個(gè)橘子？”子：“不知道！在學(xué)校里，我們都是用蘋果數(shù)數(shù)的，我們從來不用橘子?！?教學(xué)直觀化在一定程度上提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但如果過度強(qiáng)調(diào)直觀性，忽視將直觀知識(shí)上升為抽象知識(shí)，則不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象知識(shí)的理解、應(yīng)用，一旦換了情境，學(xué)生便無法解決類似的問題。事實(shí)上，教學(xué)直觀化只是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)抽象知識(shí)的一種手段，思維訓(xùn)練才是教學(xué)本質(zhì)。案例3： 有一位老師在圓的認(rèn)識(shí)教學(xué)中

7、，安排了如下幾次小組合作學(xué)習(xí)：在小組里交流日常生活中見到的一些圓形物體。小組合作畫圓，交流畫圓方法。操作中認(rèn)識(shí)圓心和半徑。討論在同一個(gè)圓里，有多少條半徑，這些半徑的長(zhǎng)度是否相等。在這堂課中，學(xué)生幾乎都在參與合作學(xué)習(xí)，且由于合作交流的次數(shù)太多，最后導(dǎo)致教學(xué)匆匆收?qǐng)?，合作學(xué)習(xí)沒有落到實(shí)處，若長(zhǎng)此以往，無疑將削弱學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。當(dāng)前，教師在課堂教學(xué)中經(jīng)常采用分組討論的形式讓學(xué)生進(jìn)行所謂的合作學(xué)習(xí)，然而，僅僅開展表面熱鬧的課堂教學(xué)討論,不僅不能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)興趣, 反而會(huì)降低思維的深度、廣度，教學(xué)也會(huì)逐漸變得形式化、教條化。（四）重預(yù)設(shè)，輕生成葉瀾教授認(rèn)為：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，

8、隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的形成?！边@是對(duì)課堂預(yù)設(shè)與生成的精辟闡述，兩者在課堂教學(xué)中缺一不可，因?yàn)闆]有預(yù)設(shè)的生成常會(huì)使教學(xué)陷入“虛假生成”的誤區(qū)，而沒有生成的預(yù)設(shè)，往往會(huì)使原本精彩的課堂教學(xué)失去生命力。然而，課堂教學(xué)中卻存在著嚴(yán)重的重預(yù)設(shè)、輕生成現(xiàn)象：案例4：在有關(guān)數(shù)列的一次課堂教學(xué)中師：前面學(xué)習(xí)了等差數(shù)列和等比數(shù)列，今天我們來學(xué)習(xí)新的內(nèi)容生：老師，我有一個(gè)問題：既然有等差數(shù)列和等比數(shù)列，那有沒有等和數(shù)列、 等積數(shù)列呢？師：（愣了一下）這不屬于高考內(nèi)容, 沒必要浪費(fèi)時(shí)間研究這個(gè)問題。師：（繼續(xù)著原定的教學(xué)進(jìn)程）在課堂教學(xué)中，教師經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)

9、問題進(jìn)行思考，并發(fā)表自己的觀點(diǎn)。而對(duì)學(xué)生提出的各種觀點(diǎn)，教師大多采取選擇性吸收的態(tài)度，當(dāng)學(xué)生觀點(diǎn)符合教師原先教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師或大加贊賞，或大做文章；當(dāng)不符合時(shí)，則常會(huì)有意回避，或?qū)⑵鋸?qiáng)行拉回預(yù)設(shè)“主題”，尤其是對(duì)學(xué)生那些“突發(fā)奇想”。假若課堂教學(xué)只在執(zhí)行“預(yù)設(shè)”，那又何來“生成”之說？（五）重結(jié)果，輕過程課堂教學(xué)是以傳授知識(shí)為核心的師生互動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)，重視知識(shí)傳授就是重視雙基教學(xué)，也就是重視教學(xué)結(jié)果，而學(xué)習(xí)是學(xué)生體驗(yàn)、感受的結(jié)果，在課堂教學(xué)中培養(yǎng)思維能力，實(shí)際上是重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)讓學(xué)生自己參與、親身體驗(yàn)教學(xué)過程，不能越俎代包，剝奪學(xué)生參與自主思考的機(jī)會(huì)。案例5：曾經(jīng)有一

10、位企業(yè)家問郭思樂教授，什么是教學(xué)？他說：“如果你告訴學(xué)生，3乘以5等于15，這就不是教學(xué)。如果你說，3乘以5等于什么？這就有一點(diǎn)是教學(xué)了。如果你有膽量說3乘以5等于14，那就更是教學(xué)了。這時(shí)候，打瞌睡的孩子睜開了眼睛，玩橡皮泥的學(xué)生也不玩了：什么什么？等于 14?! 然后他們就用各種方法，來論證等于 15 而不是14。”在當(dāng)前的教學(xué)過程中，由于受到評(píng)價(jià)體系的影響， “掐頭去尾燒中段”，為結(jié)果而教，甚至追求結(jié)果的現(xiàn)象嚴(yán)重。為了應(yīng)付考試，教師讓學(xué)生反復(fù)模仿，簡(jiǎn)單操練，學(xué)生沒有主動(dòng)經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，而是被動(dòng)、機(jī)械地接受教師講的內(nèi)容。長(zhǎng)此以往，造成了教師單純傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生只求記憶，學(xué)習(xí)過程

11、不完整，堵塞了數(shù)學(xué)思想的傳播渠道，學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)的理解現(xiàn)象。教學(xué)中，重視解題技能、技巧訓(xùn)練，輕普適性思考方法的概括，學(xué)生只會(huì)簡(jiǎn)單模仿，數(shù)學(xué)思維層次不高等現(xiàn)象嚴(yán)重。二、怎樣處理教學(xué)中的基本矛盾一 知識(shí)與文化從上位關(guān)系看，知識(shí)教育與文化教育是教育中的一對(duì)矛盾，相應(yīng)地，在教學(xué)中是注重知識(shí)體系的傳授還是強(qiáng)調(diào)人類文化的傳承，表現(xiàn)出教學(xué)中“知識(shí)”與“文化”的矛盾。將數(shù)學(xué)作為知識(shí)體系來傳授還是作為文化來傳播，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)教學(xué)中知識(shí)取向與文化取向之間的矛盾。知識(shí)取向的教學(xué)是以知識(shí)為中心的教學(xué)，教學(xué)所關(guān)注的問題是，如何采用有效的方法使學(xué)生準(zhǔn)確無誤地獲取知識(shí)，教師的職責(zé)就是考慮如何最有效地向?qū)W生傳遞知識(shí)，學(xué)生的任務(wù)

12、就是最大限度地從教師和課本那里獲得客觀知識(shí)。文化取向的教學(xué)“關(guān)注的不僅僅是知識(shí)，而且包括知識(shí)在內(nèi)的整個(gè)文化；不再以知識(shí)為中心、以知識(shí)為本，而是以人為中心，以人為本；不再僅僅局限于讓學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握現(xiàn)有的知識(shí)，從而成為舊知識(shí)的接受者，而是讓學(xué)生受到包括知識(shí)在內(nèi)的整個(gè)文化的全面熏陶，從而不僅是舊知識(shí)的接受者，而且是新知識(shí)的創(chuàng)造者”。二 理論與應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)是偏重?cái)?shù)學(xué)的理論價(jià)值還是偏重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，這構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)中理論與應(yīng)用之間的矛盾。顯然，這是上述討論知識(shí)與文化的關(guān)系中“知識(shí)”要素內(nèi)部的矛盾。數(shù)學(xué)教學(xué)的理論取向是指在教學(xué)中偏重理論知識(shí)的傳授，數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用取向則是指在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)知識(shí)的應(yīng)用，特別是在現(xiàn)

13、實(shí)生活中的應(yīng)用。三 預(yù)設(shè)與生成教學(xué)設(shè)計(jì)是注重預(yù)設(shè)還是注重生成，構(gòu)成教學(xué)中“預(yù)設(shè)”與“生成”的矛盾。所謂“預(yù)設(shè)”，是指教師對(duì)教學(xué)過程的系統(tǒng)化設(shè)計(jì)，是教師圍繞教學(xué)目標(biāo)，在系統(tǒng)鉆研教材內(nèi)容和認(rèn)真分析學(xué)生的知、情、意等實(shí)際情況以及對(duì)相關(guān)教學(xué)行為結(jié)果進(jìn)行反思的基礎(chǔ)上對(duì)教學(xué)過程的規(guī)劃和設(shè)想?！吧伞毕鄬?duì)于“預(yù)設(shè)”而言，是指教學(xué)過程隨著教學(xué)情境的變化而變化。這種變化包括教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)程序、教學(xué)行為等方面的變化。四 結(jié)果與過程偏重知識(shí)發(fā)生過程的教學(xué)還是偏重知識(shí)結(jié)果的教學(xué)，構(gòu)成教學(xué)中過程取向與結(jié)果取向之間的矛盾。數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)果取向是指在教學(xué)中偏重知識(shí)結(jié)果的傳授，數(shù)學(xué)教學(xué)的過程取向則是指在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)

14、展過程，追求揭示知識(shí)的生長(zhǎng)過程。五 演繹與歸納在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)以演繹的形式展示教學(xué)內(nèi)容還是以歸納的形式展示教學(xué)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生是強(qiáng)調(diào)演繹思維訓(xùn)練還是強(qiáng)調(diào)歸納思維訓(xùn)練，構(gòu)成了教學(xué)中演繹取向與歸納取向之間的矛盾。從方法論角度看，演繹與歸納是兩種不同的研究方法。人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)既有歸納成分也有演繹成分，科學(xué)發(fā)現(xiàn)不可能脫離歸納單純依賴演繹，也不可能脫離演繹而單純依賴歸納。六 證實(shí)與證偽一直以來，教學(xué)主要是教師向?qū)W生闡釋知識(shí)的正確性，體現(xiàn)的是一種“證實(shí)”的思想，那么應(yīng)當(dāng)如何看待“證偽”呢?證偽是否應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中有一席之地?“證偽”思想源于波普爾的證偽主義。波普爾指出，科學(xué)命題都是普遍的結(jié)論，然而由于觀察和實(shí)

15、驗(yàn)的對(duì)象都是具體的事物，能為經(jīng)驗(yàn)所證實(shí)的只是個(gè)別的斷言，而不可能是普遍的結(jié)論，因此，科學(xué)結(jié)論的經(jīng)驗(yàn)證實(shí)是不可能的，但是，命題是可以經(jīng)驗(yàn)地證偽的，因?yàn)槿魏畏蠢牡贸?，即是?duì)相應(yīng)地普遍結(jié)論的直接否定。筆者認(rèn)為教學(xué)應(yīng)兼有證實(shí)和證偽二重性，是一種以證實(shí)為主、證偽為輔的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。因?yàn)?，如果只有證實(shí)性的教學(xué)，就會(huì)使學(xué)生形成片面的知識(shí)觀和學(xué)習(xí)觀。既然每堂課都是在證實(shí)知識(shí)的正確性，然后再將這些結(jié)論用于解決問題，當(dāng)然會(huì)使學(xué)生形成知識(shí)是絕對(duì)真理的信念，把學(xué)習(xí)理解為是無條件的接受過程，學(xué)習(xí)者就會(huì)處于被動(dòng)地位，個(gè)人的見解和熱情難以融入到教學(xué)活動(dòng)中，完全是以虔誠(chéng)的心態(tài)接受他人給出的結(jié)論和證明，以旁觀者的姿態(tài)參與學(xué)習(xí)，形

16、成杜威所說的“旁觀者”知識(shí)觀。反之，只有證偽性的教學(xué)，學(xué)生的思維發(fā)展又會(huì)出現(xiàn)殘缺的狀況。毫無疑問，證實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的有效手段，具有證偽的不可替代性；但是反過來，證偽能訓(xùn)練學(xué)生反思意識(shí)和批判性思維，這又是證實(shí)力所不能及的。因此，只有兩者的融通，才能充分發(fā)揮教育的功能。七 論證與實(shí)驗(yàn)偏重論證還是偏重實(shí)驗(yàn)，構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)中論證取向與實(shí)驗(yàn)取向之間的矛盾。從認(rèn)識(shí)論來分析，論證思想源于邏輯主義，而實(shí)驗(yàn)思想源于經(jīng)驗(yàn)主義。經(jīng)驗(yàn)主義和邏輯主義分別從不同視角審視知識(shí)，都有描述知識(shí)本質(zhì)的積極因素，但也有各自的片面性。知識(shí)的形成，最初源于人們對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的性質(zhì)的分析和探索。從中積累經(jīng)驗(yàn)，即使是從知識(shí)自身體系中

17、提煉問題，也需要人們的經(jīng)驗(yàn)作為支撐，這是一種理性的經(jīng)驗(yàn)。而邏輯是檢驗(yàn)知識(shí)真理性的間接標(biāo)準(zhǔn)，是論證的工具，是知識(shí)理論化和系統(tǒng)化的手段。從這種意義上說，教學(xué)應(yīng)當(dāng)是既包括論證又包括實(shí)驗(yàn)的復(fù)合結(jié)構(gòu)。對(duì)于不同的學(xué)科，論證和實(shí)驗(yàn)的權(quán)重是不同的，所以一般認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)是以論證為主、實(shí)驗(yàn)為輔的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；科學(xué)學(xué)科教學(xué)是以實(shí)驗(yàn)為主、論證為輔的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；人文社會(huì)學(xué)科教學(xué)是以實(shí)驗(yàn)和論證并重的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。三、 如何備課課堂教學(xué)是學(xué)校教學(xué)工作的基本形式，一些新教師由于對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材不熟，對(duì)學(xué)生情況不明，對(duì)教學(xué)方法不曉，因而教學(xué)效果不佳；有的教師在課堂上“平鋪直敘”，“照本宣科”，也有的教師繁瑣講解，“唱獨(dú)腳戲”，結(jié)果教

18、師動(dòng)機(jī)雖好，學(xué)生怨言不少，教學(xué)質(zhì)量不高。這些問題如何解決呢？還應(yīng)該從教學(xué)準(zhǔn)備工作做起。所謂備課，就是上課前的一切準(zhǔn)備工作。備課是教學(xué)全過程的基礎(chǔ)，它對(duì)課堂教學(xué)的質(zhì)量起著決定性的作用。每位教師都必須備好課。一、 備課的基本要求 教師在課后把這些突發(fā)事件記錄下來,對(duì)自己的教學(xué)觀念和教學(xué)行為,學(xué)生的表現(xiàn)、教學(xué)的成功與失敗進(jìn)行理性的分析,通過反思、體會(huì)和感悟,則可以幫助自己總結(jié)和積累經(jīng)驗(yàn),形成一套能適應(yīng)教學(xué)變化的、能出色駕馭課堂教學(xué)的知識(shí)體系和本領(lǐng)。 備課的工作包括學(xué)習(xí)國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)、大綱，鉆研教學(xué)內(nèi)容，閱讀參考資料，研究有關(guān)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及深入了解學(xué)生情況，選擇具體恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，編寫每一節(jié)課時(shí)的教學(xué)方案

19、等。按照這樣的工作程序，備課中備什么？1、備教材（1）熟悉教材。從教材的系統(tǒng)性入手，通曉全部教材，了解教材的來龍去脈，了解各部分內(nèi)容在整個(gè)教材中的地位和作用，確定教材的深廣度。圖10-1ECBAD12圖10-2BACD例如：在初三幾何“相似形”中，三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理的證明，一方面要考慮到和前面知識(shí)的聯(lián)系，AD為A的平分線，過點(diǎn)C作CEDA，交BA的延長(zhǎng)線于E，應(yīng)用前面的平行線分線段成比例定理而得證（如圖101）；另一面還要考慮與后續(xù)知識(shí)的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)了“解三角形”以后，則三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理的證明可簡(jiǎn)化如下：在ADC中（如圖10-2），同理，故 。（2）分析鉆研教材。在“精讀”教材的

20、基礎(chǔ)上，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行全面深刻的剖析，研究教材的思想性，研究數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)，發(fā)展、轉(zhuǎn)化，由量變到質(zhì)變，對(duì)立統(tǒng)一等觀點(diǎn)在教材有關(guān)章節(jié)中的具體體現(xiàn)。尤其在概念教學(xué)中側(cè)重于觀察、抽象、概括、辨析等能力的培養(yǎng)，在定理教學(xué)中側(cè)重于歸納、類比、分析、綜合等探究能力的培養(yǎng)。對(duì)教學(xué)內(nèi)容較易的側(cè)重于自學(xué)能力的培養(yǎng)；對(duì)內(nèi)容較難的則側(cè)重于分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)。例如在幾何中，圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，三角形是基本直線形，其他多邊形多半可轉(zhuǎn)化為三角形來研究，而在三角形中，其全等的判定和應(yīng)用判定定理進(jìn)行推理證明又是這章的重點(diǎn)，在這章以前還沒有要求學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行推理論證，只是讓學(xué)生填空，填寫理由和模仿證明。從“三角形”這章起就

21、逐步要求學(xué)生獨(dú)立地按一定推理過程進(jìn)行推理、論證，在證明中根據(jù)需要添加輔助線。對(duì)這些問題的分析都有助于我們對(duì)教材的“吃深吃透”。另外，在備課中要根據(jù)一般和特殊的辯證關(guān)系，掌握知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，尋找教材間的“規(guī)律”。人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律總是由特殊到一般再由一般到特殊的，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系也必然反映出人們這一認(rèn)識(shí)規(guī)律。例如從三角形的畫法可以知道，如果一個(gè)三角形具有下列性質(zhì)條件之一：（1）已知三條邊；（2）已知兩邊和它們的夾角；（3）已知兩角和它們的夾邊；那么這個(gè)三角形的形狀、大小就完全確定了，從而另外三個(gè)元素（邊或角）也隨之確定。但是它們之間的內(nèi)在規(guī)律如何？還不能一下認(rèn)識(shí)。人們首先認(rèn)識(shí)的是直角三角形邊

22、角的內(nèi)在規(guī)律：勾股定理和銳角三角函數(shù)。在掌握它們之后，就可以解直角三角形了。在銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)后，則可以進(jìn)一步導(dǎo)出正弦定理和余弦定理，從而掌握了任意三角形邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，由此則可解任意三角形。這是一種縱的聯(lián)系。另外還應(yīng)注意內(nèi)容的橫向聯(lián)系。例如：正弦函數(shù)圖象中主要研究正弦函數(shù) ，的圖象，而是的特殊情況，又是的特殊情況，這樣從的圖象入手，逐步推廣，從而找出內(nèi)在規(guī)律，其中與雖然周期不同，但在同一周期內(nèi)函數(shù)的變化規(guī)律是一致的。（0）在時(shí)間時(shí)與函數(shù)在時(shí)間時(shí)有相同的函數(shù)值，只要找出這些規(guī)律，這一類問題也就迎刃而解了。（3）處理教材緊扣教學(xué)目的，克服教學(xué)中的盲目性。教育學(xué)指出：學(xué)習(xí)是一種

23、有目的的活動(dòng)，學(xué)習(xí)的目的性越明確，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性就越高。心理學(xué)也認(rèn)為：學(xué)習(xí)上的自覺性，就是指學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)目的和它的社會(huì)意義有清晰的認(rèn)識(shí)。從而轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己需要所產(chǎn)生的學(xué)習(xí)積極性。為達(dá)到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)總目的，必須使學(xué)生明確每一章節(jié)乃至每一節(jié)課的目的，離開這一個(gè)個(gè)小的教學(xué)目的，大目的就會(huì)落空。教學(xué)目的和要求應(yīng)考慮下列幾個(gè)方面：第一、思想品德教育體現(xiàn)在哪些方面；第二、對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、技巧的學(xué)習(xí)應(yīng)達(dá)到何種程度？提出何種水平的要求？教學(xué)目的的提出要明確、具體、恰如其分，太寬則過于籠統(tǒng)而針對(duì)性不強(qiáng)，太窄若流于枝節(jié)，則易忽略重要內(nèi)容，太高則不宜兌現(xiàn)，太低則不能達(dá)到國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)或教學(xué)大綱的要求?？傊?，“寬

24、窄高低”都是不適當(dāng)?shù)?。? 老師講“分母有理化”這一節(jié)課，兩位老師上課方法如下：教師甲：“今天我們學(xué)習(xí)分母有理化”，然后板書課題，依次講什么是分母有理化，怎樣使分母有理化，舉例，練習(xí)，最后布置作業(yè)。教師乙：首先板書一道題“計(jì)算（精確到0.01）”，指定兩位同學(xué)板演，一同學(xué)先把分母分子同乘以，很快算出結(jié)果；另一同學(xué)直接用1被的近似值1。414除，列豎式算得繁。為此，教師問學(xué)生，那種方法簡(jiǎn)便，學(xué)生一致肯定了前者，從而自然引入了分母有理化課題。教師乙引入課題并不費(fèi)力，目的很明確，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，從而迫切期待著學(xué)習(xí)新知識(shí)。突出教學(xué)重點(diǎn)，克服學(xué)習(xí)的復(fù)雜性。根據(jù)教學(xué)目的和教學(xué)特點(diǎn)，聯(lián)系學(xué)生實(shí)際，組

25、織教材，確定什么地方該詳講、略講或不講，也就是要確定教材的重點(diǎn)。教材的重點(diǎn)是指在整個(gè)教材中處于重要地位和作用的內(nèi)容。如何確定內(nèi)容的重要程度呢？第一、對(duì)教材的有關(guān)部分，它是不是核心；第二、它是不是今后學(xué)習(xí)其它內(nèi)容的基礎(chǔ)，或者是否有廣泛的應(yīng)用。教師在備課中要突出重點(diǎn)，避免孤立地講授知識(shí)，以利于形成知識(shí)系統(tǒng)，同時(shí)還要防止只注意系統(tǒng)而面面俱到。突出重點(diǎn)就是要抓住知識(shí)的“綱”，做到“綱舉目張”。例2 在講兩角和與差的三角函數(shù)時(shí)，可確定兩角和的余弦公式 為重點(diǎn)，因?yàn)榭赏ㄟ^推出；可化為，即而推出，進(jìn)而又推出的公式。突破教學(xué)“難點(diǎn)”及早防止可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤。教學(xué)中難點(diǎn)常表現(xiàn)在以下方面：知識(shí)過分抽象，知識(shí)的內(nèi)在結(jié)

26、構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜，知識(shí)的本質(zhì)屬性比較隱蔽、知識(shí)由舊到新要求用新的觀點(diǎn)和方法去研究，以及各種運(yùn)算的逆運(yùn)算等。一般采取抓住關(guān)鍵、突破難點(diǎn)，或者分散難點(diǎn)逐步解決的辦法。這就要求備課時(shí)周密考慮關(guān)鍵所在，在教學(xué)中，充分運(yùn)用直觀、具體模型，逐步抽象，由淺入深；充分利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，溫故知新等方法掃除障礙。教材中的難點(diǎn)，不一定都是內(nèi)容的重點(diǎn)。既是難點(diǎn)又是重點(diǎn)的內(nèi)容則應(yīng)特別重視，認(rèn)真解決。例3 “對(duì)數(shù)”的概念是個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是弄清對(duì)數(shù)與指數(shù)是互為逆運(yùn)算。另外，對(duì)數(shù)定義中為什么要把底數(shù)a的范圍規(guī)定為a0，a1？教材中未指出，學(xué)生會(huì)有疑惑。教師必須向?qū)W生交待清楚，是因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)b都滿足1b=1，而任何實(shí)數(shù)b

27、都不滿足1b=N（N1），故規(guī)定對(duì)數(shù)的底a1，類似地可知規(guī)定a0的原因。而當(dāng)a0時(shí)，ab在許多情況下，比如（、為自然數(shù)）時(shí)沒有意義，故規(guī)定a0。綜上所述,在備教材時(shí)要努力做到：（1）教材是學(xué)校教學(xué)的主要依據(jù)。在備課時(shí)，要掌握本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，它與前后知識(shí)之間的聯(lián)系，在教學(xué)中的作用、地位，所要達(dá)到的知識(shí)和能力兩方面的要求，它的重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵，從而確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、課堂類型和所要使用的教學(xué)方法。（2）.為了更好地把握教材，還需要閱讀教學(xué)參考資料上的有關(guān)內(nèi)容。它詳細(xì)說明了知識(shí)之間的聯(lián)系、作用、地位，也提供了教學(xué)意見和一些注意事項(xiàng)，可以使我們加深對(duì)教材的理解，少走彎路。（3）對(duì)教師來說還應(yīng)該

28、多占有一些資料，如參考書、課外讀物，與專業(yè)聯(lián)系的報(bào)刊雜志等。同時(shí)，在新課程條件下，隨著教師角色的轉(zhuǎn)變和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變的要求，備課不再是教材內(nèi)容的簡(jiǎn)單的詮釋、教學(xué)過程的簡(jiǎn)單的安排、教學(xué)方法的簡(jiǎn)單的展示，它的性質(zhì)、功能、方法已經(jīng)發(fā)生了很大的變化。它要求教師從新課程理念出發(fā)，在落實(shí)學(xué)生主體學(xué)習(xí)地位上下功夫，在落實(shí)每一個(gè)學(xué)生自主學(xué)習(xí)上下功夫，在落實(shí)學(xué)生合作學(xué)習(xí)上下功夫，在充分調(diào)動(dòng)每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性上下功夫，在防止學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)流于形式、切實(shí)提高課堂效益上下功夫。因此教師備課已升華為教師教學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容。2、備學(xué)生教學(xué)活動(dòng)是教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用相互協(xié)調(diào)配合來完成的，不了解學(xué)生，不

29、研究學(xué)生就不能有的放矢。了解學(xué)生不僅是剛接任一個(gè)新班時(shí)需要了解班級(jí)學(xué)生的情況，或是在開展優(yōu)課評(píng)選活動(dòng)借班上課時(shí)，需要向有關(guān)教師了解學(xué)生的情況或親自深入班級(jí)熟悉學(xué)生情況，就是在平時(shí)的教學(xué)中，在每一課的備課時(shí)，都要考慮我們的教學(xué)對(duì)象。解學(xué)生的途徑是多方面的，如回顧上一節(jié)課教學(xué)任務(wù)的完成情況，課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒；學(xué)生的作業(yè)情況，有目的地和不同層次的學(xué)生交談；向科代表了解情況等。（1）、備課準(zhǔn)確定位學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo) 教師備課時(shí)應(yīng)決定適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)目標(biāo)，并確認(rèn)和協(xié)調(diào)達(dá)到目標(biāo)的最佳途徑，而傳統(tǒng)備課中的目標(biāo)確定是一種知識(shí)的預(yù)設(shè)。新課標(biāo)要求達(dá)成學(xué)生知識(shí)與技能、過程與方法及情感、態(tài)度與價(jià)值觀三維目標(biāo)。目標(biāo)設(shè)計(jì)上要做到

30、“三個(gè)并重”。傳統(tǒng)的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)要求仍然是教師備課中必須重視的，同時(shí)需要考慮另外兩個(gè)目標(biāo)，一是過程和方法的考量，必須重視設(shè)計(jì)每個(gè)學(xué)生自主思索的平臺(tái)，必須讓每個(gè)學(xué)生都能用數(shù)學(xué).的方法思考問題、解決問題；二是可理解為看不見的方法、情感、態(tài)度、價(jià)值觀要求，主要表現(xiàn)為培養(yǎng)學(xué)生熱愛科學(xué)、勤于思考、善于探索、長(zhǎng)于合作、追求真理的學(xué)習(xí)心理和學(xué)習(xí)品質(zhì)。備課中應(yīng)考慮兩項(xiàng)內(nèi)容：一是本課的知識(shí)點(diǎn)和能力點(diǎn)的問題，對(duì)定理的掌握應(yīng)用，整個(gè)初中階段所學(xué)的平面幾何知識(shí)的理解。二是學(xué)法指導(dǎo)，在備課時(shí)就要充分考慮好，每節(jié)課的學(xué)習(xí)都要讓學(xué)生學(xué)會(huì)一定探究的方法、技巧，教師將作怎樣的指導(dǎo)，這一點(diǎn)非常重要。如果我們?cè)谶@方面下些功夫，學(xué)

31、生就能學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的效率就體現(xiàn)出來了。 （2）、備課應(yīng)考慮師生雙邊互動(dòng)式 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“教”服務(wù)于“學(xué)”,教師通過與學(xué)生合作,依靠學(xué)生自主動(dòng)手活動(dòng)、實(shí)踐、合作與交流去實(shí)現(xiàn)教學(xué)任務(wù);新課標(biāo)要求教師以學(xué)生的心理發(fā)展為主線,以學(xué)生的眼界去設(shè)計(jì)教學(xué)思路,預(yù)測(cè)學(xué)生可能的思維活動(dòng)并設(shè)計(jì)相應(yīng)對(duì)策。這就要求我們讓學(xué)生參與課前的準(zhǔn)備,自己收集制作有關(guān)資料(如實(shí)物、圖片、數(shù)據(jù)等),如做等腰三角形平行四邊形，然后嘗試研究它的性質(zhì)。這個(gè)過程不僅能促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí),為課堂教學(xué)作很好的鋪墊,還能使教師預(yù)測(cè)到學(xué)生的需要,掌握學(xué)生的現(xiàn)有水平和情感狀態(tài),把握學(xué)生的“現(xiàn)有發(fā)展水平”,使教師在備課時(shí),更多地從學(xué)

32、生學(xué)習(xí)的角度去考慮教學(xué)方案,對(duì)癥下藥,有的放矢。 （3）、備課應(yīng)考慮學(xué)生的個(gè)體差異，因材施教 新課程倡導(dǎo)打造教學(xué)基礎(chǔ),做好教學(xué)的前提工作,了解教學(xué)對(duì)象的差異學(xué)生差異。備課時(shí),我們應(yīng)認(rèn)真分析學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)的差異,找準(zhǔn)新知識(shí)學(xué)習(xí)的切入點(diǎn);認(rèn)真分析學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的差異,根據(jù)學(xué)生的興趣、愛好、情緒,設(shè)計(jì)課堂教學(xué),把握學(xué)習(xí)的鼓動(dòng)點(diǎn);認(rèn)真分析學(xué)生的學(xué)習(xí)需要差異,根據(jù)對(duì)象確定分層施教,架好學(xué)習(xí)的橋梁,使基礎(chǔ)較差的學(xué)生“吃得進(jìn),消得了”,使學(xué)有余力的學(xué)生“跳一跳,摘得到”。 只有這樣,在掌握學(xué)生的個(gè)性差異和個(gè)體需求的前提下,采取不同的教學(xué)方法,才能為每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展創(chuàng)造條件,使學(xué)生全身心地投入到課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)中

33、來,使每個(gè)人都獲得身心的愉悅和在原有基礎(chǔ)上有較大發(fā)展。因此教師精心地選擇例題和學(xué)生的訓(xùn)練題至關(guān)重要。例題的選擇要有典型性. 代表性. 思維性.特別要注意例題的一題多變.一題多解和一圖多用。學(xué)生的課內(nèi)訓(xùn)練題和課外作業(yè)題，要避免大量的機(jī)械模仿性的題目；要緊扣重點(diǎn)，有利于基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和規(guī)律的掌握，要注意題型的多樣性，要重視變式訓(xùn)練和探索性的訓(xùn)練，以培養(yǎng)能力發(fā)展智力對(duì)于課外作業(yè)可布置適量，選做題，以體現(xiàn)因材施教的原則。 （ 4）、根據(jù)教學(xué)情況進(jìn)行課后備課,提高教學(xué)反思能力。 課前備課、寫教案固然重要,但課后反思,進(jìn)行二次備課,更有利于教師的專業(yè)成熟與提高。教案的價(jià)值并不僅僅在于它是課堂教學(xué)的準(zhǔn)備,教

34、案作為教師教學(xué)思想、方法軌跡的記錄,也是教師認(rèn)識(shí)自己、總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的重要資料。在教學(xué)實(shí)踐中,課堂一旦放開,真正活起來,就會(huì)有很多突如其來的可變因素,學(xué)生的一個(gè)提問、一個(gè)“發(fā)難”、一個(gè)突發(fā)事件,都會(huì)對(duì)原有的教學(xué)設(shè)計(jì)提出挑戰(zhàn)。 教學(xué)過程是師生共同勞動(dòng)的過程，在吃透教材之后還必須了解調(diào)查受教育的對(duì)象。一要了解學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)、技能水平、學(xué)習(xí)興趣、思想狀態(tài)以及他們的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣，做到因材施教，使教學(xué)不脫離實(shí)際。二要在了解的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究，作出比較準(zhǔn)確的預(yù)見，預(yù)見到學(xué)生在接受新知識(shí)時(shí)會(huì)有哪些困難，做到心中有數(shù)，有的放矢。例9 在數(shù)的開方及算術(shù)根運(yùn)算中，容易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：， 等。在教學(xué)中就要注意講

35、清算術(shù)根與平方根的區(qū)別，使學(xué)生明確，。例10 高一代數(shù)“角的概念推廣”一節(jié)需要用到集合知識(shí)，如果學(xué)生還沒有掌握，將會(huì)給講例題：“寫終邊落在軸上角的集合”帶來困難，這里涉及求兩個(gè)集合，的并集問題。同時(shí)在角的概念推廣以后，學(xué)生對(duì)某一確定的角和某象限的角概念容易混淆，這就要求教師在了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，缺什么就想法加以彌補(bǔ)什么，對(duì)一些易混淆的概念教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加以辨別。3、備練習(xí)題這里所說的練習(xí)題是泛指整個(gè)教學(xué)過程中，和訓(xùn)練有關(guān)的口答題、筆答題、板演題、教師講解的例題以及所布置的作業(yè)題等。習(xí)題是整個(gè)教材內(nèi)容的一部分，習(xí)題在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有特殊的地位和作用，要使學(xué)生牢固地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，沒有必要的恰當(dāng)?shù)睦}講

36、解和練習(xí)，學(xué)生就不可能鞏固所學(xué)知識(shí)，掌握有關(guān)的基本技能和進(jìn)一步培養(yǎng)能力。為此教師必須對(duì)例題和練習(xí)題精心設(shè)計(jì)和選擇，細(xì)心安排處理才能收到好的教學(xué)效果。（1）例題的選擇和挖掘開始的引導(dǎo)練習(xí)要起承上啟下的作用，既鞏固上一節(jié)的知識(shí)，又能自然地導(dǎo)入新課，或?yàn)樾轮R(shí)的傳授鋪墊搭橋。例題的選擇要有典型性、代表性、思維性。特別要注意例題的一題多變、一題多解和一圖多用。精選例題是提高課堂教學(xué)效率的重要手段。例題的選擇應(yīng)有利于加深對(duì)概念和基礎(chǔ)理論的理解掌握，通過例題的講解，明確概念，傳授方法、啟發(fā)思維、培養(yǎng)能力，因此選講的例題應(yīng)具有一般性和代表性。中學(xué)數(shù)學(xué)課本中，在每一節(jié)的概念、定理、公式之后，都配備了一定的例題

37、，教師應(yīng)認(rèn)真鉆研、深刻理解每個(gè)例題的教學(xué)目的，并在教學(xué)過程中緊扣和實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的。除此之外，如在教學(xué)中或章末復(fù)習(xí)中增加例題，則應(yīng)精選，并注意以下幾點(diǎn)：具有目的性設(shè)計(jì)例題主要從鞏固知識(shí)和獲取技能兩方面考慮。同時(shí)還要考慮學(xué)生的未來發(fā)展。選擇例題要目的明確，分層設(shè)計(jì)來組織例題，一般可采用題組形式，圍繞目的，層層展開。在討論“指定區(qū)間上二次函數(shù)的極值與最值”時(shí)可設(shè)計(jì)這樣一組例題。例1 已知函數(shù)yf(x)=x22x2，試求函數(shù)在下列區(qū)間上的極值與最值：（，）；0，3；-1，0；2，3。這里既需要作一般的考慮，又要在有限區(qū)間的情況下，特別考慮區(qū)間的端點(diǎn)。具有啟發(fā)性。通過典型例題的討論，學(xué)生對(duì)這類問題的條件、

38、解題方法的理解深刻了，不僅能思考問題的本身，而且還可以思考更廣泛更深遠(yuǎn)的一般性問題。例2 求證lg3lg331。問題本身啟發(fā)i）33399；ii）lg3lg33lg99lg100=2；iii要證不等式左邊為和式，可考慮用“a0，b0，則來證明。具有延伸性。為使例題延伸，可通過對(duì)例題的挖掘深化，使問題在更大范圍內(nèi)延伸展開。其中橫向延伸。主要指對(duì)例題的一題多解；縱向延伸主要是指改變例題的條件和結(jié)論，采取有層次的“題組式”教學(xué)，其優(yōu)點(diǎn)是思路流暢，脈絡(luò)清晰，規(guī)律性強(qiáng)，也有利于學(xué)生推廣、歸納、分類從而加強(qiáng)探索能力。例3 在“不等式證明”一節(jié)中，設(shè)計(jì)如下題組：i），均為正數(shù)，49若，則9；ii），均為正數(shù)

39、，A（2,0）OQPyx圖10-3。具有典型性。具有典型性的例題即具有代表性。研究它的典型意義，可以“以點(diǎn)代面”使學(xué)生舉一反三、觸類旁通。例4 在解析幾何中用代入法求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題。如圖103設(shè)A的坐標(biāo)為（2，0），Q為圓上任一點(diǎn)，OP是DAOQ中AOQ的平分線，求P點(diǎn)軌跡。從這類問題中可以抽象出利用“代入法”求動(dòng)點(diǎn)軌跡的一般模型和方法。（2）學(xué)生的課內(nèi)練習(xí)題課堂練習(xí)的目的在于使學(xué)生將所學(xué)得的基礎(chǔ)知識(shí)及時(shí)得到鞏固，掌握有關(guān)的基本技能并趨向熟練。加強(qiáng)練習(xí)，不僅要注意練習(xí)的機(jī)會(huì)多，形式多，更重要是提高練習(xí)的質(zhì)量，講究練習(xí)的效果。精心選擇練習(xí)題要注意什么呢？中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

40、大綱（試驗(yàn)修訂版），2000年2月）指出：“練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)組成部分，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。練習(xí)的目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的基本技能和能力，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教和學(xué)中的遺漏或不足，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)?！迸c此同時(shí)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱也作了完全一致的論述。為了使練習(xí)能起到應(yīng)有的作用，教師在備課中安排練習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：要緊扣重點(diǎn)，有利于基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和規(guī)律的掌握；事先演算，明確目的。課本上的“練習(xí)”是供課堂上用的，一般比較簡(jiǎn)單，但決不因此而在備課中輕視它。而應(yīng)該事先準(zhǔn)備，對(duì)題目進(jìn)行精選，明確各道題的目的作用，并盡可能利用這些材料。要注意題型的

41、多樣性，要重視變式訓(xùn)練和探索性的訓(xùn)練，以培養(yǎng)能力。為此，要妥善安排練習(xí)題，做到練習(xí)及時(shí)。課堂練習(xí)安排在何時(shí)進(jìn)行，安排多少時(shí)間，要根據(jù)教學(xué)的年級(jí)和教學(xué)的內(nèi)容而定。一般來說，是先講后練，但必須注意的是，這并非是指都要等新知識(shí)全部講完后再一起練習(xí)。事實(shí)上如果一堂課的新知識(shí)可以明顯地分為幾個(gè)層次，那么練習(xí)就可以相應(yīng)地穿插于其中，整節(jié)課就分成了幾個(gè) “回合”，尤其是對(duì)于低年級(jí)更應(yīng)注意這一點(diǎn)。低年級(jí)學(xué)生能集中注意力的時(shí)間比較短，及時(shí)練習(xí)，動(dòng)手動(dòng)口，可避免因教學(xué)形式的單調(diào)引起大腦皮層的過早抑制，促使學(xué)生積極動(dòng)腦，主動(dòng)思維。鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)。例題示范，注意格式。在學(xué)生做練習(xí)前，應(yīng)有例題作為示范，包括如何應(yīng)

42、用新知識(shí)，要注意的問題以及解題格式。一般情況下，學(xué)生練習(xí)時(shí)，示范的例題應(yīng)保留在黑板上，以便學(xué)生遇到困難時(shí)可主動(dòng)對(duì)照解決。安排板演，共同評(píng)議。適當(dāng)?shù)匕才虐逖?，并由師生共同評(píng)議，不僅可及時(shí)了解學(xué)生掌握知識(shí)，技能情況，得到信息反饋，而且可以養(yǎng)成學(xué)生進(jìn)行研討的好習(xí)慣和提高思維的批判性。一般來說，評(píng)議應(yīng)先由學(xué)生來進(jìn)行，學(xué)生解決不了的，教師引導(dǎo)；學(xué)生解決不好的，教師糾正或補(bǔ)充?？傊灰山處煱k批改，不要把學(xué)生活動(dòng)的好時(shí)機(jī)丟失掉。循序漸進(jìn)，逐步提高，以發(fā)展學(xué)生的智力；練習(xí)應(yīng)由淺入深，由單一到綜合。還要有適當(dāng)?shù)拈_放題。當(dāng)學(xué)生的練習(xí)分成幾段進(jìn)行時(shí)，要注意有明顯的層次，每一段都應(yīng)有新的明確的目的。更要注意的是

43、，不要把簡(jiǎn)單的練習(xí)放在講完較難的例題之后再進(jìn)行。因?yàn)椋m然看上去這些練習(xí)完成得很順利，但已失去了作此練習(xí)原有的意義，違背了循序漸進(jìn)的要求。題量適度，難度適中。題量要適度，首先要保證必須的基本題，人人達(dá)標(biāo)。習(xí)題難度要適中，布置作業(yè)要區(qū)別對(duì)待。對(duì)學(xué)有困難的學(xué)生，要給予必要的輔導(dǎo)。對(duì)于實(shí)習(xí)作業(yè)和探究性活動(dòng)要求學(xué)生必須切實(shí)完成。（3）課外作業(yè)題的布置和配備備數(shù)學(xué)課要認(rèn)真?zhèn)淞?xí)題。首先教師需按照對(duì)學(xué)生的要求，將教材上全部習(xí)題演算一遍，明確各題的要求，解題關(guān)鍵，解題技巧，解題的格式。區(qū)別哪些習(xí)題是主要的，次要的，哪些是鞏固性的，哪些是創(chuàng)造性的，哪些是單純性的，哪些是綜合性的，哪些學(xué)生可以獨(dú)立完成，哪些需要提

44、示，哪些可作為教材講授，對(duì)每道題的難度與演算時(shí)間做到心中有數(shù)。同時(shí)，對(duì)于課外作業(yè)可布置適量的選做題，以體現(xiàn)因材施教的原則，還要避免大量的機(jī)械模仿性的題目；在編制習(xí)題中，教師常常需要突破常規(guī)，認(rèn)真學(xué)習(xí)研究，掌握獨(dú)立地創(chuàng)造新題的方法和技巧。這要求教師不僅具備廣博的專業(yè)知識(shí)，還要有良好的思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)教師不僅要諳熟初等數(shù)學(xué)知識(shí)，而且對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)也有較高的造詣。同時(shí)要善于想象，從不同的角度去思考問題，防止思維定勢(shì)。相對(duì)而言, 制題是比解題更困難和更復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維過程。正如數(shù)學(xué)大師華羅庚教授所言：“出題比做題更難，題目要出得妙，出得好，要測(cè)得出水平.”解題能力和制題能力的基礎(chǔ)有共同之處, 即： 嚴(yán)密的

45、邏輯思維能力, 一定深度和廣度的知識(shí)結(jié)構(gòu), 靈活的數(shù)學(xué)技巧,以及對(duì)多種數(shù)學(xué)方法的理解和掌握。但是, 解題與制題是兩個(gè)目的不同的過程。解題, 是在給定的條件下去求出問題的答案；制題, 則是在設(shè)定條件的同時(shí), 也設(shè)定要證明的結(jié)論.； “好”的數(shù)學(xué)問題的標(biāo)準(zhǔn)：（1）應(yīng)當(dāng)具有較強(qiáng)的探索性；（2）具有一定的啟示；（3）具有一定的開放性；（4）具有一定的發(fā)展余地；（5）具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。一個(gè)好的題目, 要具備這樣的特點(diǎn):(1) 文字?jǐn)⑹龊?jiǎn)潔明了；(2) 假設(shè)的條件恰到好處(若增多,則嫌多余, 若減少, 則不能保證結(jié)論成立)；(3) 解題所用到的知識(shí)不超出解題者的知識(shí)范圍。因此,制題比解題需要更多的綜合能

46、力, 例如, 要有創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的能力, 所設(shè)制的題目應(yīng)該具有形式練達(dá) 創(chuàng)意新穎的數(shù)學(xué)美的表征；要有綜合各種知識(shí)構(gòu)成有適當(dāng)難度題目的能力, 能設(shè)制不同難度的題目, 以用于不同層次的學(xué)生；等等。 編制數(shù)學(xué)題目的來源：現(xiàn)實(shí)原型的數(shù)學(xué)化以及對(duì)數(shù)學(xué)原型的邏輯組合（應(yīng)包括，從特定的原型出發(fā)，進(jìn)行邏輯分析與綜合，制造逆命題，演繹變形，一般化，特殊化，作類比等），下面提出幾種編題方法：（1）成題改編對(duì)成題改造，推陳出新，是數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重要方法，也是命題的一條捷徑。改造成題法對(duì)原有習(xí)題進(jìn)行加工、改造、深化是編造習(xí)題的重要方法。從變換原題條件入手，編造新命題。例1 原題：已知，三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到、之距離為、，且，求點(diǎn)的

47、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。改編題：（1）設(shè)等腰OAB的頂角為，高為，在OAB內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)到三邊，之距離分別是、，且滿足，求點(diǎn)軌跡。（2）上題中的為改在OAB之外，把改為，求點(diǎn)軌跡。除此而外，還可對(duì)定理、公式、習(xí)題繼續(xù)推演，得到新的結(jié)論和結(jié)果，也可把幾個(gè)題揉合在一起，利用它們之間的關(guān)系，編造新習(xí)題。當(dāng)然，編出的習(xí)題是否正確，還要通過實(shí)際推證或演算來進(jìn)行檢驗(yàn)。（2 ）高等數(shù)學(xué)成果初等化在高等數(shù)學(xué)研究成果中，常常包含著一些初等的結(jié)論，如恒等式、不等式等，高等數(shù)學(xué)中的一些問題經(jīng)過簡(jiǎn)單化、特殊化、具體化之后，?？捎贸醯确椒▉斫鉀Q，這些題無范本可循，往往是公認(rèn)的好題。以高觀點(diǎn)研制數(shù)學(xué)題目，可以編制出有新意的題目。高等數(shù)

48、學(xué)的基本思想、基本方法、基本問題為高考命題設(shè)計(jì)提供了新的背景和思路。 (3)倒果為因法。預(yù)先約定一個(gè)條件A，經(jīng)過有目的的運(yùn)算或邏輯推理，得出了一個(gè)結(jié)論B，如果這些運(yùn)算和推理都是可逆的話，就可以得出以B為條件，以A為結(jié)論的習(xí)題，或得出與推演過程有聯(lián)系的習(xí)題。例4 先約定a，b，c成等差數(shù)列，作以下演繹：a-bb-c(a-b)-(b-c)0(a-b)-(b-c)20考慮恒等式：(a-b)(b-c)a-c與(a-b)(b-c) 2-(a-b)- (b-c) 2=4(a-b)(b-c)得(c-a) 2-4(a-b)(b-c)0，由于以上過程可逆，故得題目：“已知(c-a) 2-4(a-b)(b-c)0

49、，求證：a，b，c成等差數(shù)列?！鳖愃频?，再考慮恒等式(a-b)(b-c)3(a-b)(b-c) 32(a-b)36(a-b)(b-c)2又可得題目：“已知2(a-b)36(a-b)(b-c)2(c-a)30，求證：a，b，c成等差數(shù)列。”有興趣的讀者，請(qǐng)認(rèn)真推演一下本例中的題目，你一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。需要說明的是，采用“倒果為因”法編題的條件是每一步推演必須都可逆；還有，推演的步驟不可太多，否則編出的題將失去實(shí)際意義。比如說，我們能夠隨意寫出幾個(gè)多項(xiàng)式相乘，然后以結(jié)果讓別人去作因式分解，這往往是非常困難，甚至是辦不到的。所以，用“倒果為因”法編題不可濫用。(4)類推仿造法。根據(jù)原有題目的特點(diǎn)，進(jìn)

50、行類推仿造新的習(xí)題。例7 原題：如果0則2；如果0，則2。 仿造題：1）設(shè)(是整數(shù))求證：2； 2）設(shè)（是整數(shù)），求證：； 3）設(shè)是任意實(shí)數(shù)，求證2。4、備導(dǎo)入如何引進(jìn)新課，這對(duì)于有經(jīng)驗(yàn)的教師來說都是要認(rèn)真考慮的問題。導(dǎo)入好，就能將學(xué)生的注意力牢牢地吸引住，就能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因此每節(jié)課都必須精心構(gòu)思導(dǎo)入，達(dá)到以下三個(gè)方面的要求：（1）創(chuàng)設(shè)一個(gè)良好的教學(xué)情景，造成積極思維的環(huán)境氣氛。（2）讓學(xué)生在十分迫切的要求下學(xué)習(xí)。（3）揭示本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。5、備設(shè)問教學(xué)中發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，主要是突出一個(gè)“引”字；充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，主要是突出一個(gè)“放”字。“引”也好，“放”

51、 也好，都離不開教師的設(shè)問，如創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情景引入新課，思路讓學(xué)生講，疑難讓學(xué)生議，規(guī)律讓學(xué)生找，結(jié)論讓學(xué)生得，錯(cuò)誤讓學(xué)生析，都必須通過教師的設(shè)問，啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生主動(dòng)地接受知識(shí)。6、備小結(jié)一節(jié)課的小結(jié)是教師幫助學(xué)生回顧與總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)于小結(jié)要注意以下幾點(diǎn)：1.要盡量引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，如本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，它的作用，規(guī)律性的結(jié)論，有關(guān)注意事項(xiàng)，學(xué)習(xí)心得等。2.要注意將本節(jié)課的知識(shí)納入系統(tǒng)之中，促使學(xué)生在總體上把握知識(shí)，這樣掌握的知識(shí)就不是零亂的和支離破碎的。3.要充分發(fā)揮小結(jié)的作用，小結(jié)可以是承上啟下的引子，如提出某一未解決的問題，引出下節(jié)課；可以是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的火花，如故

52、設(shè)懸念，讓學(xué)生課后思考；可以是布置新的研究課題，如就課堂上出現(xiàn)的某一基本圖形，要求學(xué)生翻閱資料，查找與這基本圖形有關(guān)的幾何題等。7、備語言語言是人們交流思想的主要工具，語言是直接與思維聯(lián)系的，它把人的思維活動(dòng)的結(jié)果、認(rèn)識(shí)活動(dòng)的成果，用文字和圖形記錄下來。語言不能脫離思想，而作為一個(gè)數(shù)學(xué)教師更應(yīng)要求自己在教學(xué)活動(dòng)中能正確運(yùn)用語言，而且還要培養(yǎng)學(xué)生正確使用數(shù)學(xué)語言。語言的口頭表述是一種藝術(shù)，教書主要是通過語言表達(dá)來進(jìn)行的，因此提高教師的表達(dá)能力至關(guān)重要。每節(jié)課都有精細(xì)的序列關(guān)系，從引進(jìn)新課到新課的展開，到最后的小結(jié)，整體結(jié)構(gòu)非常嚴(yán)謹(jǐn)。既充分反映出本節(jié)課知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本身的科學(xué)

53、性和嚴(yán)密性。1.能認(rèn)真推敲銜接語言，使知識(shí)自然過渡。2.要使自己的語言有感染力和吸引力，平時(shí)就要多加訓(xùn)練，注意語言的抑揚(yáng)頓挫，注意啟發(fā)式語言的使用。3.備課時(shí)就要構(gòu)思好教學(xué)語言。要按照敘述嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確、合乎邏輯，表述簡(jiǎn)練、清楚的要求組織好語言，特別要推敲銜接語言，使知識(shí)自然過渡。4.要有意識(shí)地克服口頭禪。5.要多考慮一些鼓勵(lì)性的語言。6.不孤立地講解例題，很注意例題之間的內(nèi)在聯(lián)系。常用一題多變，一題多解，一圖多用來進(jìn)行例題的講解；串起來的題目比較多，縱向、橫向聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)比較多，學(xué)生掌握的知識(shí)也就比較全面。數(shù)學(xué)教師的語言應(yīng)講究科學(xué)性，要求用詞準(zhǔn)確，敘述精煉、前后連貫、邏輯性強(qiáng)。數(shù)學(xué)教師的語言應(yīng)掌握?qǐng)D形語言和代數(shù)語言兩個(gè)重要組成部分，尤其是掌握用詞的確切性。為了達(dá)到這一點(diǎn)首先應(yīng)充分發(fā)揮圖形的啟發(fā)和形成數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的直觀作用；第二是強(qiáng)調(diào)圖形和代數(shù)兩種語言的互釋。第三是倡導(dǎo)數(shù)學(xué)語言的表格式。教師在教學(xué)中不僅自己用語正確，而且要注