雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、oyxF1F2A1A2B2B1復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1 1 橢圓的圖像與性質(zhì)橢圓的圖像與性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率)0(12222babyaxaxabyb對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱中心：原點(diǎn)A1,A2,B1,B210ace(-c,0)(c,0)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) 類比橢圓幾何性質(zhì)的研究方法，我類比橢圓幾何性質(zhì)的研究方法，我們根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程們根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等幾得出雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等幾何性質(zhì)？何性質(zhì)？)0, 0( 12222babyax問題問題1 1：(1) 范圍22221(0)x

2、yabab ,a x a b y b 22221(0,0)xyababaxax或axaxbyax即, 11222222RyyxA1F1F2OA2yxF1F2OA2B2A1B1(2) 對(duì)稱性 22221(0)xya bab 對(duì)稱軸：對(duì)稱軸： x軸、軸、y軸軸.對(duì)稱中心對(duì)稱中心: 原點(diǎn)原點(diǎn) (橢圓橢圓的中心的中心)22221(0,0)xyababn用用-y代替代替y, 方程不變方程不變對(duì)稱軸：對(duì)稱軸： x軸、軸、y軸軸.對(duì)稱中心對(duì)稱中心: 原點(diǎn)原點(diǎn)（雙（雙曲線的中心）曲線的中心） 用用-x代替代替x, 方程不變方程不變用用-x、-y代替代替x、y, 方程不變方程不變yxF1F2OA2B2A1B1y

3、xA1F1F2OA2(3) 頂點(diǎn)22221(0)xya bab 實(shí)軸實(shí)軸 : A1A2 虛軸虛軸 : B1B2 : A1(-a,0), A2(a,0) B1 ( 0,-b), B2( 0 ,b)長軸長長軸長 =2a , 短軸長短軸長=2b實(shí)軸長實(shí)軸長 =2a 虛軸長虛軸長=2b22221(0,0)xyabab : A1(-a,0), A2(a,0)axaxy即得令220220byx 得令長半軸長長半軸長 = a , 短半軸長短半軸長= b實(shí)半軸長實(shí)半軸長 = a 虛半軸長虛半軸長= b1B2B), 0(), 0(21bBbB設(shè)長軸長軸 A1A2 短軸短軸 B1B2yxF1F2OA2B2A1B1

4、xyB1B2OF2F1A2A1實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線等軸雙曲線)0(22mmyx(4) 離心率 22221(0)xya bab 22221(0,0)xyababace離心率：) 10e（) 1( eace離心率：yxF1F2OA2B2A1B1xyB1B2OF2F1A2A1ace 222bac二四個(gè)參數(shù)中，知二可求、在ecba（1）等軸雙曲線的離心率等軸雙曲線的離心率e= ?2( 2 )的雙曲線是等軸雙曲線離心率2e根據(jù)以上幾何性質(zhì)能夠較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形根據(jù)以上幾何性質(zhì)能夠較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形y yx xF F1 1F F2 2O OA A2 2B B2

5、 2A A1 1B B1 1問問: 根據(jù)以上幾何性質(zhì)能否較準(zhǔn)根據(jù)以上幾何性質(zhì)能否較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的圖形呢？確地畫出雙曲線的圖形呢？C2C3C1xyO問問: 雙曲線向遠(yuǎn)處伸展時(shí)有什么規(guī)律雙曲線向遠(yuǎn)處伸展時(shí)有什么規(guī)律? .為雙曲線的漸進(jìn)線猜想xaby22222222222211,0,1.xyabbbayxaxaaxabaxyxxaxbyxa 當(dāng)時(shí)與直線無限接近. xaby . xabyyyxx1yx1yx. xaby. xabyMQ .0 xabyMMQxM點(diǎn)就無限接近于直線就逐漸減小，隨著增大，向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的距離為到直線。上的任一點(diǎn)，則為第一象限內(nèi)雙曲線設(shè)xabyMaxabybyaxyxM

6、22002222001),(22002220022002200)(axxacbaxxcbcaxbbxbaaybxMQxyB1B2OF2F1A2A1. xaby. xabyMQ (5) 漸近線漸近線n(利用雙曲線的性質(zhì)利用雙曲線的性質(zhì),可以較準(zhǔn)確可以較準(zhǔn)確n地畫出雙曲線的草圖。地畫出雙曲線的草圖。)22222222,11.,.cabbcaceaaabbeyxaa (1)由等式可得因此 越大，也越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值越大這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊由此可知 雙曲線的離心率越大 它的開口就越闊byxa xyB1B2OF2F1A2A122(0)xym m(2)等軸雙曲線的漸近線為xy22

7、222222(0)0.xyxyabab 雙曲線漸近線方程02222byax0)(byaxbyax或0byax. 0byaxxaby雙曲線方程與漸近線方程的關(guān)系雙曲線方程與漸近線方程的關(guān)系結(jié)論：結(jié)論： 1 00 xy(a,b)ab22222222雙曲線方程雙曲線方程中，把中，把1改為改為0，得，得的的漸近線方程是：漸近線方程是：雙曲線雙曲線byxa 2222xy=1ab 雙曲線雙曲線 的漸近線方程是：的漸近線方程是：22221yxab ayx b ax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中關(guān)于關(guān)于坐標(biāo)坐標(biāo)軸和軸和原點(diǎn)原點(diǎn)都對(duì)都對(duì)稱稱性性質(zhì)質(zhì)雙

8、曲線雙曲線) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范圍范圍對(duì)稱對(duì)稱 性性 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 漸近漸近 線線離心離心 率率圖象圖象例例1 :求雙曲線求雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、的實(shí)軸長、虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。解解:由題意可得由題意可得 實(shí)半軸長實(shí)半軸長:虛軸長虛軸長:焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo):離心率離心率:漸近線方程漸近線方程:32yx 例題選講例題選講a=222143xy22 3b (7,0),( 7,0)72cea頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo):(-2,0)，(2,0)21 ?3y2x問 :若 雙 曲 線 的 方 程 為呢43

9、a 24b (0,7),(0,7)213cea32yx (0,3),(0,3)請(qǐng)你寫出一個(gè)以請(qǐng)你寫出一個(gè)以 為漸近線的雙曲線方為漸近線的雙曲線方程程.32yx 22(0)43xy 法二：法二：巧設(shè)方程巧設(shè)方程,運(yùn)用待定系數(shù)法運(yùn)用待定系數(shù)法.設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944雙曲線的方程為xy 法二：法二：設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為221164xykk 16040kk 且且221128xy 雙曲線方程為雙曲線方程為22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或設(shè)求得舍去1、“共漸近