第二型曲線積分與曲面積分的計算方法

1、第二型曲線積分與曲面積分的計算方法摘要：本文主要利用化為參數(shù)的定積分法，格林公式，積分與路徑無關(guān)的方法解答第二型曲線積分的題目；以及利用曲面積分的聯(lián)系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面積分的題目.關(guān)鍵詞：曲面積分；曲線積分1引言第二型曲線積分與曲面積分是數(shù)學(xué)分析中的重要知識章節(jié)，是整本教材的重點和難點.掌握其基本的計算方法具有很大的難度，給不少學(xué)習(xí)者帶來了困難.本文通過針對近年來考研試題中常見的第二型曲線積分與曲面積分的計算題目進(jìn)行了認(rèn)真分析，并結(jié)合具體實例以及教材總結(jié)出其特點，得出具體的計算方法.對廣大學(xué)生學(xué)習(xí)第二型曲線積分與第二型曲面積分具有重要的指導(dǎo)意義.2第二型曲線積分例

2、1求I=J(exsiny-b(x+y)x+ex(cosy-ax)dy,其中a,b為正的常數(shù)，L為從點A(2a,0)沿曲線y=J2axx2至U點o(0,0)的弧.方法一：利用格林公式法JLPdx+Qdy=JJ-dxdy,P(x,y),Q(x,y)以及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)d'Ia兇)在D上連續(xù)，L是域D的邊界曲線，L是按正向取定的.解：添加從點o(0,0)沿y=0到點A(2a,0)的有向直線段L1,I=LLiexsiny-bxydx、excosy-axdy-Liexsiny。bxy)dxexcosy。axdy記為I=I1T2,則由格林公式得：I1=Hdxdy=口|excosya(excosyb

3、)dxdydd-=b-adxdy=ab-ad2其中D為LiUl所圍成的半圓域，直接計算I2,因為在Li時，y=0,所以dy=0因而：I2=J(_bxpx=-2a2b,從而+2a2b-a32222(I=11-12=ab-a?：'i12ab=22方法二：應(yīng)用積分與路徑無關(guān)化為參數(shù)的定積分法求解(D若'P=K（與路徑無關(guān)的條件），則Ax1,y1PdxQdy二Bxo,yoxixo二y二xyiPx,yodxQxi,ydyyo(2)x=t,y=：tABPdxQdy=Pt,t'tQt,t'tdta是起點P是終點解：I=lexsiny-bxyiidxexcosy-axdy=fL

4、exsinydx+excosydy-b(x+y)dx+axdy記為I=I1-12,對于I1,積分與路徑無關(guān)，所以Jexsinydx+excosydy=exsiny$：)=0Ix=aasint對于I2,取L的參數(shù)方程S,t從0到冗，得y=asintb(x+y)dx+axdy-a2bsint-a2bsintcost-a2bsin21a3cos21a3costdt21213-2a2b-a2二a32223從而I=-2a2b-a322對于空間第二曲線一般的解題過程為：Pdx+Qdy+Rdz若L閉合，P,Q,R對各元偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)dydzdzdxdxdyeex力zzPQRlPdxQdyRdz=L若L非閉，其參

5、數(shù)方程為：.'MPxt，yt，ztx'tQxt，yt，zty'tRxt，yt，ztz'tdtx=x（t）其中：1y=y（t）a,P分別為L的起點，終點參數(shù)值.產(chǎn)=中）例2計算空間曲線積分1=巾（y-z）dx+（zx）dy+（xy）dz,其中曲線L為圓柱面x2+y2=a2與平面-+-=1的交線（a>0，h>0）,從X軸正向看，ah曲線是逆時針方向.方法一：化為參數(shù)的定積分計算，對于這種封閉的曲線要充分利用10,2上三角函數(shù)的正交性.=h1-cost解：令x=acost，y=asint,則z=h11-a于是I=“asinth1costI：.asint|h

6、1-cost-acostacostacost-asinthsint'dt=-2二aah方法二：解：dydzT色dzdxy-zdxdycz.x-y-211dydzdzdxdxdyZ:h=-2i1,1,1，0,1dxdy=Daxyh-21dxdy-2二ahaDa3第二型曲面積分.2.例3計算曲面積分（z十xdydzzdxdy,其中工為旋轉(zhuǎn)拋物面£z=1（x2+y2）介于平面z=0及z=1之間的部分的下側(cè).方法一：利用兩類曲面積分的聯(lián)系iiPdydzQdzdxRdxdycosPco-sQcosRdsi其中cos/cosp,cos¥是有向曲面工上點（x,y,z）處的法向量的

7、方向余弦.解：n-：x,y,-1）,0.一,n=tcos：,cos：,cos:二；LX.T，下z1 x2y21x2y21x2y22 _.2x-11.“(z+xdydz-zdxdy=H(z+x)-=-z',-dsZZL，1+x2+y2V1+x2+y2z2xx2zx2z二zXxz=x一zds.1x2y21x2y2x2-x2y2=2d_1x2y2,1x2y2dxdy0dn2!o方法二：分面投影法如果工由z=z（x,y怡合出，則IlRx,y,zdxdy:-11R|x,y,zx,ydxdy、Dxy-如果z由x=x(y,z)給出，則Px,y,zdydz=Ppy,z,y,zdydz3'、Dy

8、z-如果工由y=y（z,x）給出，則iiQx,y.zdzdx：:11Q|x,yz,x,zdzdx4-Dzx一等式右端的符號這樣規(guī)定：如果積分曲面Z是由方程x=xz,yy=yx,z,z=zx,y所給出的曲面上（前，右）側(cè)，應(yīng)取“+”，否則取“-解：zxdydz-zdxdy=zxdydz11zdxdyzzz222=zxdydz=zxdydz，11izxdydziiiz2,2z-y2dydziiiz2-_2z-y2dydzDyzDyz22-2ii2z-ydydz=4°dyy22z-ydz=4'Dyz萬1oo12-2.zdxdy=-xydxdy=0cT0rdr=-4二'2Dx

9、y22所以zxdydz-zdxdy=8-Z方法三：合一投影法前面我們看到，按分面投影發(fā)計算曲面積分時，對不同類型的積分項必須將曲面用不同的方程表示，然后轉(zhuǎn)化為不同坐標(biāo)面上的二重積分，這種方式形式上雖然簡單但計算比較繁瑣.事實上，如果上的方程z=z（x,y）,（x,y"Dxy,（Dxy是Z在xoy面上的投影區(qū)域），函數(shù)P,Q,R在工上連續(xù)時，則單位法向量為e=icos：,cos：,cosJ:二,=Zx2,=Zy2,12Zxy1ZxZy1.ZxZy1由于投影元素dydz=cosads,dzdx=cosdds,dxdy=cos尸ds,于是得到所以dydz=cos：ds=dzdx=cos:d

10、s=cos：,cos：cosds:coscoscos:,cos:cosds=dxdy=-Zxdxdycoscosdxdy-Zydxdy11Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdyZ=-.'P|x,y,zx,y)：Zxx,yQ|x,y,zx,y)：卜Zyx,yR|x,y,zx,yZdxdyDxy=.P-ZxQ-ZyRdxdyDxy等式右端的符號這樣確定：如果工是由方程所給出的曲面上側(cè)，取“+”,當(dāng)Z可用顯示方程y=y(z,x)或x=x(y,z)表示時，只需注意到此時Z的法向-yx,i-y,-yx1,-xy,-xz,可得相應(yīng)公式.上述方法將上式中的三種類型積分轉(zhuǎn)化為同一

11、坐標(biāo)面上的二重積分，故名為合一投影法解：z=1x22又Z的下側(cè),+y2),Z在xoy面上的投影區(qū)域：DXy=(x,y)x2+y2<4),Zx=x,故由上式可得:21OO219iHzxdydz-zdxdyxyx-xx'、Dxy.-42!x2=x2y2dxdydIL2xyy2dxdyIdZ22rcos-方法四：高斯公式創(chuàng)Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=一,工cl改勾解：曲面不是封閉曲面，不能直接利用高斯公式，應(yīng)補(bǔ)面£仔=2的上側(cè)，則用圖斯公式z2xdydz-zdxdy=0dv=0二J所以z2xdydz-zdxdy-z2xdydz-zdxdy匚,二1又z2xdydz-zd

12、xdy=011zdxdy-211dxdy=-8二%i'iDxy2所以zxdydz-zdxdy=8Z4小結(jié)從以上對試題的分析，發(fā)現(xiàn)不同年份的命題，多次考到相同的知識點，并且吻合于通用教材教學(xué)中的難點重點，雖然考試題目千變?nèi)f化，但教材的內(nèi)容相對穩(wěn)定，因此只有吃透教材，抓住重點難點，克服盲點復(fù)習(xí)，達(dá)到以靜制動.過本文的分析，希望對大家有一定的指導(dǎo)作用.（指導(dǎo)教師：呂國亮）參考文獻(xiàn)1 華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下）M,第三版.高等教育出版社，2001,224-231.2 劉玉璉，傅沛彳！等.數(shù)學(xué)分析講義（下）M，第四版.高等教育出版社，2003,375-388.3 林源渠，方企勤.數(shù)學(xué)分析解題指南M.北京大學(xué)出版社，2001,338-362.4 陳文燈.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南M.世界圖書出版社，2000,276-287.5 田