第4講函數(shù)迭代和函數(shù)方程上

1、1.函數(shù)迭代函數(shù)迭代與函數(shù)方程函數(shù)迭代的定義設(shè)f:DtD'(其中D'JD)是一個函數(shù)，對任意xwD,記f(0)(x)=x,f(1)(x)=f(x),f(2)(x)=f(f(x),產(chǎn)=f(f(f(x),f"(x)=f(f(n)(x),則稱f(x)是函數(shù)f(x)在d上的n次迭代，并稱n是f(x)的迭代指數(shù).如果f(x)有反函數(shù)，則記為f(9(x),于是，迭代指數(shù)可取所有整數(shù).簡單的函數(shù)迭代n次迭代求一個函數(shù)的n次迭代，是數(shù)學(xué)競賽中的一種基本題型.對于一些簡單的函數(shù)，它的是容易得到的.f(x)=x+c,則f(n)=x+nc,f(')(x)=x-c,f(")

2、(x)=x-nc.iif(x)=x3,則f(n)(x)=x3,f('(x)=x3,f('(x)=x3n.b-af(x)=ax+b,則f(n)(x)=anxb+b,f(J(x)='x1-a1-aaff)函數(shù)迭代的求法數(shù)學(xué)歸納法這里用到的是先猜后證的想法，即先對函數(shù)f(x)迭代幾次，觀察出其規(guī)律，然后猜測出f(x)的表達(dá)式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證之.這種方法只適用于一些較為簡單的函數(shù).遞歸法設(shè)f(x)是定義在D上且取值于D的函數(shù)，由此定義數(shù)列an：a0已知，且a0WD,an=f(an。，n>1.一方面，若已求得f(n)(x)=g(x)，則an=fa)=f(2)/)=f(n

3、)(ao),即an通項(xiàng)公式；另一方面，如果已求得an的通項(xiàng)公式an=g(a°),則取a。=x,an=g(x),而an=f)=f(n)(ao)=f(n)(x),從而f(n)(x)=g(x),即f(n)(x)的表達(dá)式.由上述知，函數(shù)的n次迭代可以通過構(gòu)造數(shù)列的方法來解，其步驟為第一步，設(shè)a0=x,an=f(n)(x)；第二步，由an=f(n)(x)=f(anx),求出an=g(aO)；第三步，f(x)=g(a°)=g(x).相似法相似法是求函數(shù)f(x)的n次迭代的一個重要方法.若存在一個函數(shù)中(x)以及它的反函數(shù)中工(x),使得f(x)=*,(g(中(x),我們就稱f(x)通過

4、中(x)和g(x)相似，簡稱f(x)和g(x)相似，記為f)g,其中平(x)稱為橋函數(shù).相似關(guān)系是一個等價關(guān)系，也就是說它滿足：自身性，ff;對稱性，若fg,則gf;傳遞性，若fg,9八，則£八.如果f(x)與g(x)相似,即f(x)=cp-(g(tp(x),那么f(x)=<P(g(n)W(x),g(x)=9(f(-(x),g(n)(x)=%f怦,(x).這樣一來，我們便把f的迭代問題轉(zhuǎn)化為g的迭代問題.不動點(diǎn)法關(guān)于x的方程f(x)=x的根稱為f(x)的不動點(diǎn).不動點(diǎn)法的基本思想是根據(jù)函數(shù)的不動點(diǎn)得出橋函數(shù)的一個性質(zhì)，進(jìn)而確定橋函數(shù)的形狀，然后利用相似法求出函數(shù)的n次迭代.函數(shù)

5、的不動點(diǎn)具有如下的性質(zhì)：若x0是f(x)的不動點(diǎn)，則f(n)(x0)=x0,即x0也是f(n)(x)的不動點(diǎn).1設(shè)f(x)=9(g(9(x),因此有中(f(x)=g(平(x),右一比)=劭,則有中(x0)=g(平(x。)，即一%)是g(x)的不動點(diǎn).對于一些簡單的函數(shù)，利用不動點(diǎn)，把函數(shù)變形后再迭代，最后用數(shù)學(xué)歸納法證之，會使計算簡單些.利用不動點(diǎn)找橋函數(shù)的方法：由不動點(diǎn)的性質(zhì)知，橋函數(shù)邛具有下列性質(zhì)：它將f的不動點(diǎn)x。映成g的不動點(diǎn)中(x。)，通常為了便于求解g(n)(x),g(x)通常為ax,x+a,ax2,ax3等.2.函數(shù)方程函數(shù)方程的定義解為函數(shù)的方程為函數(shù)方程.例如f(-x)=-f

6、(x),f(x+5)=f(x)等都是函數(shù)方程.函數(shù)方程解法尋求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無解的過程叫作解函數(shù)方程，一般有以下幾種方法：代換法代換法是解函數(shù)方程的常用手段，其基本思想是：將函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換(當(dāng)然在代換時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域不能發(fā)生變化)，得到一個新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得未知數(shù).如f(2x1)=x2+x(xRR),令y=2x1,則x=1(y+1),于是2121-123f(y)=(y+i)+(y+1),即f(x)=x+x+,經(jīng)檢驗(yàn)匕是函數(shù)萬程的解.4244代換法在單變量函數(shù)方程中尤為多用.賦值法所謂賦值法，就是對自變量賦予某些特殊的數(shù)值，從而挖掘出題中隱含

7、的條件，并且通過這些新條件簡化函數(shù)方程，逼近最終目標(biāo).如函數(shù)f:RtR滿足f(xy)=f(x)+f(y),x,yWR,x+y=0,求f(x).x-y令y=1,得f(x)=f(x)'f(x¥1),由此xf(x)=f(1),令x=0則f(1)=0,從而可知x1f(x)=0(x#0,-1),令x=2,y=0易得f(0)=f(2)=0；令x=-1,y=0易知f(1)=f(0)=0綜上可知f(x)=0.遞歸法函數(shù)方程的遞歸解法，是一種借助于數(shù)列對函數(shù)方程加以研究的方法.設(shè)f(n)是定義在正整數(shù)集N+上的函數(shù)，如果存在一個遞推關(guān)系S和初始條件f(1)=a1,當(dāng)知道f(1),f(2),，f

8、(n)的值后，由S可以惟一地確定f(n+1)的值，我們就稱f(n)為遞歸函數(shù)，遞歸法主要解決遞歸函數(shù).板塊一函數(shù)的迭代【例1】已知f(n)是定義在NJ的函數(shù)，并且滿足 f(f(n)=4n+9,nWN十 f(2k)=2k+3,kWN.求f(1789)的值.例2設(shè)f(x)=ax+b,求f(x);設(shè)f(x)=,求f(x)；axb設(shè)f(x)=x+24+1,求f(x).例3設(shè)2f(x)=x，求2x-1f(n)(x)；設(shè)f(x)二土1,求4x-3f(n)(x)；設(shè)4x-2十f(x)=，求f(x).x板塊二函數(shù)方程1，、一【例4】定乂在R+上的函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)=f.-lgx+1,求f(x).x

9、求解函數(shù)方程f(x)+f,'l-=1+x,x=0,1.x已知函數(shù)f(x)對任意x、y有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,求f(x).【例5】求所有滿足下列條件的函數(shù)f：N+tN+，使得f(2)=2;f(mn)=f(m)f(n)對所有m,n成立；若m<n,則f(m)<f(n).【例6】已知函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)=1,x>0.求滿足條件的一個f(x).瓢真顯身事習(xí)題1.設(shè)f(x)=ax+b,其中a,b為實(shí)數(shù)，fi(x)=f(x),fn4(x)=f(fn(x),n=1,2,3,，若f7(x)=128x+381，貝Ua+b=.習(xí)題2.某同學(xué)從換乘中心出發(fā)坐車去第一家商店，在店里花了剩余的錢的一半，然后坐車返回?fù)Q乘中心.之后又坐車去第二家商店，在店里花了剩余錢的一半，然后坐車返回?fù)Q乘中心.接著他用同樣的方式進(jìn)出第三家和第四家商店，當(dāng)他返回?fù)Q乘中心時候，發(fā)現(xiàn)身上只剩一元錢.若無論從換乘中心到商店還是從商店到換乘中心的車費(fèi)都是一元錢，問：他在四家商店總共花了多少錢？習(xí)題3.設(shè)f(x)=x2+4x+2,求f(x).習(xí)題4.求解函數(shù)方程(寫出一個符合方程的解即可)，小題中x,yWR,