彈性力學(xué)試題參考答案

1、彈性力學(xué)試題參考答案（答題時(shí)間：100分鐘）、填空題（每小題4分）1 .最小勢能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中：平衡微分方程,應(yīng)力邊界條件。2 .一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程,相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。3 .等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，2JJd中dxdy=M的物理意義是桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩M。4 .平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)中在邊界上值的物理意義為邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩。5 .彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：1Z、5j,j+Xi=0，號(hào)j=2（u,j+山口。、簡述題（每小題6分）1 .試簡述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈性

2、力學(xué)分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計(jì)。作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。2 .圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)中的分離變量形式題二（2）圖/*(x,y)=ax2+bxy+cy2(a),Y(r)=r2f(日)中(x,y)=ax3+bx2y+cxy2+dy3(b)f(r9)=r3f(曾3.圖示矩形彈性薄板，沿對(duì)角線方向作用一對(duì)拉力P,板的幾何尺寸如圖，材

3、料的彈性模量E、泊松比N已知。試求薄板面積的改變量ASo題二（3）圖Al。由名=1(1吶得,(1)r=b=q，川土=0;題二(4)圖設(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫時(shí)，兩力作用點(diǎn)的相對(duì)位移為l=；a2b2設(shè)板在力p作用下的面積改變?yōu)锳S,由功的互等定理有:q.S二P將Al代入得：c1-22.S=Pa2b2E顯然，AS與板的形狀無關(guān)，僅與E、N、1有關(guān)。4 .圖示曲桿，在r=b邊界上作用有均布拉應(yīng)力q,在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條件(除固定端外)(2)bdr=Psin二a-b(3)；;如-pcosu,ydr=-Pcosa2b5 .試簡述拉甫(Love)位移函數(shù)法、伽遼金(Galerkin)位

4、移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：(1)變求多個(gè)位移函數(shù)u(x,y),v(x,y),w(x,y)或ur(r,),u日(r,日)為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。(2)變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)(特殊函數(shù))。適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問題；Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱的空間問題。三、計(jì)算題1.圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P,設(shè)間距d很小試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為邛=Asin

5、2日+Be）(13分)題三（1）圖解：:d很小，:M=Pd,可近似視為半平面體邊界受一集中力偶m的情形。將應(yīng)力函數(shù)中（r,e）代入，可求得應(yīng)力分量:R-一22cr1:114+-AAaz-Asin2a；rrr22r2工(2Acos21B)r邊界條件：(1)仃/日20=0,Tr0L0=0;仃4日5=0，d日5=0r-0r田rr-0代人應(yīng)力分量式，有1(2A+B)=0或2A+B=0(1)r（2）取一半徑為r的半圓為脫離體，邊界上受有:仃r,Trg,和M=Pd由該脫離體的平衡，得n：二子&M-0-2將06代入并積分，有91.2.2-2(2Acos2B)rdM=0,一2rAsin20+B%+M=0得Bn

6、+M=02聯(lián)立式（1）、（2）求得：B=-M=-Pd,A二四二二2-代入應(yīng)力分量式，得2Pdsin2-2Pdsin2-二r2結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。2.圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力x由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程求出并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。(12分)解：（1）求橫截面上正應(yīng)力任意截面的彎矩為Mq（）61（2）由平衡微分方程求xy平衡微分方程:題三（2）3x,截面慣性矩為h312,由材料力學(xué)計(jì)算公式有My2q。lh3(1)x；-yx:yX=0I：x其中，X=0,Y=0。將式（1）代入

7、式（2）,有積分上式，得xy利用邊界條件:xyy母=0，有6q3q03x4lh32h2f1(x)-0-y3q0lh3lh3x2y2fi(x)fi(x)=3q04lh32.2xhxy3q02/2MX”4h2)(4)將式（4）代入式（3),有積分得理x(ylh3124h)=0二y二二y或fy6q0/23x(ylh3124h)-y粵Flh334h2y)f2(x)利用邊界條件:q0h=一丁x，y=-2ly=h=0得:L6q0/h31.3q0-px(W8h)f2(x)=1x-粵x(%1h3)+f2(x)=0lh32482由第二式，得將其代入第一式，得q0Tx自然成立。將f2（x）代入仃y的表達(dá)式，有6q

8、（）lh33_/y1/、q。x(hy)-34)2lx(5)所求應(yīng)力分量的結(jié)果:?xMy一I一2q。lh3xy3q02/2=”y4h2)(6)lh31j2、q0hy)x4)2l校核梁端部的邊界條件：（1）梁左端的邊界（x=0）:hh作仃XxJy=0,fhTxydy=0代入后可見：自然滿足rx-fx-（2）梁右端的邊界（x=l）:hxdyh2q0x34-lh3ydyxx/yh2h23qxlh3（yh2）dyx4qlTh2xydy=.hT2qOx3lh3x4dy一過3lh3h23yhFql2可見，所有邊界條件均滿足。檢驗(yàn)應(yīng)力分量ix,Txy,cry是否滿足應(yīng)力相容方程:常體力下的應(yīng)力相容方程為-2_

9、22（二x.二y）=（F,）（二x.0y）=0二x二y將應(yīng)力分量crx,7y,0y式（6）代入應(yīng)力相容方程，有（仃+CT）_12q0xy-（仃+仃）_12q0-2（-x-y）-I,3xy，-2（-x-y）.3xy:xlhtylh、2Gx二y）=（二二）（二x；y）魯xy=0二x二ylh顯然，應(yīng)力分量x,7y,by不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6）并不是該該問題的正確解。3.一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為l,抗彎剛度EI為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為ko梁受有均勻分布載荷q作用，如圖所示。試：（1）構(gòu)造兩種形式（多項(xiàng)式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)w（x）;（2）用最小勢能原理或Ritz法求

10、其多項(xiàng)式形式的撓度近似解（取1項(xiàng)待定系數(shù)）。解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為,、22、w(x);x(A,A2xA3x)多項(xiàng)式函數(shù)形式2m二xw(x)Am(1-cosm1l二角函數(shù)形式此時(shí)有:,、2,.2、w(x)=x(A+A2x+Ajx+,)-2、2-一、w(x)=2x(Ai+A2x+A3x+)+x(A2+A3x+)nw(x)八Am(1-cos2m二x二0xZ0nw(x)=、Amm4l2m二x一sin2m二二0x=0m4即滿足梁的端部邊界條件。梁的總勢能為2dx-l0EI.0qw(x)dx；kWF?。簑(x)=A1x2,有2dw22=2A1，w(l)=Aldx代人總勢能計(jì)算式，有1l一2l21

11、22萬(EI(2A)2dx-qx2Adx+3k(Al2)21kA12l422qA3=2EIlA；1l334EI1AlkA1l4AqA1_43(4EIlkl4)代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為w(x)二ql33(4EIlkl4)4.已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力分量為:仃x=0,仃y=2MPa,仃z=1MPa,xy=1MPa,Eyz=0,zx=2MPax3yz=1(12分)解：由平面方程x：3y：z=1,得其法線方向單位矢量的方向余弦為,1232121113m二,123212,1232121,11210=LT-0111210。1M11343，11I1,29=2.64MPa11彈性力學(xué)課程考試

12、試卷題號(hào)一二三四五總分得分考試時(shí)間：120分鐘考試方式：開卷任課教師：楊靜日期：2007年4月28日姓名:建筑與土木工程學(xué)號(hào):工程領(lǐng)域:、簡述題(40分)1. 試敘述彈性力學(xué)兩類平面問題的幾何、受力、應(yīng)力、應(yīng)變特征，并指出兩類平面問題中彈性常數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。2. 彈性力學(xué)問題按應(yīng)力和位移求解，分別應(yīng)滿足什么方程?3. 寫出直角坐標(biāo)下彈性力學(xué)平面問題的基本方程和邊界條件?4. 寫出彈性力學(xué)按應(yīng)力求解空間問題的相容方程。5. 求解彈性力學(xué)問題時(shí)，為什么需要利用圣維南原理?6. 試敘述位移變分方程和最小勢能原理，并指出他們與彈性力學(xué)基本方程的等價(jià)性7. 試判斷下列應(yīng)變場是否為可能的應(yīng)變場？(需寫出判

13、斷過程)%=C(x+y),%Cy,xy=2Cxy(1)(a)圖用極坐標(biāo)形式寫出;hPx8. 試寫出應(yīng)力邊界條件:（2）（b）圖用直角坐標(biāo)形式寫出(b)圖（a）圖、計(jì)算題（15分）已知受力物體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為：jx=,cry=2a,crz=a,Txy=a,7yz=，Tzx=2a。試求作用在過此點(diǎn)的平面x+3y+z=1上的沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量，以及該平面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。三、計(jì)算題（15分）圖示矩形截面懸臂梁，長為l,高為h,在左端面受力P作用。不計(jì)體力，試求梁的應(yīng)力分量。（試取應(yīng)力函數(shù)邛=Axy3+Bxy)四、計(jì)算題（15分）圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單

14、位寬度上集中力的值為P,設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（試取應(yīng)力函數(shù)AaAsin20+B0）五、計(jì)算題（15分）P作用。試用最小勢能原理求最大撓度。如圖所示的懸臂梁，其跨度為1。抗彎剛度為EI,在自由端受集中力二x、（設(shè)梁的撓度曲線w=A（1-cos）21彈性力學(xué)試題(答題時(shí)間：120分鐘)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)題號(hào)一二三總分(1)(2)(3)(4)得分、填空題(每小題4分)1 .用最小勢能原理求解時(shí)所假設(shè)的位移試函數(shù)應(yīng)滿足：。2 .彈性多連體問題的應(yīng)力分量應(yīng)滿足,。空間問題。3 .拉甫(Love)位移函數(shù)法適用空間問題；伽遼金(Galerkin)位移函數(shù)法適用于4 .圣維南原理

15、的基本要點(diǎn)有,。5 .有限差分法的基本思想為：,。、簡述題(每小題5分)1 .試比較兩類平面問題的特點(diǎn)，并給出由平面應(yīng)力到平面應(yīng)變問題的轉(zhuǎn)換關(guān)系。2 .試就下列公式說明下列問題：(1)單連體問題的應(yīng)力分量與材料的彈性常數(shù)無關(guān)；(2)多連體彈性力學(xué)問題中應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無關(guān)的條件。,x+Qy=2，(z)+W(z)=4ReQ(z)仃y-3+2iixy=2&W(z)+W(z)1nm，-cp1(z)=-L(Xk+iYk)ln(z-zk)+(z)8n3m-i(z)-3(Xk-iYk)ln(z-zk)-1.(z)8二一式中：叫仁工(z)均為解析函數(shù)；Q*(z),中仔(z)均為單值解析函數(shù)。3.試列寫圖示

16、半無限平面問題的邊界條件題二（3）圖4 .圖示彈性薄板，作用一對(duì)拉力Po試由功的互等定理證明：薄板的面積改變量AS與板的形狀無關(guān)，僅與材料的彈性模量E、泊松比R、兩力P作用點(diǎn)間的距離l有關(guān)。題二（4）圖5 .下面給出平面問題（單連通域）的一組應(yīng)變分量，試判斷它們是否可能,=C(x2y2),=Cy2,xy=2Cxy6 .等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，應(yīng)力函數(shù)中（x,y）應(yīng)滿足:式中：G為剪切彈性模量；K為桿件單位長度扭轉(zhuǎn)角。試說明該方程的物理意義、計(jì)算題1.圖示無限大薄板，在夾角為90。的凹口邊界上作用有均勻分布剪應(yīng)力=r2(Acos2iB)q。已知其應(yīng)力函數(shù)為:(13分)題三（1）圖不計(jì)體力，試求其應(yīng)力分量。2.圖示矩形截面桿，長為l,截面高為h,寬為單位1,受偏心拉力N,偏心距為e,不計(jì)桿的體力。試用應(yīng)力函數(shù)平=Ay3+By2求桿的應(yīng)力分量，并與材料力學(xué)結(jié)果比較（12分