第三章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型

1、第三章第三章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：多元回歸型：多元回歸 多元線性回歸模型多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的參數(shù)估計 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 多元線性回歸模型的預測多元線性回歸模型的預測 回歸模型的其他形式回歸模型的其他形式 回歸模型的參數(shù)約束回歸模型的參數(shù)約束3.1 多元線性回歸模型多元線性回歸模型 一、多元線性回歸模型一、多元線性回歸模型 二、多元線性回歸模型的基本假定二、多元線性回歸模型的基本假定 一、多元線性回歸模型一、多元線性回歸模型 多元線性回歸模型多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有

2、多個。 一般表現(xiàn)形式一般表現(xiàn)形式：ikikiiiXXXY 22110i=1,2,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸參數(shù)回歸參數(shù)（regression coefficient）。 習慣上習慣上：把常數(shù)項常數(shù)項看成為一虛變量虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。這樣： 模型中解釋變量的數(shù)目為（模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1+1） ikikiiiXXXY 22110也被稱為也被稱為總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)的的隨機表達形式隨機表達形式。它。它 的的非隨機表達式非隨機表達式為為:kikiikiiiiXXXXXXYE 2211021),|( 方程表示：方程表示：各變量各變量X X值固定時值固定時

3、Y Y的平均響應的平均響應。 j也被稱為也被稱為偏回歸系數(shù)偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，量保持不變的情況下，Xj每變化每變化1個單位時，個單位時，Y的均值的均值E(Y)的變化的變化; 或者說或者說j給出了給出了Xj的單位變化對的單位變化對Y均值的均值的“直直接接”或或“凈凈”（不含其他變量）影響。（不含其他變量）影響?？傮w回歸模型總體回歸模型n個隨機方程的個隨機方程的矩陣表達式矩陣表達式為為 XY其中其中)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kk121nn樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)：用來估計總體回歸函數(shù)：用來估計

4、總體回歸函數(shù)kikiiiiXXXY22110其其隨機表示式隨機表示式: : ikikiiiieXXXY22110 ei稱為稱為殘差殘差或或剩余項剩余項(residuals)，可看成是總，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機擾動項體回歸函數(shù)中隨機擾動項 i的近似替代。的近似替代。 樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)的的矩陣表達矩陣表達: : XY或或eXY其中：其中：k10neee21e二、多元線性回歸模型的基本假定二、多元線性回歸模型的基本假定 假設1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關（無多重共線性）。 假設2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列相關性0)(iE22)()(iiEVar0)(),(

5、jijiECovnjiji, 2 , 1, 假設3，解釋變量與隨機項不相關 0),(ijiXCov假設4，隨機項滿足正態(tài)分布 ), 0(2Nikj,2 , 1 上述假設的上述假設的矩陣符號表示矩陣符號表示 式：式： 假設1，n(k+1)矩陣X是非隨機的，且X的秩=k+1，即X滿秩。 假設2， 0)()()(11nnEEEEnnEE11)( 21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假設3，E(X )=0，即 0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE假設4，向量 有一多維正態(tài)分布，即 ),(2I0N 同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下

6、兩個重要假設：同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個重要假設： 假設5，樣本容量趨于無窮時，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n時， jjjijiQXXnxn22)(11或Qxxn1 其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差為元素組成的nk階矩陣 knnkxxxx1111x假設6，回歸模型的設定是正確的。 3.2 多元線性回歸模型的估計多元線性回歸模型的估計 估計方法：OLS、ML或者MM一、普通最小二乘估計一、普通最小二乘估計 * *二、最大或然估計二、最大或然估計 * *三、矩估計三、矩估計 四、參數(shù)估計量的性質(zhì)四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 五、樣本容量問題五、樣本容量問題 六、估計實

7、例六、估計實例 一、普通最小二乘估計一、普通最小二乘估計對于隨機抽取的n組觀測值kjniXYjii, 2 , 1 , 0, 2 , 1),(如果樣本函數(shù)樣本函數(shù)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有： KikiiiiXXXY22110i=1,2n根據(jù)最小二乘原理最小二乘原理，參數(shù)估計值應該是下列方程組的解 0000210QQQQk其中2112)(niiiniiYYeQ2122110)(nikikiiiXXXY于是得到關于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組正規(guī)方程組： kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)()()()(22110222211

8、0112211022110 解該（k+1）個方程組成的線性代數(shù)方程組，即可得到(k+1)個待估參數(shù)的估計值, , ,jjk 012 。正規(guī)方程組正規(guī)方程組的矩陣形式矩陣形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111即YXX)X(由于XX滿秩，故有 YXXX1)(將上述過程用矩陣表示矩陣表示如下： 即求解方程組：0)()(XYXY0)(XXXYYXYY0XXYX得到： YXXX1)(XXYX于是：例例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入家庭收入-消費支出消費支出例中， 5365000021500215001011

9、1111)(22121iiinnXXXnXXXXXXXX39468400156741112121iiinnYXYYYYXXXYX可求得 0735. 10003. 00003. 07226. 0)(1EXX于是 7770. 0172.10339648400156740735. 10003. 00003. 07226. 021E正規(guī)方程組正規(guī)方程組 的另一種寫法對于正規(guī)方程組正規(guī)方程組 XXYXXXeXXX于是 0eX或 0ie0iijieX(*)或（*）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組正規(guī)方程組的另一種寫法 (*)(*)樣本回歸函數(shù)的離差形式樣本回歸函數(shù)的離差形式ikikiiiexxxy2211i=

10、1,2n其矩陣形式矩陣形式為 exy其中 ：nyyy21yknnnkkxxxxxxxxx212221212111xk21在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果為 Yxxx1)(kkXXY110隨機誤差項隨機誤差項 的方差的方差 的無偏估計的無偏估計 可以證明，隨機誤差項的方差的無偏估計量為 1122knkneiee * *二、最大或然估計二、最大或然估計 對于多元線性回歸模型ikikiiiXXXY 22110易知),(2XiNYi Y的隨機抽取的n組樣本觀測值的聯(lián)合概率)()(21)(212122222211022)2(1)2(1),(),(XYXYeeYYYPLnXXXYnnnkikiiin即

11、為變量Y的或然函數(shù)或然函數(shù) 對數(shù)或然函數(shù)為)()(21)2()( 2*XYXYnLnLLnL對對數(shù)或然函數(shù)求極大值，也就是對 )()(XYXY求極小值。 因此，參數(shù)的最大或然估計最大或然估計為為YXXX1)(結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘估計相同結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘估計相同* *三、矩估計三、矩估計（Moment Method, MM） OLS估計是通過得到一個關于參數(shù)估計值的正正規(guī)方程組規(guī)方程組YXX)X(并對它進行求解而完成的。 該該正規(guī)方程組正規(guī)方程組 可以從另外一種思路來導: XYXXXYXXX(YX)求期望 :0XYX)(E0XYX)(E稱為原總體回歸方程的一組矩條件矩條件，表明了原總

12、體回歸方程所具有的內(nèi)在特征。 0)1X(YXn由此得到正規(guī)方程組正規(guī)方程組 YXXX解此正規(guī)方程組即得參數(shù)的MM估計量。 易知MM估計量與與OLS、ML估計量等價。矩方法矩方法是是工具變量方法工具變量方法(Instrumental Variables,IV)和和廣義矩估計方法廣義矩估計方法(Generalized Moment Method, GMM)的基礎的基礎 在在矩方法矩方法中關鍵是利用了中關鍵是利用了 E(X )=0 如果某個解釋變量與隨機項相關，只要能找到1個工具變量，仍然可以構(gòu)成一組矩條件。這就是IV。 如果存在k+1個變量與隨機項不相關，可以構(gòu)成一組包含k+1方程的矩條件。這就是

13、GMM。 四、參數(shù)估計量的性質(zhì)四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 在滿足基本假設的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù) 的普通最小二乘估計、最大或然估計最大或然估計及矩估計矩估計仍具有： 線性性線性性、無偏性無偏性、有效性有效性。 同時，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計量具有： 漸近無偏性、漸近有效性、一致性漸近無偏性、漸近有效性、一致性。 1、線性性、線性性 CYYXXX1)(其中,C=(XX)-1 X 為一僅與固定的X有關的行向量 2、無偏性、無偏性 XXXXXXXYXXX11)()()()()()(1EEEE這里利用了假設: E(X )=0 3、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性） 其中利用了 YXXX1)(XXXXX

14、XX11)()()(和I2)(E 五、樣本容量問題五、樣本容量問題 所謂“最小樣本容量最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。 最小樣本容量最小樣本容量 樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項）的數(shù)目（包括常數(shù)項）,即 n k+1因為，無多重共線性要求：秩(X)=k+1 2 2、滿足基本要求的樣本容量、滿足基本要求的樣本容量 從統(tǒng)計檢驗的角度從統(tǒng)計檢驗的角度： n30 時，Z檢驗才能應用； n-k8時, t分布較為穩(wěn)定 一般經(jīng)驗認為一般經(jīng)驗認為: 當n30或者至少n3(k+

15、1)時，才能說滿足模型估計的基本要求。 模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明得到理論上的證明 六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計實例六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計實例 例例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中國居中國居民人均消費民人均消費一元線性模型。這里我們再考慮建立多元線性模型。解釋變量：解釋變量：人均GDP：GDPP 前期消費：CONSP(-1)估計區(qū)間估計區(qū)間：19792000年Eviews軟件估計結(jié)果 LS / Dependent Variable is CONS Sample(adjusted): 1979 2000 Included o

16、bservations: 22 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 120.7000 36.51036 3.305912 0.0037 GDPP 0.221327 0.060969 3.630145 0.0018 CONSP(-1) 0.451507 0.170308 2.651125 0.0158 R-squared 0.995403 Mean dependent var 928.4946 Adjusted R-squared 0.994920 S.D. dependent

17、 var 372.6424 S.E. of regression 26.56078 Akaike info criterion 6.684995 Sum squared resid 13404.02 Schwarz criterion 6.833774 Log likelihood -101.7516 F-statistic 2057.271 Durbin-Watson stat 1.278500 Prob(F-statistic) 0.000000 3.3 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 一、擬合優(yōu)度檢驗一、擬合優(yōu)度檢驗 二、方程的顯著性檢驗二、方程的顯著性檢驗(F(F

18、檢驗檢驗) ) 三、變量的顯著性檢驗（三、變量的顯著性檢驗（t t檢驗）檢驗） 四、參數(shù)的置信區(qū)間四、參數(shù)的置信區(qū)間 一、擬合優(yōu)度檢驗一、擬合優(yōu)度檢驗 1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)則2222)()(2)()()()(YYYYYYYYYYYYYYTSSiiiiiiiiii 總離差平方和的分解總離差平方和的分解由于 )()(YYeYYYYiiiiikiikiiieYXeXee110=0所以有： ESSRSSYYYYTSSiii22)()(注意：注意：一個有趣的現(xiàn)象一個有趣的現(xiàn)象 222222YYYYYYYYYYYYYYYYYYiiiiiiiiiiii 可決系數(shù)可決系數(shù)TS

19、SRSSTSSESSR12該統(tǒng)計量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。 問題：問題： 在應用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量， R2往往增大（Why?) 這就給人一個錯覺一個錯覺：要使得模型擬合得好，只要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可要增加解釋變量即可。 但是，現(xiàn)實情況往往是，由增加解釋變量個數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關，R2需調(diào)整需調(diào)整。 調(diào)整的可決系數(shù)調(diào)整的可決系數(shù)（adjusted coefficient of determination） 在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將殘差平方將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，

20、以剔和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:) 1/() 1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。11)1 (122knnRR *2、赤池信息準則和施瓦茨準則、赤池信息準則和施瓦茨準則 為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有: 赤池信息準則赤池信息準則（Akaike information criterion, AIC）nknAIC) 1(2lnee施瓦茨準則施瓦茨準則（Schwarz criterion，SC） nnknAClnlnee 這兩準則均要求

21、這兩準則均要求僅當所增加的解釋變量能夠減少僅當所增加的解釋變量能夠減少AICAIC值或值或ACAC值時才在原模型中增加該解釋變量值時才在原模型中增加該解釋變量。 Eviews的估計結(jié)果顯示： 中國居民消費一元例中：AIC=7.09 AC=7.19中國居民消費二元例中：AIC=6.68 AC=6.83從這點看，可以說前期人均居民消費CONSP(-1)應包括在模型中。 二、方程的顯著性檢驗二、方程的顯著性檢驗(F檢驗檢驗) 方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系量與解釋變量之間的線性關系在總體上在總體上是否顯著是否顯著成立作出推斷。成

22、立作出推斷。 1、方程顯著性的、方程顯著性的F檢驗檢驗 即檢驗模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的參數(shù)j是否顯著不為0。 可提出如下原假設與備擇假設： H0： 0=1=2= =k=0 H1： j不全為0 F F檢驗的思想檢驗的思想來自于總離差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS由于回歸平方和2iyESS是解釋變量X的聯(lián)合體對被解釋變量 Y 的線性作用的結(jié)果，考慮比值 22/iieyRSSESS 如果這個比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認為總體存在線性關系，反之總體上可能不存在線性關系。 因此因此, ,可通過該比值的大小對總體線性關系進行推可

23、通過該比值的大小對總體線性關系進行推斷斷。 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學中的知識，在原假設H0成立的條件下，統(tǒng)計量 ) 1/(/knRSSkESSF服從自由度為(k , n-k-1)的F分布 給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，以判定原方程總體上總體上的線性關系是否顯著成立。 對于中國居民人均消費支出的例子： 一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3給定顯著性水平 =0.05，查分布表，得到臨界值： 一元例：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52顯然有

24、 F F(k,n-k-1) 即二個模型的線性關系在95%的水平下顯著成立。 2、關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論驗關系的討論 由) 1/() 1/(12nTSSknRSSR) 1/(/knRSSkESSF可推出：kFknnR1112與或) 1/()1 (/22knRkRF在在中國居民人均收入中國居民人均收入-消費消費一元模型一元模型中，中，在在中國居民人均收入中國居民人均收入-消費消費二元模型二元模型中中， 三、變量的顯著性檢驗（三、變量的顯著性檢驗（t檢驗）檢驗） 方程的總體線性總體線性關系顯著 每個解釋變量每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的 因

25、此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗是由對變量的這一檢驗是由對變量的 t t 檢驗完成的。檢驗完成的。 1、t統(tǒng)計量統(tǒng)計量 由于12)()(XXCov 以cii表示矩陣(XX)-1 主對角線上的第i個元素，于是參數(shù)估計量的方差為： iiicVar2)( 其中2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替: 1122knkneiee),(2iiiicN因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量 ) 1(1kntkncStiiiiiiiee 2、t檢驗檢驗 設計原假設與備擇假設： H1：i0 給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量t

26、的數(shù)值，通過 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，從而判定對應的解釋變判定對應的解釋變量是否應包括在模型中。量是否應包括在模型中。 H0：i=0 （i=1,2k） 注意：注意：一元線性回歸中，一元線性回歸中，t t檢驗與檢驗與F F檢驗一致檢驗一致 一方面一方面，t檢驗與F檢驗都是對相同的原假設H0： 1=0=0 進行檢驗; 另一方面另一方面，兩個統(tǒng)計量之間有如下關系： 222212221222122212212)2()2()2()2(txnexnexnenexneyFiiiiiiiiii在中國居民人均收入中國居民人均收入-消費支出消費支出二元模

27、型二元模型例中，由應用軟件計算出參數(shù)的t值：651. 2630. 3306. 3210ttt 給定顯著性水平=0.05，查得相應臨界值： t0.025(19) =2.093。可見，計算的所有計算的所有t值都大于該臨界值值都大于該臨界值，所以拒絕原假設。即:包括常數(shù)項在內(nèi)的包括常數(shù)項在內(nèi)的3個解釋變量都在個解釋變量都在95%的水的水平下顯著，都通過了變量顯著性檢驗。平下顯著，都通過了變量顯著性檢驗。 四、參數(shù)的置信區(qū)間四、參數(shù)的置信區(qū)間 參數(shù)的參數(shù)的置信區(qū)間置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所估在一次抽樣中所估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多“近近”。 在變量的顯著性檢驗中已

28、經(jīng)知道：在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：) 1(1kntkncStiiiiiiiee容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信區(qū)間是 (,)iitstsii22其中，t/2為顯著性水平為 、自由度為n-k-1的臨界值。 在中國居民人均收入中國居民人均收入-消費支出消費支出二元模型二元模型例中,給定=0.05，查表得臨界值：t0.025(19)=2.093計算得參數(shù)的置信區(qū)間： 0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080)170. 04515. 0061. 02213. 051.3670.120210210sss

29、 從回歸計算中已得到：如何才能縮小置信區(qū)間？如何才能縮小置信區(qū)間？ 增大樣本容量增大樣本容量n n，因為在同樣的樣本容量下，因為在同樣的樣本容量下，n n越越大，大，t t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減小；量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減??；提高模型的擬合優(yōu)度提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差準差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。平方和應越小。提高樣本觀測值的分散度提高樣本觀測值的分散度, ,一般情況下，樣本觀一般情況下，

30、樣本觀測值越分散測值越分散，(XX)-1的分母的的分母的|XX|的值越大，致的值越大，致使區(qū)間縮小。使區(qū)間縮小。3.4 多元線性回歸模型的預測多元線性回歸模型的預測 一、一、E(Y0)的置信區(qū)間的置信區(qū)間 二、二、Y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間對于模型 XY給 定 樣 本 以 外 的 解 釋 變 量 的 觀 測 值X0=(1,X10,X20,Xk0)，可以得到被解釋變量的預測值：X00Y 它可以是總體均值E(Y0)或個值Y0的預測。 但嚴格地說，這只是被解釋變量的預測值的估計值，而不是預測值。 為了進行科學預測，還需求出預測值的置信為了進行科學預測，還需求出預測值的置信區(qū)間，包括區(qū)間，包括E(Y0)

31、和和Y0的的置信區(qū)間置信區(qū)間。 一、一、E(Y0)的置信區(qū)間的置信區(qū)間易知 )()()()(00YEEEYEXXX000)()()(20()X(XXX0000EEYVar0102000)()()(XXXXX)(XX)(X00EEYVar容易證明 ),(020XX)X(XX100NY) 1(knt)E(YY00010XX)X(X于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信區(qū)間置信區(qū)間： 010000100)()()(22XXXXXXXXtYYEtY其中，t/2為(1-)的置信水平下的臨界值臨界值。 二、二、Y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間 如果已經(jīng)知道實際的預測值Y0，那么預測誤差為：000YYe容易

32、證明 0)()()()(100000000XXXXXXXEEEeE)(1 ()()()(01022100200XXXXXXXXEeEeVare0服從正態(tài)分布，即 )(1 (, 0(01020XXXXNe)(1 (010220XXXXe構(gòu)造t統(tǒng)計量 ) 1(000kntYYte可得給定(1-)的置信水平下Y0的置信區(qū)間置信區(qū)間： 010000100)(1)(122XXXXXXXXtYYtY 中國居民人均收入中國居民人均收入- -消費支出消費支出二元模型二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元， 于是人均居民消費的預測值人均居民消費的預測值為 2001=120.7+0.22134033.

33、1+0.45151690.8=1776.8（元） 實測值實測值（90年價）=1782.2元，相對誤差：相對誤差：-0.31% 預測的置信區(qū)間預測的置信區(qū)間 ：00004. 000001. 000828. 000001. 000001. 000285. 000828. 000285. 088952. 1)(1XX3938. 0010XX)X(X于是E(E(2001）的95%的置信區(qū)間為: 3938.05.705093.28.1776或 （1741.8，1811.7）3938. 15 .705093. 28 .1776或 （1711.1, 1842.4） 同樣，易得2001的95%的置信區(qū)間為3.

34、5 回歸模型的其他函數(shù)形式回歸模型的其他函數(shù)形式 一、模型的類型與變換一、模型的類型與變換 二、非線性回歸實例二、非線性回歸實例 在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量的關系是復雜的，直接表現(xiàn)為線性關系的情況并不多見。 如著名的恩格爾曲線恩格爾曲線(Engle curves)表現(xiàn)為冪冪函數(shù)曲線函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟學中的菲利普斯曲線菲利普斯曲線（Pillips cuves）表現(xiàn)為雙曲線雙曲線形式等。 但是，大部分非線性關系又可以通過一些簡單的數(shù)學處理，使之化為數(shù)學上的線性關系，從而可以運用線性回歸的方法進行計量經(jīng)濟學方面的處理。 一、模型的類型與變換一、模型的類型與變換 1、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直

35、接置換法、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法 例如，例如，描述稅收與稅率關系的拉弗曲線拉弗曲線：拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率設X1 = r，X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 ck。 如果出現(xiàn)n2F(n2, n1-k-1) ，則拒絕原假設，認為預測期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。 例例3.6.2 中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求的鄒氏檢驗。 1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗19811994：)ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQRSS1=0.003240 19952001：01l

36、n71. 0ln06. 3ln55. 078.13lnPPXQ (9.96) (7.14) (-5.13) (1.81) 19812001: 01ln39. 1ln14. 0ln21. 100. 5lnPPXQ (14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17) 34.10)821/()000058. 0003240. 0(4/)0000580. 0003240. 0(013789. 0F 給定=5%，查表得臨界值F0.05(4, 13)=3.18 判斷：判斷：F值值臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設，表臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設，表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在明中國城鎮(zhèn)居民食品

37、人均消費需求在1994年前后發(fā)年前后發(fā)生了顯著變化。生了顯著變化。 2、鄒氏預測鄒氏預測檢驗檢驗65. 4) 1314/(003240. 07/ )003240. 0013789. 0(F給定=5%，查表得臨界值F0.05(7, 10)=3.18判斷判斷： F值值臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設 *四、非線性約束四、非線性約束 也可對模型參數(shù)施加非線性約束非線性約束,如對模型kkXXXY22110施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型受約束回歸模型: *211101kkXXXY 該 模 型 必 需 采 用 非 線 性 最 小 二 乘 法非 線 性 最 小 二 乘 法

38、（nonlinear least squares）進行估計。 非線性約束檢驗非線性約束檢驗是建立在最大似然原理最大似然原理基礎上的,有最大似然比檢驗最大似然比檢驗、沃爾德檢驗沃爾德檢驗與拉拉格朗日乘數(shù)檢驗格朗日乘數(shù)檢驗. .1、最大似然比檢驗、最大似然比檢驗 (likelihood ratio test, LR) 估計估計: :無約束回歸模型與受約束回歸模型， 方法方法: :最大似然法， 檢驗檢驗: :兩個似然函數(shù)的值的差異是否“足夠”大。 記L( ,2)為一似然函數(shù):無約束回歸無約束回歸 : Max:),(2L受約束回歸受約束回歸 : Max:),(2L或求極值：)(),(2gL g( ):以各約束條件為元素的列向量, ：以相應拉格朗日乘數(shù)為元素的行向量 約束：g( )=0 受約束受約束的函數(shù)值不會超過的函數(shù)值不會超過無約