數(shù)學建模的心得體會

1、數(shù)學建模的體會思考經(jīng)過這段時間的學習， 了解了更多的關于這門學科的知識， 可以說是見識了 很多很多，作為一個數(shù)學系的學生，一直都有一個疑問，數(shù)學的應用在那里。對 了，就在這里，在這里，我看到了很多，也學到了很多，關于各個學科，各個領 域，都少不了數(shù)學，都是用建模的思想，來解決實際問題，很神奇。 數(shù)學建模給了我很多的感觸： 它所教給我們的不單是一些數(shù)學方面的知識， 更多 的其實是綜合能力的培養(yǎng)、 鍛煉與提高。 它培養(yǎng)了我們全面、 多角度考慮問題的 能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好的鍛煉和提高。 它還讓我 了解了多種數(shù)學軟件，以及運用數(shù)學軟件對模型進行求解。數(shù)學模型主要是將現(xiàn)實對象

2、的信息加以翻譯， 歸納的產(chǎn)物。 通過對數(shù)學模型 的假設、求解、驗證，得到數(shù)學上的解答， 再經(jīng)過翻譯回到現(xiàn)實對象， 給出分析、 決策的結果。其實，數(shù)學建模對我們來說并不陌生， 在我們的日常生活和工作中， 經(jīng)常會用到有關建模的概念。例如，我們平時出遠門，會考慮一下出行的路線， 以達到既快速又經(jīng)濟的目的； 一些廠長經(jīng)理為了獲得更大的利潤， 往往會策劃出 一個合理安排生產(chǎn)和銷售的最優(yōu)方案 , 這些問題和建模都有著很大的聯(lián)系。 而 在學習數(shù)學建模訓練以前， 我們面對這些問題時， 解決它的方法往往是一種習慣 性的思維方式，只知道該這樣做，卻不很清楚為什么會這樣做，現(xiàn)在，我們這種 陳舊的思考方式己經(jīng)在被數(shù)學

3、建模訓練中培養(yǎng)出的多角度、 層次分明、從本質上 區(qū)分問題的新穎多維的思考方式所替代。 這種凝聚了許多優(yōu)秀方法為一體的思考 方式一旦被你把握， 它就轉化成了你自身的素質， 不僅在你以后的學習工作中繼 續(xù)發(fā)揮作用，也為你的成長道路印下了閃亮的一頁。數(shù)學建模所要解決的問題決不是單一學科問題， 它除了要求我們有扎實的數(shù) 學知識外， 還需要我們不停地去學習和查閱資料， 除了我們要學習許多數(shù)學分支 問題外，還要了解工廠生產(chǎn)、經(jīng)濟投資、保險事業(yè)等方面的知識，這些知識決不 是任何專業(yè)中都能涉獵得到的。 它能極大地拓寬和豐富我們的內涵， 讓我們感到 了知識的重要性， 也領悟到了“學習是不斷發(fā)現(xiàn)真理的過程” 這句

4、話的真諦所在， 這些知識必將為我們將來的學習工作打下堅實的基礎。從現(xiàn)在我們的學習來看， 我們都是直接受益者。 就拿數(shù)學建模比賽寫的論文來說。 原本以為這是一件很簡 單的事，但做起來才發(fā)覺事情并沒有想象中的簡單。 因為要解決問題， 憑我們現(xiàn) 有的知識根本不夠。 于是，自己必須要充分利用圖書館和網(wǎng)絡的作用， 查閱各種 有關資料，以盡量獲得比較全面的知識和信息。 在這過程中，對自己眼界的開闊， 知識的擴展無疑大有好處， 各學科的交叉滲透更有利于自己提高解決復雜問題的 能力。毫不夸張的說， 建模過程挖掘了我們的潛能， 使我們對自己的能力有了新 的認識，特別是自學能力得到了極大的提高， 而且思想的交鋒也

5、迸發(fā)出了智慧的 火花，從而增加了繼續(xù)深入學習數(shù)學的主動性和積極性。 再次， 數(shù)學建模也培養(yǎng) 了我們的概括力和想象力， 也就是要一眼就能抓住問題的本質所在。 我們只有先 對實際問題進行概括歸納， 同時在允許的情況下盡量忽略各種次要因素， 緊緊抓 住問題的本質方面，使問題盡可能簡單化，這樣才能解決問題。其實，在我們做論文之前，考慮到的因素有很多，如果把這一系列因數(shù)都考慮的話， 將會花費更 多的時間和精神。因此，在我們考慮一些因素并不是本質問題的時候， 我就將這 些因數(shù)做了假設以及在模型的推廣時才考慮。 這就使模型更加合理和理想。數(shù)學建模還能增強我們的抽象能力以及想象力。對實際問題再進行“翻譯”，即

6、進行抽象，要用我們熟悉的數(shù)學語言、數(shù)學符號和數(shù)學公式將它們準確的表達出來。下面用一個具體的實例，來介紹建模的具體應用：傳染病問題的研究一、模型假設1在疾病傳播期內所考察的地區(qū)范圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群 動力因素?？側丝跀?shù)N(t)不變，人口始終保持一個常數(shù) N。人群分為以下三類： 易感染者(Susceptibles，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時刻未染病但有可能被該類 疾病傳染的人數(shù)占總人數(shù)的比例；感染病者(Infectives)，其數(shù)量比例記為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)占總人數(shù)的比例；恢復者 (Recovered),其數(shù)量比例記為r(t)，表示t時刻

7、已從染病者中移出的人數(shù)(這部 分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已 退出該傳染系統(tǒng)。)占總人數(shù)的比例。2. 病人的日接觸率(每個病人每天有效接觸的平均人數(shù))為常數(shù)入日治愈率(每 天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例)為常數(shù)卩，顯然平均傳染期為1/卩，傳染期接觸數(shù)為c =/e該模型的缺陷是結果常與實際有一定程度差距，這是因為模 型中假設有效接觸率傳染力是不變的。二、模型構成在以上三個基本假設條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：s iI 入 si I_在假設1中顯然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應為dt£

8、 ( So >0)， io (io不妨設初始時刻的易感染者，染病者，恢復者的比例分別為 >0)，r°=0.SIR基礎模型用微分方程組表示如下:也Asidtdsdts(t) , i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計算來預估計s(t) , i(t)的一般變化規(guī)律。三、數(shù)值計算在方程(3)中設入=1 卩=0.3 i (0) = 0.02, s (0) =0.98，用 MATLAB 軟件編 程：fun cti on y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x (2)-b*x(1);-a*x(1)*x (2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x

9、=ode45('ill',ts,x0);四、相軌線分析我們在數(shù)值計算和圖形觀察的基礎上，利用相軌線討論解i (t) ,s (t)的性質。D = (s, i) | s>Q i >0, s + i 任1在方程(3)中消去dt并注意到c的定義，可得dsIs c 丿i Is% 二 i°(5)所以：di二(6)利用積分特性容易求出方程(5)的解為:ln So在定義域D內,(6)式表示的曲線即為相軌線，如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向下面根據(jù),(17)式和圖9分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t -射它們的極限值分別記作

10、s：,和r：J.1. 不論初始條件s0,i0如何，病人消失將消失，即：i°=02. 最終未被感染的健康者的比例是，在(7)式中令i=0得到，是方程so io -s一一 ln 電=0一旺so在(0,1/內)的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(0,1/內交點的橫坐標yd f 13. 若sd >1/ o則開始有丄=-1 > o , i(t)先增加，令 = -1 =0,可得當d s2 c 丿d sIs o 丿s=1/ o時,i(t)達到最大值：1Im F io - 一(11 n ；So)CT然后s<1/ o時，有3- -1：o ,所以i(t)減小且趨于零,s(t)則單調減小至

11、S-，d sIs o 丿如圖3中由P1(s0, i0)出發(fā)的軌線4. 若s -1/ (則恒有d 1 -1 : 0 , i(t)單調減小至零,s(t)單調減小至s：-,如圖3d sis o 丿中由P2(s0,i0)出發(fā)的軌線可以看出，如果僅當病人比例i(t)有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延，那么1/ o 是一個閾值，當so>1/ o即o >1/sC時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數(shù)o即提高閾值1/ o使得so < 1/即( o < 1s。),傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值So是一定的，通?？烧J為s接近1）。并且，即使So>1/ 0從（19）,（20）式可以

12、看出,減小時,s-增加（通過作圖分析），im降 低也控制了蔓延的程度我們注意到在o =入中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率入 越小;醫(yī)療水平越高，日治愈率卩越大，于是o越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有 助于控制傳染病的蔓延從另一方面看，二s=，s*1/._j是傳染期內一個病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一病人被二s個健康者交換.所以當So1/二即二So < 1時必有 既然交換數(shù)不超過1,病人比例i（t）絕不會增加，傳染病不會蔓延。五、群體免疫和預防根據(jù)對SIR模型的分析,當So空1/二時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延，除了提 高衛(wèi)生和醫(yī)療水平，使閾值1/ o變大以外,另一個

13、途徑是降低So，這可以通過比如預防接種使群體免疫的辦法做到忽略病人比例的初始值i0有so=1-ro,于是傳染病不會蔓延的條件 蘭1/貯 可以 表為1r。-1 -這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例 （即免疫比例）滿足（11） 式，就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的。據(jù)估計當時印度等國天花傳染病的接觸數(shù)o =5由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報告，即使花費大量資金提高ro，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到 1977年才在全世界根除。而有些傳染病 的o更高，根除就更加困難。六、模型驗證上

14、世紀初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當于移出傳染系統(tǒng)，有關部門記錄了每天移出者的人數(shù),即有了出的實際數(shù)據(jù)，Kermackdt等人用這組數(shù)據(jù)對SIR模型作了驗證。首先，由方程（2）, （3）可以得到 蟲=_入si = Ysi =-心5dtdt上式兩邊同時乘以dt可=1 ds - -：'dr ，兩邊積分得s二 zdr= lnsSo-m所以:s(t) = See®。(12)drdtdrdt出=叫1 _r s)=叫1 _r _S0eV)(13)<1 時，?。?3）式右端Taylor展開式的前3項得:2 2和r(1 _r _S0 ；fr)在初始值ro=O下

15、解高階常微分方程得：其中2 =（So；-1）2 2和0二2，th二'從而容易由（14）式得出:0（dr _:-2 Jdt2s0；2ch2(-（15）式的圖形，如圖4中的曲線，實際數(shù)據(jù)在圖然后取定參數(shù)s0,等，畫出中用圓點表示，可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當不錯。7 DO600u 515 20 25 30"刷圖4引R模型的理論曲線與實際數(shù)據(jù)七、被傳染比例的估計在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值 So與S：:之差，記作X,即x = Sos：(16)當iO很小，sO接近于1時，由（9）式可得1xx ln(1 ) :0So取對數(shù)函數(shù)Taylor展開的前兩項有x（1-工）：0（18）s° 口 2s° cj丄的部分。當二-時（18）CTCT1記So二丄:.,:.可視為該地區(qū)人口比例超過閾值式給出 x：、2s0二 氏-丄、2、：（ 19）I ）這個結果表明，被傳染人數(shù)比例約為:.的2倍。對一種傳染病，當該地區(qū)的衛(wèi)生1和醫(yī)療水平不變，即.不變時，這個比例就不會改變。而當閾值 '提高時，：減a小，于是這個比例就會降低。這是一個關于傳染病方面的實例，看起來很復雜的題目，用數(shù)學建模就可以 化抽象為具體，簡單的利用微分方程，圖像，以及必要的數(shù)學軟件就可以解決問 題，同時把問題細化，分析了各種變量的影響。具體