【2020-2021自招】湖南衡山縣岳云中學初升高自主招生數學模擬試卷【4套】【含解析】

1、共4套試卷，含150分的模擬數學試卷占4套，對參加自主招生的學生有一定的指導意義和輔助作用，但不是決定性的作用，祝大家考試順利第一套：滿分150分2020-2021年湖南衡山縣岳云中學初升高目主招生數學模擬卷.選擇題（共8小題，滿分48分）1. （6分）如圖，zABC中，Dk E是BC邊上白點，BD2: 1, M在AC邊上,CMMA=1則 BH HG GM=(A. 3: 2: 1DE EC=32.51: 24: 10C. 25: 12: 52. （6分）若關于x的一元二次方程（x-2) (x-3) =m有實數根X1,X2,且 X1#X2,有下列結論:x=2, X2=3;Zm 4；二次函數y=

2、（x-xO （x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2, 0)和(3, 0).其中，正確結論的個數是【A.0B.1C.2D.33. （6分）已知長方形的面積為20cmt設該長方形一邊長為ycm,另一邊的長為xcmi,則y與x之間的函數圖象大致是（4. （6分）如圖，在平面直角坐標系中，O O的半徑為1,則直線y x/與。的位置關系是（）A.相離B.相切C .相交D .以上三種情況都有可能5. （6分）若一直角三角形的斜邊長為c,內切圓半徑是r,則內切圓的面積與三角形面積之比是（）6. （6分）如圖，RtAABC, BC=6, / ACB=90 , / A=30 ,D是斜邊AB的中點，過D作D

3、EiAC于Ei,連結BE交CD于D;過作DEAC于巳連結BE交CD于C3;過D3作RELAC于曰，,如此繼續(xù)，可以依次得到點 巳、E、巳。13,分別記ABCE、 BC區(qū) zBCE、BCE013的面積為 S、3、&、S2013,則46718。13的大小為（）A. 3 43B. 6 .3C. 3 .3D.100201310077. （6分）拋物線y=ax2與直線x=1, x=2, y=1, y=2圍成的正方形有公共點，則實數a的取值范圍是（）D-ba b都成立，那么a, b的取值范圍為11. （7分）如圖，圓錐的母線長是3,底面半徑是 是底面圓周上一點，從A點出發(fā)繞側面一周，再回到 的最短的路線長

4、是.12. （7分）有一張矩形紙片 ABCD AD=9 AB=1Z將紙片折疊使 AC兩點重合，那么折痕長是.13. （7分）設-1WxW2,則|x - 2| -幼x|+|x+2|的最大值與最小 值之差為14. （7分）兩個反比例函數y, y=|在第一象限內的圖象如圖所下.點R, P2, P3、P2007在反比傷J函數yf 上，它們的橫坐標分別為X1、X2、X3、X2007 ,縱坐標分別是1, 3, 5共2007個連續(xù)奇數，過P1,的圖象交點依次為QP2,P3、P2007分別作y軸的平行線，與(Xi , yi )、Q (X2 , y )、Q2(X20O7 ,y2007 ),則|P 2007Q00

5、71三.解答題：(每天12分，滿分60分)15. (12分).已知正實數x, y,z滿足：xy yz zx 1，且(x2 i)(y2 i) (y2 i)(z2 1) (z2 i)(x2 1) 4xyyzzx求工工的值.xy yz zx(2)證明：9(x y)(y z)(z x) 8xyz(xy yz zx).16. （12分）如圖， ABC是等腰直角三角形，CA CB,點N在線段AB上（與A、B不重合），點M 在射線BA上，且 NCM 45。求證：22_2MN AM BN 。17. (12分)在。與21之間插入n個正整數切，a2,，為，使其 滿足0 ai a2 L % 21。若1, 2, 3,

6、，21這21個正整數都可以 表示為0,為，a2,，%, 21這n 2個數中某兩個數的差。求n的 最小值。18. (12分)如圖，已知BC是半圓。的直徑，BC=8過線段BO上 一動點D,彳ADL BC交半圓。于點A,聯(lián)結AQ過點B作BHL AQ 垂足為點H, BH的延長線交半圓O于點F.(1)求證：AH=BD(2)設BD=x BE? BF=y,求y關于x的函數關系式；(3)如圖2,若聯(lián)結FA并延長交CB的延長線于點G當FAE與 FBGt目似時，求BD的長度.國1割19. (12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB過點A (3,0)、B (0, m) (rr0), tan / BAO=2(

7、1)求直線AB的表達式；(2)反比例函數y上的圖象與直線AB交于第一象限內的C D兩點(BD： B。，當 AD=2DB寸，求 ki 的值；(3)設線段AB的中點為E,過點E作x軸的垂線，垂足為點 M,交反比例函數y上的圖象于點F,分別聯(lián)結OE OF當OE%AOBE x時，請直接寫出滿足條件的所有 k2的值.Q 2 x第一套：滿分150分2020-2021年湖南衡山縣岳云中學初升高自主招生數學模擬卷參考答案一.選擇題：1 .【解答】解：連接EMCE CD=CMCA=1 3 EMff行于 AD .BHABME ACEIVbACDA.HD ME=BDBE=3 5, ME AD=CMAC=1 3 .A

8、H=(3-) ME 5.AH ME=12 5 .HG GM=AHEM=12 5設 GM=5k GH=12k BH HM=3 2=BH 17k . BH=-K, BH HG G吟k: 12k: 5k=51: 24: 10故選D.2.【答案】Co解答：一元二次方程實數根分別為 XI、X2, .Xi=2, X2=3,只有在m=0時才能成立，故結論錯誤。一元二次方程(x-2) (x 3) =m化為一般形式得：x2-5x + 6 m=0方程有兩個不相等的實數根 XI、X2 =b24ac= ( 5) 2 4 (6m) =4m 10,解得：m -故結論正確。二一元二次方程x25x+6 m=0實數根分別為Xi

9、、X2,.Xi + X2=5, xiX2=6 m/二次函數 y= (x x-)(x X2) +m=X一 (x +、22X2) x + xiX2 + m=x5x+ (6 n) +m=x5x + 6= (x 2) (x 3)。令 y=0,即(x 2) (x3) =0,解得：x=2 或 3。.拋物線與x軸的交點為(2, 0)或(3, 0),故結論正確。綜上所述，正確的結論有2個：。故選G3 .【答案】B。【分析】:根據題意，得xy=20, y=20 x0, y0 。故選Bo4 .【答案】B。【分析】如圖，在y x隹中，令x=0,則y=- V2 ；令y=0,則x=.A(0,0)，B( 72,0)。OA

10、=OB=.AO提等腰直角三角形。AB=2過點。作 ODLAB,貝U OD=BD=AB=1 X2=1。22又。的半徑為1, 圓心到直線的距離等于半徑。直線y=x- 2與。相切。故選B。5 .【分析】連接內心和直角三角形的各個頂點，設直角三角形的兩條 直角邊是a, b.則直角三角形的面積是 凡產工；又直角三角形內切 圓的半徑=己+丁,則a+b=2r+c,所以直角三角形的面積是r (r+c); 因為內切圓的面積是兀r2,則它們的比是三.c+r【解答】解：設直角三角形的兩條直角邊是a, b,則有：e-a+b+c2工,又二叱_/,. a+b=2r+c,將 a+b=2r+c 代入 S=,+、得:S=r2c

11、 r=r (r+c).又內切圓的面積是兀r2, .它們的比是早.故選B.CTE【點評】此題要熟悉直角三角形的內切圓半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半，能夠把直角三角形的面積分割成三部分，用內切圓的半徑進行表示，是解題的關鍵.6 .解 解：.RtzABC中，BC=代 A ACB=90 , / A=30 , 答: ACqiBC=6 SaABc=fAC? BC=61；， .DEAG . DEi/ BG .BDEi與ACDEi同底同高，面積相等，.D是斜邊AB的中點,DEi=1BG CEfQSi=-bc? cebo，ac=x Jac? bc=Saabc；2222 22在4ACB中，D2為其重心,D

12、EiTBE,3，ABC)DEBG CE-AC； &具xlx AC? BC=Sa ：； J.QE/BG CE=-AC S3Sbc.Sn=一$ ABC；n41.03=6f :.故選C.7 .【分析】此題主要考數形結合，畫出圖形找出范圍，問題就好解決【解答】解：由右圖知：A (1, 2), B (2, 1),8 .解 解：矩形ABCD勺對角線互相平分，面積為5, 答：.平行四邊形ABCO的面積為興平行四邊形ABCO的對角線互相平分，平行四邊形ABC的面積為白凈，依此類推，平行四邊形 ABG09Q009的面積為f盆.故選B.q 二 W U V二、填空題9 .【分析】根據式子特點，設 x+1=a, y-

13、1=b,然后利用換元法 將原方程組轉化為關于a、b的方程組，再換元為關于x、y的方程組 解答.【解答】解：設x+1=a, y-1=b,則原方程可變?yōu)槲沂宥?，I a+b=2&b都成立是不可能的,a=0,貝U左邊式子ax=0,b0 一定成立, .a, b的取值范圍為a=0, b0.【點評】本題是利用了反證法的思想11 .【分析】先根據-1WxW2,確定x-2與x+2的符號，在對x的 符號進行討論即可.【解答】解：. 1x2, /.x-20,x+x+2=4-yx;x+x+2=4+xL-l當 2AxA0 時，|x - 2| -x+x+2=2當一iwx0 時，|x -2| x+x+2=2當x=0時，

14、取得最大值為4, x=2時取得最小值，最小值為3,則最大值與最小值之差為1.故答案為：1【點評】本題重點考查有理數的絕對值和求代數式值.解此類題的關再根據絕對鍵是：先利用條件判斷出絕對值符號里代數式的正負性, 值的性質把絕對值符號去掉，把式子化簡，即可求解.12 .【分析】要求出|P 2007Q2007的值，就要先求Qy2007 - P驢007|的值,因為縱坐標分別是1, 3, 5，共2007個連續(xù)奇數，其中第2007個奇數是2X2007 1=4013,所以已007的坐標是(PX2007, 4013),那么可根據P點都在反比例函數y坐上，可求出此時Px2007的值，那么就能 得出R07的坐標，

15、然后將P2007的橫坐標代入y=!中即可求出Qy7的工值.那么|P 2007Q007| = |Qy 2007 - Py2007| ,由此可得出結果.【解答】解：由題意可知：B007的坐標是(PX2007, 4013) 又 Ro。？在 y=-上，二 PX2007=4013而 QX007 （即 Px2007）在 y二上，所以 Q乎007=-一 |P2007Q2007|=|Py 2007 Qy2007|=|4013 40131|=40131 340132007故答案為:【點評】本題的關鍵是找出P點縱坐標的規(guī)律，以這個規(guī)律為基礎求 出P2007的橫坐標，進而求出Q007的值，從而可得出所求的結果.13

16、.【分析】圓錐的側面展開圖是扇形，從 A點出發(fā)繞側面一周，再回到A點的最短的路線即展開得到的扇形的弧所對弦，轉化為求弦的長的問題.【解答】解：二.圖中扇形的弧長是2兀，根據弧長公式得到2兀_3?？?80n=120即扇形的圓心角是120.弧所對的弦長是2X3sin600 =3塢【點評】正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是 扇形的弧長.14.【分析】首先由勾股定理求出 AC的長，設AC的中點為E,折線 與AB交于F.然后求證 AEMABC出EF的長.【解答】解：如圖，由勾股定理易得 AC=15設AC的中點為E,折線FG與A

17、B交于F,（折線垂直平分對角線 AQ, AE=7.5./ AEF之 B=90 , / EAF是公共角，.AEM A ABC.里力歸. AE AB 12.EF=2JL.折線長=2EF野.故答案為號.【點評】本題綜合考查了矩形的性質，勾股定理，相似，全等等知識八、三、解答題15.【解析】(i)解：由等式(x2 1)(y2 1)(y2 1)(z2 1) (z2 1)(x2 1) 4,xyyzzx去分母得 z(x2 1)( y2 1) x(y2 1(z2 1) y(z2 1)(x2 1) 4xyz ,2 222222 222222、x y z xy z x yzx(y z )y(z x )z(xy )

18、 3xyz(xyz)xyz0,xyz(xy yz zx) (xy z)(xyyz zx)(xy z) xyz0 ,xyz (x y z)(xyyz zx1) 0 , Qxyyz zx 1,xyyz zx10,xyz (x y z) 0, xyz x y z , 原式 =x-y-z 1. xyz(2)證明：由(1)得計算過程知xyz x y z,又Qx,y,z為正實數，9(xy)( yz)(zx)8xyz(xy yz zx)9(xy)(yz)(zx)8(x y z)(xy yzzx)x( y2 z2) y(z2 x2) z(x2 y2) 6xyzx(y z)2 y(z x)2 z(x y)2 0

19、. 9(x y)( y z)(z x) 8xyz(xy yz zx). 222_2 _2_ 2(x y)( yz)(zx) x yxyy z yzz xzx 2xyzx(y2z2)y(z2x2)z(x2y2) 2xyz222222(x yz)(xy yzzx)x y xyyz yz z xzx3xyz2222x(y z ) y(z x ),22、z(x y ) 3xyz 116.【答案】如圖，作點A關于直線MC的對 稱點D ,連結DA、DM、DC , DN ,則 MDC 9A MAC 。ABC 是等腰直角三角形，CA CB ，且 NCM 45DCN DCM MCA ACN DCM 45 ,BC

20、N BCA NCA 90(45 MCA) 45 MCA 45 DCM 。DCNBCN 。又 CD CACB ， CNCN 。ADCNBCN oND NB , CDN CBN 45 。又由 AMDCMAC ,知CDM CAM 180CAB 180 45 135 。MDN MDCNDC 135 45 90 o MD DN。又 MD MA,. MN 2 DM 2 DN 2 AM 2 BN 2 o另解：如圖， CBN沿CN翻折得 ACDN ,貝U ADCNBCN。BCN 。CD CB CA ， DN BN ， CDN CBN 45 ， DCNNCM 45 ，DCM DCN MCN BCN 4590 A

21、CN 4545 ACN ACM 。又 CD CA ， CM CM 。/. ADCM ACM 。MA MD ， CDMCAM 135 ， MDNCDM NDC 90 。MN 2 DM 2 DN 2 AM 2 BN 2 。17.【 解 答 】n2個數至多可以表示(n 1) n (n 1) L 2 1 (n 1, 2)個不同的且為正數的差。 依題意有，(n 1：n 2) 21,即(n 5)(n 8) 0。n 5。下面證明n 5不符合要求。若n 5符合要求，則由n 5時，(n 1/ 2) 21知，由0, a1 , a2, a3, a4，as, 21這7個數兩兩之差(大數減去小數)所得的下列 21個數:

22、a，,a1, a3a1 , a，a1 , a5 a1 , 21a3a2 ,a，a2?a5a2 521a2,a4a3,a5a3, 21a3,a5a，21a，21a5互不相同。于是它們是1, 2, 3,，21的一個排列。記這21個數的和為S ,則S (s1 5a1) (2a2 4a2) (3a3 3a3) a，2a，)(5a5 a5) 6 214al 2a2 2a，4a5 6 21?？梢?S為偶數。另一方面，S 1 2 3 L 21紅盧 231為奇數，與S為偶數矛 盾。 n 5不符合要求。n 6符合要求。如插入2, 5, 8, 12, 19, 20。(不唯一)可以驗證：用0, 2, 5, 8, 1

23、2, 19, 20, 21這8個數中某兩個數的差可以表示1, 2, 3,，21中任意一個數。5 5 0,6 8 2,19 8, 12 20 8 ,18 20 2 ,(1 21 20 , 2 21 19, 3 8 5 ,，12 8,7 19 12 , 8 20 12 , 9 21 12 , 10 12 2 , 1113 21 8, 14 19 5, 15 20 5 , 1619 19 0, 20 20 0, 2121 0。)可見n的最小值為6。18.【分析】(1)由ADL BG BH AQ利用垂直的定義得到一對直角 相等，再由一對公共角，且半徑相等，利用 AAS導至后角形ADOW三 角形BH集等

24、，利用全等三角形對應邊相等得到 OH=OD利用等式的 性質化簡即可得證；(2)連接AR AF,如圖1所示，利用HL得到直角三角形ADBW直 角三角形BHAr等，利用全等三角形對應角相等得到一對角相等， 再 由公共角相等得到三角形 ABEW三角形AFBt目似，由相似得比例即可 確定出y與x的函數解析式；(3)連接0石如圖2所示，利用兩對角相等的三角形相似得到三角 形AFg三角形FOG目似，由相似得比例求出BD的長即可.【解答】(1)證明：: ADL BC BHHL AQ. / ADO= BHO=90 ,在 AADOW BHOKrZ AD0=ZBH0，Zaod=Zboh, t OA=OB.ADO2

25、 ABH(O (AAS,OH=O D又. OAuOBAH=Blp(2)解：連接AB AF,如圖1所示，.AO半徑，AOL弦 BF, AB=AF/ABF之 AFB在 RtAADBW RtBHA中，產BD心EA，/. RtAADBRtABH/A(HD, / ABF之 BAD/ BADh AFB又/ ABFh EBA/.A BEM ABA5 -：.鄴盥.BA即 .BA=BB bf,. BE? BF=y, y=BA, . /ADO= ADB=90 , .aD=aO- DO, AE2=A戌-B* . aO- DO=A百-Bfj, 直徑 BC=8 BD=x . AB=8x,貝U y=8x (0x4);方法

26、二：: BE? BF=y, BF=2BH BB BH*y，riL-a.BE A BOH.型也.OB BHOQB BD=BE BH, 4x=y,y=8x (0x /G./FA8 4FBG時，/AEF之 G,/ BHAh ADO=90 , / AEF吆 DAO=90 , / AOD + DAO=90 ,/AEF之 AOD/ G=/ AOD/. AG=AO=4/ AOD = AOF/ G=/AOF又/ GF系公共角，.FAS zFOG.眸OF FG . AB=8x, AB=AF .AF=2 x,.今=,| 44+2V2i解得：x=3 士 e, 3+V54,舍去, .BD=3-V119.【分析】(1)

27、先通過解直角三角形求得 A的坐標，然后根據待定 系數法即可求得直線AB的解析式；(2)作DE/ OA根據題意得出 界嗎求得DE即D的橫坐標, OA AB |3代入AB的解析式求得縱坐標，然后根據反比例函數圖象上點的坐標 特征即可求得匕；(3)根據勾股定理求得AB OE進一步求得BE然后根據相似三角 形的性質求得EF的長，從而求得FM的長，得出F的坐標，然后根據 反比例函數圖象上點的坐標特征即可求得 k2.【解答】解：(1) . A (3, 0)、B (0, m) (m0),.OA=3 OB=m. tan/BA盛=2, OAm=6設直線AB的解析式為y=kx+b,代入 A (3, 0)、B (0

28、, 6)得：解得：解6, k=- 2直線AB的解析式為y=-2x+6;(2)如圖 1, v AD=2DB四AB 3 作 DE/ OA三二OA AB 3DE=OA=1.D的橫坐標為1,代入 y= - 2x+6 得,y=4,D (1, 4),ki=ix 4=4;(3)如圖 2, v A (3, 0), B (0, 6),.上(丁，3), AB= ；丁|、- 一二3 二，.OE是RtzOAEM邊上的中線,. OE=AB2二通，BE二%1 5.EMLx 軸，.F的橫坐標為三IOEM A OBE.里口BE OB 法一 3 廠二 6，e EF=8 ，1 q FM=3-殍胃.8 o第二套：滿分150分202

29、0-2021年湖南衡山縣岳云中學初升高自主招生數學模擬卷一.選擇題（每小題 6分，滿分48分）1. （6分）如圖，在銳角 ABC, AB=66 /BAC=45 , / BAC勺平分線交BC于點D, M N分別是AD和AB上的動 點，則BM+MIN）最小值是（）A. 6 2B.6 C.3 2D.32. （6分）有鉛筆、練習本、圓珠筆三種學習用品，若購鉛筆3支， 練習本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購車&筆4支，練習本8本， 圓珠筆2支共需4.2元，那么購鉛筆、練習本、圓珠筆各1件共需（）A. 1.2 元 B . 1.05 元 C . 0.95 元 D . 0.9 元3. （6 分） 已知 m

30、n1-n 0 m+n+1 ,那么 n , m, - , n+1 n m的大小關系是（）A111 1A. mn+ nB . m n+ 一 nnmm nC.n+ m n D.11m n+ n07. （6分）已知關于X的不等式組2a 2xF恰有3個整數解，則a的取值范圍是（A.2.332324a3328. （6分）正方形 ABCD正方形BEFCJ口正方形RKPF位置如圖所示，點G在線段DK,正方形BEFG1長為4,則 DEK勺面積為（）A.10B.12C.14D.16.填空題（每小題 7分，滿分42分）9. （7分）若直線y = mi （m為常數）與函數y =x2 （x2） x的取值范圍是。10.

31、（7分）如圖，四邊形ABC虛矩形，A, B兩點在x軸的正半軸上，C, D兩點在拋物線y x2 6x上，設OA=m0 m0)個單位，使平移后得 到的二次函數圖象的頂點落在 ABC的內部(不包含 ABC的邊界)， 求m的取值范圍；(3)點P時直線AC上的動點，若點 巳點C,點M所構成的三角形 與BCD似，請直接寫出所有點P的坐標(直接寫出結果，不必寫第二套：滿分150分2020-2021年湖南衡山縣岳云中學初升高 自主招生數學模擬卷答案解析一、選擇題1.解解：如圖，作BHLAQ垂足為H,交AD于M點，過M點作Mf N XAB,答： 為N； 則BM +M N為所求的最小值. .AD是/ BAC勺平分

32、線， .M H=M N, .BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段 . AB=4 /BAC=45 ,. BH=AB sin45 =6X g=3/j. BM+MN）最小值是 BM +M N =BM +M H=BH=3s.故選C2 .【分析】設購一支鉛筆，一本練習本，一支圓珠筆分別需要x,v,z元，建立三元一次方程組，兩個方程相減，即可求得x+y+z的值.【解答】解：設購一支鉛筆，一本練習本，一支圓珠筆分別需要x, y, z 元,根據題意得,-得 x+y+z=1.05 （元）.故選：B.【點評】解答此題關鍵是根據題意列出方程組，同時還要有整體思想.3 .解：. miK 0, . nrj n 異號，

33、由 1 - m 1 - n0n+m+1,可知 m n, m+n - 1, m0, 0c n|n| , |m| 2,n+- =0.2 = m420假設符合條件的m=- 4, n=0.2則1=5, n則-4 -2 0.2 5 故 m n+-n -養(yǎng).三個整數解不可能是-2, 1, 0.若三個整數解為-1, 0, 1,則不等式組無解;2ya3若三個整數解為0, 1, 2,則 9;1 1C -匕agkE=& gfe,二S陰影 =&dg+Sx gke,=Sx ge+Sx GEF)=S正方形GBEF=4X4=16故選D.AS 二、填空題9 .【考點】矩形的性質，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系?！痉?/p>

34、析】求l與m的函數解析式就是把 m當作已知量，求l ,先求AR 它的長就是D點的縱坐標，再把D點縱坐標代入函數解析式求 C點橫 坐標，C點橫坐標與D點橫坐標的差就是線段 CD1勺長，用l=2 (AD+AB,建立函數關系式:把x=m代入拋物線y x2 6x中，得AD= m2 6m ,把y= m2 6m代入拋物線y x2 6x中，得m2 6m x2 6x ,解得 xi=nrj x2=6mb .C的橫坐標是 6m . . AB=6- m- m=6- 2m矩形的周長是 l 2 ( m2 6m) 2(6 2m)2m2 8m 12。10.【答案】0m2【考點】二次函數的圖象，反比例函數的圖象。m的取值x2 (x2)【分析】分段函數y= 4 (的圖象如右圖 x,X )所示：故要使直線 y