探究存在性問(wèn)題(數(shù)學(xué))

1、探究存在性問(wèn)題“三部曲”（江蘇楊大為）存在性開(kāi)放問(wèn)題大多數(shù)是運(yùn)用類(lèi)比的方法，通過(guò)類(lèi)比歸納、猜想、論證，即通過(guò)分析類(lèi)比、提出猜想，再進(jìn)行必要的論證。具體的思路是，假設(shè)結(jié)論存在或成立，若推證出矛盾，則結(jié)論確實(shí)存在或成立； 若推證出矛盾， 則結(jié)論不存在或不成立。 說(shuō)的明白一點(diǎn)就是， 探究“存在性”問(wèn)題，一般遵循“三部曲” ：假設(shè)存在推理論證得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情形）。但任何事情都不是絕對(duì)的，有的存在性問(wèn)題很明顯，并不需要嚴(yán)格按照上面的三個(gè)步驟進(jìn)行?，F(xiàn)以幾道中考?jí)狠S大題為例，相信對(duì)你的中考復(fù)習(xí)會(huì)有所幫助。例 1（2007 年湖北省荊門(mén)市第 28 題）如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片 O

2、ABC，已知 O(0 ， 0) ， A(4 ， 0) ， C(0 ，3) ，點(diǎn) P 是 OA邊上的動(dòng)點(diǎn) ( 與點(diǎn) O、 A 不重合 ) 現(xiàn)將 PAB沿 PB翻折，得到 PDB；再在 OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E，將 POE沿 PE 翻折，得到 PFE，并使直線 PD、 PF重合(1) 設(shè) P( x， 0) ， E(0 ， y) ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求y 的最大值；(2) 如圖 2，若翻折后點(diǎn) D落在 BC邊上，求過(guò)點(diǎn) P、 B、E 的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3) 在 (2)的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使 PEQ是以 PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)

3、Q的坐標(biāo)yyCBCDBFDEEFOPA xOPA x圖 1圖 2分析： 此題將矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中操作，利用折疊探究函數(shù)關(guān)系式，融對(duì)稱(chēng)、相似、函數(shù)等眾多知識(shí)點(diǎn)于一體，屬常規(guī)的存在性問(wèn)題探究題，難度不是太大，相信同學(xué)們能順利求解。（下面給出詳細(xì)解答，有的還附上了原分值，以供同學(xué)們參考。）解： (1) 由已知 PB 平分 APD， PE平分 OPF，且 PD、 PF重合，則 BPE=90° OPEAPB=90°又 APB ABP=90°， OPE= PBA Rt Rt 2 分POEBPA POBA即x3 y= 1x(4 x)1x24x (0 x 4) y4 x

4、OEAP333且當(dāng) x=2 時(shí)， y 有最大值 1 4 分3(2) 由已知， PAB、 POE均為等腰三角形，可得P(1 ， 0) ， E(0 ， 1) ，B(4 ， 3) 6分a1 ,c1,23 ,設(shè)過(guò)此三點(diǎn)的拋物線為y=ax2 bx c，則 abc0, b16a4bc3.2c1.y= 1 x23 x 1822(3) (2)EPB=90° QB9PB y=x 1y(01)PB2E(0 1)y=x 110yx1,x 5, Q(5 6)1yx2 3 x 1,y6.22(4 3) (5 6)12Q例 2（2007 年揚(yáng)州市第26 題）ABCDAD 3ABaa3M，NBB A BC1MAB

5、ANCDP，QNCMt12a4t1PM_a5t PNB PAD3PMBNPQDAa4PMBNPQDAPQCNaDQCDQCPNPNAMBAMB解：PM1342 t 2 PNB PAD3: 23 Q PM AB，CB AB， AMPABC AMP ABCPMAMPMat ，Q PMt(a t )BNABtaat( a 1)QQM 3a(QPAD )DQ(MP BN ) BMPMBNPQDA223t( at)3 ( a 1)t (a t)t taa6a，22化簡(jiǎn)得 ta6Q t 3 ，6a 3 ，則 a 6， 3a 6 ，6 a（ 4） Q 3 a 6 時(shí)，梯形 PMBN 與梯形 PQDA 的面積

6、相等梯形 PQCN 的面積與梯形PMBN 的面積相等即可，則CNPMt (a t) 3 t ，把 t6a 代入，解之得 a2 3 ，所以 a 2 3 a6 a所以，存在 a ，當(dāng) a 23 時(shí)梯形 PMBN 與梯形 PQDA 的面積、 梯形 PQCN 的面積相等例 3（2007 年遼寧省十二市第 26 題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH，點(diǎn) H的坐標(biāo)為（ 8，0），點(diǎn) N的坐標(biāo)為（ 6， 4）（ 1）畫(huà)出直角梯形 OMNH繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn) 180°的圖形 OABC，并寫(xiě)出頂點(diǎn) A，B，C的坐標(biāo)（點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A， 點(diǎn) N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B， 點(diǎn) H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 C）；（ 2）求出

7、過(guò) A， B， C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；（ 3）截取 CE=OF=AG=m，且 E， F， G分別在線段 CO，OA，AB上，求四邊形 BEFG的面積 S與 m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；面積S 是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 4）在（ 3）的情況下，四邊形 BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請(qǐng)直接 寫(xiě)出此時(shí) m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說(shuō)明理由yH（-8 ，0）OxMN（-6 ，-4 ）分析：此題與例 1類(lèi)似，但它加入了作圖、中心對(duì)稱(chēng)、確定最值等知識(shí)點(diǎn)，難度要比例1大一點(diǎn)，但由于第（4）小問(wèn)降低了要求，所以得分應(yīng)該不是太難。解

8、：（ 1） 利用中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，畫(huà)出梯形。1 分OABC A， B， C三點(diǎn)與 M， N，H分別關(guān)于點(diǎn) O中心對(duì)稱(chēng)， A（ 0， 4）， B（ 6， 4），C（ 8， 0）· ··················3 分（寫(xiě)錯(cuò)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)扣1 分）yADBHF 8OE C xN ( 6， 4)M（ 2）設(shè)過(guò) A， B， C三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為 y ax2 bx c ，拋物線過(guò)點(diǎn) A（ 0， 4）， c4 則拋物

9、線關(guān)系式為yax 2bx4 ·············4 分將 B（6， 4）， C（ 8， 0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式，得36a6b44，···························5分64a

10、8b40a1 ，解得4····························6分b 32所求拋物線關(guān)系式為：y1 x23 x4 ···············7分42（

11、 3）=4，=8，=4 ，=8 ···············8分OAOCAFm OEm S四邊形 EFGBS梯形ABCOS AGFS EOFSBEC1 OA（ AB+OC）1 AF· AG 1 OE· OF1 CE· OA222214 （68） 1 m( 4 m)1 m(8m)14m2222m28m28（0m ）········

12、3;····10分4 S (m4) 212 當(dāng) m4 時(shí)， S 的取最小值又 0 m 4，不存在 m值，使 S 的取得最小值············12分（ 4）當(dāng) m226時(shí)， GB=GF，當(dāng) m2時(shí)， BE=BG ···········14分例 4（2007 年河池市第 26 題）。如圖 12， 四邊形 OABC為直角梯形，

13、 A（ 4， 0），B（ 3，4），C（ 0，4） 點(diǎn) M 從 O 出發(fā)以每秒2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A 運(yùn)動(dòng)；點(diǎn) N 從 B 同時(shí)出發(fā)，以每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C 運(yùn)動(dòng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)N作NP垂直 x軸于點(diǎn)P，連結(jié)ACNP QMQ交于 ，連結(jié)（ 1）點(diǎn)（填或）能到達(dá)終點(diǎn)；MN（ 2）求 AQM的面積 S 與運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系式， 并寫(xiě)出自變量 t 的取值范圍， 當(dāng) t 為何值時(shí)， S的值最大；（ 3）是否存在點(diǎn) M，使得 AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由yCNBQOMPAx圖 12分析：此題與前幾例類(lèi)似，推究的方法自然

14、也一樣，就是第（3）小問(wèn)體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想方法，務(wù)必不要漏解。解：（ 1）點(diǎn)M 。 1 分（2）經(jīng)過(guò)t 秒時(shí)， NBt ， OM2t ，則CN 3t ， AM4 2t BCA= MAQ = 45o QNCN3tPQ 1t··················2分 S AMQ1 AM gPQ1 (42t)(1t)22t 2t2········

15、;······················3分2 St 2t2t19·····················5分24 0 t 21···

16、;··············6分當(dāng) t時(shí)， S 的值最大2（3）存在·····························7分設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，= ，2NB tOM=t

17、則 CN3t， AM42tBCA=MAQ = 45o······················8 分若AQM90o ，則 PQ 是等腰 Rt MQA 底邊 MA 上的高 PQ 是底邊 MA 的中線PQ AP1 MA2 1t1 (42t)12 t2點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 1， 0）········

18、83;··············10 分若QMA90o ，此時(shí) QM 與 QP 重合 QMQPMA 1t4 2t t1點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 2， 0）。12 分例 5（2007 年沈陽(yáng)市第 26 題）已知拋物線 y ax2bx c 與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段、的長(zhǎng)COB OC（OB<OC）是方程 x2 10x 160 的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x 2（ 1）求 A、 B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）求此拋物線的表達(dá)式；（ 3）連接 AC、 BC，若點(diǎn) E 是線段 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn) A、點(diǎn) B 不重合），過(guò)點(diǎn) E 作交于點(diǎn)，連接，設(shè)的長(zhǎng)為，的面積為，求S與之間的函數(shù)關(guān)EFACBCFCEAEmCEFSm系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；（ 4）在（ 3）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S 的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)，判斷此時(shí)BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由第26題圖210x 16 0x 2 x811x12B xC yOB OCB20C08y ax2