東北三三校哈爾濱師大附中東北師大附中遼寧試驗中學(xué)2019高三第二次模擬數(shù)學(xué)理試題含解析

1、2019年高三第二次聯(lián)合模擬考試理科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個項中，只有一項是符合題目要求的）1 .已知集合力=（用/一2> 0 , B = x- <x <,則（）A. 匚二B."二，；C. 1 二 D - DD. L，”【答案】D【解析】【分析】先解不等式#2 - 2* A 0得至IJ集合a ,再根據(jù)題中條件，即可判斷出 4與B之間關(guān)系.【詳解】由x2 -r2x> U得上> 2或-f <。，故八=x| > £或，< 0,又 H = fx|-4所以71UF = R.故選D【

2、點睛】本題主要考查集合之間的關(guān)系，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型2 .已知= 9 + 2）i （i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A. . + 上B. 'C.D.【答案】C【解析】【分析】先將式子化為式l-i） = 2+2,再由復(fù)數(shù)的除法運算即可得出結(jié)果.詳解因為= Q+2兄所以 =2 + 2工故£ =二萬.1 11 JL - 11 + IJ故選C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，熟記運算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型3.過點產(chǎn)（0J）的直線t與圓（"Iy+-1/二相交于力，口兩點，若1陰=&,則該直線的斜率為（）A. ：B. , J；：C. , ；13D. .【答案】A【解析】

3、【分析】先由題意，設(shè)直線的方程為 y = 匕 + I;根據(jù)弦長和半徑確定點到直線的距離，再由點到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意設(shè)直線1的方程為y-kx-il ,因為圓I）?十（y 一=1的圓心為（L1）,半徑為r - 1 ,又弦長所以圓心到直線的距離為 d=吧!y =it 2所以有,=,解得上=士i.故選A【點睛】本題主要考查直線與圓位置關(guān)系,熟記點到直線距離公式以及幾何法求與弦長有關(guān)的問題,屬于基礎(chǔ)題型.4.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連擲三次，事件“恰出現(xiàn)1次反面朝上”的概率記為 P,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計 P的值:用計算機產(chǎn)生了 20組隨機數(shù)，其中出現(xiàn)“0”表示反面朝上，出現(xiàn)“ 1

4、”表示正面朝上，結(jié)果如下，若出現(xiàn)“恰有1次反面朝上”的頻率記為111 001 011 010000111111 111101010000 101 011 010001011100 101001011A 33A. 10B.C.根據(jù)題意，可直接得到“連擲三次，恰出現(xiàn)次反面朝上”的概率P;根據(jù)題中數(shù)據(jù)，列舉出“連擲三次，恰出現(xiàn)次反面朝上”所包含的情況，即可得出/；【詳解】由題意可得,將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連擲三次,事件“恰出現(xiàn)1次反面朝上”ii3的概率P = C婦d ；ZZc由表中數(shù)據(jù)可得，“連擲三次，恰出現(xiàn)1次反面朝上”所包含的情況有：011,101,101, 011, 011, 101, 011

5、共7組,故選B【點睛】本題主要考查獨立重復(fù)試驗的概率問題、以及隨機模擬法求概率的問題，熟記相關(guān)概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.5.已知-,則 sm(2a-)=()til8C.：8D. 【解析】【分析】 由誘導(dǎo)公式可得 叫2"3=r 8頓加+ § ,根據(jù)8s9 +=g，再由二倍角公式即可得出結(jié)果【詳解】因為 63所以.：.故選B【點睛】本題主要考查給值求值問題，熟記誘導(dǎo)公式與二倍角公式即可，屬于基礎(chǔ)題型2X16 .已知函數(shù) 人玲=/_+,若八包則目一）=（）2X + I穩(wěn)A. -4B. -3C. -2D. -1【答案】C【解析】【分析】2r先由八嗎"" 一七-&#

6、39;十二一得至IJ（尤）+/（-元）=1,進而可求出結(jié)果.2T+ 2一父+12X+ 1*十1【詳解】因為&）=，門十一,所以寅一町二丁”一/ 2+1又小白血）=3 ,所以= f（-匕1 -= 1-3 = 故選C【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟記函數(shù)奇偶性即可，屬于?？碱}型7 .四棱錐PMH。中，P4_L平面"CD,底面月月皿是正方形，且PA=則直線PH與平面"。所成角為（）7T A.7TB.nC.7TD.【解析】【分析】 連接C交加于點口，連接平 證明的1平面叫 C,進而可得到工即。即是直線PH與平面P£C所成角，根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解

7、】連接4c交日力于點0,因為產(chǎn)力1平面ABCD ,底面A3CD是正方形，所以BD IPA因此日D1平面Fn。；故/?O_L平面F/。；連接。P,則MPO即是直線P/?與平面以C所成角, 又因%！=4/?二乙 所以PB = 2*泛，BO = . .80 1 , rr所以sin乙BPO = - = 所以乙BPU =Jr if £6故選A【點睛】本題主要考查線面角的求法，在幾何體中作出線面角，即可求解，屬于常考題型8 .將函數(shù)f=叫加+ g）的圖象向右平移 收中 >。）個單位長度，得到函數(shù)以為的圖象，且0r）二一目，則中的一個可能值為（）n A.ffB.n C.【解析】【分析】先由題

8、意寫出解析式，根據(jù)（7）= -日5）可知05）為奇函數(shù)，進而可求出 伊.【詳解】由題意可得，g（X）= 阿2工-功+力又班-©=-&W ，所以孤琦為奇函數(shù),因止匕期（a=±3-E2m,71故-2中十=4k，所以甲=二±丁，keZ,J62n所以平可以取£.故選A【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.12 y29 .雙曲線Q - = l（a>0,6>0）, J a分別為其左，右焦點，其漸近線上一點G滿足66工，線段與另a b一條漸近線的交點為 開，恰好為線段GF1的中點，則雙曲

9、線C的離心率為（）A.【答案】B【解析】B. 2C. 3D. 4【分析】根據(jù)題意得到雙曲線的漸近線方程為y= ±',焦點坐標為F式-a。），F(xiàn)虱g。）；不妨令g在漸近線尸=匕上，則haa， b ， 、一 b t 一,，一 一八一.、一、b 一 一,一， 一在y=_x上，設(shè)GW 根據(jù)題意求出c點坐標，再得到H的坐標，將H坐標代入直線y= -x,即可得出結(jié)果.a（7axz 2【詳解】由題意得雙曲線 G7-三=力>0）的漸近線方程為y= ±t, F（-G 0）, F2e 0）; ba不妨令G在漸近線y = -x±,則H在y二一 2t上，設(shè)。裊/_乂）, a

10、aah b由GF 1。匕得%f/gg = - 1 ,即口" J ,解得x-a ,所以 ,1 上.= - 1X + C X-C又月恰好為線段GF1的中點，所以 以上，因H在上， 22ab b a - c所以三二一，XF,因此。=2日，故離心率為 2.2<12故選B 【點睛】本題主要考查雙曲線的斜率，熟記雙曲線的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型10 .趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元 222年，趙爽為周髀算經(jīng)一書作序時，介紹了 “勾股圓方 圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由 4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）類比“趙爽弦圖”， 可類似地構(gòu)造如圖所示的

11、圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)0尸=24尸，則（）【答案】D【解析】【分析】先設(shè)DF=2AF = 2,根據(jù)題意可知= 求出AE的長，延長月口交口。于.M,求出9M、DM的長，再由平面向量基本定理即可得出結(jié)果【詳解】設(shè)。尸=24產(chǎn)=2,因此9D =/F = 1,又由題意可得所以 MB*n AD士十日。士一 2/1 0 BD cosADB = 32 + I2 - 6co5rl200 = 13,因此？lB = kB；延長/W交于M,麗26， r AD2-AB2-BD2 9+13-1 77n ，。.；三貝U COSZ-DAB =二=-=, 所以 sinD

12、Ali Ji 一 cos2Z.DAB2ADAH 61326丫又由題意易知DAB = DBM,則囪=1"驢-。,在三角形口BM中,由正弦定理可得DMBD耳田乙MDR sinsin 上DMB 'BM DMsm60°sin60rsin 日 sin(lZT 的'因此;BM =-sin (120。-6)#1cgsO 十sint)713 1=-BC ,44'sinSsinHn m =疝0嶺8）縣一+%皿14, AD ' AM = AM 所以:3 + 4因為二,C,所以我=；就，即力莉-曲二永肩-.相）,所以?。?，.,故選D【點睛】本題主要考查解三角形以

13、及平面向量基本定理，熟記正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可,屬于?？碱}型11 .已知三棱錐的三視圖如圖，則該三棱錐的外接球表面積為（lEFtril的役因251917A.B.C. ：D.222【答案】C【解析】【分析】先在長方體中還原該三棱錐為 P-AHC,根據(jù)三棱錐底面外接圓圓心確定外接球球心位置，設(shè)球的半徑為 程即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖，在長方體中還原該三棱錐為 P-ABC,且長方體的底面邊長為2,高為、泛；取小月中點為口，上底面中心為E ,連接。E, EP,則口E =EP=1,因為三角形為直角三角形，所以點為三角形匚的外接圓圓心，因此三棱錐的外接球球心，必在線段DE上，記

14、球心為0,設(shè)球的半徑為R,則。日=。2=汽，所以有 0月=也” _ #=JR2 - 1, 0D = OB2-BD2 二押-2 ,因此J&2-1 + ,爐_ 2解得R2二卷所以該三棱錐的外接球表面積為 缶即=/.£i故選C【點睛】本題主要考查幾何體的三視圖以及幾何體外接球的相關(guān)計算，熟記公式即可，屬于常考題型/ 一12.已知直線y = ?# +m與橢圓。：一十/ 二1相交于兒E兩點，。為坐標原點.當?shù)拿娣e取得最大值時，|/| =3/42 D. 75A.242C.7【解析】【分析】 先聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè) 力氏，點,由韋達定理得到 勺+勺與.內(nèi)句，結(jié)合弦長公式表示出弦長 伊用，

15、進 而表示出三角形的面積，根據(jù)面積最大值，可求出 e二代入弦長的表達式，即可得出結(jié)果,y = Zx 4- m【詳解】由位上2_1 ,得21/+ 20nu: += 0.=1設(shè)火工1黑。，B（心），則+叼=20m5m2-5國2取21- m5 _ 1。在1 - m2121又0到直線48的距離d =則山1。丑的面積5 二%.同為=212 zF當且僅當m2 = 21-m2,即序號時，川加的面積取得最大值.此時，215/4221故選A【點睛】本題主要考查橢圓中的弦長問題，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理、以及弦長公式等求解, 屬于常考題型.二、填空題（本題共 4小題，每小題5分，共20分）13.函

16、數(shù)fM =點或o "s）=【解析】【分析】 根據(jù)解析式，由內(nèi)向外逐步代入即可得出結(jié)果【詳解】由題意= 所以月，（-沖）=1）=日.故答案為【點睛】本題主要考查求函數(shù)值，分段函數(shù)中的求函數(shù)值問題是比較常見的一種題型，屬于基礎(chǔ)題14 .（xv）（如+y）4的展開式中/的系數(shù)是 .【答案】-16【解析】【分析】先將（x -十尸產(chǎn)化為寰之與+ y）4-y（2x+尸尸，再結(jié)合（2x+y），展開式的通項公式即可得出結(jié)果【詳解】因為-第（2上+ y）4 =，（2# + y）,-+ y）”，又（勿十y尸展開式的通項為了，+工=霞星與4 V,求2K十下產(chǎn)的展開式中*叩3的系數(shù)，只需令比=2或左=3,故

17、所求系數(shù)為.：.故答案為.【點睛】本題主要考查指定項的系數(shù)，熟記二項展開式的通項公式即可，屬于常考題型15 .設(shè)A再升。的內(nèi)角4, %。的對邊分別為。，方，匚，且b = 6,。= 4, A=鞏貝U =.【答案】【解析】【分析】，E'n aBc a ，人E/口£T2 + C2 b2 - r先由正弦定理得,得到k再由余弦定理得cgsR =,即可求出結(jié)果stnB122ac【詳解】因為b = 6, c = 4, A = 2R,由正弦定理可得即£市, sinB2sintlcosB sinB,解得 cose =；P 4日/ 十 / - 爐 口2 - 20又 由余弦7E理得 co

18、 sB -=,2a c8a, a2 -20 a4-因此F二二，解得u = 2n'15. tia故答案為.【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理和余弦定理即可，屬于基礎(chǔ)題型16.以拋物線焦點產(chǎn)為圓心，口為半徑作圓交尸軸于/1,R兩點，連結(jié)總交拋物線于點U（D在線段FK上），延長F八交拋物線的準線于點C,若g=叫 且mEl刁，則|FD|'E。的最大值為 .【答案】32【解析】【分析】先由題意，得到以廣為圓心，P為半徑的圓的方程，再令 月為y軸正半軸上的點，從而求出 力點坐標，得到直線RF的方 程，分別與拋物線的準線方程、拋物線方程聯(lián)立求出C、。兩點坐標，即可用P表示出1汽小CR

19、,再由灑0 =相，且1,引，求出p的范圍，即可得出結(jié)果【詳解】由題意可得拋物線口）的焦點為0）,準線方程為#= -3，所以以F為圓心，P為半徑的圓的方程為（乎+ / = /,因為，m兩點為圓（式-1）*+/=/與/軸的兩個交點，不妨令力為丁軸正半軸上的點, £由彳=。得，且（0,空）；商所以直線"的斜率為kAF= -尚，因此直線/IF的方程為¥= 一盾+ 母, P22產(chǎn)一病+?由口上得ag廊）；（2r |V - /日 FW由,'2得。（y2 - 2px所以皿="二冬|m=后馬"（孚-圖）工=§, b/d、623J又月。| =吃

20、 且mEL2,所以% EL2,即門£3,3， 因此|Fq |（:叫=§/£32,當且僅當p = 6時，取等號. 故答案為【點睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程等求解，屬于?？碱}型三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、 證明過程或演算步驟.第1721題為必考題.第22、23題為選考題.）17.已知數(shù)列 E的前門項和為兀，滿足又二4+，一1,數(shù)列也為等比數(shù)列，公比為 九 且/ =+%”玩.（I）求數(shù)列M , 14的通項公式；（n）求數(shù)列冊的前口項和九.【答案】（I） % =加+1瓦=4時1 （n） < =>仁+ §）一

21、【解析】【分析】（I）先由工二/+M 1得到國+ i = 4 + i十5十仔一工，兩式作差得 =加+1；根據(jù)4為等比數(shù)列，公比為 九 且% = g邑+3,%= 5%,求出首項和公比即可得出結(jié)果;(n)先得到 %，九= (2n+寫出幾=3十5x4+7 x"十十(加+1)4" ",兩邊同乘以4,再作差整理, 即可得出結(jié)果.【詳解】解： 因為尸% 十八一1, 5tt+ i = % +I+5+19-L+ 1 =口由+1一r+ 2'+ 1, .an2n+ 1,，, 5瓦=5%=1 ,又 = 35$七=&." = 4bn = 4n1.(II )因為

22、an-bn = (2n + l)1-1所以,.4TH = 3 x4 + Sx 42+ - +(2n- l)4n 1 + (2n + l)4n, ：3幾=3 + 44 + 4工 +十# 1) 2 注+ 1)W,4fl - 4n_11i *- 34 = 3 + 2 + 1)小丁伊 + 才 4%訂=_l+f + l.4n:，- 1.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列、以及錯位相減法求數(shù)列的和，熟記公式即可，屬于常考題型.18.如圖，直三棱柱力日。中，點。是棱舊也1的中點.(I)求證：月G平面小小山;_XAf(n)若= = RC = Ry 在棱山?上是否存在點M,使二面角M的大小為45。，若存在，

23、求出於 的值；若不存在，說明理由.AM 2【答案】(I)見解析(n)=- rJ L J【解析】【分析】(i)先連接力/，交力出于點。，再由線面平行的判定定理，即可證明力G II平面公加？；(n)先由題意得 力R, £兩兩垂直，以力為原點，如圖建立空間直角坐標系 A-xyz設(shè)0) (0<a<y/2),求出兩平面的法向量，根據(jù)法向量夾角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出 進而可得出結(jié)果.【詳解】解：(I)證明：連接 外,交/H于點。，則。為中點， 連接又口是棱的中點，ODWAC1,，?？?u平面,力q仁平面| 平面/1/£).(n)解：由已知，AR 1 AC,

24、則總所 AC, 7Mi兩兩垂直以內(nèi)為原點，如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz泛 泛則 . ，-,.,設(shè)一：.則. .，1 m。，.：.門設(shè)平面日小11,的法向量為n = Cq%7i),而% =-必1 + 2/ =。取平面 跳1把的一個法向量£ =(盤，一盤,1).設(shè)平面八田網(wǎng)的法向量為m ,，取平面 劣口11的一個法向量 巾=12,乙口).CO54S =cos < m,n >22.3口24 1g僅c( 24= 0,得值=-6%揚或口 二亍j4M2.存在點%此時充、,使二面角日一一用的大小為45【點睛】本題主要考查線面平行、以及已知二面角求其它量的問題，通常需要熟記線面平行的

25、判定定理來證明平行；另外，向量法求二面角是最實用的一種做法，屬于?？碱}型 19.橢圓C: ± + / =點小乙。)，動直線¥ = "了十也與橢圓C交于M , N兩點，已知直線的斜率為/,直線/M的4斜率為收工,且上1,"工的乘積為1.(I )若"=0,求實數(shù)工的值；3(n)若工廠一不，求證：直線MN過定點.【答案】(I)力=，(n)過定點(1,。)【解析】 【分析】(I)先由收=。，設(shè)M(-一1 -孑,表示出自G ,進而可求出結(jié)果；(II)聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè) 叭小力*(5心),根據(jù)韋達定理得到除的關(guān)系式，進而可得出直線所過的定點【詳解】解：

26、(I )不妨設(shè) 次-m-正,m),N解而凝m) mmk i ，_ h, - “1 一 m2 2 ' 2Ml - m2 - 2，,-1711 士 4(1 舟一4 個 4. f v kx + mr rr(n )設(shè)聯(lián)立L + 49 = 4得(1十4/)/十詼甲十4m2 -4 = 0,4 m2-4由題意 A = 16(4必 + 1 - m2) > 0 ,工1 + 萬2 =1 + 4r 1+旅2y1 y2 + m)(Ztx2 + m)4""" =-1 2 出 -2(x2 - 2)(x2 - 2)a 4(kx1 + m)(fcc2 + m) + 3(JCj -

27、2)(xz - 2) = 0界（4/+3）巧巧+ 14Am - 6）（占十勺）+4m*+12 = 0, 2 o 4m - 4-Skm >（4k2 + 3）F （4km - 6）F 4m2 +12 = 0,1 + 4 k*1 + 4/- 2 k2 + m2 + 3km = 0 ；.m =一 或 m = -2k,均符合注 > 0.若m=-2上，直線時川：y二/x-2）過40月），與已知矛盾.；.m匚-k,直線MN：y=上。一 1）過定點（1,0）.【點睛】本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)，以及橢圓中直線過定點的問題，熟記橢圓的性質(zhì)，聯(lián)立直線與橢圓方程， 結(jié)合韋達定理等求解，屬于常考題型.20

28、. 一個經(jīng)銷鮮花產(chǎn)品的微店，為保障售出的百合花品質(zhì)，每天從云南鮮花基地空運固定數(shù)量的百合花，如有剩余則免費分贈給第二天購花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應(yīng)商處進貨.今年四月前10天，微店百合花的售價為每支2元，云南空運來的百合花每支進價 1.6元，本地供應(yīng)商處百合花每支進價 1.8元，微店這10天的訂單中百合 花的需求量（單位：支）依次為： 251, 255, 231, 243, 263, 241 , 265, 255, 244, 252.卜y . u0.03 卜*“*.“5.*：0卜Mo黃丁云口 2幅節(jié)ETfiftfhti蕭求'（I）求今年四月前10天訂單中百合花需求量的平均數(shù)和眾數(shù)

29、，并完成頻率分布直方圖；（n）預(yù)計四月的后 20天，訂單中百合花需求量的頻率分布與四月前10天相同，請根據(jù)（I）中頻率分布直方圖（同一組中的需求量數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率）：（1）寫出四月后20天每天百合花需求量f的分布列；（2）若百合花進貨價格與售價均不變，微店從四月十一日起，每天從云南固定空運 M235E N）支百合花,當才為多少時，四月后20天每天百合花銷售利潤 Y （單位：元）的期望值最大？【答案】（I）見解析（II）（1）見解析（2）每天空運245支百合，四月后20天每天百合銷售利潤了的期望值最大【解析】【分析】（I）根據(jù)題意完善頻率分布直方

30、圖，平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率再求和；眾數(shù)為頻率最大的一組的中間值；（n）（1）由（I）中頻率分組直方圖可直接得到分布列；（2）分別計算235<x<245, 245<x<255,以及255 Ex M 265時的利潤期望，比較大小即可得出結(jié)果.【詳解】解：（I）四月前10天訂單中百合需求量眾數(shù)為255,平均數(shù)：:頻率分布直方圖補充如下：|235245255265P0.10.30.40.2(2)2：站式工Nf = 235, F= 23sx 2-1.&=47。-1包< = 245, 展 245x2-L6x-1.磯245-x)=0.2x + 49,<

31、 = 255, /= 255 X 2 - 1.6x - l.B(255 - x) = 0.2x + 51,f = 265, Y= 265 X 2 - 1.6x- 1.9(265-x) = Q2x + 5i= 0,1 X (470- 1.6x) +0,3 X (O,Zx + 49) + 0.4 X (0.2x + 51) + 02 X (f).2x + 53) = 0.02x + 927 ： ;f = V= 25x2-1.6x470 - 1.6x,f = g F= 245x2-1.6x490-1f = 2E5, F= 255 x 2 - 1 6z - 1.0(255-x) 0.2x + 51,f

32、 = 265, Y= 265x2-1.6x- 1 對(265 x) = 0.2x + 6mE(F) = Q 1 x (470- 1.6x) +03 x (490 - 1.6a：) + 0,4 x + 51) + 02 x (0.2a：+ 53)= 一。舊2# + 225 ;"235, Y= 235 X 2 - 1.6x = 470 - L6x,< = 245,245 X 2 - 1.6x = 490 - L6x,f = 255, Y= 255 X 2-1.6 = 510 - L6xt< = 265, F= 265 X 2 - 1.6x - l.B(265 -x) = 0.

33、2x + 53,E(F) = o i x (470- L6h) + 03 x (490- 1.6x) + 0,4 x (510- 1,6x) + 0.2 x (02x + 53) =-1,24 + 408,6二x 二 245 時，E(¥%m = 97S (元).故每天空運245支百合，四月后20天每天百合銷售利潤 y的期望值最大.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，以及離散型隨機分布列與期望等，結(jié)合相關(guān)知識點求解即可，屬于?？碱}型.21.已知函數(shù)= x± xlnx, g(x) = ax2-Z(a-yx 十 a-1.(I)求證：曲線y = /«)與y = S(X)在

34、(LI)處的切線重合； (n)若( < 雙幻對任意x e 1, + 8)恒成立.(1)求實數(shù)。的取值范圍；(2)求證：，"(汽+ 1)1 -誼 <出士工一_ n (其中凡£川”) 2+ I)【答案】(I)見解析(n)(1)(2)見解析【解析】 【分析】(I)先對函數(shù)求導(dǎo)，得到八1) = 2,再由0) = 1,根據(jù)直線的點斜式方程即可求出 y =在點(L1)處的切線 方程；另外同理求出y = 9(Ki在(1,1)處的切線方程，即可得出結(jié)論成立;(n)( 1)先令F3 =9-/，對函數(shù)F求導(dǎo)，通過討論口三。與0<日<：、。豆:研究函數(shù)產(chǎn)(，)的單調(diào)性，即

35、可得出結(jié)果;(2)先由(1)得到當 口 =；時，V，蘭恒成立，得 Znx<i/x-iY (> 1),分別令工=12 再得佗個不等式相加得ln(n+ 1)22整理化簡得到只要證明對f 1nE5 +">< - z 1、即可得出結(jié)論成立.J 2(n + 1)f = 1【詳解】證明：(I) f(x)= 2 + Mx/(l) = 2,fC) = 1尸= F(x)在(L1)處的切線方程為V = 2x-1目(町=2" - zg - 1)(1) = 2/(1) = 1y = 3(x在(1,1)處的切線方程為y = 2xl 所以切線重合(n ) (1)令 F)=廉&#

36、163;)一 代，)=口/ 一 Z(a 一 l,)x + ti - 1 一工一 xlnx (H > 1)貝U F =r2.a(x - 1)-歷刀, 當。.二Q時，(*)又0,當且僅當# = 1時，取等號，F(xiàn)0在1. +8)遞減，F(xiàn)(x) W F(l) =三次»不成立.一 一12 Q：x 1當 白 > U 時，F(xiàn)(X) = 2a 一 =,x x(i)當0<日<：時，KE(L()時，f"(為 <0, f'oo遞減，0)<盧(1) = 0,F5)在(1,3)遞減，F(xiàn)(x) <F(1) = 0/(x)三4#)不恒成立.(ii )當口之:時，F(xiàn)”(幻皂0, F'色)在1, +8)遞增，F(xiàn)&)蘭盧(1) = 0,產(chǎn)(，)在L+8：遞增，產(chǎn)(為之f(i)= o,(冷恒成立.綜上， (2)證明：由(1)知當* = g時，V，蘭1恒成立.得2 x令# = L乙用得"個不等式相加得irn(n + 1)/nn! <n-IIInM (JI + 1 )V-| 1a 2/nn! <> Tn(n + 1) n 1ln (n + 1) + 2lnnl <+ 植 (門 + D«(n + 1) 1a/«(« -|-<2 + (n