2012年重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第9課時(shí) 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）學(xué)案 湘教版

1、課 題：平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）教學(xué)目的：1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題；4掌握向量垂直的條件教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：   本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5

2、個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使=2平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使=1+23平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若，則，若，則5 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點(diǎn)及 P1, P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1, P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使

3、=，叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況：>0(內(nèi)分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)P(x1,y1) ，(x2,y2)，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），我們稱為點(diǎn)P分所成的比8點(diǎn)P的位置與的范圍的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為的內(nèi)分點(diǎn)當(dāng)()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為的外分點(diǎn)9線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)，可得=10力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角二、講解新課：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角說明：（1）當(dāng)時(shí)，與同向

4、；（2）當(dāng)時(shí)，與反向；（3）當(dāng)時(shí)，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的范圍0°q180°C2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0×探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量

5、的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在實(shí)數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0因?yàn)槠渲衏osq有可能為0（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a &

6、#185; c (5)在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積5兩個(gè)向量的數(shù)量

7、積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量1°e×a = a×e =|a|cosq2°ab Û a×b = 03°當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a|b| 特別的a×a = |a|2或4°cosq =5°|a×b| |a|b|三、講解范例：例1 判斷正誤，并簡(jiǎn)要說明理由·00；0·；0；·；若0，則對(duì)任一非零有·；·，則與中至少有一個(gè)為0；對(duì)任意向量，都有（

8、83;）（·）；與是兩個(gè)單位向量，則解：上述8個(gè)命題中只有正確；對(duì)于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0·；對(duì)于：應(yīng)有·0；對(duì)于：由數(shù)量積定義有···cos，這里是與的夾角，只有或時(shí)，才有··；對(duì)于：若非零向量、垂直，有·；對(duì)于：由·可知可以都非零；對(duì)于：若與共線，記則·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若與不共線，則(·)（·）評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定

9、義、性質(zhì)、運(yùn)算律例2 已知，當(dāng)，與的夾角是60°時(shí)，分別求·解：當(dāng)時(shí)，若與同向，則它們的夾角°，··cos0°3×6×118；若與反向，則它們的夾角180°，·cos180°3×6×（-1）18；當(dāng)時(shí)，它們的夾角90°，·；當(dāng)與的夾角是60°時(shí)，有·cos60°3×6×9評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0°，180°，因此，當(dāng)時(shí)，有0°或180

10、6;兩種可能四、課堂練習(xí)：五、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運(yùn)算律，并能運(yùn)用它們解決相關(guān)的問題六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記及備用資料：1概念辨析：正確理解向量夾角定義對(duì)于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯(cuò)誤是一些易見的錯(cuò)誤，如：1已知ABC中，°，求·對(duì)此題，有同學(xué)求解如下：解：如圖，°，··cos5×8cos60°20分析：上述解答，乍看正確，但事實(shí)上確實(shí)有錯(cuò)誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中與兩向量的起點(diǎn)并不同，因此，并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當(dāng)是C的補(bǔ)角120°2向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律分析：若有（·）·（·），設(shè)、夾角為，、夾角為，則(·)·cos·，·(·)·cos若，則，進(jìn)而有：（·）·(&