人教版 八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課堂筆記 郁金香作

1、（八年級(jí) 下冊(cè)） 海盜 作 飛虎影視工作室如何學(xué)好初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)從古至今在人們的生產(chǎn)生活中占據(jù)了非常重要的地位，隨著時(shí)代的發(fā)展和人們需求的增加，所以我們更要學(xué)好數(shù)學(xué)！一、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幾個(gè)方面：1. 課前：預(yù)習(xí)，畫(huà)出自己不理解的地方2. 上課時(shí)：認(rèn)真聽(tīng)講，并做到“四到”（即心到,上課時(shí)將自己在預(yù)習(xí)的難點(diǎn)作重點(diǎn)聽(tīng)并對(duì)有寫(xiě)內(nèi)容作記憶；口到，上課時(shí)緊跟著老師的步伐有時(shí)候要跟著老師后面說(shuō)以加深印象；眼到，上課時(shí)眼睛要緊跟著老師的步伐，看著老師在黑板上的板書(shū)；手到，上課時(shí)要能動(dòng)手主動(dòng)在草稿紙上寫(xiě)寫(xiě)畫(huà)畫(huà)，做好課堂筆記。）3. 課后：復(fù)習(xí)時(shí)必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，在每門功課上每天不需要花太多的時(shí)間來(lái)將一天中的知識(shí)點(diǎn)做

2、個(gè)回顧（可以是在你將睡覺(jué)前的時(shí)候花一點(diǎn)時(shí)間回顧一下）4. 作業(yè)：每當(dāng)我們學(xué)習(xí)了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，我們要做的是采用做題這種最原始也是最有效的方法來(lái)鞏固我們的知識(shí)（在作業(yè)時(shí)要獨(dú)立思考切記不可抄襲）。在作業(yè)中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題，這時(shí)就是我們來(lái)查漏補(bǔ)缺的最佳時(shí)間，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題我們就得學(xué)著去獨(dú)立地解決問(wèn)題。2、 怎樣才能算是掌握了知識(shí)點(diǎn)1. 學(xué)會(huì)理解：數(shù)學(xué)屬于理科，對(duì)于理科我們更多的是采用理解解決問(wèn)題的方法，要能做到觸類旁通、舉一反三。2. 思維的建立：數(shù)學(xué)是由若干個(gè)小的知識(shí)點(diǎn)聚合成的，我們一定要培養(yǎng)按照由 “點(diǎn)線面 ”的思維將整個(gè)初中數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，并在腦海中形成一個(gè)整體的框架。3、 解

3、決問(wèn)題時(shí)的思維方式的轉(zhuǎn)變面對(duì)任何問(wèn)題無(wú)非于這幾個(gè)步驟:1. 審題：理清題意，明確題目中要你解決的問(wèn)題2. 選擇解題的途徑3. 反思為什么選擇這個(gè)方法4. 列式，求解5. 檢驗(yàn)6. 作答 紫色郁金香 第16章 分式16.1 分式16.1.1 從分?jǐn)?shù)到分式 （1）我們知道，可以寫(xiě)成，所以我們也可以將寫(xiě)成，所以我們可以得到分式的一般概念：一般的，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么代數(shù)式就叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母?！纠?】 填空：（1）當(dāng)x 時(shí)，分式 有意義。（2）當(dāng)x 時(shí)，分式 有意義。（3）當(dāng)b_時(shí)，分式 有意義。（4）當(dāng)x、y滿足關(guān)系 時(shí)，分式 有意義。解：（

4、1）當(dāng)分母3x 0時(shí)，x 0時(shí)，分式 有意義。（2）當(dāng)分母x-1 0時(shí)，x 1時(shí)，分式 有意義。（3)當(dāng)分母5-3b 0時(shí)，b 時(shí)，分式 有意義。(4)當(dāng)分母x-y 0時(shí)，x y 時(shí)，分式 有意義。（2） 分式有意義、無(wú)意義、等于零、大于零、小于零的條件：分是有意義的條件：分母不等于零分式無(wú)意義的條件：分母等于零分?jǐn)?shù)的值等于零的條件：分子等于零且分母不等于零分式的值為正的條件：分子、分母 同號(hào)分式的值為負(fù)的條件：分子、分母 異號(hào)題型一：考查分式的定義【例1】下列代數(shù)式中：，是分式的有：.題型二：考查分式有意義的條件【例2】當(dāng)有何值時(shí)，下列分式有意義（1）（2）（3）（4）（5）題型三：考查分式

5、的值為0的條件【例3】當(dāng)取何值時(shí)，下列分式的值為0. （1）（2）（3）題型四：考查分式的值為正、負(fù)的條件【例4】（1）當(dāng)為何值時(shí)，分式為正；（2）當(dāng)為何值時(shí)，分式為負(fù)；（3）當(dāng)為何值時(shí)，分式為非負(fù)數(shù).（3）有理式的定義整式整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有理式16.1.2分式的基本性質(zhì)分式（1） 分式的基本性質(zhì) 分式的分母和分子都乘（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。用式子表示為=,=(其中M是不等于零的整式） （注：1.基本性質(zhì)中的A B M 表示的是整式，其中B不等于0是已知條件中的隱含條件，一般在解題的時(shí)候不需要強(qiáng)調(diào)，M不等于0 是在解題過(guò)程中的附加條件，在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)必須

6、強(qiáng)調(diào)M不等于0. 2.應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要深刻理解“都”和“同”兩個(gè)字的含義，避免犯只乘分母一項(xiàng)的錯(cuò)誤。）題型一：化分?jǐn)?shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)【例1】不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1） （2）題型二：分?jǐn)?shù)的系數(shù)變號(hào)【例2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項(xiàng)的符號(hào)變?yōu)檎?hào).（1） （2） （3）題型三：化簡(jiǎn)求值題【例3】已知：，求的值.提示：整體代入，轉(zhuǎn)化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.（2） 分式的約分分式的約分 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母分別除以它們的公因式，叫做分式的約分。 （約分的關(guān)鍵是確立分子和分母的公因式。）確立分子和分

7、母公因式的方法：a、 如果分子分母都是單項(xiàng)式，取他們系數(shù)的最大公約數(shù)于相同字母的最低次冪的積就是他們的公因式;b、 如果分子分母是多項(xiàng)式，要先把多項(xiàng)式分解因式，再找公因式。最簡(jiǎn)分式：分式和分母沒(méi)有公因式的分式。【例】把下列各式約分： (3) (4) (5) ； (6) （3） 分式的通分分式的通分： 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式化成同分母的分式，叫做式子的通分。 （通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母。）最簡(jiǎn)公分母的確定方法：a、 最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各個(gè)分母系數(shù)的最小公倍數(shù)：b、 最簡(jiǎn)公分母的字母因式，取各個(gè)分母所有字母因式的最高次冪的積：c、 如果分母是多項(xiàng)式，則首先將多項(xiàng)式分解

8、因式?！纠?】、 【例2】、把分式中的分子，分母的同時(shí)縮小3倍，那么分式的值是（ ） A、擴(kuò)大3倍B、縮小3倍 C、改變 D、不改變練習(xí)（1） （2）（3） （4）16.2分式的運(yùn)算16.2.1 分式的加減同分母分式的加減運(yùn)算法則 同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。即：。（注：“把分子相加減”是把各個(gè)分式的“分子的整體相加減”，即各個(gè)分子都應(yīng)該有括號(hào)，當(dāng)分子是單項(xiàng)式時(shí)，括號(hào)可以省略；當(dāng)分子時(shí)多項(xiàng)式時(shí)，括號(hào)不能省略。）異分母分式的加減運(yùn)算法則 先通分，再加減 ；即： 。（注：1.若加減運(yùn)算中含有整式，應(yīng)視為分母為1，進(jìn)行通分。 2.分式相加減所得的結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式。）【例1】計(jì)

9、算：（1） (2) + 分析：這兩題就是分式加減法的運(yùn)用。（1）是同分母分式的加減法，直接用法則就可以了。（2）是異分母分式的加減法，過(guò)程是先通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，化為同分母分式，然后再加減。師生共同來(lái)解兩個(gè)題。教師寫(xiě)出解題過(guò)程。解：（1）原式= = =（2）原式+= =。16.2.2 分式的乘除分式的乘法法則 分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積做積的分母；用式子表示為： 。分式的除法法則分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，用式子表示為 。 （注：在運(yùn)算時(shí)要注意分式的除法是乘法的逆運(yùn)算，進(jìn)行除法就是轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行。對(duì)于運(yùn)算的結(jié)果要進(jìn)行化簡(jiǎn)，一定要約分。

10、）分式的乘法：分式的乘法法則分式乘方要把分子、分母分別乘方，即：=【例】先化簡(jiǎn)后求值（1），其中滿足.（2）已知，求的值.（3）已知：，試求、的值.整數(shù)指數(shù)冪與科學(xué)記數(shù)法題型一：運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算【例1】計(jì)算：（1）（2） （3）（4）題型二：化簡(jiǎn)求值題【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.題型三：科學(xué)記數(shù)法的計(jì)算【例3】計(jì)算：（1）；（2）.16.3 分式方程 （1）分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程，叫做分式方程。 （2） 解分式方程的基本思想把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再運(yùn)用整式方程的解法求解，而化為整式方程的過(guò)程是利用分式的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)通過(guò)去分母來(lái)完成的。（2）解分式

11、方程的一般方法和步驟在分式的兩邊同時(shí)乘以公分母，把原方程化為整式方程，即去分母。解這個(gè)整式方程驗(yàn)根，把整式方程的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，使得最簡(jiǎn)公分母不等于零的根是原方程的根。使最簡(jiǎn)公分母為零的根為原方程的增根，必須舍去。（4）增根產(chǎn)生的原因再解分式方程的時(shí)候，我們?cè)诜匠痰膬蛇呁瑫r(shí)乘以含有未知數(shù)的代數(shù)式，從而將其化為整式方程，在此過(guò)程中，分母不為0的限制被無(wú)形的取消了，這樣就使未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了，這樣也就產(chǎn)生了增根，因此我們?cè)诮夥质椒匠痰臅r(shí)候一定要驗(yàn)根。（5） 列分式方程解應(yīng)用題的步驟：審題，了解已知量和所求量各是什么；設(shè)出未知量；找出相等關(guān)系，列車分式方程；解這個(gè)分式方程；檢驗(yàn)，看所求解是

12、否滿足題意；寫(xiě)出答案；（一）分式方程題型分析題型一：用常規(guī)方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）； （2）；（3）； （4）易出錯(cuò)的幾個(gè)問(wèn)題：分子不添括號(hào)；漏乘整數(shù)項(xiàng)；約去相同因式至使漏根；忘記驗(yàn)根.題型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）； （2）提示：（1）換元法，設(shè)； （2）裂項(xiàng)法，.【例3】解下列方程組題型三：求待定字母的值【例4】若關(guān)于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正數(shù)，求的取值范圍.提示：且，且.題型四：解含有字母系數(shù)的方程 【例6】解關(guān)于的方程提示：（1）是已知數(shù)；（2）.題型五：列分式方程解應(yīng)用題1解下列方程：（1）；（2）（二）分式方程的特殊

13、解法解分式方程，主要是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，通常的方法是去分母，并且要檢驗(yàn)，但對(duì)一些特殊的分式方程，可根據(jù)其特征，采取靈活的方法求解，現(xiàn)舉例如下：一、交叉相乘法【例1】解方程：二、化歸法【例2】解方程：三、左邊通分法【例3】：解方程：四、分子對(duì)等法【例4】解方程：五、觀察比較法【例5】解方程：六、分離常數(shù)法【例6】解方程：七、分組通分法【例7】解方程：（三）分式方程求待定字母值的方法【例1】若分式方程無(wú)解，求的值?！纠?】若關(guān)于的方程不會(huì)產(chǎn)生增根，求的值。【例3】若關(guān)于分式方程有增根，求的值。 【例4】若關(guān)于的方程有增分式方程的應(yīng)用:【例】(2006年長(zhǎng)春市)A城市每立方米水的水費(fèi)是B城市

14、的1.25倍，同樣交水費(fèi)20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B兩城市每立方米水的水費(fèi)各是多少元？分析：本題只要抓住兩城市的水相差2立方米的等量關(guān)系列方程即可解：設(shè)B城市每立方米水的水費(fèi)為x元，則A城市為1.25x元解得x = 2經(jīng)檢驗(yàn)x = 2是原方程的解。 1.25x = 2.5（元）答：B城市每立方米水費(fèi)2元，A城市每立方米2.5元。 點(diǎn)評(píng)：收繳水、電費(fèi)的問(wèn)題是貼近生活的熱點(diǎn)問(wèn)題，是老百姓最關(guān)心的問(wèn)題之一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性的理念【例】（2006年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程擬在30天內(nèi)（含30天）完成現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，從這兩個(gè)工程隊(duì)資質(zhì)材料可知：若兩隊(duì)

15、合做24天恰好完成；若兩隊(duì)合做18天后，甲工程隊(duì)再單獨(dú)做10天，也恰好完成請(qǐng)問(wèn)：（1）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程各需多少天？（2）已知甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為06萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為035萬(wàn)元，要使該工程的施工費(fèi)用最低，甲、乙兩隊(duì)各做多少天（同時(shí)施工即為合做）？最低施工費(fèi)用解：（1）設(shè)：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程各需x天、y天，由題意得方程組：， 解之得：x=40，y=60 （2）已知甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為06萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為035萬(wàn)元，根據(jù)題意，要使工程在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成且施工費(fèi)用最低，只要使乙工程隊(duì)施工30天，其余工程由甲工程隊(duì)完成 由（1）知，乙工程隊(duì)30

16、天完成工程的，甲工程隊(duì)需施工÷=20（天）最低施工費(fèi)用為06×20035×30=225（萬(wàn)元）答：（1）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程各需40天和60天；（2）要使該工程的施工費(fèi)最低，甲、乙兩隊(duì)各做20天和30天，最低施工費(fèi)用是225萬(wàn)元 評(píng)析：這道考題把對(duì)二元一次方程組知識(shí)的考察放到貼近生活的熱點(diǎn)話題的背景下，易激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維第17章 反比例函數(shù)17.1反比例函數(shù)17.1.1反比例函數(shù)的意義在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y ，并且對(duì)于x的每個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。形如y=kx+b(k、b是常數(shù)， k

17、0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。形如y=kx(k是常數(shù)，k0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)（1）定義：形如y（k為常數(shù)，且）的函數(shù)統(tǒng)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。也稱x與y成反比例關(guān)系.反比例函數(shù)的表達(dá)形式還有，xyk（k0）。（2） 反比例函數(shù)的特征：自變量x位于分母上，且其次數(shù)是1次；常量k0；自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)；函數(shù)值y的取值范圍是非零實(shí)數(shù)；練一練：下列等式中，哪些是反比例函數(shù)（1） （2） （3）xy21 （4） （5） （6） （7）yx4分析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，關(guān)鍵看上面各式能否改寫(xiě)成（k為常數(shù)，k0）

18、的形式，這里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只單獨(dú)含x，（6）改寫(xiě)后是，分子不是常數(shù)，只有（2）、（3）、（5）能寫(xiě)成定義的形式【例1】：（1）已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x2時(shí)，y8，寫(xiě)出y與x的關(guān)系式，并求當(dāng)y4時(shí)，x的值；（2）已知點(diǎn)（1，-2）在反比例函數(shù) 的圖象上，則k=_。思考：當(dāng)m取什么值時(shí)，函數(shù)是反比例函數(shù)？分析：反比例函數(shù)（k0）的另一種表達(dá)式是（k0），后一種寫(xiě)法中x的次數(shù)是1，因此m的取值必須滿足兩個(gè)條件，即m20且3m21，特別注意不要遺漏k0這一條件，也要防止出現(xiàn)3m21的錯(cuò)誤。解得m2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 和一次函數(shù)一樣，反比例函數(shù)有表達(dá)式法，列表法，圖象法三

19、種1. 反比例函數(shù)的圖像圖像的畫(huà)法：描點(diǎn)法 列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反的數(shù)） 描點(diǎn)（有小到大的順序） 連線（從左到右光滑的曲線）反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斷開(kāi)的兩個(gè)分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的圖像即是中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱中心是原點(diǎn)），也是軸對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是或）。反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)的幾何意義是：過(guò)雙曲線 （）上任意引軸軸的垂線，所得矩形面積為反 比 例 函 數(shù) 的 圖 象 和 性 質(zhì)函數(shù)圖象性質(zhì)反比例函數(shù)y（）k>0雙曲線，位于第一，三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增

20、大而減小，與x軸，y軸無(wú)交點(diǎn)k<0雙曲線，位于第二，四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，與x軸，y軸無(wú)交點(diǎn)例題2：（思考）當(dāng)兩個(gè)反比例函數(shù)的k的符號(hào)相同時(shí)，k對(duì)函數(shù)圖象的影響練一練：在右面的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)，和的圖象，比較這三個(gè)函數(shù)圖象的特點(diǎn)。例題3：如圖是三個(gè)反比例函數(shù)，在x軸上方的圖像，由此觀察得到kl、k2、k3的大小關(guān)系為（ ） A.k1>k2>k3 B. k3>k2>k1 C. k2>k3>k1 D. k3>k1>k2反比例函數(shù)圖象解析式的確立我們知道反比例函數(shù)的解析式是y=，在這個(gè)式子中，只有一個(gè)待定系數(shù)k，確定了

21、k的值，也就確定了反比例函數(shù)的，所以我們只要有一組x、y的對(duì)應(yīng)的值或圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入y=中求出k的值?！纠浚阂阎幢壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-2），則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是_，當(dāng)x<0時(shí)，y隨著自變量x的值的增大而_。17.2反比例函數(shù)的應(yīng)用在實(shí)際生活中，我們通常會(huì)應(yīng)用反比例函數(shù)的的知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題?！纠咳绻淮魏瘮?shù)相交于點(diǎn)（），那么該直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為（ ）【解析】第18章 勾股定理18.1勾股定律（1） 勾股定理的內(nèi)容如果直角三角形的兩直角邊分別是a ，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么：（2） 勾股定理的作用已知直角三角形的兩邊，求第三邊；已知直角三角形的一邊，求另兩

22、邊的關(guān)系；用于證明平方關(guān)系的問(wèn)題；利用勾股定理，做出的線段。【例1】考點(diǎn)一、已知兩邊求第三邊1 在直角三角形中,若兩直角邊的長(zhǎng)分別為1cm，2cm ，則斜邊長(zhǎng)為_(kāi)2 已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3、2，則另一條邊長(zhǎng)是_3 在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)4已知，如圖在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是邊BC上的高求 AD的長(zhǎng)；ABC的面積【例2】考點(diǎn)二、利用列方程求線段的長(zhǎng)ADEBC5如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？

23、6如圖，某學(xué)校（A點(diǎn)）與公路（直線L）的距離為300米，又與公路車站（D點(diǎn)）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個(gè)小商店（C點(diǎn)），使之與該校A及車站D的距離相等，求商店與車站之間的距離【例3】考點(diǎn)三、判別一個(gè)三角形是否是直角三角形7、 分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能夠成直角三角形的有-8、若三角形的三別是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),則這個(gè)三角形是-18.2勾股定理的逆定理(1) 勾股定理的逆定理的內(nèi)容 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（

24、注：當(dāng)c2a2+b2 時(shí)，有兩種情況： 1.當(dāng)c2>a2+b2 三角形鈍角三角形 2.當(dāng)c2<a2+b2三角形銳角三角形 ）【例1】：判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形?分析：根據(jù)勾股定理的逆定理, 判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形, 只要看兩條較短邊長(zhǎng)的平方和是否等于最長(zhǎng)邊長(zhǎng)的平方. a=7，b=25，c=24; 解：最大邊為25 a2+c2=72+242=49+576 =625 b2=252 =625 a2+c2= b 2 以7，25，24為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形. 18.3勾股定理的應(yīng)用將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“應(yīng)用勾股定理及其逆定理解直角三角形的數(shù)學(xué)題”. 【例2】

25、如圖14.2.1，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程分析：螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬行大家用一張白紙卷折圓柱成圓柱形狀，標(biāo)出A、B、C、D各點(diǎn)，然后打開(kāi)，螞蟻在圓柱上爬行的距離，與在平面紙上的距離一樣AC之間的最短距離是什么？根據(jù)是什么？ 根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面展開(kāi)圖矩形ASBCD對(duì)角線AC之長(zhǎng)我們可以利用勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)。解 如圖，在Rt中，底面周長(zhǎng)的一半cm，根據(jù)勾股定理得 AC（cm）（勾股定理）答： 最短路程約為cm【例3】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米

26、，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠門形狀如圖14.2.3的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門?分析：由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過(guò)，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH如圖.所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD， 與地面交于H 解 ：OC1米(大門寬度一半)， OD0.8米（卡車寬度一半） 在RtOCD中，由勾股定理得 .米， C.（米）.（米） 因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過(guò)廠門 第十九章 四邊形19.1平行四邊形1.平行四邊形的定義： 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2) 表示：平行四邊形用符號(hào)“”來(lái)表示【例1】如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，ADBC，那么

27、四邊形ABCD是平行四邊形平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”AB/DC ,AD/BC ， 四邊形 平行四邊形（判定）； 四邊形ABCD是平行四邊形AB/DC， AD/BC（性質(zhì)）注意：平行四邊形中對(duì)邊是指無(wú)公共點(diǎn)的邊，對(duì)角是指不相鄰的角，鄰邊是指有公共端點(diǎn)的邊，鄰角是指有一條公共邊的兩個(gè)角而三角形對(duì)邊是指一個(gè)角的對(duì)邊，對(duì)角是指一條邊的對(duì)角平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)（一） 平行四邊形性質(zhì)1：平行四邊形的對(duì)邊相等平行四邊形性質(zhì)2 ： 平行四邊形的對(duì)角相等【平行四邊形的性質(zhì)的驗(yàn)證】這是利用全等三角形的性質(zhì)得到的。A 四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC,ABDC1

28、=3, 2=4,又AC=CA, ABCCDAAB=CD,AD=BCB ABCCDA，B=D,1=3, 2=4, 1+2=3+4,即：BAD=BCD（注意：作對(duì)角線是解決四邊形問(wèn)題常用的輔助線，通過(guò)作對(duì)角線，可以把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的關(guān)于三角形的問(wèn)題） 【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF，求證：AF=CE分析：要證AF=CE，需證ADFCBE，由于四邊形ABCD是平 行四邊形，因此有D=B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根據(jù)等式性質(zhì)，可得BE=DF由“邊角邊”可得出所需要的結(jié)論平行四邊形的性質(zhì)（二） （1）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心； （2）平行

29、四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形性質(zhì)的應(yīng)用例題講解：【例2】 已知：如圖421， ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F求證：OEOF，AE=CF，BE=DF證明：在 ABCD中，ABCD，1234又 OAOC(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)， AOECOF（ASA）OEOF，AE=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ABCD， AB=CD（平行四邊形對(duì)邊相等） ABAE=CDCF 即 BE=FD【例3】 一個(gè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角是它鄰角的3倍，那么這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角各是多少度？分析  根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)可以求出四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)解

30、60; 設(shè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為x，則它的鄰角的度數(shù)為3x，根據(jù)題意，得，解得， 這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為45°，135°，45°，135°【例4】  已知：如圖，的周長(zhǎng)為60cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多8cm，求這個(gè)平行四邊形各邊的長(zhǎng)分析  由平行四邊形對(duì)邊相等，可知平行四邊形周長(zhǎng)的一半30cm，又由的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多8cm，可知cm，由此兩式，可求得各邊的長(zhǎng)解  四邊形為平行四邊形， ， ， 答：這個(gè)平行四邊形各邊長(zhǎng)分別為19cm，11cm，19cm，11cm說(shuō)明：得出兩個(gè)結(jié)論：（1

31、）平行四邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半（2）平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差【例 5】 已知：如圖，在中，交于點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，說(shuō)明理由分析  觀察圖形，從而可說(shuō)明 證明 ： 在中， 交于O， ， ， ， 【例6】 已知：如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊BC上，且，垂足為F。求證： 分析  觀察圖形，與都是直角三角形，且銳角，斜邊，因此這兩個(gè)直角三角形全等。在這個(gè)圖形中，若連結(jié)AE，則與全等，因此可以確定圖中許多有用的相等關(guān)系 證明  四邊形ABCD是矩形， ， ，

32、又， 。 【例7】O是ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，的周長(zhǎng)為59，則_，若與的周長(zhǎng)之差為15，則_，ABCD的周長(zhǎng)=_.  解答：ABCD中，.  的周長(zhǎng) .  在ABCD中，.  的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) ABCD的周長(zhǎng) 說(shuō)明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將與的周長(zhǎng)的差轉(zhuǎn)化為兩條線段的差.  【例8】  已知：如圖，ABCD的周長(zhǎng)是，由鈍角頂點(diǎn)D向AB，BC引兩條高DE，DF，且，.  求這個(gè)平行四邊形的面積.  解：設(shè).  四邊形ABCD為平行四邊形， .  又四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36， ， 

33、0;    解由，組成的方程組，得.  .  說(shuō)明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)及面積公式，解題關(guān)鍵是把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組的問(wèn)題.  平行四邊形的判定平行四邊形判定方法1 ： 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 平行四邊形判定方法2 ： 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行四邊形判定方法3 ： 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形平行四邊形判定方法4 ：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（推論：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形）【例1】如圖，已知：OA=OC,OB=OD,則四邊形ABCD是不是平

34、行四邊形？為什么？解：OA=OC,OB=OD,（已知） AOD=BOC（對(duì)頂角相等） ,AODBOC（邊角邊）OAD=OCB,（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）ADBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.同理：ABDC四邊形ABCD是平行四邊形.（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）.【例2】已知四邊形ABCD中，AD=BC,ADBC,那么四邊形ABCD為什么是平行四邊形？ 證明：ADBC（已知）1=2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）AC=CA(公共邊)ADCCBA(邊角邊)3=4（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）ABCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）四邊形ABCD是平行四邊形（有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）【例3】已

35、知：如圖AD=BC,AB=DC那么四邊形ABCD為什么是平行四邊形？解：AD=BC,AB=DC(已知)，AC=CA(公共邊) ABCCDA(邊邊邊)1=2（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）ADBC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)四邊形ABCD是平行四邊形（有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）【例4】 已知：如圖，ABBA，BCCB， CAAC求證：(1) ABCB，CABA，BCAC； (2) ABC的頂點(diǎn)分別是BCA各邊的中點(diǎn)證明：(1) ABBA，CBBC， 四邊形ABCB是平行四邊形ABCB(平行四邊形的對(duì)角相等)同理CABA，BCAC(2) 由(1)證得四邊形ABCB是平行四邊形同理，四邊形ABA

36、C是平行四邊形 ABBC， ABAC(平行四邊形的對(duì)邊相等) BCAC同理 BACA， ABCBABC的頂點(diǎn)A、B、C分別是BCA的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)【例5】已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，求證：BE=DF 分析：證明BE=DF，可以證明兩個(gè)三角形全等，也可以證明四邊形BEDF是平行四邊形，比較方法，可以看出第二種方法簡(jiǎn)單 證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， ADCB，AD=CD E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)， DEBF，且DE=AD，BF=BC DE=BF 四邊形BEDF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形） BE=DF此題綜合運(yùn)用了平行四邊形的性

37、質(zhì)和判定，先運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)得到判定另一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件，再應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論；題目雖不復(fù)雜，但層次有三，且利用知識(shí)較多，因此會(huì)使你獲得清晰的證明思路【例6】已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AC上兩點(diǎn)，且BEAC于E，DFAC于F求證：四邊形BEDF是平行四邊形分析：因?yàn)锽EAC于E，DFAC于F，所以BEDF需再證明BE=DF，這需要證明ABE與CDF全等，由角角邊即可 證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， AB=CD，且ABCD BAE=DCF BEAC于E，DFAC于F， BEDF，且BEA=DFC=90° ABECDF （AAS） BE=DF 四邊

38、形BEDF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形）三角形的中位線一、 三角形的中位線的概念： 連結(jié)三角形兩條邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線【例1】如上圖，連結(jié)ABC的兩條邊AB、AC的中點(diǎn)的連線段EF叫三角形的中位線.二、三角形的中位線的性質(zhì)： 三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半【例2】已知：如圖，E、F分別是ABC的邊AB、AC的中點(diǎn). 求證：EFBC，EF=BC.方法1 把ABC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180º.則點(diǎn)A的像是點(diǎn)B，點(diǎn)B的像是點(diǎn)A，點(diǎn)C的像是點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)F的像是點(diǎn)H,H、F必經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,連結(jié),AD、BD、EF、CD，則EF=EH=HFCE=DE, AE=EB, 四

39、邊形ADBC是平行四邊形.（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）ACDB, AC=DB (平行四邊形的對(duì)邊分別平行且相等)HB=DB,FC=ACHB=FC 四邊形HBCF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.HF=BC，（平行四邊形的對(duì)邊相等）EF=BC方法2過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交EF的延長(zhǎng)線于DCDAB，(所作)A=ACD（兩線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又AF=FC，AFE=CFD AFECFD (ASA) AE=CD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)又AE=EB(已知)，BE=CD(等量代換)四邊形BCFD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）方法3 ：如圖，延長(zhǎng)EF到D

40、使FD=EF,連接AD、EC、CD.AF=FC ,EF=FD, 四邊形AECD是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)AE=CD=BE，ABCD四邊形EBCD是平行四邊形，（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）ED=BC(平行四邊形的對(duì)邊相等) EF=ED=BC. 形成結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.即：EF是ABC的中位線，EF=BC.【例3】順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)E，F(xiàn),H,M，得到四邊形EFHM是平行四邊形嗎？為什么？解：連結(jié)AC，MH是DAC的中位線， MHAC，MH=AC（三角形的中位線性質(zhì)） 同理：EFAC，EF=AC四邊形EFHM是平行四

41、邊形(有一組對(duì)邊平行是四邊形是平行四邊 形)19.2特殊的平行四邊形19.2.1矩形一、矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長(zhǎng)方形)二、矩形的性質(zhì)：1. 矩形的四個(gè)角都是直角 2.矩形的對(duì)角線相等3. 矩形是軸對(duì)稱圖形，過(guò)每一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線都是矩形的對(duì)稱軸4. 矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心（推廣：有性質(zhì)2有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）【例1】已知：如圖 ，矩形 ABCD，AB長(zhǎng)8 cm ，對(duì)角線比AD邊長(zhǎng)4 cm求AD的長(zhǎng)及點(diǎn)A到BD的距離AE的長(zhǎng)分析：（1）因?yàn)榫匦嗡膫€(gè)角都是直角，因此矩形中的計(jì)算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思

42、想，解決直角三角形中的計(jì)算，這是幾何計(jì)算題中常用的方法略解：設(shè)AD=xcm，則對(duì)角線長(zhǎng)（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 則 AD=6cm（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個(gè)基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個(gè)基本關(guān)系式： AE×DB AD×AB，解得 AE 4.8cm【例2】 已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DFAE于F，若AE=BC 求證：CEEF分析：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AFBE，則問(wèn)題解決，而證明AFBE，只要證明ABEDFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形 證明： 四邊形A

43、BCD是矩形， B=90°，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90° B=AFD又 AD=AE， ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC此題還可以連接DE，證明DEFDEC，得到EFEC三、矩形的判定方法：1.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 2.對(duì)角線相等的四邊形是矩形【例3】已知 ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AOB是等邊三角形，AB=4 cm，求這個(gè)平行四邊形的面積分析：首先根據(jù)AOB是等邊三角形及平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理計(jì)算邊長(zhǎng)，從而得到面積值解： 四邊形ABCD是平行四邊形， AO=AC，BO=BD AO

44、=BO， AC=BD ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）在RtABC中， AB=4cm，AC=2AO=8cm， BC=（cm） 【例4】已知：如圖（1），ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H求證：四邊形EFGH是矩形分析：要證四邊形EFGH是矩形，由于此題目可分解出基本圖形，如圖（2），因此，可選用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)證明證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， ADBCDABABC=180°又 AE平分DAB，BG平分ABC ，EABABG=×180°=90°AFB=90°同理可證 AED=BGC=CHD=

45、90° 四邊形EFGH是平行四邊形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）19.2.2 菱形1、 菱形的概念： 有一組鄰邊相等的平行四邊形，叫做菱形（【強(qiáng)調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等）2、 菱形的性質(zhì)：1）菱形具有平行四邊形所具有的一切性質(zhì).2）菱形的四條邊都相等.3）菱形的對(duì)角線互相垂直并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角. （對(duì)角線把它分成四個(gè)直角三角形）4）既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形5）菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.（如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半）三、菱形的判定：1.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形2.四邊都相等的四邊形是菱形3

46、.每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形【例1】已知：如圖ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F求證：四邊形AFCE是菱形證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四邊形AFCE是平行四邊形又 EFAC， AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)【例2】已知：如圖，四邊形ABCD，AB=BC=CD=DA 求證：四邊形ABCD是菱形 證明：AB=CD，BC=AD四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）又AB=BC四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

47、【例3】已知：四邊形ABCD，AC平分DAB和DCB，BD平分ABC和ADC求證：四邊形ABCD是菱形證明： AC平分DAB和DCBDAC=BACDCA=BCA又AC=ACADCABC（ASA）AD=AB，CD=CB同理，BD平分ABC和ADCAD=CD，AB=CBAB=CD，BC=AD四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）又AB=BC四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形） 正方形一、正方形定義： 有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形2、 正方形的判定 1）定義：有一個(gè)角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形. 2）矩形+有一

48、組鄰邊相等 3）菱形+有一個(gè)角是直角 4）既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 注意：其他還有一些判定正方形的方法，但都不能作為定理使用. 三、正方形的性質(zhì)：所以，正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)【例1】已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DGAE于G，DG交OA于F求證：OE=OF 分析：要證明OE=OF，只需證明AEODFO，由于正方形的對(duì)角線垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根據(jù)ASA可以得到這兩個(gè)三角形全等，故結(jié)論可得 證明： 四邊形ABCD是正方形， AOE=DOF=90°，AO=DO（正方形的對(duì)角線垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90° EAO=FDO AEO DFO OE=OF【例2】已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過(guò)點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點(diǎn)求證：四邊形PQMN是正方形分析：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證ABMDAN，證出AM=DN，用同樣的方法證AN=DP即可證出MN=NP從而得出結(jié)論證明： PNl1，QMl1， PNQM，PNM=90° PQNM， 四邊