小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（五）

1、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（五）課程教材研究所 王永春五、方程和函數(shù)思想1方程和函數(shù)思想的概念。方程和函數(shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，它們都可以用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，本文將二者放在一起進(jìn)行討論。(1)方程思想。含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個(gè)式子是不是方程，只需要同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一個(gè)是含有未知數(shù)，另一個(gè)是必須是等式。如有些小學(xué)老師經(jīng)常有疑問(wèn)的判斷題：=0 和=1是不是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿(mǎn)足方程的條件，都是方程。方程按照未知數(shù)的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等

2、，這些都是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問(wèn)題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號(hào)（常用、y等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對(duì)立統(tǒng)一。(2)函數(shù)思想。設(shè)集合、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)y是的函數(shù)，記作y()。其中叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；y叫做函數(shù)或因變量，與相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的，自變量只有一個(gè)，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

3、一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類(lèi)函數(shù)。實(shí)際上現(xiàn)實(shí)生活中還有很多情況是一個(gè)變量會(huì)隨著幾個(gè)變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學(xué)里不學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但實(shí)際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：r²h。半徑和高有一對(duì)取值，體積就會(huì)相應(yīng)地有一個(gè)取值；也就是說(shuō)，體積隨著半徑和高的變化而變化。函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過(guò)對(duì)這種變化的探究找出變量之間的對(duì)應(yīng)法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變

4、化的、普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。2. 方程和函數(shù)的關(guān)系。(1)方程和函數(shù)的區(qū)別。從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過(guò)程。算術(shù)研究具體的確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們有本質(zhì)的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如246。而函數(shù)至少要有兩個(gè)變量，兩個(gè)變量依據(jù)一定的法則相對(duì)應(yīng)，呈現(xiàn)的形式可以有解析式、圖象法和列表法等，

5、如集合為大于等于1 、小于等于10的整數(shù)，集合為小于等于20的正偶數(shù)。那么兩個(gè)集合的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用y2表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。12345678910y2468101214161820人們運(yùn)用方程思想，一般關(guān)注的是通過(guò)設(shè)未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題。人們運(yùn)用函數(shù)思想，一般更加關(guān)注變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質(zhì)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題。方程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)中的變量則是動(dòng)態(tài)的。方程已經(jīng)有3000多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過(guò)才300年。(2)方程和函數(shù)的聯(lián)系。方程和函數(shù)雖然

6、有本質(zhì)的區(qū)別，但是它們同屬代數(shù)領(lǐng)域，也有密切的聯(lián)系。如二元一次不定方程abyc0和一次函數(shù)ykb，如果方程的解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)的定義域和值域都是實(shí)數(shù)。那么方程abyc0經(jīng)過(guò)變換可轉(zhuǎn)化為y ,它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系里畫(huà)出來(lái)的圖象都是一條直線。因此，可以說(shuō)一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)。如果使一次函數(shù)ykb中的函數(shù)值等于0，那么一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為kb0，這就是一元一次方程。因此，可以說(shuō)求這個(gè)一元一次方程的解，實(shí)際上就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說(shuō)求一次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。一般地，就初等數(shù)學(xué)而言，如果令函數(shù)值為0，那么這個(gè)函數(shù)就可轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知數(shù)的方程；求方程的解，就是求使函數(shù)值為0的

7、自變量的值，或者說(shuō)求函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。3. 方程和函數(shù)思想的重要意義。16世紀(jì)以前，人們主要是應(yīng)用算術(shù)和方程方法解決現(xiàn)實(shí)生活中的各種實(shí)際問(wèn)題，方程與算術(shù)相比，由于未知數(shù)參與了等量關(guān)系式的構(gòu)建，更加便于人們理解問(wèn)題、分析數(shù)量關(guān)系并構(gòu)建模型，因而方程在解決以常量為主的實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮了重要作用。到了17世紀(jì)，隨著社會(huì)的發(fā)展，傳統(tǒng)的研究常量的算術(shù)和方程已經(jīng)不能解決以探究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系為主的經(jīng)濟(jì)、科技、軍事等領(lǐng)域的重要問(wèn)題，這時(shí)函數(shù)便產(chǎn)生了。函數(shù)為研究運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)量之間的依存、對(duì)應(yīng)關(guān)系和構(gòu)建模型帶來(lái)了方便，從而能夠解決比較復(fù)雜的問(wèn)題。概括地說(shuō)，方程和函數(shù)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)的

8、重要內(nèi)容之一。方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系模型方面，發(fā)揮著重要的不可替代的作用。4. 方程和函數(shù)思想的具體應(yīng)用。小學(xué)數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)方程之前的問(wèn)題，都通過(guò)算術(shù)方法解決。在引入方程之后，小學(xué)數(shù)學(xué)中比較復(fù)雜的有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，都可以通過(guò)方程解決，方程思想是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，其中一元一次方程是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容。在小學(xué)數(shù)學(xué)里沒(méi)有學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，但是有函數(shù)思想的滲透，與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)最接近的正比例關(guān)系和反比例關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容。另外，在小學(xué)數(shù)學(xué)的一些知識(shí)中也會(huì)滲透函數(shù)思想，如數(shù)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)體現(xiàn)了函數(shù)思想。方程和函數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)銜接的紐帶。小學(xué)數(shù)學(xué)中方程和函數(shù)思想的應(yīng)用

9、如下表。思想方法知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例方程思想方程用一元一次方程解決整數(shù)和小數(shù)等各種問(wèn)題分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比例用一元一次方程解決分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比例等各種問(wèn)題等量代換二(三)元一次方程組思想的滲透雞兔同籠用方程解決雞兔同籠問(wèn)題函數(shù)思想加法一個(gè)加數(shù)不變，和隨著另一個(gè)加數(shù)的變化而變化，可表示為yb的形式，滲透一次函數(shù)的思想積的變化規(guī)律一個(gè)因數(shù)不變，積隨著另一個(gè)因數(shù)的變化而變化，可表示為yk，滲透正比例函數(shù)思想商的變化規(guī)律除數(shù)不變，商隨著被除數(shù)的變化而變化，可表示為y=，滲透正比例函數(shù)思想；被除數(shù)不變，商隨著除數(shù)的變化而變化，可表示為y，滲透反比例函數(shù)思想正比例關(guān)系正比例關(guān)系改寫(xiě)成yk，就是正比例函數(shù)反比例關(guān)系反

10、比例關(guān)系改寫(xiě)成y，就是反比例函數(shù)數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列、一般數(shù)列的每一項(xiàng)與序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，都可以看作是特殊的函數(shù)關(guān)系?？臻g與圖形長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐的體積公式，圓的周長(zhǎng)和面積公式等都滲透了函數(shù)的思想統(tǒng)計(jì)圖表函數(shù)的列表法與統(tǒng)計(jì)表有相似之處4方程和函數(shù)思想的教學(xué)。方程和函數(shù)都是義務(wù)教育階段重要的數(shù)學(xué)思想方法，用方程和函數(shù)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，不僅能體現(xiàn)方程和函數(shù)思想的應(yīng)用價(jià)值，也有助于學(xué)生形成模型思想。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，方程和函數(shù)思想的教學(xué)應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn)。(1)方程中的字母、y等代表具體的未知的常數(shù)，即未知數(shù)，這是代數(shù)思想和方程思想

11、的基礎(chǔ)。(2)正比例關(guān)系和反比例關(guān)系等函數(shù)關(guān)系式中的字母、y等代表的是變化的量，即變量，而且這兩個(gè)量是相關(guān)聯(lián)的量，一個(gè)量變化，另一個(gè)量會(huì)隨之變化，這是函數(shù)思想的基礎(chǔ)。要讓學(xué)生體會(huì)他們的區(qū)別。(3)結(jié)合具體情境，通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系來(lái)理解等量關(guān)系，并用方程表示等量關(guān)系，再通過(guò)解方程解決問(wèn)題，從而認(rèn)識(shí)方程的作用。(4)結(jié)合簡(jiǎn)單情境，認(rèn)識(shí)成正比例的量或反比例的量，通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律建立比例關(guān)系式，再通過(guò)解比例解決問(wèn)題。(5) 能根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫(huà)圖，并根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值。下面再結(jié)合案例談?wù)劮匠毯秃瘮?shù)思想的教學(xué)。案例1：媽媽買(mǎi)了3千克香蕉和2千克蘋(píng)果，一共花了

12、16元。蘋(píng)果的價(jià)格是香蕉的2倍多1元，蘋(píng)果和香蕉的單價(jià)各是多少？分析：題目涉及的是商品的數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價(jià)×數(shù)量總價(jià)”進(jìn)行分析，題中出現(xiàn)了兩種商品，總價(jià)也是兩種商品的總價(jià)。所以等量關(guān)系應(yīng)為“香蕉的單價(jià)×香蕉的數(shù)量蘋(píng)果的單價(jià)×蘋(píng)果的數(shù)量總價(jià)”。再根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系找出題中已知的量，總價(jià)16元、香蕉的數(shù)量3千克和蘋(píng)果的數(shù)量2千克。未知的是香蕉和蘋(píng)果的單價(jià)，也就是題目中要求的量。設(shè)香蕉的單價(jià)是元千克，蘋(píng)果的單價(jià)是y元千克。根據(jù)題意，可列出如下方程。32y16，y21。根據(jù)等量代換的原理，兩個(gè)方程可合并成一個(gè)方程，32(21)16。這是在小學(xué)數(shù)學(xué)中遇

13、到含有有關(guān)系的兩個(gè)未知數(shù)的方程時(shí)能夠直接列出一個(gè)方程的依據(jù)。如和倍、差倍、雞兔同籠等問(wèn)題，用方程解決也是利用了這個(gè)原理。解方程，2, y5。案例2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克10元。請(qǐng)寫(xiě)出銷(xiāo)售桃的總價(jià)(總收入)y元與數(shù)量(千克數(shù)) 之間的關(guān)系式。如果某天的銷(xiāo)量是50千克，這天的總收入是多少？如果上個(gè)月的總收入是12000元，上個(gè)月的銷(xiāo)量是多少？分析：此題涉及的也是商品的單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的關(guān)系，仍然要根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價(jià)×數(shù)量總價(jià)”進(jìn)行分析。根據(jù)題意，已知的量是單價(jià)，未知的量是總價(jià)和數(shù)量，題目已經(jīng)告訴我們分別用y和表示。因?yàn)樘业膯蝺r(jià)一定，所以它的總價(jià)與數(shù)量成正比例，可列關(guān)系式：y1

14、0。某天的銷(xiāo)量是50千克，總收入是500元。上個(gè)月的總收入是12000元，銷(xiāo)量是1200千克。案例2和案例1相比較，都有兩個(gè)量分別用y和表示。案例1中的y和雖然是未知的量，但是它們實(shí)際上是具體的靜止的常量，都有一個(gè)固定的值，通過(guò)解方程可以得到它們的值。案例2的兩個(gè)量y和則是相關(guān)聯(lián)的變化的量，的取值可以是一定范圍內(nèi) (果園內(nèi)桃子總質(zhì)量的最大值以?xún)?nèi)) 的任何一個(gè)數(shù)，y隨的變化而變化。只有y和中的一個(gè)量取一個(gè)具體的值時(shí)，另一個(gè)量才會(huì)相應(yīng)地取一個(gè)具體的值。如案例2中的具體問(wèn)題的解答。案例3：有一批捐贈(zèng)的圖書(shū)分給一個(gè)班的學(xué)生，如果每人分3本，則還缺15本；如果每人分2本，則剩余25本。這個(gè)班有多少學(xué)生？分析：根據(jù)題意，這批書(shū)的數(shù)量和學(xué)生人數(shù)都是定值，那么表示書(shū)的數(shù)量的式子應(yīng)該相等。題目求的是學(xué)生的數(shù)量，可設(shè)為未知數(shù)，書(shū)的數(shù)量可由學(xué)生的數(shù)量表示。設(shè)這個(gè)班有名學(xué)生，那么書(shū)的數(shù)量可分別表示為315和225，因此，可列方程315225。解方程，40。案例4:無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.777和0.747474如何化成分?jǐn)?shù)？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分析：根據(jù)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)比較容易進(jìn)行。由于無(wú)限循環(huán)小數(shù)具有位數(shù)無(wú)限的特點(diǎn)，不能直接用有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行。根據(jù)循環(huán)小數(shù)