論一些數(shù)學問題的背景

1、甘肅聯(lián)合大學學生畢業(yè)論文題 目: 論一些數(shù)學問題的背景 作 者：雒建銘 指導教師：楊兆蘭 數(shù) 信 學院 數(shù)學系 數(shù)學教育專業(yè) 06 級 三年制 （1） 班2008年12月18日指導教師姓名職 稱 論文評語成 績指導教師總評意見： 評審人： 年 月 日注：1評語、成績須由指導教師填寫。2評語及總評意見應包括學術價值、實際意義、達到水平、學術觀點和論證有無錯誤。主要內容簡介:我們從常見的物理模型中去探究一些數(shù)學問題的背景，通過建立簡單物理模型，對模型進行分析，歸納出其所做的運動規(guī)律，然后進行數(shù)學的總結，建立運動方程，對方程進行討論。主要討論對象如下：第一：n元函數(shù)的背景問題。從牛頓第一定律入手，抽

2、化物理模型，建立運動方程，對方程變量進行數(shù)域上的擴展，從而得出n元函數(shù)。第二：積分。從變力做功的角度出發(fā)，對區(qū)間進行無限分割，然后對變力F在每個小區(qū)間上的功做累加，取極限。這樣做的目的是減少與真實值之間的誤差。第二：微分。從變速直線運動的瞬時速率著眼，研究每個時刻的速率。這里主要是對表達式討論，最后得出微分的知識。綜上所述：我們這樣做的目的，不僅是探究數(shù)學背景，而且是掌握數(shù)學與物理的一些簡單關系。這有助于我們更好的去學習和研究數(shù)學。論一些數(shù)學問題的背景【摘要】：從常見物理模型中去探究一些數(shù)學問題的背景,包括一元函數(shù)、二元函數(shù)、積分、微分?！娟P鍵詞】：一元函數(shù)；二元函數(shù) ；微分； 積分【引言】：

3、在這里必要介紹一下牛頓的生平。牛頓（Isaae Newwon ,16421727）1642年12月25日（新幣1643年1月4日）生于英格蘭林肯郡的沃爾斯普村。1665年到1667年，牛頓在故鄉(xiāng)躲避瘟疫的大約18年月內，做出了在萬有引力，微積分和光學的色散等方面的重大發(fā)現(xiàn)。1687年，牛頓發(fā)表了自然哲學的數(shù)學原理，這是他科學創(chuàng)造的頂峰。在這本巨著中，牛頓概括了他的前人伽利略，笛卡爾，開普勒，惠更斯，胡克等人的研究成果以及他自已的創(chuàng)造，首次創(chuàng)立了一個地面力學的和天體力學統(tǒng)一的嚴密體系，成為經典力學的基礎，實現(xiàn)了物理學史上的第一次大綜合。我們不妨設:牛頓=物理+數(shù)學一 n元函數(shù)的背景1、牛頓第一定

4、律：任何物體都要保持其靜止或勻速直線運動，直到其他物體所作用的力迫使它改變?yōu)橹?。這里只研究物體作勻速直線運動的狀態(tài)，模型如下。例：一輛小汽車在光滑水落石出平面上運動，且水汽車的擺度角零。注：擺度角是小車沿光滑水平面作直線運動，不會左右擺動。解：設小車速度為V，運動S距離時，花費時間為T。則有;變形即:v的大小不會隨s，t的變動而變化，v作為一個常量存在于式中，我們除去的物理模型，且令時，就可得,即純數(shù)學表達式。這樣就得到了一次函數(shù) 設s=f(x),t=x時,直線在f(x)確定的平面內為一直線，即f(x)=kx(k0,xR)對一次函數(shù)定行抽化：設D是R上的非空子集，稱映射f:DR為定義在D上的一

5、元函數(shù)。記作:y=f(x) 其中D為該函數(shù)的定義域x為自變量，y 稱因變量2、勻變速運動如下圖，從物體作自由落體運動出發(fā)，以一小時球從高度h，以初速度落下，繪定時間t后落到地面，則有運動方程：，由高度決定根據運動學中運動的疊加原理可知，勻速直線運動與自由落體運動疊加，有：回歸現(xiàn)實當中，根據實際需要，也有： 去掉物理背景，只剩下一個鈍數(shù)學表達式：即一元于次函數(shù)： 結論：根1、2可知，一元多次函數(shù)是許多直線運動的疊加3、關于“運動的量度”的爭論1718世紀，由于“力”的概念不是完清晰的，人們在不同的意義上使用這一概念描術了力的各種效應，從而引起了笛卡兒學派和萊布尼學派關于“運動”的一場礦日久的爭論

6、。 笛卡爾學派從運動量守恒的基本定律出發(fā)，認為應該把物體的質量和速度的基本定律出發(fā)，認為應該把物體的質量和速度的乘積作為“力”或物體的“運動量”的量度。1687年，牛頓在他的自然哲學的數(shù)學原理中明確提出了動量的定義，并且通過他所總結的第二定律揭示出在物體的相互作用中，正是動量這個物理量反映著運動變化的客觀效果。1686年，德國數(shù)學家、物理學家和哲學家布萊尼次在他的論文中，對笛卡爾學派的這個量度提出批判。他認為，動力不能用“物體”（質量）與速度的成績來衡量，而只能用它所產生的效果來衡量。例如它能將一重物舉起多么的高；因此，應該用來量度力。萊布尼茨從這個觀點出發(fā)論證說，把質量為m的物體舉高h的“力

7、”將同樣能吧質量的物體舉高nh；當著兩個物體降落下來是運動量必然相等。有計算可知，如果第一個物體落到地面時速度為v，第二個物體的速度為。按照笛卡爾的量，則有，表明了二物體落下時有相等的運動量。萊布尼茨由此得出結論：笛卡爾的運動的量度是同裸體定律相矛盾的。萊布尼茨也看到笛卡爾提出的量度在某些情況下是適用的，所以于1696年指出，mv是“死力”的量度度，即相對靜止的物體力的量度；而則是“活力的量度”，宇宙中真正守恒的東西是總是活力。兩種量度的爭論，持續(xù)了半個世際之久，不少著名的數(shù)學學家都參加于到爭論中去，1743年，法國力學家達朗貝爾在他的動力學論的序言中，指出兩種量度的同樣有效性。他譏為，“動動

8、物體的力”只能用物體克服障礙的能力來表示。在其阻抗足以使運動在一瞬間停止下來的障礙，即平衡的情況下，動量可以用來作為“運動物體力” 的量度；而在障礙逐漸使運動停睛的減速運動的情況下，活力可作為“運動物體的力”的量度。達朗貝爾對這個爭論所作的這個“最后判決”，模糊地談到了動量的變化和力的作用時間有關，活力的變化和力的作用距離有力，但是還沒有完全澄清這一爭論的混亂，恩格斯在1880或1881年所做的運動的量度 功一文中，根據當時自然學科的最新成就，揭示了兩種量度的本質區(qū)別。他指出，在不發(fā)生機械運動和其它形式的運動轉化的情況下，運動的傳遞和變化的情況可以用動量去量度；但當發(fā)生了機械運動和其它形式的運

9、動的轉化的情況下，則應用動能（活力）去量度。他說：“一句話，mv 是以機械運動來量度的機械運動，是以機械運動轉化為一定量的其它形式的運動的能力來是度的機械運動。上述兩面種學派的爭論，在物體發(fā)生完過程之后，效果上是等效的。即: 死力：活力：我們有:死力的效果=活力的效果mmt建立橡型：一質量為m 的小車在力F的作用下沿光滑水面運動，且在內速度由變到。 注：這種效果的相等我們可以理解或。抽化模型：，即在兩種變量的結果下，兩邊的值是等同的，沒有高底階之分。我們對該表達式進行數(shù)學上的外理，可以脫化為二元函數(shù)。脫化結果：設D是的非空子集，稱映射f:DR為定義在D上的二元函數(shù)，記作：其中點集稱為該函數(shù)的定

10、義域，x,y稱為自變量，Z稱為因變量。廷展結果：定義三元函數(shù)n=(x,y,z)，(x,y,z)D，如果對D進行擴展R，從；那么我們有：二 微分的背景1、變速直線運動的瞬時速度設某點沿直線運動，在直線上引入原點和單位點（即表示實數(shù)I上的點），使直線為實軸，此外，再取定一個作為測量時間的零點，設動點于時刻t在直線上的位置的坐標s（簡稱位置s）,這樣，運動完全由某個函數(shù)s=f（t）。所確定，這函數(shù)對運動過程中所出現(xiàn)的t值有定義，稱為位置函數(shù)，在最簡單的情形，該點所經過的路程與花費的時間在正比，就是說，無論取哪一段時間間隔，比值：（）總是相同，這個比值就稱動點的速度，并說該點作勻速運動，如果運動不是勻

11、速的，那么在運動的不同時間間隔內，比值（）會有不同的值，這樣，把比值（）籠統(tǒng)地稱為該點的運動速度就不合適了，而需要按不同時該來考慮，那么，這種非勻速運動的動點在某一時刻（設為）的速度如何理解又如何求解呢？首先取從時間到t這樣一個時間間隔，在這段時間內，動點從位置S=f()移動到S=f(t)，這時由（）式得的比值：（）可認為是動點在上述時間間隔內的平均速度，如果時間間隔取的較短，這個比值（）在實踐中也可以說明動點在時刻的速度，但對于動點在時間的速度的精確概念來說，這樣做是不夠的，而更確切地應這樣：令t?。?）式的極限，如果這個極限存在，設為v，即：這時就把這個極限v稱為動點在時刻的（瞬間）速度抽

12、化模型：從上面討論的問題看出，非勻速直線運動的速度可以歸結如下的極限：這里x和f(x)f()分別是函數(shù)y=f(x)的自變量的增量和函數(shù)的增量因為x相當于是，故極限式可寫成:在自然科學和工程領域內，還有許多的概念，例電流強度，角速度，線密度等，都可以歸結為上式極限形式的數(shù)學表達式，我們撇開這些量的物理背景，抓住它們在數(shù)量關系上的共性，得出導數(shù)結論。抽化結果：設函數(shù)y=f(x)在點的某個定義域有定義，當自變量x在處取得增量（點 仍在該鄰域內）時，相應地函數(shù)取增量；如果與之比當時極限存在，則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點處的導數(shù)，記為：即： 注：小車動快慢的

13、問題抽化成數(shù)學問題就是變化率，導數(shù)的引入是描述物體運動快慢的物理量，導數(shù)是站在局部者待問題，也就是S 0的時間刻描述物體運動狀態(tài)。三 積分的背景1、變力所作的功設質點受力的F沿X軸由點a移動到點b，并設F處平行于X軸，如果F為常力，則它對質點所做的功為W=F（b-a），現(xiàn)在的問題是，F(xiàn)為變力，它連續(xù)依賴于質點所在位置的坐標X，即F=F（x），為一連續(xù)函數(shù)，此時F對質點所作的功W又該如何計算呢？由假設F（x）為一連續(xù)函數(shù)，故在很小的一段位移區(qū)間上F（x）可以近似也可以看作一常量，把細分為n個小區(qū)間,并在每個小區(qū)間上任取一點，在上変力F（x）所作的功近似等于一個常數(shù)。即 但這只是近似等于，總是與真

14、實值之間存在誤差，因此我們對每一個區(qū)間分的越窄越好，當時，質點從a位移到b時，我們對每一個小區(qū)間上的所作的功做累加，因此力F所作的功就近似等于 撇開物理背景，對數(shù)學表達式進行取極限：因此，這就產生了定定積分概念。定義如下：設f是定義在上的一個函數(shù)，J是一具確定的實數(shù)，若對任給的q，總存在某一正數(shù)了，使得對的任佑分割T，以及在其上任意選取的點集，只要，就有：則稱函數(shù)f在區(qū)間上可積或黎曼可積；數(shù)J稱為f在上的定積分或黎曼積分，記作： 其中,f稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，a,b分別稱為這個定積分的下限和上限。說明：積分是對連續(xù)變動的量的積累運算。 2、微積分學的統(tǒng)一我們建立一個模型：設地球質量為M，萬有引力常數(shù)為G，地球半徑為R，今有一質量為m的火箭，由地而以初速度垂直向上發(fā)射，試求火箭高度v與時間的關系。解：如右圖建立坐標系，火箭所受的地心吸引力為：由牛頓第二定律，有關系：orRo'于是，得方程：令,則有，原方程化為：積分后得到：以初值條件：代入，得到C=0于是或積分后得，以初值條件代入，得，所以高度與時間的關系為：由此可解出r來。綜上所述，決大部分數(shù)學課是在物理環(huán)境下發(fā)展起來的。物理如果沒有