lingo求解線(xiàn)性規(guī)劃營(yíng)養(yǎng)類(lèi)數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文

1、有關(guān)于合理膳食問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 摘 要 本文對(duì)平衡膳食問(wèn)題進(jìn)行了研究并建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。這是一個(gè)有關(guān)于平衡膳食的食譜類(lèi)的數(shù)學(xué)模型，我運(yùn)用lingo軟件進(jìn)行求解，求出了結(jié)果并進(jìn)行了靈敏度分析，通過(guò)價(jià)格的變動(dòng)的出來(lái)結(jié)論。約束優(yōu)化，然后可應(yīng)用Lingo軟件中的函數(shù)模型來(lái)進(jìn)行模型的建立，我們知道Lingo中一個(gè)完整的模型由集合定義、數(shù)據(jù)段、目標(biāo)函數(shù)、和約束條件等組成。本文的合理膳食題也是一個(gè)與最優(yōu)化問(wèn)題差不多的問(wèn)題，將其優(yōu)化成為一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃，以每日人們攝取營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)最少來(lái)滿(mǎn)足最低需求，營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)每日的攝取量以題目給出的攝取量為約束條件來(lái)進(jìn)行計(jì)算，以花費(fèi)最少和攝取營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)最高為目標(biāo)函數(shù)。對(duì)這個(gè)多目標(biāo)函數(shù)，

2、我采用了熵值法將多個(gè)目標(biāo)組合成了一個(gè)目標(biāo)，通過(guò)表格的各種約束條件一一羅列出來(lái)，然后再進(jìn)行求解。將模型優(yōu)化為一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃，最后講求的結(jié)果再進(jìn)行分析，最終得出結(jié)論。關(guān)鍵詞：線(xiàn)性規(guī)劃，lingo軟件，目標(biāo)函數(shù)一、問(wèn)題重述某療養(yǎng)院營(yíng)養(yǎng)師要為某類(lèi)病人擬訂一周的菜單?？晒┻x擇的蔬菜及其費(fèi)用和所含營(yíng)養(yǎng)成分的數(shù)量以及這類(lèi)病人每周所需各種營(yíng)養(yǎng)成分的最低數(shù)量如表1.2所示。另外，為了口味的需要，規(guī)定一周內(nèi)所用卷心菜不多于2份，其他蔬菜不多于4份。建立數(shù)學(xué)模型回答下列問(wèn)題：（1）若病人每周需要14份蔬菜，問(wèn)選用每種蔬菜各多少份，可使生活費(fèi)用最小。（2）當(dāng)市場(chǎng)蔬菜價(jià)格發(fā)生怎樣波動(dòng)時(shí)，你的模型仍然適用。表一所需費(fèi)用營(yíng)養(yǎng)

3、物質(zhì)蔬菜每份蔬菜所含營(yíng)養(yǎng)成分費(fèi)用（元/份）鐵(mg)磷(mg)VA(單位)VC(mg)煙酸(mg)青豆0.451041580.31.5胡蘿卜0.4528906530.351.5花菜1.05502550530.62.4卷心菜0.42575270.150.6甜菜0.5221550.251.8土豆0.57523580.81.0每周營(yíng)養(yǎng)最低需求量6.0325175002455.0表述：這就是一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。現(xiàn)在隨著人們社會(huì)生活水平的提高，進(jìn)行合理搭配膳食也是越來(lái)越受到人們的重視，人類(lèi)的食物是多種多樣的。各種食物所含的營(yíng)養(yǎng)成分不完全相同。除母乳外，任何一種天然食物都不能提供人體所需的全部營(yíng)養(yǎng)素.平衡膳

4、食必須由多種食物組成,才能滿(mǎn)足人體各種營(yíng)養(yǎng)需要，達(dá)到合理營(yíng)養(yǎng)、促進(jìn)健康的目的，因而要提倡人們廣泛食用多種食物。只要對(duì)食物合理搭配,也就是每天膳食合理了,人體攝入的營(yíng)養(yǎng)就會(huì)均衡了,也就是充分發(fā)揮了食物中的營(yíng)養(yǎng)成份。人的營(yíng)養(yǎng)需求就會(huì)合理的。因此本課題就是需要對(duì)人體攝取營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)進(jìn)行合理搭配。有題目可以運(yùn)用lingo或者單純形法都可以進(jìn)行分析解答。二：?jiǎn)栴}分析：該問(wèn)題是數(shù)學(xué)模型中的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，根據(jù)題目所給的表格我們可以清晰的分析出一種最優(yōu)化的方案。要求為了口味的需要，規(guī)定一周內(nèi)所用卷心菜不多于2份，其他蔬菜不多于4份，這是本題目一個(gè)最基本的要求。再就是對(duì)表格具體進(jìn)行分析，既要滿(mǎn)足人們每周一個(gè)最合理的

5、營(yíng)養(yǎng)搭配，又要搭配這些食物的時(shí)候要花費(fèi)的費(fèi)用最小。在費(fèi)用方面我們要求把每種蔬菜的價(jià)格以及所需量X相乘并進(jìn)行相加，然后在需要的硬要物質(zhì)方面，在把所有營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)想家的時(shí)候一定要大于最低所需求的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)，對(duì)于x1,x2,x3,x4,x5,x6變量有一個(gè)具體的要求范圍，進(jìn)行合理的計(jì)算，如果在費(fèi)用方面，在營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)攝取方面計(jì)算的不合理就會(huì)導(dǎo)致費(fèi)用超額，所以建立模型的過(guò)程當(dāng)中就要慎重考慮這些問(wèn)題，這是不可忽視的，也是建模過(guò)程能否成功的關(guān)鍵。在建立模型過(guò)程中我們需要引入一些變量，我們要注意變量值要為非負(fù)。3、 模型假設(shè)：1：假設(shè)每周營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)供應(yīng)充足，剩余部分并不能在供應(yīng)。2：假設(shè)各類(lèi)蔬菜不會(huì)出現(xiàn)瘋狂的漲價(jià)和跌價(jià)

6、情況出現(xiàn)，保證費(fèi)用的合理。3：假設(shè)各類(lèi)蔬菜所含的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)不會(huì)受到外界的影響，所含的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)不會(huì)變。4：保證每一周的費(fèi)用夠用，不會(huì)出現(xiàn)費(fèi)用短缺。4、 符號(hào)約定假設(shè)各種蔬菜所需要的總費(fèi)用為S青豆所需要的份數(shù)為X1；胡蘿卜所需要的份數(shù)為X2；花菜所需要的份數(shù)為X3；卷心菜所需要的份數(shù)為X4；甜菜所需要的份數(shù)為X5；土豆所需要的份數(shù)為X6；蔬菜的量為Bi單價(jià)為Ci總費(fèi)用為ais.t表二 蔬菜所需量總費(fèi)用青豆X1S胡蘿卜X2花菜X3卷心菜X4 甜菜X5土豆X65、 模型建立所求的值就是MIN，也就是最優(yōu)化結(jié)果。求解：食譜問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：Mins=1.5*x1+1.5*x2+2.4*x3+0.6*x4+

7、1.8*x5+1.0*x6;S.t=解釋各個(gè)條件：第一個(gè)公式是鐵的含量大于等于6.0mg0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>=6.0;第二個(gè)公式是磷的含量大于等于325mg10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>=325第三個(gè)公式是VA的含量大于等于17500415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>=17500;第四個(gè)公式是VC的含量大于等于2458*x1+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>=245;第五個(gè)公式是煙酸的含量

8、大于等于5.00.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+0.8*x6>=5.0;第六個(gè)公式是卷心菜不多于2份其他各個(gè)蔬菜的份數(shù)小于等于4份x4<=2;x1<=4;x2<=4;x3<=4;x5<=4;x6<=4;第七個(gè)公式是各個(gè)蔬菜的總份數(shù)加起來(lái)等于14x1+x2+x3+x4+x5+x6=14;6、 模型求解 將以下公式輸入到Lingo工作界面：min=1.5*x1+1.5*x2+2.4*x3+0.6*x4+1.8*x5+1.0*x6;0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x

9、6>=6.0;10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>=325;415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>=17500;8*x1+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>=245;0.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+0.8*x6>=5.0;x4<=2;x1<=4;x2<=4;x3<=4;x5<=4;x6<=4;x1+x2+x3+x4+x5+x6=14;表三結(jié)果VariableValueReduce co

10、stSlack or surplusDual priceX14.0019.27-1.0X21.701.780X32.30227.60X42.006525.50X500.2640X64.001.6750最后我們可以得到各種費(fèi)用以及所需營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的量情況如下表所示：表四結(jié)果蔬菜所需量總費(fèi)用青豆419.270胡蘿卜1.7花菜2.3卷心菜2甜菜0土豆4 7、 結(jié)果分析依據(jù)結(jié)果分析可知：1：目標(biāo)函數(shù)為19.27，即最優(yōu)化方案所需要的費(fèi)用為19.27.具體的情況為每周每種蔬菜所需要的份數(shù)X1,X2，X3，X4，X5，X6分別為4，1.7，2.3，2，0，4合計(jì)共14份，可使成本達(dá)到最小，最小成本為19.27

11、2：“Reduced cost”表示當(dāng)變量有微小變動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化率。其中當(dāng)基變量的reduced cost值應(yīng)為0，對(duì)于非基變量Xj，相應(yīng)的reduced cost值表示當(dāng)某一個(gè)變量Xj增加一個(gè)單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)的增加量。變量X5對(duì)應(yīng)的reduced cost值應(yīng)為0.264，表示當(dāng)非基變量X1的值從0變?yōu)?時(shí)（此時(shí)假設(shè)其他非基變量保持不變，但為了滿(mǎn)足約束條件，基變量顯然會(huì)發(fā)生變化），最有目標(biāo)函數(shù)=19.27+0.264=19.5143：“Slack or surplus”給出松弛變量的值：可以看出當(dāng)X2，X3，X4都增加的時(shí)候，費(fèi)用減少一元。4：“Dual price”（對(duì)偶價(jià)格）表示當(dāng)對(duì)

12、應(yīng)約束有微小變動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化率其他的結(jié)果經(jīng)推理都較合理。輸出結(jié)果中對(duì)應(yīng)于每一個(gè)約束有一個(gè)對(duì)偶價(jià)格，若其數(shù)值為P，表示對(duì)應(yīng)約束中不等式右邊若增加一個(gè)單位，目標(biāo)函數(shù)增加P個(gè)單位。顯然，如果在最優(yōu)解處取等號(hào)（也就是“緊約束”也成為有效約束或者其作用約束），對(duì)偶價(jià)格才可能不是0.八.靈敏度分析 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges: Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 1.500000 0.90

13、00000E-01 INFINITY X2 1.500000 0.2750000 0.1000000 X3 2.400000 6.600000 0.9000000 X4 0.6000000 1.332000 INFINITY X5 1.800000 INFINITY 0.2640000 X6 1.000000 0.5900000 INFINITY Righthand Side Ranges: Current Allowable Allowable Row RHS Increase Decrease 2 6.000000 1.780000 INFINITY 3 325.0000 227.6000

14、 INFINITY 4 17500.00 6525.500 INFINITY 5 245.0000 50.08058 115.0000 6 5.000000 1.675000 INFINITY 7 2.000000 1.113035 2.000000 8 4.000000 0.8158405 2.555556 9 4.000000 INFINITY 2.300000 10 4.000000 INFINITY 1.700000 11 4.000000 INFINITY 4.000000 12 4.000000 0.7978847 2.555556 13 14.00000 2.169811 0.6

15、900982（1） 系數(shù)價(jià)格分析目標(biāo)函數(shù)X1價(jià)格原來(lái)是1.5，允許增加到無(wú)窮大，或者允許減少=0.9000000E-01 ，說(shuō)明它在0，+范圍變化時(shí)，最優(yōu)基本保持不變，由于此時(shí)約束沒(méi)有變化，所以最優(yōu)基本保持不變的意思就是最優(yōu)解不變。 對(duì)于X2來(lái)說(shuō)，原來(lái)費(fèi)用系數(shù)為1.5，允許增加到無(wú)窮大，或者允許減,0.275，說(shuō)明它在【1.5-0.275，+）=【1.225，+）范圍變化時(shí)，最優(yōu)基本保持不變（2） 約束中右端變化的分析第二行約束中右端原來(lái)為6，當(dāng)它在【6+1.78,6-1.78】=【7.78,4.22】范圍變化時(shí)，最優(yōu)基本保持不變，以下幾行都是這樣，不過(guò)由于此時(shí)約束發(fā)生變化，最優(yōu)基即使不變，最

16、優(yōu)解、最優(yōu)值也會(huì)發(fā)生變化。8、 模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn)1：優(yōu)點(diǎn)：模型簡(jiǎn)單明了，具有相當(dāng)?shù)目赏茝V性，該模型具有較大的生存空間，只需要改動(dòng)少許數(shù)值便可進(jìn)行推廣應(yīng)用，營(yíng)養(yǎng)類(lèi)和費(fèi)用問(wèn)題只需要進(jìn)行合理的搭配，一般不會(huì)對(duì)結(jié)果造成影響，可移植性較好，運(yùn)用比較靈活。2：缺點(diǎn)：模型考慮的影響因素較少，模型中有很多問(wèn)題可以進(jìn)行考慮，可以是模型更加的完善，例如每個(gè)人其實(shí)每周所需要的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的量是不同的，本題目忽略了這個(gè)問(wèn)題，還有問(wèn)題當(dāng)中的數(shù)值要一一輸入，比較麻煩。3：后續(xù)工作：本例題其實(shí)還可以用單純型法和圖解法等方法進(jìn)行求解，一樣可以達(dá)到很好的效果。尤其是使用圖解法可以是整個(gè)文變得更加清晰明了，更加直觀。參 考 文 獻(xiàn)1

17、 數(shù)學(xué)建模方法與范例，壽紀(jì)麟等編，西安交通大學(xué)出版社,19932 數(shù)學(xué)模型，濮定國(guó)、田蔚文主編，東南大學(xué)出版社,19943 郎艷懷，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)方法教程.上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2004 附錄：min=1.5*x1+1.5*x2+2.4*x3+0.6*x4+1.8*x5+1.0*x6;0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>=6.0;10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>=325;415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>=17500;8*x1+3*x2

18、+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>=245;0.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+0.8*x6>=5.0;x4<=2;x1<=4;x2<=4;x3<=4;x5<=4;x6<=4;x1+x2+x3+x4+x5+x6=14; Global optimal solution found. Objective value: 19.27000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 5 Model Class: LP Total variable

19、s: 6 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 13 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 48 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000 X2 1.700000 0.000000 X3 2.300000 0.000000 X4 2.000000 0.000000 X5 0.000000 0.2640000 X6 4.000000 0.000000 Row Slac