解三角形(正弦定理、余弦定理)知識點、例題解析、高考題匯總及答案

1、解三角形(正弦定理、余弦定理)知識點、例題解析、高考題匯總及答案 解三角形【考綱說明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。2、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題【知識梳理】一、 正弦定理1、正弦定理：在ABC中，（R為ABC外接圓半徑）。2、變形公式：（1）化邊為角： （2）化角為邊： （3） （4）.3、三角形面積公式：4、正弦定理可解決兩類問題：（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；（解唯一） （2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角. （解可能不唯一）二、 余弦定理1、余弦定理：2、余弦定理可以解

2、決的問題：（1）已知三邊，求三個角；（解唯一）（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（解唯一）：（3）兩邊和其中一邊對角，求另一邊，進而可求其它的邊和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的應用1、仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖1）. 北hl目標東 北東南西B圖1 圖2 圖3 圖42、方位角 從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為（如圖2）.3、方向角 相對于某一正方向的水平角（如圖3）.4、坡角：坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（如圖4）. 坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫做坡度（或坡比）【經典例題

3、】1、（2012天津理）在中,內角,所對的邊分別是,已知,則（）ABCD【答案】A【解析】由正弦定理得，又，所以，易知.2、（2009廣東文）已知中，的對邊分別為若且，則 ( )A2 B4 C4 D【答案】 A【解析】由可知,所以,由正弦定理得,故選A3、（2011浙江）在中，角所對的邊分.若，則( )A- B C -1 D 1【答案】D【解析】，.4、（2012福建文）在中,已知,則_.【答案】 【解析】由正弦定理得 5、（2011北京）在中，若，則 .【答案】【解析】：由正弦定理得又所以6、（2012重慶理）設的內角的對邊分別為,且則_【答案】 【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理7、（2

4、011全國）ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知. （I）求B； （）若.【解析】（I）由正弦定理得由余弦定理得. 故，因此 （II） 故.8、（2012江西文）ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,ABC的面積為,求b,c.【解析】（1） 則. （2）由（1）得,由面積可得bc=6,則根據余弦定理 則,兩式聯立可得或.9、（2011安徽）在ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊長，a=，b=，求邊BC上的高.【解析】：ABC180°，所以BCA，又，即，又0°

5、<A<180°，所以A60°.在ABC中，由正弦定理得，又，所以BA，B45°，C75°，BC邊上的高ADAC·sinC.10、（2012遼寧理）在中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c.角A,B,C成等差數列.（I）求的值;（）邊a,b,c成等比數列,求的值.【解析】（I）由已知（）解法一：，由正弦定理得，解法二：，由此得，得所以【課堂練習】1、（2012廣東文）在中,若,則（）ABCD2、（2011四川）在ABC中，則A的取值范圍是（） AB CD3、（2012陜西理）在中,角所對邊長分別為,若,則的最小值為（）A B C D4

6、、（2012陜西）在中，角,所對的邊長分別為，若，則的最小值為（ ） A B C D5、（2011天津）如圖，在ABC中，D是邊AC上的點，且則sinC的值為() A BC D 6、（2011遼寧）ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，則（）A B C D7、（2012湖北文）設的內角所對的邊分別為,若三邊的長為連續(xù)的三個正整數,且,則為（）A432B567C543D6548、（2011上海）在相距2千米的兩點處測量目標，若，則兩點之間的距離是 千米。9、（2012重慶文）設的內角 的對邊分別為,且,則_10、（2012北京文）在ABC中,若,

7、則的大小為_.11、（2012陜西文）在三角形ABC中,角A,B,C所對應的長分別為a,b,c,若a=2 ,B=,c=2,則b=_12、（2012北京理）在ABC中,若,則_.13、已知ABC得三邊長成公比為的等比數列，則其最大角的余弦值為_.14、如圖所示，貨輪在海上以40 km/h的速度沿著方位角(指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平轉角)為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時后船到達C點，觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達C點時，與燈塔A的距離是多少？15、（2009安徽理）在ABC中，, sinB=.（I

8、）求sinA的值；（II）設AC=，求ABC的面積. 16、（2012安徽文）設的內角所對的邊為,且有（）求角的大小;（II） 若,為的中點,求的長.17、（2011江蘇）在ABC中，角A、B、C所對應的邊為（1）若 求A的值；（2）若，求的值.18、（2012天津文）在中,內角所對的分別是.已知.（I）求和的值; （II）求的值.19、（2010陜西）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即即前往營救，其航行速度為30海里/小

9、時，該救援船到達D點需要多長時間？20、我炮兵陣地位于地面處，兩觀察所分別位于地面點和處，已知 米，目標出現于地面點處時，測得，（如圖），求炮兵陣地到目標的距離（結果保留根號）.【課后作業(yè)】1、（2009全國卷文）已知ABC中，則 ( )A B C D 2、（2009全國卷理）已知中， 則 ( )A. B. C. D. 3、（2012湖南文）在ABC中,AC= ,BC=2,B =60°,則BC邊上的高等于（）ABCD4、在ABC中，若sin2Asin2Bsin2CsinB·sinC，則角A等于（ ）A B C D 5、在ABC中，若acosAbcosB，則ABC的形狀是（

10、）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 6、在ABC中，abc156，則sinAsinBsinC等于()A156B651 C615 D不確定7、（2009湖南文）在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 . 8、（2012湖北理）設的內角,所對的邊分別為,. 若,則角_.9、在ABC中，已知c10，C60°，a，則A . 10、在ABC中，已知三邊滿足（abc)(abc)3ab，則C等于 . 11、在ABC中，若 ，則ABC是 . 12、在ABC中，已知B135°，C15°，a5，那么此三角形的最大邊的長是 . 13、在ABC中，已知s

11、in2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度數.14、如圖，在ABC中，已知角B45°，D是BC邊上一點，AD5，AC7，DC3，求AB.15、（2009全國卷理）在中，內角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b. 16、（2009浙江理）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值 17、已知ABC的三個內角A、B、C依次成等差數列，又三邊a、b、c依次成等比數列，求證：該三角形為正三角形.18、（2011山東） 在中，內角的對邊分別為，已知，東北（）求的值；（）若，求的面積S。19、某觀測站在目標南偏西方向，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測得公路上與相距31千米的處有一人正沿此公路向走去，走20千米到達，此時測得距離為千米，求此人所在處距還有多少千米？20、飛機的航線和山頂在同一個鉛直平面內，已知飛機的高度為海拔m，速度為 km/h，飛行員先看到山頂的俯角為，經過秒后又看到山頂的俯角為，求山頂的海拔高度（精確到m）.【參考答案】【課堂練習】1-7、BCCCD DD8、9、10、11、212、413、14、10 km15、，16、17、18、=， 19、需要1小時20、米【課后作業(yè)】1-6、DDBBDA7、2，8、9、45°10、60°11、等腰或直角三角形12、513、B150°