數(shù)學(xué)概念教學(xué)重在區(qū)分“輕、重、緩、急”(張強(qiáng))

1、數(shù)學(xué)概念教學(xué)重在區(qū)分“輕、重、緩、急”江蘇省啟東市呂四中學(xué) 徐磊“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！”，“概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞”，“在概念教學(xué)上應(yīng)該做到不惜時(shí)，不惜力”雖然，廣大教師對(duì)概念教學(xué)的重要性已經(jīng)形成共識(shí)，但“數(shù)學(xué)概念如何教？”卻存在著較大的分歧。比如，有教師認(rèn)為“概念教學(xué)關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)問題情境，好的情境是成功的一半”、也有教師認(rèn)為“應(yīng)該注重概念的形成過程，因?yàn)檫^程比結(jié)果更重要”、甚至有教師認(rèn)為“應(yīng)該發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，讓學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)概念”這些觀點(diǎn)看上去都非?！霸诶怼保屓藷o所適從。但正所謂“教無定法”，不同的數(shù)學(xué)概念，不同層次的學(xué)生，所采取的教學(xué)策略必然有所差異。因此，我

2、們不必過分糾結(jié)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些細(xì)節(jié)問題，關(guān)鍵是不能“眉毛胡子一把抓”，要分清楚“輕、重、緩、急”。1 “輕”教學(xué)套路，適合才是最好在很多教師眼里，數(shù)學(xué)概念教學(xué)就固化為“幾步曲”。最常見的是“三步曲”。第一步：創(chuàng)設(shè)情境，引入概念。通過生活情境、問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)認(rèn)知沖突，從而為引入新的知識(shí)進(jìn)行鋪墊。第二步：主動(dòng)探究，形成概念。在教師的指導(dǎo)下，師生共同努力，經(jīng)歷觀察、分析、猜想、驗(yàn)證等思維過程，提煉出數(shù)學(xué)概念的定義。第三步：強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固概念。通過一些典型的例題，進(jìn)行概念辨析或概念應(yīng)用，從而加深學(xué)生對(duì)概念的印象。當(dāng)然，“幾步曲”教法有其一定的理論依據(jù)，操作性也比較強(qiáng)，對(duì)概念教學(xué)具

3、有一定的參考價(jià)值，但切不可拘泥于“幾步曲”。在平時(shí)教學(xué)中，多“一步”，少“一步”也未嘗不可。比如，未必所有的數(shù)學(xué)概念都需創(chuàng)設(shè)情境，有些具體形象，淺顯易懂的數(shù)學(xué)概念就用不著在情境創(chuàng)設(shè)上大費(fèi)周章。筆者曾經(jīng)聽過一堂課，上課主題為“球的表面積與體積“，上課教師為了引出“球”的概念，特意創(chuàng)設(shè)了一個(gè)問題情境：讓學(xué)生從各種形狀的水果中挑出是球形的水果。其實(shí)這個(gè)情境的創(chuàng)設(shè)就有點(diǎn)多余了，高中生怎么會(huì)不清楚“球”是怎樣呢？又不如，很多教師用導(dǎo)學(xué)案上課，如果把導(dǎo)向案用著概念課上，那就用不著“幾步曲”，學(xué)生課前已經(jīng)自學(xué)相關(guān)的內(nèi)容，對(duì)教材的內(nèi)容基本熟悉，所以此時(shí)應(yīng)該直奔主題，面對(duì)學(xué)生進(jìn)行答疑。由此可見，盡管概念課尤其一

4、定的教學(xué)套路，但具體操作中要靈活變動(dòng)，適合學(xué)生的才是最好的。2 “重”自然生成，強(qiáng)扭的瓜不甜數(shù)學(xué)概念的生成是一個(gè)歸納、概括、抽象的過程。在這一過程中，學(xué)生往往要從具體的感性材料和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，“以頭腦中已有的某些自發(fā)性概念的具體性、特殊性成分作依托，從中分化出它的理論內(nèi)涵，使之能借助經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，變得容易理解”，從而在自己的知識(shí)框架內(nèi)構(gòu)建新的數(shù)學(xué)概念。我們知道數(shù)學(xué)是“自然”的，當(dāng)然數(shù)學(xué)概念生成也應(yīng)該是“自然”的。何為“自然”生成呢？關(guān)鍵是做到以下兩點(diǎn)。一是生成過程遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知水平；二是生成過程能徹底打消學(xué)生心中的疑慮。案例1：離心率定義的由來“橢圓的離心率為什么用來定義，而不用？

5、”當(dāng)學(xué)生提出這個(gè)問題，教師如何解釋？相當(dāng)一部分老師給出的理由是“這是人為規(guī)定”。但這個(gè)解釋不足以服眾，學(xué)生很可能會(huì)問：難道數(shù)學(xué)概念都可以隨意規(guī)定嗎？其實(shí)，很多數(shù)學(xué)概念看似“隨意”，但實(shí)際上有著“充足”的理由。（1）在數(shù)學(xué)發(fā)展史中找理由研究天文現(xiàn)象需要計(jì)算行星的運(yùn)行軌道，而這些行星軌道通常就是圓扁程度不一的橢圓，而離心率就是為了描述軌道圓扁程度而引入的一個(gè)量。不僅如此，天文學(xué)家還發(fā)現(xiàn)太陽系的八大行星都是繞著以太陽為焦點(diǎn)的橢圓形軌道運(yùn)行的，這些軌道偏離太陽的程度也不一樣，因此他們就把離心率稱為“偏心率”。并且行星和太陽之間距離是在變化的，其中在近日點(diǎn)處離太陽最近，偏離距離為，在遠(yuǎn)日點(diǎn)處離太陽最遠(yuǎn)，

6、偏離距離里為。當(dāng)然不能直接用最近距離和最遠(yuǎn)距離表示偏心率，因?yàn)檫@兩個(gè)值不僅和運(yùn)行軌道的圓扁程度有關(guān)，還受軌道大小的影響，人們需要的構(gòu)造一個(gè)“穩(wěn)定”的量來表示偏心率。最后經(jīng)過反復(fù)嘗試，發(fā)現(xiàn)的值和橢圓大小無關(guān)卻能很好刻畫橢圓的圓扁程度。因此，大家就選擇了表示離心率。（2）在圓錐曲線定義中找理由這回從橢圓的定義入手開始推理。橢圓是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡（其中到兩定點(diǎn)的距離之和為，常數(shù)為，且），定義中涉及到的參數(shù)是和；另外圓錐曲線統(tǒng)一定義為“到定點(diǎn)距離與到定直線距離之比為常數(shù)”，而這個(gè)常數(shù)的值恰好是。由此可，、是描述橢圓定義乃至圓錐曲線定義的基本參數(shù)，所以用來表示離心率更加名正言順。

7、以上兩大理由充分揭示了“離心率”由來的問題，學(xué)生“心服口服”，從而保證了“離心率”概念生成過程的自然。但要做到“自然”生成卻并非易事，有時(shí)需要查閱文獻(xiàn)資料，對(duì)概念的產(chǎn)生進(jìn)行合理的推理論證。3 “緩”實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用，磨刀不誤砍柴有相當(dāng)大部分的老師認(rèn)為“高考基本上都是概念的應(yīng)用，很少直接考概念的表述”，因此，教師在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的知識(shí)本位，有意無意的壓縮概念形成過程的教學(xué)，導(dǎo)致新授課教學(xué)變成了“應(yīng)用”課教學(xué)。更有甚者很多教師在講解概念時(shí)，沒有讓學(xué)生對(duì)其必要性獲得足夠的感性認(rèn)識(shí)，而是直接給出數(shù)學(xué)概念，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)死記數(shù)學(xué)概念，而沒有真正理解數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)。圖1案例2：幾何概型教師花1

8、0分鐘左右，把幾何概型的定義向?qū)W生講解完畢。接下去，進(jìn)入應(yīng)用環(huán)節(jié)，一口氣給出了5個(gè)問題。問題1：如圖1所示，將:圓盤分成兩個(gè)區(qū)域，兩圓半徑之比為12，染上紅、白兩色，向圓盤投擲飛鏢。問：投中紅色區(qū)域的概率是多少？問題2：取一根長(zhǎng)為3m的繩子，如果拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？問題3：在500mL的水中有一只草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率。問題4：取一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率.問題5：在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10mL，含有麥銹病種子的概

9、率是多少？本節(jié)課最大的問題是在數(shù)學(xué)概念的建立和理解上所花的時(shí)間太少，只占整個(gè)課堂的20%，而將80%的時(shí)間花在習(xí)題訓(xùn)練上。這種“短、平、快”的戰(zhàn)術(shù)縮短了學(xué)生的認(rèn)知過程，雖然加快了教學(xué)進(jìn)度，但學(xué)生對(duì)概念的理解難以深入，對(duì)某一個(gè)概念學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)很難遷移應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中去，容易導(dǎo)致概念學(xué)習(xí)連貫性的缺失。其實(shí)，只要學(xué)生理解幾何概型的實(shí)質(zhì)后，幾何概型的運(yùn)算一般是“長(zhǎng)度比、面積比、體積比”也就很好理解了，用不著大量的重復(fù)訓(xùn)練。4 “急”建立聯(lián)系，根深才能葉茂布魯納曾說過：“學(xué)生獲得的知識(shí)如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系起來，那是一種多半會(huì)遺忘的知識(shí)?！?在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，并不存在孤立地學(xué)習(xí)某個(gè)概念的情

10、形。概念之間的相互聯(lián)系決定了學(xué)生學(xué)習(xí)是建立圖式和產(chǎn)生式系統(tǒng)的過程，這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)必須是學(xué)習(xí)者通過自己對(duì)信息的加工去建構(gòu)的，是學(xué)習(xí)者自主性和能動(dòng)性學(xué)習(xí)的結(jié)果。在概念的獲得中，學(xué)生如果不能從多背景、多角度地理解概念，沒有在頭腦中形成概念域或者概念系，那么一旦換一個(gè)方式去闡述同一個(gè)概念，即如果給出概念的另一表征形式，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生不知所云。因此，建立數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系是當(dāng)務(wù)之“急”。案例3：正弦定理與余弦定理在教材中（人教A版），正弦定理的推導(dǎo)是先作三角形的高線，然后轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用三角形高相等的條件而得到的；余弦定理的推導(dǎo)則是利用向量的數(shù)量積的定義而得到的。兩種推導(dǎo)工具，兩種推導(dǎo)方法，得到兩個(gè)定理

11、，表面上看正弦定理和余弦定理風(fēng)馬牛不相及，似乎看不出它們之間存在著任何聯(lián)系。但實(shí)際上是這么回事嗎？ 結(jié)論1：余弦定理能推出正弦定理因?yàn)?，-化簡(jiǎn)得，則。把代入得，化簡(jiǎn)后得。若，則，顯然成立；若，則。同理，可以得到。結(jié)論2：正弦定理能推出余弦定理因?yàn)樵谌切沃?，則，兩邊平方得。把余弦的平方用正弦的平方代入得?；?jiǎn)得，即。由正弦定理得，代入式得，同理，也可以推導(dǎo)出余弦定理的另外兩個(gè)公式。正弦、余弦定理不僅僅是解三角形和實(shí)現(xiàn)三角形邊角轉(zhuǎn)化的工具，通過上述推導(dǎo)，學(xué)生又會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的認(rèn)知，那就是正弦、余弦定理的統(tǒng)一性。于是，余弦定理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)也就形成了，從而有利于學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)概念?？傊?，數(shù)學(xué)概念最有價(jià)值，也最重要，但數(shù)學(xué)概念教學(xué)要做好也并非易事，關(guān)鍵是在教學(xué)中，教師要分清楚“輕、重、緩、急”。參考文獻(xiàn)1 呂增鋒.