初中數(shù)學(xué)定點(diǎn)問題知識點(diǎn)和常考難題和培優(yōu)提高練習(xí)壓軸題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中數(shù)學(xué)定點(diǎn)問題提高練習(xí)與?？茧y題和培優(yōu)題壓軸題(含解析)定點(diǎn)題型 定點(diǎn)問題，初中一般是直線或拋物線恒過定點(diǎn)的問題，這類問題一般解法是根據(jù)直線或拋物線的動因，先選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，用參數(shù)表示出直線或拋物線方程，然后按參數(shù)整理，并令參數(shù)的系數(shù)為0得方程組，解方程方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo). 解題思路： 這類問題通常有兩種處理方法：第一種方法：是從特殊入手，通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，再證明這個點(diǎn)（值）與變量無關(guān)；第二種方法：是直接推理、計算；并在計算的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）。  具體地說，就是將要證明或要求

2、解的量表示為某個合適變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值。一、直線過定點(diǎn)問題：解法1：取特殊值法 給方程中的參數(shù)取定兩個特殊值，這樣就得到關(guān)于x，y的兩個方程，從中解出x，y即為所求的定點(diǎn)，然后再將此點(diǎn)代入原方程驗(yàn)證即可。 例1：求直線（m+1）x+（m-1）y-2=0所通過的定點(diǎn)P的坐標(biāo)。 解：令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。將（1，-1）點(diǎn)代入原方程得：（m+1）· 1+（m-1）（-1）-20 成立，所以該定點(diǎn)P為（1，-1）。 解法2：由“y-y0=k（x-x0）”求定點(diǎn)把含有參數(shù)的直線方程改寫成y-y0

3、=k（x-x0）的形式，這樣就證明了它所表示的所有直線必過定點(diǎn)（x0，y0）。 例2：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0為直線l的方程，求證不論k取任何實(shí)數(shù)值時，直線l必過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)。 證明：由已知直線l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k， （k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1），不論k取任何實(shí)數(shù)值時，直線l必過定點(diǎn)M（1，-1）。 解法3：方程思想 若方程的解有無窮多個，則方程的系數(shù)均為0，利用這一方法的思路是將原方程整理為以參數(shù)為主元的方程，然后利用系數(shù)為零求得。 例3：若 2a-

4、3b=1（a，bR），求證：直線 axby=5必過定點(diǎn)。 解：由已知得 ax+by=5（2a-3b），即  a（x-10）+b（y-15）=0 無論a，b為何值上式均成立，所以a，b的系數(shù)同時為0，所以過定點(diǎn)（10，15）。 解法4：直線系觀點(diǎn) 過定點(diǎn)的直線系A(chǔ)1xB1yC1（A2xB2yC2）=0表示通過兩直線l1A1xB1yC1=0與l2A2xB2yC20交點(diǎn)的直線系，而這交點(diǎn)即為直線系所通過的定點(diǎn)。 例4：求證對任意的實(shí)數(shù)m，直線（m-1）x2（m-1）ym-5必過定點(diǎn)。解：原式可整理為（x2y-1

5、）m-（xy-5）0 1直線l：kxy+2k+1=0必過定點(diǎn)2直線y=mx+2m+14過定點(diǎn)3直線kx+3y+k9=0過定點(diǎn)4設(shè)a+b=3，則直線ax+by=1恒過定點(diǎn)5當(dāng)a+b+c=0時，直線ax+by+c=0必過定點(diǎn)6直線（m1）x+y+2m+1=0過定點(diǎn)7直線（2a1）x+2ay+3=0恒過的定點(diǎn)是8對于任意實(shí)數(shù)mn，直線（m+n）x+12my2n=0恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)是 9若p，q滿足條件3p2q=1，直線px+3y+q=0必過定點(diǎn)10直線（m1）x+（2m+3）y（m2）=0恒過定點(diǎn)11不論實(shí)數(shù)k為何值，直線（2k+1）x+（1k）y+7k=0恒經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是二、拋物線過定點(diǎn)

6、問題：第一步：對含有變系數(shù)的項集中； 第二步：然后將這部分項分解因式，使其成為一個只含系數(shù)和常數(shù)的因式與一個只含x和常數(shù)的因式之積的形式； 第三步：令后一因式等于0，得到一個關(guān)于自變量x的方程(這時系數(shù)如何變化，都“失效”了)； 第四步：解此方程，得到x的值x0(定點(diǎn)的橫坐標(biāo))，將它代入原函數(shù)式(也可以是其變式)，即得到一個y的值y0(定點(diǎn)的縱坐標(biāo))，于是，函數(shù)圖象一定過定點(diǎn)(x0，y0)； 第五步：驗(yàn)算回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)，完善解題步驟1已知拋物線y=2x2（m2+1）x+2m21，不論m取何值，拋物線恒過某定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A（2，5）B

7、（2，5）C（2，5）D不能確定2某數(shù)學(xué)興趣小組研究二次函數(shù)y=mx22mx+3（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，這個二次函數(shù)的圖象形狀與位置均發(fā)生變化，但這個二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個定點(diǎn)，請你寫出這兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)：3已知拋物線y=kx2+（2k+1）x+2恒過定點(diǎn)，請直接寫出定點(diǎn)坐標(biāo)4拋物線y=x2+ax+a2過定點(diǎn)A，直線l：y=x+m也過點(diǎn)A，則直線l的函數(shù)解析式為5拋物線y=x2+mx2m通過一個定點(diǎn)，則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是6已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足不等式：|a|bc|，|b|a+c|，|c|ab|，拋物線y=ax2+bx+c恒過定點(diǎn)M，則定點(diǎn)M的坐標(biāo)為7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=k

8、x2k+6經(jīng)過定點(diǎn)Q（1）直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，QOM=45°，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相等（如圖1），求直線QM的解析式；（3）在（2）條件下，過點(diǎn)M作MAx軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)Q作QBy軸于點(diǎn)B，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，AEO=45°，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)（如圖2），求線段CE長度的最大值8已知函數(shù)y=ax24bx+3，（1）求證：無論a、b為何值，函數(shù)圖象經(jīng)過y軸上一個定點(diǎn)；（2）當(dāng)a、b滿足什么條件時，圖象與直線y=1有交點(diǎn)；（3）若1x0，a=1，當(dāng)函數(shù)值y恒大于1時，求b的取值范圍9已知函數(shù)y=x2（m2+4）x2m212（1）當(dāng)m取何值時，此

9、函數(shù)有最小值，求出此時x的值；（2）求證：不論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線都過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)10已知拋物線y=mx2+（12m）x+13m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B（1）求m的取值范圍；（2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m8時，由（2）求出的點(diǎn)P和點(diǎn)A，B構(gòu)成的ABP的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應(yīng)的m值11已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），與y軸的交點(diǎn)為（0，nm），其頂點(diǎn)恰好在直線y=x+（1m）上（其中m、n為正數(shù)）（1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x軸有2個交點(diǎn)；（2）在x軸上是否存在這樣的定點(diǎn)：不論m、n如何變化，二次函數(shù)的圖象總通過此定點(diǎn)

10、？若存在，求出所有這樣的點(diǎn)；若不存在，請說明理由參考答案1（2010秋揚(yáng)州校級期末）直線l：kxy+2k+1=0必過定點(diǎn)（2，1）【解答】解：直線l：kxy+2k+1=0 即 k（x+2）y+1=0，過直線x+2=0 和直線y+1=0的交點(diǎn)（2，1），故答案為：（2，1）2直線y=mx+2m+14過定點(diǎn)（2，14）【解答】解：y=mx+2m+14=m（x+2）+14，當(dāng)x+2=0，即x=2時，y=14，直線y=mx+2m+14過定點(diǎn)（2，14）故答案為：（2，14）3（2014秋溫州校級期中）直線kx+3y+k9=0過定點(diǎn)（1，3）【解答】解：kx+3y+k9=0，k（x+1）+3y9=0，解

11、得，直線kx+3y+k9=0過定點(diǎn)（1，3）故答案為：（1，3）4設(shè)a+b=3，則直線ax+by=1恒過定點(diǎn)（，）【解答】解：a+b=3，a+b=1，直線ax+by=1恒過定點(diǎn)（，）故答案為：（，）5（2012秋廣陵區(qū)校級期中）當(dāng)a+b+c=0時，直線ax+by+c=0必過定點(diǎn)（1，1）【解答】解：由于a+b+c=0，故點(diǎn)（1，1）滿足直線方程ax+by+c=0，即點(diǎn)（1，1）在直線ax+by+c=0上，即直線ax+by+c=0必過定點(diǎn)（1，1），故答案為 （1，1）6（2013春啟東市校級月考）直線（m1）x+y+2m+1=0過定點(diǎn)（2，3）【解答】解：直線（m1）x+y+2m+1=0可化為

12、x+y+1+m（x+2）=0，可得，解得，直線（m1）x+y+2m+1=0過定點(diǎn)（2，3）故答案為：（2，3）7（2012秋柯城區(qū)校級期中）直線（2a1）x+2ay+3=0恒過的定點(diǎn)是（3，3）【解答】解：取a=，得方程為y+3=0，此時對應(yīng)的直線設(shè)為l1； 再取a=0，得方程為x+3=0此時對應(yīng)的直線設(shè)為l2聯(lián)解得x=3且y=3，所以直線l1與l2交于點(diǎn)A（3，3）A點(diǎn)即為所求直線（2a1）x+2ay+3=0恒過的定點(diǎn)故答案為：（3，3）8（2010定西模擬）對于任意實(shí)數(shù)mn，直線（m+n）x+12my2n=0恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)是 【解答】解：方程（m+n）x+12my2n=0可化為（x+12y

13、）m+（x2）n=0對于任意實(shí)數(shù)mn，直線（m+n）x+12my2n=0恒過定點(diǎn)故定點(diǎn)坐標(biāo)是9（2014春海陵區(qū)校級期中）若p，q滿足條件3p2q=1，直線px+3y+q=0必過定點(diǎn)（，）【解答】解：由于3p2q=1，故直線px+3y+q=0，即 px+3y+=0，即 p（2x+3）+6y1=0，由，求得，故直線經(jīng)過定點(diǎn)（，），故答案為：（，）10直線（m1）x+（2m+3）y（m2）=0恒過定點(diǎn)【解答】解：直線（m1）x+（2m+3）y（m2）=0化為m（x+2y1）（x3y2）=0，聯(lián)立，解得直線（m1）x+（2m+3）y（m2）=0恒過定點(diǎn)故答案為：2（2014涪城區(qū)校級自主招生）不論實(shí)

14、數(shù)k為何值，直線（2k+1）x+（1k）y+7k=0恒經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是（2，5）【解答】解：特殊值法：設(shè)k1=2，k2=0，代入函數(shù)關(guān)系式得：解得：分離參數(shù)法：由（2k+1）x+（1k）y+7k=0，化簡得k（2xy1）+x+y+7=0，無論k取何值，只要成立，則肯定符合直線方程；解得：故直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是（2，5）1（2015秦皇島校級模擬）已知拋物線y=2x2（m2+1）x+2m21，不論m取何值，拋物線恒過某定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A（2，5）B（2，5）C（2，5）D不能確定【解答】解：不論m取何值，拋物線恒過某定點(diǎn)P，令m=0，則y=2x2x1，令m=1，則y=2x22x+1，解

15、得P的坐標(biāo)為（2，5），故選B1（2012鼓樓區(qū)一模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究二次函數(shù)y=mx22mx+3（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，這個二次函數(shù)的圖象形狀與位置均發(fā)生變化，但這個二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個定點(diǎn)，請你寫出這兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)：（0，3），（2，3）【解答】解：原函數(shù)化為y=mx（x2）+3的形式，當(dāng)x=0或x2=0時函數(shù)值與m值無關(guān)，當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)x=2時，y=3，兩定點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），（2，3）故答案為：（0，3），（2，3）3已知拋物線y=kx2+（2k+1）x+2恒過定點(diǎn)，請直接寫出定點(diǎn)坐標(biāo)（0，2）、（2，0）【解答】解：依題意得kx2+（2k+1）x+2y=0恒

16、成立，即k（x2+2x）+xy+2=0恒成立，則，解得或所以該拋物線恒過定點(diǎn)（0，2）、（2，0）故答案為（0，2）、（2，0）4拋物線y=x2+ax+a2過定點(diǎn)A，直線l：y=x+m也過點(diǎn)A，則直線l的函數(shù)解析式為y=x【解答】解：y=x2+ax+a2，（x+1）a=y+2x2，當(dāng)x+1=0且y+2x2=0時，即x=1，y=1，a為任意實(shí)數(shù)，拋物線y=x2+ax+a2過定點(diǎn)A（1，1），把A（1，1）代入y=x+m得1+m=1，解得m=0，直線l的解析式為y=x故答案為y=x5拋物線y=x2+mx2m通過一個定點(diǎn)，則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）【解答】解：y=x2+mx2m可化為y=x2+m（

17、x2），當(dāng)x=2時，y=4；且與m的取值無關(guān)；定點(diǎn)（2，4），故答案為（2，4）6已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足不等式：|a|bc|，|b|a+c|，|c|ab|，拋物線y=ax2+bx+c恒過定點(diǎn)M，則定點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）【解答】解：|a|bc|，|b|a+c|，|c|ab|，平方得：a2（bc）2，b2（a+c）2，c2（ab）2，三式相加得：a2+b2+c2（bc）2+（a+c）2+（ab）2，展開得：a2+b2+c22a2+2b2+2c22bc+2ac2ab，即0a2+b2+c22bc+2ac2ab，（ab+c）20，ab+c=0，當(dāng)x=1時y=ab+c=0，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （1，0）故答

18、案為：（1，0）7（2014春武昌區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx2k+6經(jīng)過定點(diǎn)Q（1）直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（2，6）；（2）點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，QOM=45°，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相等（如圖1），求直線QM的解析式；（3）在（2）條件下，過點(diǎn)M作MAx軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)Q作QBy軸于點(diǎn)B，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，AEO=45°，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)（如圖2），求線段CE長度的最大值【解答】解：（1）y=kx2k+6=k（x2）+6，則當(dāng)x2=0，即x=2時，y的值與k無關(guān)，則G的坐標(biāo)是（2，6）；（2）延長BQ，AM交于點(diǎn)F連接OF，作QGOF于點(diǎn)G則四邊形

19、AOBF是正方形，QFG是等腰直角三角形，且OA=OB=BF=AF=6，BQ=2，則QF=4，QG=QF×=4×=2，在直角OBQ中，OQ=2，直角OQG中，OG=4正方形AOBF中，AOB=90°，AOF=45°，又QOM=45°，QOG+FOM=FOM+AOM=45°，QOG=AOM，又OGQ=AOMOQGOMA，即，AM=3，M的坐標(biāo)是（6，3）設(shè)直線QM的解析式是y=kx+b，則，解得：，則直線的解析式是：y=x+；（3）AEO=45°，E在以O(shè)A的斜邊的等腰直角三角形直角頂點(diǎn)為圓心，以O(shè)A為弦的圓上，且弦OA所對的

20、圓心角是90°的圓上，設(shè)圓心是N，則N的坐標(biāo)是（3，3），圓的半徑是3，又點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，C的坐標(biāo)是（0，3），則CNx軸，則當(dāng)E是CN的延長線與圓N的交點(diǎn)時，線段CE最長，則最大的長度是：3+38（2014秋長沙校級期中）已知函數(shù)y=ax24bx+3，（1）求證：無論a、b為何值，函數(shù)圖象經(jīng)過y軸上一個定點(diǎn)；（2）當(dāng)a、b滿足什么條件時，圖象與直線y=1有交點(diǎn)；（3）若1x0，a=1，當(dāng)函數(shù)值y恒大于1時，求b的取值范圍【解答】證明：（1）當(dāng)x=0時，y=ax24bx+3=3，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），論a、b為何值，函數(shù)圖象經(jīng)過y軸上一個定點(diǎn)（0，3）；解：（2）象

21、與直線y=1有交點(diǎn)，1=ax24bx+3，ax24bx+2=0，=（4b）28a0，解得：a2b2（3）1x0，a=1，函數(shù)值y恒大于1，1+4b1，解得：b09已知函數(shù)y=x2（m2+4）x2m212（1）當(dāng)m取何值時，此函數(shù)有最小值，求出此時x的值；（2）求證：不論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線都過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)【解答】（1）解：y最小=，m4+16m217=0（m21）（m2+17）=0m2+170，m=±1，y=x25x14x=，當(dāng)m=±1時，此函數(shù)有最小值，此時x=；（2）證明：此函數(shù)可以寫成y=（x+2）x（m2+6），函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（2，0），（m2+6，0

22、），不論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線都過一定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）10（2016廣州）已知拋物線y=mx2+（12m）x+13m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B（1）求m的取值范圍；（2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m8時，由（2）求出的點(diǎn)P和點(diǎn)A，B構(gòu)成的ABP的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應(yīng)的m值【解答】（1）解：當(dāng)m=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意，舍去；當(dāng)m0時，拋物線y=mx2+（12m）x+13m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B，=（12m）24×m×（13m）=（14m）20，14m0，m，m的取值范圍為m0且m；（2）證明：拋物線y