三年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練(上)

1、第一講 和倍問(wèn)題（一） 知識(shí)要點(diǎn)和倍問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。此類題我們常采用畫線段圖的方法解答。解答此類題首先要找倍數(shù)關(guān)系，通過(guò)倍數(shù)關(guān)系畫出線段圖，然后在圖上根據(jù)題意標(biāo)出倆個(gè)數(shù)的倍數(shù)與倆個(gè)數(shù)的和。于是根據(jù)圖產(chǎn)生這樣的思路：相對(duì)小的數(shù)自己是自己的一倍，而相對(duì)大的數(shù)是相對(duì)小的數(shù)的幾倍, 當(dāng)然倆個(gè)數(shù)相等時(shí)這個(gè)幾就是1），那么就有大數(shù)和小數(shù)的和就是小數(shù)的幾+1倍，又因?yàn)榇髷?shù)和小數(shù)的和已知，于是這個(gè)題就變成了一個(gè)簡(jiǎn)單的，已知一個(gè)數(shù)和這個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍求另一個(gè)數(shù)的簡(jiǎn)單除法題。從而可以求出相對(duì)較小的也就是自己是自己一倍的數(shù)，我們簡(jiǎn)稱為1倍數(shù).（二） 例題選講例1

2、甲班和乙班共有圖書160本. 甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？精妙解答160（3+1）=40（本）-作為一倍數(shù)的乙班的403=120（本）-根據(jù)題意關(guān)系求的甲班的或者：160-40=120（本答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本 例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2時(shí)后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的 2倍。甲、乙兩輛汽車每小時(shí)各行多少千米？精彩思路已知甲車速度是乙車速度的2倍，所以“1倍”數(shù)是乙車的速度?，F(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和，就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時(shí)共行 360千米，故1時(shí)共行 3602180(千米 ，這就是

3、兩輛車的速度和。精妙解答乙車的速度為(3602(21= 60(千米/時(shí) ，甲車的速度為602=20(千米/時(shí) ，或180-60=120(千米/時(shí) 。答：甲車每時(shí)行120千米，乙車每時(shí)行60千米。1從上面兩道例題看出，用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù) 是誰(shuí)，“和”是誰(shuí)。例1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯，其中例2中雖未直接給出“和”，但也很容易求出。下面我們講幾個(gè)“1倍”數(shù)不太明顯的例子。例3 甲隊(duì)有45人，乙隊(duì)有75人。甲隊(duì)要調(diào)入乙隊(duì)多少人，乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍？精彩思路容易求得“二數(shù)之和”為 4575=120(人 。如果從“乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即

4、小數(shù) 是“甲隊(duì)人數(shù)”那就錯(cuò)了，從75不是45的3倍也知是錯(cuò)的。這個(gè)“1倍”數(shù)是誰(shuí)？根據(jù)題意，應(yīng)是調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)的剩余人數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動(dòng)后的人數(shù)關(guān)系，即“調(diào)入人后的乙隊(duì)人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊(duì)剩余的人數(shù)”的3倍。由此畫出線段圖如下：從圖中看出，把甲隊(duì)中“？”人調(diào)入乙隊(duì)后，(4575 就是甲隊(duì)剩下人數(shù)的 314(倍 。從而，甲隊(duì)調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。精妙解答甲隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)為(4575(31 30(人 ，故甲隊(duì)調(diào)入乙隊(duì)的人數(shù)為45-3015(人 。答：甲隊(duì)要調(diào)15人到乙隊(duì)。例4 妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應(yīng)給哥哥多少本書？仿

5、照例3的分析可得如下解法。精妙解答兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(61 倍，根據(jù)和倍公式，妹妹剩下(5324(61 11(本 。故妹妹給哥哥書24-1113(本 。答：妹妹給哥哥書13本。2例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個(gè)。后來(lái)大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個(gè)，而小灰兔自己又采了10個(gè)。這時(shí)，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問(wèn)：原來(lái)大白兔和小灰兔各采了多少個(gè)蘑菇？精彩思路及解答 這道題仍是和倍應(yīng)用題，因?yàn)橛小昂汀?、有“倍?shù)”。但這里的“和”不是 160，而是1602010150，“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個(gè)后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下：根據(jù)和倍公式，小灰兔現(xiàn)有蘑菇 (即

6、“1倍”數(shù)(160-2010(51 25(個(gè) ，故小灰兔原有蘑菇25-1015(個(gè) ，大白兔原有蘑菇160-15145(個(gè) 。答：原來(lái)大白兔采蘑菇145個(gè)，小灰兔采15個(gè)。練習(xí)初試牛刀1. 小敏與爸爸的年齡之和是64歲，爸爸的年齡是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年齡各是多少歲？2. 一肉店賣出豬肉和牛肉共560千克，賣出的豬肉是賣出的牛肉的4倍。豬、牛肉各賣了多少千克？3. 甲、乙兩桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么這時(shí)甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙兩桶原有汽油各多少千克？挑戰(zhàn)自我1. 甲、乙兩人共生產(chǎn)零件100個(gè)，其中甲有2個(gè)零件、乙有5個(gè)零件不合格。已知乙生產(chǎn)

7、的合格零件是甲生產(chǎn)的合格零件的2倍。甲、乙各生產(chǎn)了多少個(gè)零件？2. 團(tuán)結(jié)村原有水田290公頃，旱田170公頃。要把多少公頃旱田改為水田，才能使水田的公頃數(shù)比旱田的公頃數(shù)多2倍？3. 紅星小學(xué)圖書館內(nèi)，科技書是故事書的3倍，連環(huán)畫書又是科技書的2倍。已知這三種書共有1600本，那么每種書各有多少本？3第二講 還原問(wèn)題（三） 知識(shí)要點(diǎn) 對(duì)于有些問(wèn)題，當(dāng)順著題目條件的敘述去尋找解法時(shí)，往往有一定的困難，但是，如果改變思考順序，從問(wèn)題敘述的最后結(jié)果出發(fā)，一步一步倒著思考，一步一步往回算，原來(lái)加的用減，減的用加，原來(lái)乘的用除，除的用乘，那么問(wèn)題便容易解決。這種解題方法叫做還原法或逆推法，用還原法解題的問(wèn)

8、題叫做還原問(wèn)題。（四） 例題選講 例1有一個(gè)數(shù)，把它乘以4以后減去46，再把所得的差除以3，然后減去10，最后得4。問(wèn)：這個(gè)數(shù)是幾？精彩思路 這個(gè)問(wèn)題是由 （446）3104，求出。我們倒著看，如果除以3以后不減去10，那么商應(yīng)該是41014；如果在減去46以后不除以3，那么差該是14342；可知這個(gè)數(shù)乘以4后的積為424688，因此這個(gè)數(shù)是884=22。精妙解答（410）346422。答：這個(gè)數(shù)是22。例2小馬虎在做一道加法題目時(shí)，把個(gè)位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，結(jié)果得到的“和”是123。問(wèn)：正確的結(jié)果應(yīng)是多少？精彩思路利用還原法。因?yàn)榘褌€(gè)位上的5看成9，所以多加了4；又因?yàn)榘咽?/p>

9、位上的8看成3，所以少加了50。在用還原法做題時(shí)，多加了的4應(yīng)減去，多減了的50應(yīng)加上。精妙解答123-450169。答：正確的結(jié)果應(yīng)是169。例3學(xué)校運(yùn)來(lái)36棵樹苗，樂樂與歡歡兩人爭(zhēng)著去栽，樂樂先拿了若干樹苗，歡歡看到樂樂拿得太多，就搶了10棵，樂樂不肯，又從歡歡那里搶回來(lái)6棵，這時(shí)樂樂拿的棵數(shù)是歡歡的2倍。問(wèn)：最初樂樂拿了多少棵樹苗？ 精彩思路先求樂樂與歡歡現(xiàn)在各拿了多少棵樹苗。學(xué)校共有樹苗36棵，樂樂拿的樹苗數(shù)是歡歡的2倍，所以歡歡現(xiàn)在拿了36（21）=12（棵）樹苗，而樂樂現(xiàn)在拿了12224（棵）樹苗，樂樂從歡歡那里搶走了6棵后是24棵，如果不搶，那么樂樂有樹苗24-618（棵），歡歡

10、看樂樂拿得太多，去搶了10棵，如果歡歡不搶，那么樂樂就有 181028（棵）。4精妙解答 365（12）2-610=28（棵）。答：樂樂最初拿了28棵樹苗。例4甲、乙、丙三組共有圖書90本，乙組向甲組借3本后，又送給丙組5本，結(jié)果三個(gè)組擁有相等數(shù)目的圖書。問(wèn)：甲、乙、丙三個(gè)組原來(lái)各有多少本圖書？ 精彩思路及解答盡管甲、乙、丙三個(gè)組之間將圖書借來(lái)借去，但圖書的總數(shù)90本沒有變，由最后三個(gè)組擁有相同數(shù)目的圖書知道，每個(gè)組都有圖書90330（本）。根據(jù)題目條件，原來(lái)各組的圖書為甲組有30333（本），乙組有303532（本），丙組有30525（本）。例5、一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次

11、用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米，這捆電線原有多少米？精彩思路由逆推法知，第二次用完還剩下157=22（米），第一次用完還剩下（2210）224（米），原來(lái)電線長(zhǎng)（243）254（米）。精妙解答（15710）23254（米）。答：這捆電線原有54米。 練習(xí)初試牛刀1. 某數(shù)加上11，減去12，乘以13，除以14，其結(jié)果等于26，這個(gè)數(shù)是多少？2. 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，其結(jié)果等于36，求這個(gè)數(shù)。3. 在125381=1999中，內(nèi)應(yīng)填入什么數(shù)？4. 小樂爺爺今年的年齡數(shù)減去15后，除以4，再減去6之后，乘以10，恰好是100。問(wèn)：小樂爺爺今年多少歲？挑戰(zhàn)自我1. 糧

12、庫(kù)內(nèi)有一批面粉，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半少7噸，還剩4噸。問(wèn)：糧庫(kù)里原有面粉多少噸？2.有一筐梨，甲取一半又一個(gè)，乙取余下的一半又一個(gè)，丙再取余下的一半又一個(gè)，這時(shí)筐里只剩下一個(gè)梨。這筐梨共值8.80元，那么每個(gè)梨值多少錢？3.某人去銀行取款，第1次取了存款的一半還多5元，第二次取了余下的一半還多10元，這時(shí)存折上還剩125元。問(wèn)：此人原有存款多少元？5第三講 巧求長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng) （一）知識(shí)要點(diǎn) 我們知道： 長(zhǎng)方形、正方形的公式看起來(lái)十分簡(jiǎn)單，但用途卻十分廣泛。用它們可以解決許多直角多邊形(所有的角都是直角的多邊形 的周長(zhǎng)問(wèn)題。這是因?yàn)橹苯嵌噙呅慰偪梢苑指畛扇舾蓚€(gè)

13、正方形或長(zhǎng)方形。下面的圖形都可以分割成若干個(gè)正方形或長(zhǎng)方形，當(dāng)然分割的方法不是唯一的。由此，可以演變出許多只涉及正方形、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式的題目。（二）例題選講例1一個(gè)苗圃園(如左下圖 ，周邊和中間有一些路供人行走(圖中線段表示“路”，幾個(gè)小朋友在里面觀賞時(shí)發(fā)現(xiàn)：從A 處出發(fā)，在速度一樣的情況下，只要是按“向右”、“向上”方向走，幾個(gè)人分頭走不同的路線，總會(huì)同時(shí)達(dá)到B 處。你知道其中的道理嗎？分析與解：如右上圖所示，將各個(gè)交點(diǎn)標(biāo)上字母。由A 處到B 處，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六條路線：(1ACDEB；(2ACOEB；(3ACOFB；(4AHGFB；(5AHOEB；(6AHOFB。

14、6因?yàn)锳C 與HO，GF 的路程一樣長(zhǎng)，所以可以把它們都換成 AC；同理，將OE，F(xiàn)B都換成CD；將AH，CO都換成DE；將HG，OF都換成EB。這樣換過(guò)之后，就得到六條路線的長(zhǎng)度都與第(1條路線相同，而第(1條路線的長(zhǎng)“AD+DB”就是長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)+寬”，也就是說(shuō)，每條路線的長(zhǎng)度都是“長(zhǎng)+寬”。路程、速度都相同，當(dāng)然到達(dá)B 處的時(shí)間就相同了。例2 計(jì)算下列圖形的周長(zhǎng)(單位：厘米 。解：(1將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動(dòng)到虛線處(見左下圖 ，這樣正好移補(bǔ)成一個(gè)正方形，所以它的周長(zhǎng)為254=100(厘米 。(2與(1類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)為(10152=50(厘米 。例3

15、 求下面兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)(單位：厘米 。解：(1與例2類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)(151015 厘米、寬(1220 厘米的長(zhǎng)方形，所以周長(zhǎng)為(1510152(12202144(厘米 。(2設(shè)想先把長(zhǎng)20厘米的線段向上平移到兩條長(zhǎng)15厘米的線段中間，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)60厘米，寬(152015 厘米的長(zhǎng)方形，此時(shí)，還有兩條長(zhǎng)35厘米的豎線段。所以周長(zhǎng)為7602 (15 20152352 290(厘米 。例4在一張紙上畫出由四個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的正方形拼湊或組合成的圖形(重疊的線段只算畫一次 。顯然，這個(gè)圖形有多種多樣的畫法，下列各圖是其中的一部分畫法。在所有的這些畫法中，(1哪種畫法畫出的線段總長(zhǎng)最長(zhǎng)？有多長(zhǎng)？(

16、2哪種畫法畫出的線段總長(zhǎng)最短？有多長(zhǎng)？分析與解：畫的線段重疊部分越少，畫的線段就越長(zhǎng)。反之，重疊部分越多，畫的線段就越短。因此，類似圖1那樣畫的線條最長(zhǎng)，共畫了344=48(厘米 。右圖畫的線條最短，共畫了(336=36(厘米 。例5下圖是一個(gè)方形螺線。已知兩相鄰平行線之間的距離均為1厘米，求螺線的總長(zhǎng)度。分析與解：如左下圖所示，按箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)虛線部分，于是得到了三個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，5，7厘米的正方形和中間一個(gè)三邊圖形(見右下圖 。所以螺線總長(zhǎng)度為(357413=63(厘米 。8（三）練習(xí) 1. 試求左下圖的周長(zhǎng) (單位：厘米 。 2. 上頁(yè)右下圖是由邊長(zhǎng)為1厘米的11個(gè)正方形堆成的“土”字圖形

17、。試求出其周長(zhǎng)。3. 右圖是某小學(xué)教學(xué)樓的平面示意圖，設(shè)計(jì)者在圖上只標(biāo)明了三條線段的長(zhǎng)度(單位：米 。請(qǐng)你算出它的周長(zhǎng)。4. 下圖是由七個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的相同長(zhǎng)方形經(jīng)過(guò)豎放、橫放而成的圖形。求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。5. 下面兩圖中的小方格的大小相同。圖(1的周長(zhǎng)為48厘米，圖(2的周長(zhǎng)等于多少？6. 如右圖所示，一個(gè)正方形被分成了三個(gè)相同的長(zhǎng)方形。如果其中一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是16米，那么這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少米？9（四）參考答案1、 移動(dòng)成長(zhǎng)3+5+4、寬6+7的長(zhǎng)方形，所以周長(zhǎng)=（12+13）*2=502、移動(dòng)成5+1的長(zhǎng)方形，沒有寬、長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形，再加上4段邊。（5+1）*2+2*4+4=2

18、43、移動(dòng)成長(zhǎng)50、寬28+16的長(zhǎng)方形，所以周長(zhǎng)=（50+28+16）*2=1884、移動(dòng)成長(zhǎng)4*3+5*3、寬5的長(zhǎng)方形，再加上6個(gè)（5-3）所以（12+15+5）*2+6*2=765、圖一移動(dòng)成長(zhǎng)5寬3的長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)段為（5+3）*2=16，周長(zhǎng)為48，每段為48/16=3，圖二移動(dòng)后為（7+1）*2+4=20，每段為3，共60。 6、把長(zhǎng)方形的寬看作一份，長(zhǎng)為3份。一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是8份，8份是16，1份是2，3份是6，正方形的周長(zhǎng)是6*4=24第四講 圖形計(jì)數(shù)（五） 知識(shí)要點(diǎn)小朋友，你想學(xué)會(huì)數(shù)圖形的方法嗎？要想不重復(fù)也不遺漏地?cái)?shù)出線段、角、三角形那就必須要有次序、有條理地?cái)?shù)，從中發(fā)現(xiàn)

19、規(guī)律，以便得到正確的結(jié)果。要正確數(shù)出圖形的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個(gè)，然后再數(shù)出由基本圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。（六） 例題選講例題1 數(shù)出下面圖中有多少條線段？精彩思路我們可以采用以線段左端點(diǎn)分?jǐn)?shù)數(shù)的方法，我們還可以把圖中線段AB 、BC 、CD 看作基本線段來(lái)數(shù)，精妙解答采用以線段左端點(diǎn)分?jǐn)?shù)數(shù)的方法。以A 點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：AB 、AC 、AD 共3條；以B 點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：BC 、BD 共2條；以C 點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：CD 共1條。10所以，圖中共有線段321=6條。我們還可以這樣想：把圖中線段AB 、BC 、CD 看作

20、基本線段來(lái)數(shù)，那么： 由1條基本線段構(gòu)成的線段：AB 、BC 、CD 共3條； 由2條基本線段構(gòu)成的線段：AC 、BD 共2條； 由3條基本線段構(gòu)成的線段：AD 只1條。 所以，圖中共有321=6條線段。 例題2 數(shù)出下圖中有幾個(gè)角。精彩思路數(shù)角的個(gè)數(shù)可以采用與數(shù)線段相同的方法來(lái)數(shù)。 精妙解答以AO 為一邊的角有：AOB 、AOC 、AOD 三個(gè)； 以BO 為一邊的角有：BOC 、BOD 兩個(gè)； 以CO 為一邊的角有：COD 一個(gè)。 所以圖中共有321=6個(gè)角。小朋友，如果把圖中AOB 、BOC 、COD 看作基本角，那應(yīng)該怎樣數(shù)呢？動(dòng)動(dòng)腦筋。例題3 數(shù)出下面圖中共有多少個(gè)三角形。 精彩思路數(shù)

21、三角形的個(gè)數(shù)也可以采用按邊分類的方法來(lái)數(shù)，還可以數(shù)出圖中三角形的個(gè)數(shù)，只需數(shù)出ABE 的底邊中包含幾條線段就可以了。精妙解答數(shù)三角形的個(gè)數(shù)也可以采用按邊分類的方法來(lái)數(shù)。 以AB 為邊的三角形有：ABC 、ABD 、ABE 三個(gè)； 以AC 為邊的三角形有：ACD 、ACE 二個(gè)； 以AD 為邊的三角形有：ADE 一個(gè)。 所以圖中共有三角形321=6個(gè)。我們還發(fā)現(xiàn)，要數(shù)出圖中三角形的個(gè)數(shù)，只需數(shù)出ABE 的底邊中包含幾條線段就可以了，即321=6條。所以圖中共有6個(gè)三角形。例題4 數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形。精彩思路數(shù)圖形中有多少個(gè)長(zhǎng)方形和數(shù)三角形的方法一樣，長(zhǎng)方形是由長(zhǎng)寬兩對(duì)線段圍成，線段CD 上

22、有321=6條線段，其中每一條與AC 中一條線段對(duì)應(yīng)，分別作為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，這里共有61=6個(gè)長(zhǎng)方形；而AC 上共21=3條線段也就有63=18個(gè)長(zhǎng)方形。精妙解答長(zhǎng)方形的總數(shù)=長(zhǎng)邊線段的總數(shù)寬邊線段的總數(shù) 63=18（個(gè)）長(zhǎng)方形例題5 有10個(gè)小朋友，每2個(gè)人照一張合影，一共要照多少?gòu)?精彩思路這道題可以用數(shù)線段的方法來(lái)解答。根據(jù)題意，畫出線段圖，每一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)小朋友：從圖上可以看出，第1個(gè)小朋友要與其余9個(gè)小朋友合影，要照9張照片；第 2個(gè)小朋友還要與其余8個(gè)小朋友合影，再照8張照片以此類推，第9個(gè)小朋友只要再與1個(gè)小朋友合影，再照1張照片。精妙解答一共要照987654321=45張照片

23、。練習(xí) 初試牛刀1，數(shù)出下圖中各有多少條線段？2，數(shù)出下圖中有幾個(gè)角。3、數(shù)出下面圖中共有多少個(gè)三角形。 4、數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形。挑戰(zhàn)自我1，三年級(jí)有6個(gè)班，每?jī)蓚€(gè)班要比賽拔河一次，這樣一共要組織多少場(chǎng)比賽？ 2，有紅、黃、藍(lán)、白四只氣球，如果每?jī)芍粴馇蛟梢皇灿卸嗌俜N不同的扎法？3，有16六個(gè)數(shù)字，能組成多少個(gè)不同的兩位數(shù)？參考答案初試牛刀1、 4+3+2+1 = 10（條） 5+4+3+2+1 = 15（條） 2、1+2+3 = 6（條） 3、 1+2 = 3（個(gè)） 1+2+3+4 = 10（個(gè)）4、 （1+2+3+4）（1+2）= 30（個(gè)） （1+2+3+4）（1+2+3）=

24、 60（個(gè)）挑戰(zhàn)自我1、假設(shè)班號(hào)為、。班和其他班比賽的場(chǎng)次是：、，5場(chǎng)；班因?yàn)橐呀?jīng)和班比賽過(guò)，不能重復(fù)計(jì)算，還可以比賽的場(chǎng)次是：、，4場(chǎng)；同理，班還可以比賽的場(chǎng)次是：、，3場(chǎng)； 同理，班還可以比賽的場(chǎng)次是：、，2場(chǎng)； 同理，班還可以比賽的場(chǎng)次是：，1場(chǎng) 共計(jì)：5+4+3+2+1 = 15（次）2、可以扎的方法：紅黃、紅藍(lán)、紅白、黃藍(lán)、黃白、黃、藍(lán)白。 共計(jì)：3+2+1 = 6（種）3、1可以和其他5個(gè)數(shù)組成5種：12、13、14、15、16； 2可以和其他4個(gè)數(shù)組成4種：23、24、25、26； 3可以和其他3個(gè)數(shù)組成3種：34、35、36； 4可以和其他2個(gè)數(shù)組成2種：45、46； 5可以和

25、其他1個(gè)數(shù)組成1種：56。與前面題目類型不同的是，這兩個(gè)數(shù)可以顛倒，比如1、2，可以組成12或者21。 此題共有：（5+4+3+2+1）2 = 30（種）第五講 和差問(wèn)題 （一）知識(shí)要點(diǎn)和差問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)常見的一種應(yīng)用題，它在日常生活中應(yīng)用很廣泛，解題的關(guān)鍵在于找出題目中的和與差，再利用以下的數(shù)量關(guān)系式去解答，就顯得容易了。 （和差）2較大的數(shù)； （和差）2較少的數(shù) 或 和較大的數(shù)較少的數(shù)； 和較少的數(shù)較大的數(shù) （二）例題選講精彩思路 精妙解答（1）32=（3+2）2=2.5精妙思路精妙解答 精彩思路 精妙解答精彩思路 精妙解答精妙思路精妙解答 練習(xí) 初試牛刀1、學(xué)校做掃除，張娟和陳芳一共擦玻

26、璃31塊，又知張娟比陳芳少擦9塊，張娟、陳芳各擦玻璃多少塊？2、小蘭期末考試時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)平均分是96分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多4分，問(wèn)小蘭語(yǔ)文多少分？數(shù)學(xué)多少分？3、今年弟弟16歲，哥哥20歲，當(dāng)兩人的年齡和是52時(shí)，弟弟多少歲。4、一個(gè)兩位數(shù)由兩個(gè)數(shù)字組成，兩個(gè)數(shù)字之和是 8 ，兩個(gè)數(shù)字之差是 2，這個(gè)數(shù)是多少？挑戰(zhàn)自我1、甲框里有蘋果 30 千克，乙框里有桔子若干千克，如果從乙框里取出12千克桔子，蘋果就比桔子多10千克，乙框原有桔子多少千克。2、甲乙兩船共載客623人，若甲船增加34人，乙船少57人，這時(shí)兩船乘客同樣多，甲船原來(lái)有乘客多少人。3、 無(wú)線電廠、二廠共有工人864人，為了照顧工人就近上

27、班，從一廠調(diào)入二廠32名工人，這樣一廠工人數(shù)還比二廠多48，一廠、二廠原來(lái)各有工人多少人？ 4、一部書有上、中、下三冊(cè)，上冊(cè)比中冊(cè)貴5角，中冊(cè)比下冊(cè)貴7角，這樣的四部書共值340角，上、中、下冊(cè)多少角？5、兩筐蘋果共重90千克，如果從第一框中取出6千克，放入第二筐后，兩筐的重量相等，兩筐蘋果原來(lái)各多少千克？6、兩個(gè)水桶共盛水50千克，如果把第一桶里的水倒出6千克，兩個(gè)水桶的水就一樣多了。第一桶原盛水多少千克？參考答案初試牛刀1、陳芳；（319）220（塊） 張娟；20911塊 2、數(shù)學(xué)（9624）98分 語(yǔ)文98494分 3、弟弟【52 （2016）】224歲 4、（82）25 523 挑戰(zhàn)自

28、我1、30101232千克 2（6233457）22663、 一廠；（86448）232488人 二廠； 864488376人 4、上；（342557）3119角 中；1195114角 下；1147107角5、 902639（千克） 903951（千克）答； 第一筐有51千克， 第二筐有39千克6、（506） 222（千克） 502228（千克） 答； 第一桶原盛水28千克。第六講 余數(shù)問(wèn)題（七） 知識(shí)要點(diǎn)在三年級(jí)上期的學(xué)生開始初步接觸有余數(shù)的除法，知道了余數(shù)必須比除數(shù)小，余數(shù)是余下的不能夠再分（整數(shù)）的數(shù)。盡管學(xué)生初次接觸，但余數(shù)這個(gè)概念在數(shù)學(xué)上有著非常重要的地位，故在此進(jìn)行一些拓展。這里，

29、主要介紹一些在整數(shù)范圍內(nèi)的余數(shù)問(wèn)題。1、利用直觀體驗(yàn)的方法，使學(xué)生會(huì)觀察、學(xué)會(huì)深入思考問(wèn)題，從中領(lǐng)悟如何利用余數(shù)解決一些有關(guān)余數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的能力，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2、弄清一些數(shù)量關(guān)系：被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；商除數(shù)余數(shù)被除數(shù)；進(jìn)一步弄清余數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：兩個(gè)數(shù)相除，余數(shù)一定小于除數(shù)；兩個(gè)數(shù)相除，若除數(shù)是a ，那么，余數(shù)就有(a1 種可能。（八） 例題選講例1、如圖：，那么,第13個(gè)圖是什么形?第115個(gè)圖是什么形?精彩思路通過(guò)觀察可以看出這些圖形的排列是有規(guī)律的，按照“”一組，不斷的在重復(fù)出現(xiàn)。第一小題，可以讓學(xué)生根據(jù)自己觀察到的規(guī)律，自己接著往后面畫，就能夠得出第13個(gè)圖

30、形是什么圖形了。第二小題，學(xué)生根據(jù)觀察的規(guī)律，如果再往后邊畫，到第115個(gè)圖形，顯然有些復(fù)雜，很花費(fèi)時(shí)間。此時(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生觀察這樣的一組“”有3個(gè)圖形，13里面最多能夠有這樣的幾組？還剩下幾個(gè)？學(xué)生很直觀觀察到了其結(jié)果。進(jìn)一步引導(dǎo)用算式表示，并說(shuō)出算式與圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。用這樣的思維來(lái)解決第二小題，從而提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，并鍛煉了其思維。精妙解答因?yàn)?，是按照這樣“”3個(gè)為一組在不斷的重復(fù)。1153=38（組）1（個(gè)）所以，第115個(gè)圖形應(yīng)該是“”。例2、一段路上的樹，按2棵桑樹，3棵槐樹，4棵柏樹的順序栽種，第50棵樹是什么樹?精彩思路學(xué)生按照2棵桑樹，3棵槐樹，4棵柏樹的順序畫圖，不難

31、發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律按是2棵桑樹，3棵槐樹，4棵柏樹為一組在不斷地重復(fù)，故可以按照有余數(shù)的問(wèn)題的思維來(lái)解決。精妙解答因?yàn)榘?棵桑樹，3棵槐樹，4棵柏樹為一組在不斷地重復(fù)，509=4（組）5（棵）所以，第50棵樹是槐樹。例3、今天是星期一，從今天算起第100天是星期幾？精彩思路今天是星期一，求第100天是星期幾，因?yàn)榻裉煲呀?jīng)算第1天，實(shí)際上從明天算起第99天是星期幾就是本題的解。精妙解答997=14（周）1（天）99天共有14個(gè)星期又1天，今天是星期一，過(guò)14個(gè)星期還是星期一，再過(guò)一天就是星期二。例4、有同樣大小的紅、黃、藍(lán)三色珠子共360個(gè)，按先3個(gè)紅色珠子，再2個(gè)黃色珠子，再4個(gè)藍(lán)色珠子排列。三色

32、珠子各是多少個(gè)？精彩思路按先3個(gè)紅色珠子，再2個(gè)黃色珠子，再4個(gè)藍(lán)色珠子排列，一個(gè)循環(huán)就是9（423=9），在360個(gè)珠子里包含有3609=40（個(gè)）循環(huán)（循環(huán)也稱為周期）。以求黃珠子為例，每個(gè)周期里有2個(gè)黃色珠子，共40個(gè)周期，因此240=80（個(gè)），同理可求紅珠子和藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)。精妙解答360（423）=40（個(gè)）340=120（個(gè)）；240=80（個(gè)）；440=160（個(gè)）例5、2008個(gè)學(xué)生按照下列的方法編號(hào)排列：A B C D E1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 1418 19 20 2125 24 23 22那么，最后一名學(xué)生應(yīng)該排在第幾列？精

33、彩思路仔細(xì)觀察排列規(guī)律，除15以外，從第二行開始8個(gè)數(shù)按一個(gè)循環(huán)依次不斷地重復(fù)排列，每個(gè)循環(huán)的第一個(gè)數(shù)排列在的后面。如果2008名學(xué)生先去掉5名，還剩下20085=2003（名）學(xué)生，把2003名學(xué)生按每8個(gè)一組，20038=250（組）3（名），從而得到所求的解。精妙解答（20085）8=250（組）3（名）所以，最后一名學(xué)生應(yīng)該排在B 列。練習(xí)初試牛刀1、如圖：那么第38個(gè)圖是什么形？ 第121個(gè)圖是什么形？ 第60個(gè)圖是什么形？2、學(xué)校插彩旗，按照2面紅旗，1面藍(lán)旗，4面黃旗的順序插旗子，這樣第82的面是什么旗子？3、有一堆圍棋，按“二白三黑”的順序排列，那么第31個(gè)是白子還是黑子？4、

34、國(guó)慶節(jié)掛燈，按“紅、黃、紅、藍(lán)、綠”的順序掛，一共掛了100盞，這些燈各有多少盞？5、今年六月一日是星期三，那么今年八月一日是星期幾？6、下面有一列數(shù)：1、3、5、1、3、5、1、3、5第32個(gè)數(shù)是幾？這32個(gè)數(shù)的和是多少？7、1993年9月1日是星期三，再過(guò)58日是星期幾？那年的10月15日是星期幾？挑戰(zhàn)自我1、某年的9月1日是星期三，問(wèn)該年的4月1日是星期幾？2、今年的1月1日是星期四，問(wèn)今年的5月1日是星期幾？3、某年的十月里有五個(gè)星期六，4個(gè)星期日，問(wèn)這年的10月1日是星期幾？參考答案初試牛刀1、386=6（組）2（個(gè)），第38個(gè)圖是形。1216=20（組）1（個(gè)），第121個(gè)圖是形。

35、606=10（組），第60個(gè)圖是形。2、82（2+1+4）=11（組）5（面）所以，這樣第82的面是黃旗子。3、31（2+3）=6（組）1（個(gè)）所以，第31個(gè)是白子。4、國(guó)慶節(jié)掛燈，按“紅、黃、紅、藍(lán)、綠”的順序掛，一共掛了100盞，這些燈各有多少盞？1005=20（組）220=40（盞），120=20（盞）所以，紅燈有40盞，黃、紅、藍(lán)、綠各有20盞。5、（29+31+1）7=8（周）5（天）那么今年八月一日是星期一。6、323=10（組）2（個(gè)）第32個(gè)數(shù)是3。（1+3+5）10+1+3=94.所以這32個(gè)數(shù)的和是94。7、1993年9月1日是星期三，587=8（周）2（天），所以再過(guò)58

36、日是星期五。（29+15）7=6（周）2（天）那么，那年的10月15日是星期五。挑戰(zhàn)自我1、（29+31+30+31+31+1）7=21（周）5（天），那么該年的4月1日是星期五。2、今年是2009年，是平年，所以二月只有28天。（30+28+31+30+1）7=17（周）1（天），那么，今年的5月1日是星期五。3、這年的10月1日是星期三。第七講 豎式數(shù)字謎（一） 知識(shí)要點(diǎn)在豎式中，有一些待定的數(shù)字，如何根據(jù)運(yùn)算法則和式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)掌握數(shù)的加、減的“拆分”。關(guān)鍵是通過(guò)綜合觀察、分析，靈活運(yùn)用運(yùn)算法則和整數(shù)的性質(zhì)，找出解題的“突破口”，把待定的數(shù)字確定出來(lái)，使原式成立。這里我們所用的數(shù)字

37、都為整數(shù)中的數(shù)字。（二）例題選講例1 在下面的豎式中，A ，B ，C ，D 各代表什么數(shù)字？【精彩思路】：顯然，C=5，D=1(因兩個(gè)數(shù)字之和只能進(jìn)一位 。由于A 41即A 5的個(gè)位數(shù)為3，且必進(jìn)一位(因?yàn)?3 ，【精妙解答】C=5,D=1A 5=13，從而A 13-5=8。同理，由7B 1=12，即B 812，得到B 12-84。故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。例2 求下面各豎式中兩個(gè)加數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和： （）（） （） （）+ （）（） + （） （）1 4 9 1 9 5【精彩思路】：(1由于和的個(gè)位數(shù)字是9，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和不大于9918，所以兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位上的兩

38、個(gè)方框里的數(shù)字之和只能是9。(這是“突破口”再由兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)之和未進(jìn)位，因而兩個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字之和就是14。 故這兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是914=23。(2由于和的最高兩位數(shù)是19，而任何兩個(gè)一位數(shù)相加的和都不超過(guò)18，因此，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)相加后必進(jìn)一位。(這是“突破口”，與(1不同這樣，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字相加之和是15，十位數(shù)字相加之和是18。所求的兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是151833。注意：(1(2兩題雖然題型相同，但兩題的“突破口”不同。(1是從和的個(gè)位著手分析，(2是從和的最高兩位著手分析。例3 在下面的豎式中，A ，B ，C ，D ，E 各代表什么數(shù)？A B C D + E B

39、 E DE B C A D精彩思路由于四位數(shù)加上四位數(shù)其和為五位數(shù)，所以可以確定和的首位數(shù)字E=1。又因?yàn)閭€(gè)位上D+D=D，所以D=0。此時(shí)算式為：A B C 0 + 1 B 1 01 0 C A 0下面分兩種情況進(jìn)行討論：（1） 若百位沒有向千位進(jìn)位，則由千位可確定A=9，由十位可確定C=8，由百位可確定B=4，由此得到問(wèn)題的一個(gè)解。（2） 若百位向千位進(jìn)1，則由千位可確定A=8，由十位可確定C=7，百位上不論B 為什么樣的整數(shù)，B+B的個(gè)位都不可能為7，因此不成立?！揪罱獯稹? 4 8 0 + 1 4 1 01 0 8 9 0例4 在下面的豎式中，“車”、“馬”、“炮”各代表一個(gè)不同的數(shù)

40、字。請(qǐng)把這個(gè)文字式寫成符合題意的數(shù)字式。炮 車 車 炮 車 馬 車_馬 車 馬精彩思路例3是從個(gè)位著手分析，而這里就只能從首位著手分析。由一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)的差是三位數(shù)知“炮”1被減數(shù)與減數(shù)的百位數(shù)相同，其相減又是退位相減，所以，“馬”9。至此，得到下式：由上式知，個(gè)位上的運(yùn)算也是退位減法，由11-“車”=9得到“車”2?！揪罱獯稹颗?1，馬=9，11-車=9則車=2因此，符合題意的數(shù)字式為：1 2 2 1 - 2 9 29 2 9例5 在下面的豎式中，“巧，填，式，謎”分別代表不同的數(shù)字，它們各等于多少？謎式謎填式謎+ 巧填式謎2 0 0 0精彩思路由(4謎 的個(gè)位數(shù)是0知，“謎”0

41、或5。當(dāng)“謎”0時(shí)，(3式 的個(gè)位數(shù)是0，推知“式”0，與“謎”“式”矛盾。 當(dāng)“謎”5時(shí)，個(gè)位向十位進(jìn)2。由(3式+2的個(gè)位數(shù)是0知，“式”6，且十位要向百位進(jìn)2。由(2填+2的個(gè)位數(shù)是0，且不能向千位進(jìn)2知，“填”4。最后推知，“巧”1。精妙解答“巧”1，“填”4，“式”=6，“謎”5。練習(xí)【初試牛刀】1. 在下面的乘法豎式中，每個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，那么“學(xué)”代表的數(shù)字是（ ）數(shù) 學(xué) 數(shù) 學(xué)（）（） 學(xué)（） 0 8勤 奮 好 學(xué)2 在下面的算式中，漢字“珊，瑚，小，學(xué)，三，年，級(jí)”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，使得加

42、法算式成立，則“珊，瑚，小，學(xué)，三，年，級(jí)”所代表的7個(gè)數(shù)字的和等于（ ）珊 瑚 小 學(xué)+ 三 年 級(jí)2 0 0 93.【挑戰(zhàn)自我】1. 在下面的豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，記被減數(shù)的數(shù)字和為A ，減數(shù)的數(shù)字和為B ，差的數(shù)字和為C ，而且要求AB，那么A-B 與C 得差是（ ）第八講 找規(guī)律【知識(shí)要點(diǎn)】先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，(1 1，2，3，4，5，6，(2 1，2，4，8，16，32；(3 1，0，0，1，0，0，1，(4 1，1，2，3，5，8，13。一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n 個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第n 項(xiàng)。如

43、，數(shù)列(1的第3項(xiàng)是3，數(shù)列(2的第3項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第n 項(xiàng)記作a n 。數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)列(2年個(gè)(4，也可以是無(wú)限多個(gè)，如數(shù)列(1(3。許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。 數(shù)列(1是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)+1，或第n 項(xiàng)a n n 。數(shù)列(2的規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)2，或第n 項(xiàng)數(shù)列(3的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。數(shù)列(4的規(guī)律是：從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和，即a 3=1+1=2，a 4=1+2=3，a 5=2+35，a 6=3+5=8，a 7=5+8=13。常見的

44、較簡(jiǎn)單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：第一類是數(shù)列各項(xiàng)只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項(xiàng)有關(guān)。例如數(shù)列(1(2。第二類是前后幾項(xiàng)為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3(4。 第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對(duì)比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例3、例4來(lái)作一些說(shuō)明。例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( 內(nèi)填上合適的數(shù)：(14，7，10，13，( ，(284，72，60，( ，( ；(32，6，18，( ，( ，(4625，125，25，( ，( ；(51，4，9，16，( ，(62，6，12，20，( ，( ，【精彩思路】：通過(guò)對(duì)已知的幾個(gè)數(shù)的前后兩項(xiàng)的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)(

45、1的規(guī)律是：前項(xiàng)+3=后項(xiàng)。(2的規(guī)律是：前項(xiàng)-12=后項(xiàng)。(3的規(guī)律是：前項(xiàng)3=后項(xiàng)。、(4的規(guī)律是：前項(xiàng)5=后項(xiàng)。、(5的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為1=11， 4=22， 9=33， 16=44，(6的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為2=12，6=23，12=34，20=45，說(shuō)明：本例中各數(shù)列的每一項(xiàng)都只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此a n 可以用n 來(lái)表示。各數(shù)列的第n 項(xiàng)分別可以表示為(1a n 3n +1；(2a n 96-12n ；(3a n 23n-1；(4a n 55-n ；(5a n n 2；(6a n n(n+1。這樣表示的好處在于，如果求第100項(xiàng)等于幾，那么不用一項(xiàng)一項(xiàng)地計(jì)算，直接就可以算出來(lái)，比如數(shù)列(1的第100項(xiàng)等