在中學數(shù)學教學中滲透數(shù)學史的教育

1、在中學數(shù)學教學中滲透數(shù)學史的教育劉峰摘要 ：數(shù)學史在中學數(shù)學教學中的作用是非常重要的。教師在教學過程中融入 數(shù)學史的內容，可以幫助學生認識數(shù)學、形成正確的數(shù)學觀；有利于培養(yǎng)學生正確 的數(shù)學思維方式；有利于開闊學生視野，培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣。傳授數(shù)學史的一 些知識也為德育教育提供了舞臺。為了提高教學質量，加深學生對數(shù)學理論的認識。 本文從歷史和人文等角度分析了數(shù)學史在這方面的作用。通過數(shù)學名人軼事、千古 名題激發(fā)學生求知欲。有助于學生更全面、深入地理解數(shù)學知識。關鍵詞 ：數(shù)學史 數(shù)學興趣 知識框架 教育功能1 數(shù)學史融入中學教學的提出1.1 數(shù)學史融入教學的背景數(shù)學是人類最久遠的知識領域之一。從

2、結繩記數(shù)到電子計算機的發(fā)明；從量地 測天到抽象嚴密的公理化體系的建立，五千余年的數(shù)學歷史長河中，重大數(shù)學思想 方法的誕生與發(fā)展是數(shù)學史中最具魅力的題材。 “數(shù)學史研究數(shù)學概念、數(shù)學方法和 數(shù)學思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系” 。丹皮爾 （WCDampier） 曾經(jīng)說過：“再沒有什么故事能比科學思想發(fā)展的故事更有魅力了。普通高中數(shù)學課程標準 （ 實驗 ） 全面規(guī)劃了新時期高中數(shù)學的課程框架，明 確提出：高中數(shù)學課程對于認識數(shù)學與自然、數(shù)學與人類社會的關系，認識數(shù)學的 科學價值、文化價值，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力，形成理性思維， 發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎性的

3、作用。那么，高中數(shù)學的課堂教學如何適應這些 新的要求，使得學生能夠更充分地認識到數(shù)學的科學價值以及人文價值呢 ?法國數(shù)學家龐加萊 （H Poincare） 曾經(jīng)提出，數(shù)學課程內容應按照數(shù)學史內容的 發(fā)展順序展現(xiàn)給讀者。我國著名的數(shù)學家徐利治也認為，數(shù)學哲學、數(shù)學史與數(shù)學 教育的結合是教育改革的一個重要方向。數(shù)學教育家華東師范大學張奠宇教授也積 極倡導，讓數(shù)學史成為數(shù)學教育的有機部分。既然數(shù)學史走進中學數(shù)學課堂已經(jīng)成 為一種共識，那么，數(shù)學史又應該以怎樣的面貌出現(xiàn)在數(shù)學課堂之上，成為教學的 一個有機成分呢 ?1.2 數(shù)學史對數(shù)學教育的意義普通高中數(shù)學課程標準 （ 實驗 ） 提出，高中數(shù)學課程目標

4、應該使得學生“了 解概念、結論等產(chǎn)生的背景、應用，體會其中所蘊含的數(shù)學思想和方法，以及它們 在后續(xù)學習中的作用。通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造 的歷程；具有一定的數(shù)學視野，逐步認識數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值， 形成批判性的思維習慣，崇尚數(shù)學的理性精神，體會數(shù)學的美學意義，從而進一步 樹立辨證唯物主義和歷史唯物主義世界觀?！倍@些課程目標的達成單純地依靠數(shù) 學知識的傳授學習及數(shù)學技巧的機械訓練幾乎難以實現(xiàn)，在數(shù)學課堂教學中，如果 能穿插些相關的數(shù)學史，有證據(jù)表明，這對上述數(shù)學課程目標的實現(xiàn)具有積極的影 響作用。全面性數(shù)學課程目標的達成離不開數(shù)學史。數(shù)學課堂的教學也離

5、不開數(shù)學史。 本研究著眼于數(shù)學史走進中學課堂，力求探索其實現(xiàn)的具體途徑。所要研究的基本 問題就是，數(shù)學史應該以怎樣的面貌出現(xiàn)在中學數(shù)學的課堂教學之中 ?在本文中，所謂數(shù)學史走進中學課堂主要是指一種教學的具體途徑，使得在數(shù) 學課堂教學中適當?shù)?、恰如其分地滲透一些數(shù)學史的知識。比如：在教學設計中 融合一些數(shù)學史的知識；充分利用數(shù)學教科書中有關插圖、閱讀自學、注釋等內 容，借題發(fā)揮“評述”相關的數(shù)學史知識；開展與數(shù)學史相關的課題學習等三個 方面。希望借此以提高學生數(shù)學學習的興趣，豐富學生的數(shù)學視野，進而為學生更 好地理解數(shù)學概念及結論逐步形成的過程，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的歷史過程，體會 蘊含其中的思想

6、方法，提供一種“催化劑”。1.2.1 數(shù)學教學的現(xiàn)實需要一些數(shù)學史2003年對數(shù)學骨干教師作的問卷調查顯示：缺乏對數(shù)學史教育意義的深入理 解。雖有教師曾經(jīng)有意識的將數(shù)學史引進數(shù)學課堂，但并未充分認識到數(shù)學史深刻 的數(shù)學教育價值，所寫出的數(shù)學史在數(shù)學教學中的作用包括內容新穎、進行德育、 有愉悅性、使課堂氣氛活躍、引發(fā)學習興趣等。教師對數(shù)學史知識只有一些粗淺 的了解；缺乏與課程內容相對應的數(shù)學史參考資料；對中國的數(shù)學家較為熟悉，對國外的數(shù)學家知之甚少。教師自覺運用數(shù)學史的意識不強。有一部分教師從未自 覺地在教學中運用數(shù)學史，對教材中的閱讀材料或不予理睬或安排學生自己閱讀。不知道如何運用數(shù)學史。教師

7、普遍有使用數(shù)學史的愿望，但對數(shù)學史如何恰當?shù)?引入到數(shù)學教學中缺乏必要的認識，擔心用不好會浪費時間。1.2.2 有意義的數(shù)學教學需要一些數(shù)學史當前數(shù)學教育還是“應試教育”主導著高中數(shù)學教學，無論是教材的編寫還是具體的課堂教學，過于偏重演繹論證訓練，課堂上講的是邏輯論證，學生關注的是 邏輯推理，忽視了定理發(fā)現(xiàn)發(fā)展過程，“掐頭去尾燒中段”的教學方式依然盛行， 這對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識是極為不利的。學校評價老師的標準是學生的考分，社會評價學校的標準是升學率的高低，導 致教師的教學針對的是考試而不是學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，針對評分標準過分強調得 分細節(jié)，在教學中常常是只見樹木不見森林；細節(jié)多，思想少，見不到

8、本質；重視 知識的學習和技能的培養(yǎng)，忽視情感態(tài)度方面的發(fā)展。偶然的背后有著必然的聯(lián)系，中國數(shù)學教育在優(yōu)異成績的背后存在著不和諧的 一面，改變這種情形，除了要改革現(xiàn)行的教育評價體制外，教材的編寫和教師教學 觀念的轉變也是關鍵因素，而在教材編寫和課堂教學中滲透數(shù)學史，引導學生關注 數(shù)學概念、數(shù)學思想的發(fā)生發(fā)展過程，重視雙基的同時關注學生情感態(tài)度的發(fā)展是 改變當前數(shù)學教學現(xiàn)狀的有效途徑之一。1.2.3 數(shù)學史走進中學課堂的價值數(shù)學史的研究有三重目的：一是為歷史而歷史，即恢復歷史的本來面目；二為 數(shù)學而歷史，既古為今用，洋為中用，為現(xiàn)實數(shù)學研究的自主創(chuàng)新服務；三是為教 育而歷史，既將數(shù)學史用于數(shù)學教育

9、，發(fā)揮數(shù)學史在培養(yǎng)現(xiàn)代化人才方面的作用。數(shù)學史對數(shù)學教學的作用主要在四個方面：有利于幫助學生加深對數(shù)學概念、 方法和思想的理解；有利于幫助學生體會活的數(shù)學創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性 思維能力；有利于幫助學生了解數(shù)學的應用價值和文化價值，明確學習數(shù)學的目 的，增強學習數(shù)學的動力：有利于幫助學生樹立科學品質，培養(yǎng)良好的精神。1.3 數(shù)學史融入中學數(shù)學教學的條件數(shù)學史融入中學數(shù)學課堂教學必須做到以下條件：第一，經(jīng)常與一線教師接觸，經(jīng)常聽課，了解一線教師、教學的現(xiàn)狀； 第二，對中學的教材、教法、考試非常熟悉： 第三，對教育、教學的理論比一線教師要認識深刻； 第四，數(shù)學史理論研究人員接觸很多，取得合作相

10、對較易； 第五，經(jīng)常進行教學研究活動，有利于不同學校教師之間的交流； 第六，進行教師培訓，經(jīng)常出去講學，研究的成果有利于推廣 以上的條件可以看出應該以教研員為核心，組成數(shù)學史專家、數(shù)學教育家、數(shù) 學教師的一個團隊，合作解決數(shù)學史如何融入中學數(shù)學課堂教學2 數(shù)學史融入數(shù)學教學的重要性2.1 數(shù)學史在數(shù)學教學中的地位數(shù)學史是學習數(shù)學、認識數(shù)學的一門學科。人們要認識數(shù)學概念、數(shù)學思想和 方法的發(fā)展過程，增加對數(shù)學學科的了解，建立數(shù)學的整體意識，就必須運用數(shù)學 史作為補充和指導。數(shù)學史與數(shù)學哲學 =科學哲學，與社會史、文化史的各個方面都 有密切的聯(lián)系。它們之間的內容涉及什么是數(shù)學、數(shù)學與人類思想的革新

11、、數(shù)學與 其他科學技術的關系、數(shù)學和社會進步等方面。數(shù)學與其他學科的聯(lián)系不僅具有溝 通文、 理的性質， 而且有助于深刻理解數(shù)學的文化內涵， 對于培養(yǎng)文、 理兼通，“學、 才、識”兼?zhèn)涞臄?shù)學專業(yè)人才有重要意義。“學、才、識”，即知識、能力以及見 識和思想，其中“識”是引導知識和能力走向何方的根本性問題。如果數(shù)學教學只 是停留在數(shù)學理論本身的學習上。甚至對數(shù)學理論的實質也沒有深入探究，學生就 不可能理解依托于數(shù)學知識體系之上的數(shù)學思想和信仰，不可能理解貫穿于數(shù)學研 究活動中的科學精神（包括科學的實證精神、理性精神、批判精神）與數(shù)學的美感 及鑒賞能力，不可能理解與數(shù)學的社會功能密切相關的倫理準則等數(shù)

12、學文化底蘊， 更不會形成“才”與“識”。因此，學習數(shù)學史是以“素質教育”為目標的數(shù)學教 學的內在要求，它對于培養(yǎng)學生的人文主義精神以及數(shù)學觀念、數(shù)學能力、數(shù)學整 體意識有特殊意義。2.2 數(shù)學史在數(shù)學教學中的作用在數(shù)學教學中，結合教學內容，適時、適度、適量地運用一些數(shù)學史料，可以激發(fā)學生的學習興趣，啟迪思維，幫助學生更好地理解數(shù)學。因此融數(shù)學史于數(shù)學 教育之中是數(shù)學教育改革的一個重要方向。2.2.1 加深對數(shù)學理論的理解數(shù)學史可以讓學生認識數(shù)學發(fā)展的規(guī)律，從前人的經(jīng)驗教訓中獲取鼓舞和啟示。 一般說來，數(shù)學史不僅可以給出一種確定的數(shù)學知識，還可以給出相應知識的創(chuàng)造 過程。對這種創(chuàng)造過程的了解，可

13、以使學生體會到一種活的、真正的數(shù)學思維過程。 歷史可以引導我們創(chuàng)造一種探索與研究的課堂氣氛而不是單純地傳授知識。歷史 上許多著名問題的提出與解決方法還有助于學生理解與掌握所學的內容。對于那些需要通過重復訓練才能達到的目標，數(shù)學歷史名題又可以使這種枯燥 乏味的過程變得富有趣味和探索意義，從而極大地調動學生的積極性，提高他們的 興趣。對于學生來說，歷史上的問題是真實的，因而更為有趣；歷史名題的提出一 般來說都是非常自然的，它或者直接提供相應數(shù)學內容的現(xiàn)實背景，或者揭示了實 質性的數(shù)學思想方法，這對于學生理解數(shù)學內容和方法都是重要的；許多歷史名題 的提出及解決與大數(shù)學家有關，讓學生感到他本人正在探索

14、一個曾經(jīng)被大數(shù)學家探 索過的問題?；蛟S這個問題曾難住過許多有名的人物，學生會感到一種智力的挑戰(zhàn)。 也會從學習中獲得成功的享受。這對于學生建立良好的情感體驗無疑是十分重要的。 數(shù)學并不是一個靜止的和已經(jīng)完成的領域而是一個開放性的系統(tǒng)認識到數(shù)學正 是在猜想、證明、犯誤、修正錯誤中發(fā)展進化的。數(shù)學進步是對傳統(tǒng)觀念的革新， 可以激發(fā)學生的非常規(guī)思維。2.2.2 培養(yǎng)正確的數(shù)學思維方式現(xiàn)行的數(shù)學教材都是經(jīng)過了反復推敲，語言十分精練簡潔。為了保持知識的系 統(tǒng)性，把教學內容按定義、定理、證明、推論、例題的順序編排，對數(shù)學知識的內 涵，以及相應知識的創(chuàng)造過程介紹也偏少。這樣雖然有利于學生接受知識，但容易 使學

15、生產(chǎn)生數(shù)學知識就是先有定義，接著總結出性質、定理，然后用來解決問題的 錯誤觀點。所以，在教學的過程中存在著這樣一個矛盾：一方面，教育者為了讓學 生能夠更快更好地掌握數(shù)學知識，將知識系統(tǒng)化；另一方面，系統(tǒng)化的知識無法讓 學生了解到數(shù)學理論的真實建立過程。影響了學生正確數(shù)學思維方式的形成。數(shù)學 史的學習，可以讓學生在學習系統(tǒng)的數(shù)學知識的同時，對數(shù)學知識的產(chǎn)生過程有 一個比較清晰的認識，從而陪養(yǎng)學生正確的教學思維方式。譬如，傳統(tǒng)的歐式幾何 的演繹體系是產(chǎn)生不了微積分的，它是牛頓、萊布尼茲在古希臘的“窮竭法”、 “求 拋物線弓形面積”等思想的啟發(fā)下，經(jīng)過創(chuàng)造得到的。而且在數(shù)學家們的不斷補充、 完善下經(jīng)

16、過幾十年才逐步成熟起來的。通過對這種創(chuàng)造過程的了解，使學生體會 到一種活的、真正的數(shù)學思維過程而不是單純地接受教師傳授的知識。在這種不 斷學習不斷探索，不斷研究的過程中逐步形成正確的數(shù)學思維方式。2.2.3 激發(fā)學生學習數(shù)學的動機心理學理論認為動機可分為兩個部分：人的好奇心、求知欲、興趣、愛好構 成有利于創(chuàng)造的內部動機；社會責任感構成有利于創(chuàng)造的外部動機。興趣是最好的 動機。數(shù)學史中有很多能夠培養(yǎng)學生學習興趣的內容。主要有這幾個方面：一是與 數(shù)學有關的小游戲，例如巧拿火柴棒、幻方、商人過河問題等它們都有很強的可 操作性作為課堂活動或是課后研究都可以達到很好的效果。二是一些歷史上的數(shù) 學名題，七

17、橋問題、哥德巴赫猜想等，它們往往有生動的文化背景，也容易引起學 生的興趣。還有一些著名數(shù)學家的生平、軼事比如說一些年輕的數(shù)學家成材的故 事，新課程標準中提到的“從阿貝爾到伽羅瓦”，阿貝爾 22 歲證明一般五次以 上代數(shù)方程不存在求根公式，伽羅瓦創(chuàng)建群論的時候只有18 歲。還有的是許多出生貧窮卑微的數(shù)學家通過自己的艱苦努力，最終在數(shù)學研究上取得驕人成績的例子。 如 19 世紀的大幾何學家施泰納出身農(nóng)家自幼務農(nóng)，直到14 歲還沒有學過寫字， 18歲才正式開始讀書，后來靠做私人教師謀生，經(jīng)過艱苦努力。終于在30 歲時在數(shù)學上做出重要工作，一舉成名。如果在教學中加入這些學生感興趣又有知識性的內 容定能

18、消除學生對數(shù)學的恐懼感，增加數(shù)學的吸引力。2.2.4 建立德育教育平臺首先，可以對學生進行愛國主義教育?，F(xiàn)行的教材講的大都是外國的數(shù)學成 就對我國在數(shù)學史上的貢獻提得很少，其實中國數(shù)學有著光輝的傳統(tǒng)，有劉徽、 祖沖之等一批優(yōu)秀的數(shù)學家有中國剩余定理、祖矚公理、“割圓術”等具有世界 影響的數(shù)學成就，對其中很多問題的研究也比國外早很多年。當然，現(xiàn)階段愛國主 義教育又不能只停留在感嘆我國古代數(shù)學的輝煌上。從明代以后中國數(shù)學逐漸落后 于西方， 20 世紀初，中國數(shù)學家踏上了學習并趕超西方先進數(shù)學的艱巨歷程。在新 時代的要求下除了增強學生的民族自豪感之外，還應該培養(yǎng)學生的“國際意識”， 讓學生認識到愛國

19、主義不是體現(xiàn)在“以己之長，說人之短”上，在科學發(fā)現(xiàn)上全人 類應該相互學習、互相借鑒、共同提高，我們要尊重外國的數(shù)學成就虛心的學習， “洋為中用”。其次，可以引導學生學習數(shù)學家的優(yōu)秀品質。任何一門科學的前進和發(fā)展的道 路都不是平坦的無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，非歐幾何的創(chuàng)立，微積分的發(fā)現(xiàn)等等這些例子都 說明了這一點。歐拉 3l 歲右眼失明晚年視力極差最終雙目失明。但他仍以堅強的 毅力繼續(xù)研究，他的論文多而且長。以致在他去世之后的 lO 年內，他的論文仍在科 學院的院刊上持續(xù)發(fā)表。對那些在平時學習中遇到稍微繁瑣的計算和稍微復雜的證 明就打退堂鼓的學生來說，介紹這樣一些大數(shù)學家在遭遇挫折時是如何執(zhí)著追求的 故事。

20、對于他們正確看待學習過程中遇到的困難、樹立學習數(shù)學的信心會產(chǎn)生重要 的作用。第三，可以提高學生的美學修養(yǎng)。能欣賞美的事物是人的一個基本素質數(shù)學 史的學習可以引導學生領悟數(shù)學美。很多著名的數(shù)學定理、原理都閃現(xiàn)著美學的光 輝。例如畢達哥拉斯定理是初等數(shù)學中大家都十分熟悉的一個非常簡潔而深刻的定 理。有著極為廣泛的應用。兩千多年來，它激起了無數(shù)人對數(shù)學的興趣，意大利著 名畫家達芬奇給出過它的證明。 1940 年，美國數(shù)學家盧米斯在所著畢達哥拉斯命 題藝術的第二版中收集了它的 370 種證明，充分展現(xiàn)了這個定理的無窮魅力。另 外，在感嘆和欣賞幾何圖形的對稱美、尺規(guī)作圖的簡單美、 i 角公式的統(tǒng)一美、非

21、歐 幾何的奇異美等，可以形成對數(shù)學良好的情感體驗，數(shù)學素養(yǎng)和審美素質也得到了 提高，這是德育教育一個新的突破口。2.2.5 鑒過去而知未來，感悟數(shù)學與社會在過去的數(shù)學課程中很少涉及數(shù)學與社會的內容，除了數(shù)學書上一些數(shù)學應該 題外，似乎看不到數(shù)學與社會有什么密切聯(lián)系。新課標教材試圖使學生對數(shù)學與社 會的關系的認識方面做出努力。數(shù)學的發(fā)展與社會的進步息息相關，互相促進。一 方面，數(shù)學的發(fā)展依賴于社會環(huán)境，受社會經(jīng)濟、政治和文化等諸多因素的影響； 兩一方面，數(shù)學的發(fā)展又反過來對人類社會的進步起推動作用，不管是物質文明還 是精神文明。對物質文明的影響：數(shù)學對人類物質文明的影響，突出的反映在它與能夠改變

22、 人類生活方式的產(chǎn)業(yè)革命上。人類歷史上有三次重大的產(chǎn)業(yè)革命，這三次產(chǎn)業(yè)革命 的主體技術都與數(shù)學的新理論、新法方法的應用有直接或間接的聯(lián)系。牛頓和萊布 尼茨發(fā)明的微積分作為一種強有力的新工具，推動了以機械運動為主題的17、18 世紀整個科學技術的高漲，成為 18 世紀下半葉開始的第一次產(chǎn)業(yè)革命的重要先導。 19 世紀 60 年代，第二次產(chǎn)業(yè)革命開始，這次產(chǎn)業(yè)革命發(fā)電機、電動機以及電氣通信為 標志，這些技術當然依靠了電磁理論的發(fā)展，而電磁理論的研究是與數(shù)學分析的應 用分不開的。 第三次產(chǎn)業(yè)革命發(fā)生在上世紀 40 年代，主要以電子計算機的發(fā)明使用、 原子能的利用以及空間技術、生產(chǎn)自動化等為標志。這這

23、些技術發(fā)展的每一個關頭 都記載著數(shù)學家的不可磨滅的功勛。對精神文明的影響：作為教授數(shù)學的教師，學生或者你自己是否提出過這樣的 問題：我們?yōu)槭裁磳W數(shù)學？對于這個問題你是怎樣思考和回答的？有些教師會回答， 我們所學習的數(shù)學是有用的，小到我們個人生活中有些問題需要用到數(shù)學知識，大 到計算機技術、自動化技術、航空航天，軍事等等領域都要應用數(shù)學。這樣的回答 無疑是正確的，但卻并不全面，它只提到了數(shù)學的兩個作用的一個作用。數(shù)學有兩大作用，一個是工具作用，像現(xiàn)實問題到應用數(shù)學這是它的工具作用， 也就是上述的對物質文明所起的作用；另一個作用就是人文作用，也就是對人類的 精神文明所起的作用，數(shù)學對人類精神文明的

24、影響極為深刻。某種程度上，對于大 多數(shù)人來說數(shù)學的人文作用比其工具作用更具意義。想一想，絕大多數(shù)的學生未來 都不會從事與數(shù)學有關的工作，對這些學生來說小學的四則運算幾乎就足夠他們應 付日常的生活問題了，甚至連開方都用不到，如果僅從學以致用的角度來看，他們 從小學到高中要學習 12 年的數(shù)學，不是浪費生命嗎？事實上并非如此。數(shù)學本身就 是一種精神，一種探索精神。這種精神包含的兩個要素，即對真理和完美的追求， 千百年來對人們的思維方式、教育方式以及世界觀、藝術觀都有著毋庸質疑的影響。 數(shù)學對人類精神文明的意義，也突出地表現(xiàn)在歷次重大思想革命的關系上。由于其 不可抗拒的邏輯說服力和無可爭辯的計算精確

25、性，數(shù)學往往成為解放思想的決定性 武器，尤其在文藝復興之后科學與神學的斗爭中表現(xiàn)的更為突出。中學數(shù)學課程中，對數(shù)學知識本身的學習還不足以使學生感受到數(shù)學與社會之 間的深刻的關系，為此要在數(shù)學課程中加入一些數(shù)學史的內容，當然，教材中的這 些內容僅僅是冰山一角，教師應該應該提高自己對數(shù)學發(fā)展歷程的了解，只有這樣 才能更好地促進數(shù)學教學?？傊當?shù)學史對于揭示數(shù)學知識的現(xiàn)實來源和應用對于引導學體會真正的數(shù)學 思維過程，創(chuàng)造一種探索與研究的數(shù)學學習氣氛對于激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，培 養(yǎng)探索精神對于揭示數(shù)學在文化史和科學進步史上的地位與影響進而揭示其人文 價值，都有重要意義。3 國內外在教學中融入數(shù)學史的成果

26、3.1 國外的研究成果國際上對數(shù)學史在數(shù)學教育中的應用的相關研究和實踐操作已經(jīng)有了相當程度 的發(fā)展 1998年 4月 20 日至 26 日，在法國馬賽附近 luminy 鎮(zhèn)，舉行了由國際數(shù)學 教育委員 (ICMI) 發(fā)起的“數(shù)學史在數(shù)學教育中的作用”國際研討會此次會議的主 題是數(shù)學文化，要求數(shù)學教學充分反映數(shù)學的文化底蘊，從課程內容、概念形成、 證明方法、習題配置等各個方面，全方位地使數(shù)學史融入、豐富和促進數(shù)學教學3.1.1 數(shù)學史融入數(shù)學教學行動研究的成果融入的層次對于將數(shù)學史融入數(shù)學教學有很多片面的理解，最普遍的是將其理解為在數(shù)學 課堂中講點數(shù)學史以提高學生的興趣，顯然這只是數(shù)學史應用的較

27、低層次教師應 用數(shù)學史至少可以分為三個層次：(1) 說故事；(2) 在歷史的脈絡中比較數(shù)學家所提供的不同方法，拓寬學生的視野，培養(yǎng)全方 位的認知能力和思考彈性：(3) 從歷史的角度注入數(shù)學活動的文化意義，在數(shù)學教育過程中實踐多元文化關 懷的理想融入的過程將數(shù)學史融入數(shù)學教學并不是在教學中插入幾個歷史故事那么簡單，融入過程 一般包括以下幾個階段：(1) 學習歷史資料；(2) 選出適合課堂教學的話題；(3) 分析課堂需要：(4) 制定課堂活動計劃；(5) 完成方案；(6) 對活動的評價教學不一定完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而是要經(jīng)過一定的改良，符合學生的 認知，這樣才能更好突出歷史過程，引導學生思維

28、融入的形式數(shù)學史融入數(shù)學教學有隱性和顯性兩種形式隱性融入是指根據(jù)歷史對教學內 容重新設計和加工，制作適用于教學的“歷史套裝”，在隱性融入過程中，數(shù)學史 扮演的角色是擔當教學設計的指南，因為“數(shù)學史并非最終目的，而是通過數(shù)學史 的途徑以達到教學目的”顯性地融入數(shù)學史旨在“描述數(shù)學發(fā)展的進程”它的兩種錯誤傾向，首先是 如果教師只提供給學生有限的歷史片段，就可能造成學生對數(shù)學發(fā)展過程的錯誤或 片面理解當前的不少數(shù)學教材，表面上看起來注重數(shù)學史的應用，但大多數(shù)只局 限于在每一章節(jié)的后面增加幾個歷史注解，如數(shù)學家小傳、個別概念的發(fā)展歷史等， 這實際上勢必導致教師將數(shù)學史與數(shù)學課程割裂開來，甚至認為將數(shù)學

29、史融入數(shù)學 教學與日常課堂教學背道而馳另一個錯誤傾向是“脫離數(shù)學史融入數(shù)學教學的目 的，將融入數(shù)學史轉化為數(shù)學史教學”這種做法的直接結果是讓學生感到數(shù)學史 只不過是新增加的考試內容而已，如此以來，恐怕連“激發(fā)學生的興趣”這一作用 也會消失殆盡融入的途徑在具體的教學過程中，將數(shù)學史融入數(shù)學教學有很多做法，這取決于教師的信 念、教學觀、課程內容、歷史資源等諸多因素，已有的文獻也提供了很多成功的經(jīng) 驗，包括使用傳記、游戲、歷史調查、本地歷史考察、歷史家庭作業(yè)、歷史命題、 參觀、觀看影視作品甚至戲劇表演John Fauvel 在數(shù)學學習上編輯了一期教學中如何應用數(shù)學史的?？?，其中 列舉了應用數(shù)學史的

30、12 種不同的具體做法本文對各種做法進行了概括，提出了應用數(shù)學史的 8 種具體方法和途徑：(1) 在教學中穿插數(shù)學家的故事和言行；(2) 在講授某個數(shù)學概念時，先介紹它的歷史發(fā)展；(3) 應用數(shù)學歷史名題講授數(shù)學概念，根據(jù)數(shù)學史上典型的錯誤幫助學生克服學習困難；(4) 指導學生制作富有數(shù)學史趣味的壁報、專題研究、劇本、錄像等；(5) 應用數(shù)學歷史文獻設計課堂教學：(6) 在課堂內容里滲透歷史發(fā)展的觀點；(7) 以數(shù)學史做指引設計整體課程；(8) 講授數(shù)學史的課3.2 國內的研究成果雖然國內外對數(shù)學史所具有的教育價值能夠在理論上達到共識，但如何將數(shù)學史融入數(shù)學教學中，我國在這方面研究處于探索階段

31、張奠宙教授認為應用數(shù)學史于數(shù)學教學有助于將數(shù)學的“學術形態(tài)”轉化為“教育形態(tài)”，并且提出了應用數(shù)學史將數(shù)學的“學術形念”轉化為“教育形態(tài)”的三個途徑：(1) 揭示數(shù)學發(fā)展的規(guī)律，形成正確的數(shù)學觀：(2) 反樸歸真，揭示數(shù)學發(fā)展的過程，并使之適合今天的課堂教學；(3) 提供真實的歷史材料，包括原始問題、原始數(shù)據(jù)、原始過程、增強真實感、 體現(xiàn)數(shù)學的人文精神這三點不僅指出了數(shù)學史融入數(shù)學教學的任務，也為數(shù)學史的具體運用指明了方向羅騰根在談中學數(shù)學中的數(shù)學史教學對數(shù)學史的教學原則和數(shù)學史的教學 方法進行了論述， 數(shù)學史的教學原則有： 準確性原則、交融性原則、可接受性原則 數(shù) 學史的教學方法有以下四點：

32、(1) 在新授課進行知識探求時，作簡短的數(shù)學史料的插話；(2) 在解題教學中貫穿數(shù)學史料；(3) 舉辦數(shù)學史講座或報告會；(4) 組織興趣小組，課外搜集、閱讀、研究數(shù)學史料上海師范大學數(shù)學系陳躍老師在中學數(shù)學應用數(shù)學史實教學的一些建議一 文中給出了關于三角恒等式的入門教學和用簡化乘除的問題引入對數(shù)的概念的具體 建議華東師范大學數(shù)學系汪曉勤老師在數(shù)學史如何融入數(shù)學教學方面做了不少的研 究，在數(shù)學通報發(fā)表了“數(shù)學史如何融入中學數(shù)學教材”，在中學教研上 發(fā)表了“ HPM視角下的等比數(shù)列教學”，中學數(shù)學雜志發(fā)表了“幾何視角下的和角公式”等浙江師范大學數(shù)理學院朱哲老師在數(shù)學史如何融入數(shù)學教學方面也有自己

33、深刻 的看法，他在中學數(shù)學發(fā)表了“數(shù)學教育目的的深化和拓展：數(shù)學史的視角”， 在中學教研發(fā)表了“從理論到實踐：數(shù)學史融入數(shù)學教學”，在中學數(shù)學教 學參考上發(fā)表了“一節(jié)基于數(shù)學史的教學課例：正四棱臺的體積公式”，在中 學教研上發(fā)表了“等比數(shù)列前 n 項和的教學設計及其分析”等從以上文獻本研究者可以看到，國外對于數(shù)學史如何融入數(shù)學教學的研究，不 論從理念上還是從實踐上都達到了很高的程度，我國香港和臺灣地區(qū)的有關學者在 HPM領域的活動相當活躍，做了很多出色的工作，但大陸HPM研究起步很晚，雖然有很多學者大聲呼吁“應該講點數(shù)學史”，但探討如何做的研究明顯偏少4 數(shù)學史融入教學的一些策略數(shù)學史的確值得

34、引進數(shù)學課堂之中 . 結合數(shù)學史到數(shù)學教育中的問題 , 也一直 是國際數(shù)學教育界備受關注的研究課題 . 20 世紀 70 年代, 數(shù)學史與數(shù)學教育關系 ( HPM) 就已成為西方的一個學術研究新領域 , 美國學者的有關研究、論述和大力提 倡是該領域創(chuàng)立與深入發(fā)展的重要推動力量 . 長期以來 , 雖然人們已認識到數(shù)學教 學中融入數(shù)學史的許多重要意義 , 并在教學實踐中有所行動 , 但其困難和問題的存 在也是顯然的 . 其中一個顯著的困難和問題就是 , 數(shù)學教學中需要采取哪些教學策 略來融入數(shù)學史呢 ?可以說 , 這個問題目前還不為大多數(shù)的教師所充分認識和理解.在數(shù)學史融入數(shù)學教學的過程中 , 一

35、般來說 , 最常遇見的困難就是如何對材料適當?shù)丶舨?, 使其與課程主題融合 , 以達到數(shù)學史的利用能自然、協(xié)調 , 不至于過分突 兀, 這應是我們追求的最佳效果 . 要達到這個目的 , 那就要求教師在教學活動中 , 必 須注意結合教學實際和學生的經(jīng)驗與體驗 , 依據(jù)一定的目的 ,對數(shù)學史資源進行有效 的選擇、組合、改造與創(chuàng)造性加工 , 使學生容易接受、樂于接受 , 并能從中得到有 益的啟迪 . 盡管數(shù)學教學中 , 數(shù)學史的利用隨著施教者的不同和材料的不同 ,所采取 的形式各異 , 總結出以下幾種策略。4.1 故事策略雖說數(shù)學史不等于數(shù)學故事 , 但是, 數(shù)學家或數(shù)學界的遺聞佚事 , 不僅能大大

36、激 發(fā)學生的學習興趣 , 而且對學生的人格成長還富有啟發(fā)作用 . 譬如, 我國著名數(shù)學家 陳景潤 , 就是在上中學時 , 聽了他的數(shù)學老師沈元向學生介紹了 , 哥德巴赫猜想這 一難倒無數(shù)數(shù)學家的難題后 , 其心靈受到了震撼 , 點燃起了他攀登高峰、摘取桂冠的 熱情, 從而他一生醉心于數(shù)學 , 并取得了令世人矚目的成績 . 再如 , 十八世紀法國 女數(shù)學家蘇菲姬曼 , 就是受到阿基米德故事的“煽動” , 迷上數(shù)學而終生無怨無悔 . 據(jù)說, 蘇菲童年時正值法國大革命發(fā)生 , 為了排遣難耐的孤獨和寂寞 , 遂被數(shù)學史 家莫度西亞的數(shù)學史所記載的阿基米德傳奇所吸引. 相傳 , 阿基米德正沉醉在一道幾何

37、問題時 , 對已經(jīng)陷城的羅馬士兵渾然未覺 , 就莫名其妙地被殺死了 . 這個悲 劇讓百無聊賴的蘇菲神醉心癡 , 她想幾何學若真有這種魅力 , 那真的值得探索一番了 于是 ,她終于走上了數(shù)學研究的不歸路了 .說故事的目的就是要設計一個教學情景, 這個教學情景主要是能引起學生的學習動機與興趣 . 同時 ,也可利用故事情景引出學生已有的數(shù)學概念, 或是借故事情節(jié)引入要教的數(shù)學概念 , 也可以利用故事情節(jié)的鋪設 , 呈現(xiàn)給學生想要解決的問題等 .4.2 方法比較策略著名科學家巴甫洛夫指出 : 方法是最主要和最基本的東西 . 一切都在于良好的 方法, 有了良好的方法 ,即使是沒有多大才干的人也能作出許多

38、成就 . 如果方法不好 即便是有天才的人也將一事無成 . 數(shù)學教學必須要使學生明白 , 任何方法僅僅是許 許多多的方法之中的一個 , 其中有許多你可能聯(lián)想都未曾想過 . 那種始終認為自己 是最正確的、肯定自己的思維都比別人的要高明 , 肯定沒有其他更好的選擇的行為 , 這些都是自負的表現(xiàn) . 而自負是思維的重大過失 , 它會扼殺真正的思維 .事實上 , 數(shù)學教學中涉及的許多問題 , 從它的歷史到現(xiàn)在 , 經(jīng)過數(shù)代數(shù)學家們的 不懈努力 ,大都產(chǎn)生過不少令人拍案叫絕的各種解法 . 如勾股定理 , 就有面積證法、 弦圖證法、 比例證法等 300 余種; 求解一元二次方程 , 歷史上就有幾何方法、 特

39、殊值 代入法、逐次逼近法、試位法、反演法、十字相乘法和公式法等 ; 求不規(guī)則圖形的面 積, 歷史上也有德漠克利法、窮竭法、割圓法、平衡法、開普勒法和沃利斯法以及現(xiàn) 代的微積分方法 . 通過搜集比較歷史上的各種不同方法之后 , 不僅能使學生更好地 領會每種方法的內在本質 ,而且能啟發(fā)學生 , 這對培養(yǎng)知識面寬、有能力、有信心、 靈活多變的人大有幫助 .4.3 追蹤歷史起源策略數(shù)學固然起源于人類對日常生活現(xiàn)象的觀察 , 但它決不簡單 , 有一定的難度 , 需要時間去體驗、 把玩并體會它的意蘊 . 譬如無限的概念 ,“向人類頭腦提出的挑戰(zhàn) , 激發(fā)了人類的想像力 , 是思想史中任何其他單個問題都無法

40、比擬的 . 無限顯得既生 疏又熟悉 ,有時超出了我們的領悟能力 , 有時又自然而易于理解 , 在征服它的過程中 , 人也砸碎了將自己束縛在地球上的鐐銬 . 而為了實現(xiàn)這一征服 , 需要調動人的一切 能力, 人的推理能力 ,詩一般的想像力以及求知的渴望 . ”再如代數(shù)符號的產(chǎn) 生,代數(shù)符號早期是沒有的 , 人們使用文字代替 ,到了古希臘人們才開始用單詞表示 , 中世紀才開始用單個字母表示 . 再后來人們才用特殊的字符來表示 , ? 每一次的演進 都凝聚了數(shù)學先賢們大量的心血和智慧 , 都充滿了古代數(shù)學家們的神思技巧 ; 還有 函數(shù)概念的發(fā)展 , 從笛卡爾給出最簡單的函數(shù)概念出發(fā) , 經(jīng)萊布尼茲、

41、 貝努利、 歐拉、 柯西、黎曼、狄利克雷、維布倫等人之手 , 一步一步的發(fā)展 , 其間經(jīng)歷了大約六七次 擴充, 才形成了我們今天看到的函數(shù)概念 . 追蹤歷史起源 ,就是要引導學生去揭示或 感受知識發(fā)生的前提或原因、知識概括或擴充的經(jīng)過以及向前發(fā)展的方向, 引導學生在重演、再現(xiàn)知識發(fā)生過程的活動中 , 內化前人發(fā)現(xiàn)知識的方法和能力 . 使學生在掌 握知識的同時 , 還能占有鐫刻于知識產(chǎn)生中的認識能力 , 這種認識能力正是構成創(chuàng)新 思維能力的核心 .4.4 揭示思維過程策略 將數(shù)學研究中的思想和方法的要點原原本本地告訴學生 , 引導青年學生沿著科 學的艱險道路作一次富有探索精神的、充滿為真理而斗爭

42、的崇高動機的旅行 , 使學 生充分領略以前數(shù)學大師們的靈感 , 承受他們的啟迪 , 可以從中學到他們的策略和經(jīng) 驗等 . 譬如 , 講數(shù)學的抽象性時 , 就可以原原本本地向學生展示歐拉解決七橋問題 時的思考過程 , 或是介紹牛頓發(fā)明萬有引力定律時 , 關于把地球、月球抽象為質點來 處理的曲折過程 ; 講反證法時 , 可以向學生詳細敘述伽利略是如何更正延續(xù) 1800 多 年的, 亞里士多德關于物體下落運動的錯誤斷言的 ;講類比時 ,可以向學生全面介紹 自然數(shù)平方的倒數(shù)之和問題的產(chǎn)生背景、當時的情形及歐拉解決該問題時的奇思妙 想等 ; 結合幾何知識的學習 ,可以向學生揭示歷史上有關幾何第五公設的、

43、令一代又 一代數(shù)學家忙碌了二千多年的、各種各樣的思考過程及最終的解決辦法 . 讓數(shù)學史 曾閃爍過光芒的火花 , 重新在學生的心中點燃。前人的成功和失誤 , 都是后人聰明的源泉 . 數(shù)學史可以將邏輯推理還原為合情 推理, 將邏輯演繹追溯到歸納演繹 . 通過挖掘歷史上數(shù)學家解決問題的真諦 , 學生 不僅可以學到具體的現(xiàn)成的數(shù)學知識,而且可以學到“科學的方法” , 開拓學生的視野, 使學生更具有洞察力 .5 結論及建議5.1 研究結論5.1.1 數(shù)學史融入中學課堂教學有利于教師對文化理念的落實 數(shù)學新課程的基本理念是：全面提高學生的數(shù)學文化素質，以提高一般科學素 質，增進道德品質修養(yǎng)，形成和發(fā)展數(shù)學

44、品質理念的實現(xiàn)，可以通過將數(shù)學史的 史學形態(tài)轉化為教育形態(tài)，通過數(shù)學史融入中學課堂教學，來實現(xiàn)文化理念的落 實從本課題研究來看，數(shù)學史融入中學課堂教學已經(jīng)成為課題實施教師，乃至一 些數(shù)學教師的自覺行為，現(xiàn)在，我們經(jīng)常會聽到數(shù)學史融入的課，這些都表明了數(shù) 學史融入中學課堂教學的行動研究是將文化理念的落實在課堂教學中的一種非常有 效的途徑5.1.2 數(shù)學史融入中學課堂教學促進了教師對教育目標的理解 在數(shù)學史融入中學課堂教學的行動研究中，首先要學習課程標準，學習新的教 育理論，這些使研究者對數(shù)學的價值和數(shù)學的教育目標有了新的認識數(shù)學的價值， 既有實用價值一提供了一種解決數(shù)學內社會生活中各種問題的有利

45、工具；又有形式 訓練的價值一提供了一種思維的方式和方法；還有著文化價值提供了一種價值觀， 倡導一種精神，它表現(xiàn)為數(shù)學念在入的觀念以及社會的觀念的形成和發(fā)展中的作 用知識型的數(shù)學教育看重數(shù)學的實用價值；能力型的數(shù)學教育看重的是數(shù)學的能 力訓練價值：文化型的數(shù)學教育則在注意到數(shù)學教育的實用價值和形式訓練價值的 同時特別看重數(shù)學的文化教育價值不同的價值必然追求導致不同的教學目標僅注重教學內容的使用價值，只會 將知識的理解、技能的掌握作為教學目標的主體；注重數(shù)學對思維能力訓練的價值， 就會將培養(yǎng)思維能力作為教學目標的重點，突出過程與方法的目標緯度；只有在知 識、能力并重的同時，還能夠注意到數(shù)學的文化教

46、育的價值，那么在制定教學目標 時才真正能夠將情感、態(tài)度、價值觀落到實處。5.1.3 數(shù)學史融入中學課堂教學加深了教師對教學內容的研究數(shù)學史融入中學課堂教學的行動研究，目的不是在形式上，而是通過教師對數(shù)學史的研究，對教學內容的來龍去脈有了深入的理解，達到加深對課程的理解，也 使得教學前后聯(lián)系、融會貫通，渾然一體例如案例正弦定理，在沒有研究數(shù)學史以前，對該定理的理解只認識到兩 個層次：一是從轉化的角度看，正弦定理是實現(xiàn)邊角互化的一個工具； 二是從方程的角度看，正弦定理中含有七個量，除給定三個角外，一般情況下 可知三求四在研究三角函數(shù)的數(shù)學史后，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)在歷史上大都來源于幾何，于是就 思索正弦定

47、理的幾何背景是什么 ?通過研究發(fā)現(xiàn)，正弦定理是對“大邊對大角，大角對大邊”的數(shù)量化解釋于 是對定理的認識上升了一個層次，正弦定理是將幾何問題轉化為代數(shù)問題，是溝通 代數(shù)和幾何的橋梁，體現(xiàn)了幾何與代數(shù)的統(tǒng)一5.1.4 數(shù)學史融入中學課堂教學提高了教師對教育理論的應用數(shù)學史融入中學課堂教學的行動研究是把數(shù)學史融入課堂教學看成一種教學現(xiàn)象，用行動研究的理論來研究這種教育現(xiàn)象在研究的過程中，本研究者學習了行 動研究的理論，并用行動研究的理論指導對數(shù)學史融入課堂教學的指導，在實踐的 過程，積累大大量的問題，通過這些問題的解決也促進了對行動研究理論的重新認 識，提高了對教育理論的應用例如在等差數(shù)列前 n

48、項和案例研究中，用到了自然數(shù)從 l 加到 100，少年高 斯的數(shù)學思維：1+100=2+99=,=49+52=50+51=101, 101 X 50=5050,但缺乏對高斯思想的深入挖掘，隨著對數(shù)學史的學習和研究，進一步研究高斯思想，發(fā)現(xiàn)以下結 論：(1) 思維的變通性追求算法簡單；(2) 思維的直覺性數(shù)字內在和諧；(3) 思維的概括性尋找普遍規(guī)律； 這是多么精美的數(shù)學思維加法向乘法的轉化,因此,案例可以進一步發(fā)展,可以進一步深化5.2 研究建議5.2.1 教師應加強數(shù)學史的學習與研究在數(shù)學史融入中學課堂教學的行動研究中,發(fā)現(xiàn)大部分教師并不是不接受新的 教育理念,也不是不愿意通過數(shù)學史的融入落

49、實文化滲透的理念而是由于數(shù)學史 的知識匱乏導致理念難以落實,因此數(shù)學教師應注意多方學習數(shù)學史知識,多方研 究數(shù)學史對數(shù)學史的學習研究可以分為以下三個層次：了解性學習、掌握性學習、研究 性學習第一層次要求知道數(shù)學發(fā)展的概況,起過重要作用的數(shù)學家,影響深遠的數(shù)學 思想、方法等第二層次可以從數(shù)學史中適當提取相關內容,用于數(shù)學研究、教學、學習之中 第三個層次以文獻資料為線索,研究不同時期數(shù)學發(fā)展、數(shù)學家活動、數(shù)學思 想、方法的進展等,并對數(shù)學的發(fā)展趨勢提出預見性分析從中學數(shù)學的要求出發(fā),中學數(shù)學教師應具有的數(shù)學史素養(yǎng),屬于第二層次5.2.2 教師應加強數(shù)學史的長期融入與滲透數(shù)學教育是一項有目的、有計劃

50、、有組織的社會實踐活動它以傳授知識和培 養(yǎng)人才為宗旨,以促使社會進步、科學技術以及數(shù)學科學的發(fā)展,它是整個社會教 育的一部分新一輪基礎教育數(shù)學課程改革將科學精神和人文精神統(tǒng)一于課程的“文化內涵” 之中，強調人的科學素養(yǎng)和入文修養(yǎng)的辯證統(tǒng)一，致力于科學知識、科學精神和人 文精神的溝通與融合課程也關注到數(shù)學史對數(shù)學文化教育的意義，但文化的滲透 靠不是一天、一學期、一年的滲透就能實現(xiàn)，而是一個長期的過程只有長期加強 數(shù)學史的文化滲透，對發(fā)展學生的文化素養(yǎng)才能起到應有的作用5.2.3 教師應加強數(shù)學史融入方式的研究與總結數(shù)學史如何融入到課堂教學中目前雖然總結出六個方面，但還不夠全面和深 入因此需要數(shù)學教師在教學中充分認識數(shù)學史的作用， 全面認識數(shù)學史的意義 且深入挖掘數(shù)學史的教育要素，不斷地開發(fā)、設計、反思和總結，把數(shù)學史的史學 形態(tài)轉化為教育形態(tài)，再轉化為可操作的教學形態(tài)，最后應用于具體