賓館預(yù)定策略數(shù)學(xué)建模

1、摘要本題為賓館的預(yù)定策略問題，涉及價格制定和經(jīng)營策略問題。通過對題目中提供的數(shù)據(jù)，以及對所要求解的問題的分析，本小組認(rèn)為符合時序預(yù)測問題的基本條件。對于第一問，要求估計第九周和第十周參考標(biāo)準(zhǔn)間房價，屬于短期預(yù)測。將對未來價格的預(yù)測問題分解為兩個問題：對一周內(nèi)各天價格所占一周內(nèi)總價的比例，和各周價格變化趨勢適。采用多段的、三次多項式趨勢外推法解決第一個問題，模型的誤差最大為0.39%，可見模型是十分精準(zhǔn)的；同時采用三次多項式外推和一次移動平均法求解第二個問題，通過對比，一次移動平均法比趨勢外推得到的數(shù)據(jù)，與已知數(shù)據(jù)更為符合。同時，其預(yù)測值比較符合經(jīng)濟規(guī)律，因而，其預(yù)測結(jié)果具有可靠性。對于問題二，

2、賓館采用升級客房檔次或賠款來解決超額接受客房預(yù)訂的糾紛。采用獨立重復(fù)試驗概型可以得到k個客人取消訂單的概率；在計算出賓館利潤的期望值，通過在賠償和客房數(shù)量上的限制條件，和保證賓館最大利潤的目的，可以確定出賓館超額提供預(yù)定的最大數(shù)。對于問題三，要求為賓館制定一個長期的經(jīng)營策略，通過一二問的分析，可以得出合理的方案。一 問題重述某著名的旅游城市的A級賓館主要提供舉辦會議和游客使用的。客房通過電話或互聯(lián)網(wǎng)預(yù)定，這種預(yù)定具有很大的不確定性，客戶很可能由于各種原因取消預(yù)定。賓館為了爭取更大的利潤，一方面要爭取客戶，另一方面要降低客戶取消預(yù)定遭受的損失。為此，賓館采用一些措施。首先，要求客戶提供信用卡號，

3、預(yù)付第一天房租作為定金。如果客戶在前一天中午以前取消預(yù)定，定金將如數(shù)退還，否則定金將被沒收。其次，賓館采用變動價格，根據(jù)市場需求情況調(diào)整價格，一般來說周末價格比較高。研究的問題是：(1) 試建立客房預(yù)定價格的數(shù)學(xué)模型，并對以下實例作分析。表1給出了某賓館8周標(biāo)準(zhǔn)房價格(單位: 美元)，用你的模型說明價格變動的規(guī)律，并據(jù)此估計第9周和第10周的標(biāo)準(zhǔn)房參考價格。你還可以收集更多的數(shù)據(jù)來驗證你模型的價值（要求注明出處）。（2）在旅游旺季，賓館往往可以預(yù)定出超過實際套數(shù)的客房數(shù), 以減低客戶取消預(yù)定時賓館的損失。當(dāng)然這樣做可能會帶來新的風(fēng)險, 因為萬一屆時有超出客房數(shù)的客戶出現(xiàn), 賓館要通過升級客房檔

4、次或賠款來解決糾紛, 為此賓館還會承擔(dān)信譽風(fēng)險. 某賓館有總統(tǒng)套房20套，豪華套房100套，標(biāo)準(zhǔn)間500套。試為該賓館制定合理的預(yù)定策略, 并論證你的理由。（3）請為該賓館制定一個長期的經(jīng)營策略；并給總經(jīng)理寫一篇短文有關(guān)管理經(jīng)營的建議書。二、問題假設(shè)以及符號說明A：假設(shè)1， 在求解第一問中，假設(shè)第一周至第十周處在一個穩(wěn)定的市場狀態(tài)（淡季或旺季）；2， 假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)間的價格總體走勢僅由兩方面分量合成，即，每一周內(nèi)的7日價格變化走勢，周均價走勢；2，假定所提供的數(shù)據(jù)與未來數(shù)據(jù)是連續(xù)的，不存在重大變故的干擾；3，假設(shè)賓館的三類客房比例與市場需求比例相同，不存在巨大的入住率差異；4，假設(shè)客人取消預(yù)定都是在

5、前一天中午以前；5，假設(shè)賓館除開客房開支以外，總的運營成本，等于至少六成的客房有人入住時所得的利潤；6，假設(shè)賓館對為得到房間的以預(yù)定客人的賠償為：同類房間利潤的一倍。7，假設(shè)客人訂房沒有批量預(yù)定的情況。B:符號說明主要符號代表含義Yi 一周內(nèi)星期i的房價所占周總價比例的標(biāo)準(zhǔn)間價格的走比例Yk 標(biāo)準(zhǔn)間價格的周均價內(nèi)走勢yk,i第k周，星期i的標(biāo)準(zhǔn)間均價k 第k周I 星期im1,m2,m3 接受預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的數(shù)量A 客人入住每間客房的利潤D 每位已經(jīng)預(yù)定而又沒有得到客房的賠償C1,C2,C3 除客房以外的其他總成本，分?jǐn)偟饺惙块g的分別總和P 一個已定客房的旅客在在前一天中午

6、以前取消預(yù)定的概率gkk 人未按時入住的概率LR(k) 設(shè)賓館相應(yīng)與每種gk的利潤Y(LR) 那么賓館的利潤期望為三、 問題分析顯然，從本題提供的數(shù)據(jù)和所要求解的問題來看，它是屬于時間序列的預(yù)測問題，故考慮用多項式趨勢外推和移動平均法等方法求解。第一問：題目中給出了八周的標(biāo)準(zhǔn)間房價數(shù)據(jù)，要求預(yù)測第九、第十周的標(biāo)準(zhǔn)間房價，屬于短期預(yù)測問題。顯然，從所給數(shù)據(jù)來看，要建立單一時間變量的函數(shù)來確定房價是很難的，不過更具日常經(jīng)驗和經(jīng)濟學(xué)規(guī)律分析，可將影響標(biāo)準(zhǔn)間的房價變動的因素歸納到兩方面：即，一周內(nèi)房價的分布，和以周均價為代表的長期上漲規(guī)律。第二問:顯然，預(yù)定了客房的客人取消預(yù)定的概率是相互獨立的，則，

7、m個預(yù)定中，有k個客人取消訂單的事件符合獨立重復(fù)試驗概型；同時，由于k的不同導(dǎo)致賓館利潤的不同，故先計算出賓館利潤對于某一個k值的函數(shù)，在通過概率加權(quán)的辦法算出賓館利潤的期望，通過取定合適的m值，使得利潤期望最大，從而得出合適的賓館客房超額預(yù)定策略。第三問：通過一二問的求解，提供建議四、模型建立4.1對于第一問：顯然，在未來某一周內(nèi)，由于工作日和雙休日的固定，以及其所導(dǎo)致的對賓館客房的需求的固定，可以推定：該周內(nèi)任意一天的標(biāo)間價格所占的七天總價的比例yi與yi的關(guān)系是不變的;同時，根據(jù)經(jīng)濟規(guī)律可知，標(biāo)準(zhǔn)間的周均價yk隨時間的推移是按某種規(guī)律上漲的，因此，可以建立周數(shù)k與yk的關(guān)系。那么，未來第

8、k周，星期i的標(biāo)準(zhǔn)間的價格yk,i上述兩種決定價格變動規(guī)律的因素共同決定的。由此可得 yk,i的表達式：yk,j=yi*yk4.2對于第二問，根據(jù)訂房客人取消預(yù)定的變化，賓館的利潤也是變化的。為了確定一個最優(yōu)的預(yù)定策略，將所有可能的情況根據(jù)其概率進行加權(quán)運算，最終得到具有代表性的總體利潤的期望，從而確定一個合理的預(yù)定策略。k 人未按時入住的概率為gk，賓館相應(yīng)與每種gk的利潤為LR(k)，那么賓館利潤的期望為：五、求解方法5.1第一問的求解5.1.1首先對標(biāo)準(zhǔn)間在每個周內(nèi)的價格走勢作分析，建立其周內(nèi)變化模型。對一周內(nèi)各天的均價走勢的研究，得到一周內(nèi)的價格變動，可以反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)間價格變動因素中的一個

9、周期性因素。通過對數(shù)據(jù)的分析得到前八周內(nèi)，星期一至周日分別的標(biāo)準(zhǔn)間價格均值：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日標(biāo)間均價50.550.546.75119125.2595.554.25其折線圖如下：于是得到一周內(nèi)各天的均價比例如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日標(biāo)準(zhǔn)間均價50.550.546.75119125.2595.554.25周均價541.75541.75541.75541.75541.75541.75541.75比例9.32%9.32%8.63%21.97%23.12%17.63%10.01%由于題目中已明確說明：，賓館采用變動價格，根據(jù)市場需求情況調(diào)整價格，一般來說周

10、末價格比較高。同時結(jié)合上圖，對建立的各周內(nèi)模型采用分段的多項式趨勢外推法建立函數(shù)。分別用線性趨勢外推，以及三次多項式外推，建立的分段函數(shù)如下：通過matlab求解方程組（代碼見附錄代碼一），得到趨勢外推法的解如下其模擬的效果如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日均價50.550.546.75119125.2595.554.25總價541.75541.75541.75541.75541.75541.75541.75比例0.0932160.0932160.0862940.2196590.2311950.1762810.100138擬合比例0.0932530.0932530.0862940

11、.21910.23210.17570.1003誤差0.04%0.04%0.00%0.25%0.39%0.33%0.16%從驗證值與實際數(shù)據(jù)的誤差來看，誤差最大的為0.39%，在允許范圍內(nèi)，模擬效果比較理想。5.1.2.再對標(biāo)準(zhǔn)間前八周的周均價走勢作分析，建立周間均價變化模型，并預(yù)測九十周均價。、多項式外推法求解（代碼見附錄代碼二）對周間標(biāo)準(zhǔn)間的價格變化的研究，得到其周均價的價格走勢，可以較為直觀的反應(yīng)在較長時間段內(nèi)整體的價格趨勢，以便于作短期預(yù)測。通過對題目所提供的數(shù)據(jù)，分析得到前八周各自的均價， 根據(jù)對周均價走勢的分析，和題目其他已知條件，首先通過趨勢外推法建立模型如下三次多項式外推其擬合前

12、后對比如下周次每周價格走勢擬合函數(shù)值偏差143.5714285730.116930.88%24967.351937.45%35389.957969.73%4169100.147240.74%590.42857143100.131710.73%670.4285714392.123730.80%776.1428571478.33522.88%867.5714285760.97849.76%擬合曲線見下圖?？梢?，其誤差以十分明顯。其中，前6周誤差都超過10%，最大的第三周甚至達到69.73%。而且根據(jù)它預(yù)測的第九、十周均價分別為42.2653，24.4082元。根據(jù)日常經(jīng)驗可知，均價隨時間的推移是逐

13、步上漲的，這與之不符。故，此時采用三次趨勢外推是不合理的；若采用更高次的多項式外推法，可使前八周內(nèi)誤差減小，但其預(yù)測將變得更加不合常規(guī)。于是，此處不能采用多項式趨勢外推。接下了，本文將采用一次移動平均的方法對第九第十周預(yù)測。采用一次移動平均法求解（代碼見附錄代碼三）為了使數(shù)據(jù)最終結(jié)果與原始數(shù)據(jù)比較符合，并減小統(tǒng)計數(shù)據(jù)中由于偶然因素較大的數(shù)據(jù)的影響，取移動平均的觀測點數(shù)為8。其最終擬合結(jié)果如下（為了便于繪圖，在原始數(shù)據(jù)中令第九十周均價為0，不過這不影響算法的準(zhǔn)確度）設(shè)未來第k周的周均價值為yk,則yk+1=18j=k-7kyj其對九、十周的預(yù)測結(jié)果為77.3929元，與 81.6205元，比較符

14、合均價整體走勢。5.1.3.綜上，可得未來第k周，星期i的標(biāo)準(zhǔn)間價格的預(yù)測值yk,i得表達式： 根據(jù)以上公式計算出來的第九第十周標(biāo)準(zhǔn)間價格如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第九周50.52 50.52 46.75 118.70 125.74 95.19 54.34 第十周53.28 53.28 49.30 125.18 132.61 100.39 57.31 5.2求解第二問僅考慮賠償現(xiàn)金的情況下：賓館標(biāo)準(zhǔn)客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的實有數(shù)量分別為n1,n2,n3;設(shè)賓館接受預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的數(shù)量分別為m1,m2,m3;客人入住的客房的利潤為A元每間；已經(jīng)預(yù)定而

15、又沒有得到客房的賠償為D元每間；賓館除客房以外的其他成本分?jǐn)偨o三類房間，分別總共為C1,C2,C3元；設(shè)一個已定客房的旅客在在前一天中午以前取消預(yù)定的概率為p；其中k 人未按時入住的概率為gk，則有： gk=Cmkpk(1-p)(m-k)；當(dāng)m很大時，為了便于計算gk，根據(jù)泊松分布和二項分布的聯(lián)系知道，此時可以用前者計算后者的近似值：即有，gk=(mp)ke-(mp)k！;設(shè)賓館相應(yīng)與每種gk的利潤為LR，那么LR(k)=m-kA-c, (m-k)nnA-m-k-nD-c, m-k>n那么賓館的利潤期望為根據(jù)假設(shè)，除去客房開支以外，賓館總的運營成本，等于至少六成的客房有人入住時所得的利潤

16、；即C=0.6nA。顯然，賓館的n,D,A,p短期內(nèi)都是已知常數(shù)。過可以通過數(shù)值模擬的方法取定m，使得Y(LR)最大。對Y(LR)進行等價變形得：對標(biāo)準(zhǔn)間而言對豪華間而言對總統(tǒng)包間而言顯然，隨著p的增大，即1-p的減小，利潤是逐漸增大的。根據(jù)m和p取不同的值，利潤的期望變化如下：A根據(jù)下圖，標(biāo)準(zhǔn)間的最大利潤在1-p=0.95時，在m1=530時取得。B根據(jù)模擬計算圖，豪華間在所有情況下，都在m2=100左右取得最大利潤。C，根據(jù)模擬計算圖，總統(tǒng)包間在所有情況下，都在m3=20左右取得最大利潤假設(shè)取1-P=0.95。此時，賓館為了取得最大期望利潤率，根據(jù)前述計算結(jié)果可知，標(biāo)準(zhǔn)客房的預(yù)訂水平因該取

17、530、豪華套房的預(yù)訂水平取100、總統(tǒng)套房的預(yù)訂水平取20時，賓館利潤最大。而其中，豪華套房、總統(tǒng)套房的最大利潤分別在101和21處取得，m的數(shù)量太少，不適合超額預(yù)訂，況且賠率較大，賓館從經(jīng)濟的角度考慮，豪華套房、總統(tǒng)套房不應(yīng)該接受超額預(yù)訂。根據(jù)求出的數(shù)據(jù)可知，對于標(biāo)準(zhǔn)客房來說，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)客房的超額預(yù)訂水平為530 時， 最大可能超額入住5人，且概率為0.0796，即說明，最大可能賠償5個人。5.2.2在同時考慮升級客房檔次或賠款的情況下對于標(biāo)準(zhǔn)房間，由于沒有更低級的房間升級到標(biāo)準(zhǔn)房間，故在不同的概率值下， 期望利潤率隨訂房水平的變化情況相似。 由5.1 的求解可知，在1-P=0.95 的情況下

18、，賓館為達到，最大期望收益率，標(biāo)準(zhǔn)客房的超額預(yù)訂水平為530，豪華套房和總統(tǒng)套房不需要超額預(yù)訂。在標(biāo)準(zhǔn)客房的530 超額預(yù)訂水平下，最大可能是需要賠償5 個人。我們不妨假設(shè)賓館此時的處理方式是給其中2 人退預(yù)定金，并賠償標(biāo)準(zhǔn)間利潤的一倍；給另外3 人升級為豪華套房。于是，對于豪華套房來說，由于客滿，已經(jīng)預(yù)定豪華套房的客人不能入住的概率將增加。由于豪華套房本身不超額預(yù)訂，那么，賓館最明智的處理方式是預(yù)留3 個房間，提供給不能住標(biāo)準(zhǔn)客房的客人，以減少損失。結(jié)論是：當(dāng)賓館的處理方式是賠償客人費用或升級客人鎖定房間的等級時，賓館的預(yù)訂策略是標(biāo)準(zhǔn)客房預(yù)訂水平定為530，豪華客房預(yù)訂水平定為97，總統(tǒng)套房

19、的預(yù)訂水平定為20。5.3為該賓館制定一個長期的經(jīng)營策略；并給總經(jīng)理寫一篇短文有關(guān)管理經(jīng)營的建議書。根據(jù)第一二問的求解，可以知道，賓館的有關(guān)經(jīng)營定價策略；不過對于長期的預(yù)測與規(guī)劃，本模型同樣適用，只是涉及的具體參數(shù)，計算數(shù)據(jù)等要隨時間的推移和市場的變化而更新，從而可以制定科學(xué)合理的經(jīng)營策略。同時，也要適度靈活處置市場即時變更，以適應(yīng)波動的市場。六、計算機結(jié)果及分析6.1.第一問結(jié)果為第九第十周標(biāo)準(zhǔn)間價格如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第九周50.52 50.52 46.75 118.70 125.74 95.19 54.34 第十周53.28 53.28 49.30 125.

20、18 132.61 100.39 57.31 6.2第二問的結(jié)果為A僅考慮賠償現(xiàn)金的情況下賓館的超額預(yù)訂策略是標(biāo)準(zhǔn)客房預(yù)訂水平定位530，同時，其賠償額度為每間賠償以相當(dāng)于一間同等級別的客房利潤的現(xiàn)金，豪華套房和總統(tǒng)套房不提供超額預(yù)訂。B在同時考慮升級客房檔次或賠款的情況下賓館的預(yù)訂策略是標(biāo)準(zhǔn)客房預(yù)訂水平定為530，豪華客房預(yù)訂水平定為97，總統(tǒng)套房的預(yù)訂水平定為20。6.3本模型的優(yōu)缺點優(yōu)點：模型的精確度較高，比如第一問的誤差不超過1%，結(jié)果可靠； 采用多種方法對比計算，結(jié)果優(yōu)化程度較好。 結(jié)合各種市場數(shù)據(jù)和經(jīng)濟規(guī)律，結(jié)果的可靠度較高。缺點：模型的建立中考慮的因素不夠全面，比如第二問的求解當(dāng)

21、中，還可以將超額預(yù)訂對賓館的信譽度，一致于入住率的影響加入考慮。七、參考文獻1： 蒲俊，數(shù)學(xué)建模講義； 2： 曾建軍，李世行，matlab語言與數(shù)學(xué)建模，安徽理工大學(xué)；3： 李順初，概率統(tǒng)計教程；科學(xué)出版社；4： 孫 岳，楊永均，湯玚，中國礦業(yè)大學(xué)暑期數(shù)學(xué)建模集訓(xùn)；八、附錄、某賓館8周標(biāo)準(zhǔn)房價格(單位: 美元)周次周一周二周三周四周五周六周日129.00 29.00 29.00 69.00 79.00 35.00 35.00 235.00 35.00 35.00 69.00 99.00 35.00 35.00 335.00 35.00 35.00 89.00 99.00 39.00 39.00

22、 439.00 39.00 39.00 329.00 329.00 329.00 79.00 579.00 79.00 79.00 119.00 119.00 119.00 39.00 639.00 39.00 39.00 99.00 99.00 89.00 89.00 789.00 89.00 59.00 89.00 89.00 59.00 59.00 859.00 59.00 59.00 89.00 89.00 59.00 59.00 、代碼代碼一：x= 3 4 5 6 7y1=0.0862944160.2196585140.2311952010.1762805720.10013844y= 0 0 0 0 0wc=zeros(1,7)figurehold onplot(x,y1,'r-')b=polyfit(x,y1,3)plot(x,polyval(b,x),'g-&