隨機(jī)樣本及抽樣分布

1、第第6.16.2節(jié)節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù): 觀察現(xiàn)象觀察現(xiàn)象,收集資料收集資料,創(chuàng)創(chuàng) 建方法建方法,分析推斷。分析推斷。 統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷: 伴隨著一定概率的推測(cè)。其特伴隨著一定概率的推測(cè)。其特點(diǎn)是點(diǎn)是:由由“部分部分”推斷推斷“整體整體”。 總體總體:研究對(duì)象的全體研究對(duì)象的全體( (整體整體) )。個(gè)體個(gè)體:每一個(gè)研究對(duì)象每一個(gè)研究對(duì)象。實(shí)際上是對(duì)總體的。實(shí)際上是對(duì)總體的一次觀察。一次觀察。無(wú)限總體無(wú)限總體第六章第六章 隨機(jī)樣本及抽樣分布隨機(jī)樣本及抽樣分布 樣本樣本: 由部分個(gè)體構(gòu)成的集合。經(jīng)常說(shuō)由部分個(gè)體構(gòu)成的集合。經(jīng)常說(shuō),來(lái)來(lái)自自

2、(或取自或取自 )某總體的樣本。某總體的樣本。樣本具有二重性樣本具有二重性: 在抽樣前在抽樣前,它是隨機(jī)向量它是隨機(jī)向量,在抽樣后在抽樣后,它是數(shù)值向量它是數(shù)值向量(隨機(jī)向量的取值隨機(jī)向量的取值)。樣本選擇方式樣本選擇方式:(1)有放回抽樣有放回抽樣.(2)無(wú)放回抽樣無(wú)放回抽樣特別特別,樣本容量樣本容量總體數(shù)量時(shí)總體數(shù)量時(shí), 無(wú)放回抽樣可無(wú)放回抽樣可近似看作有放回抽樣近似看作有放回抽樣.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(s.r.s): 具有兩個(gè)特點(diǎn)的樣本具有兩個(gè)特點(diǎn)的樣本: 代表代表性性(組成樣本的每個(gè)個(gè)體與總體同分布組成樣本的每個(gè)個(gè)體與總體同分布), 獨(dú)立性獨(dú)立性 (組組成樣本的個(gè)體間相互獨(dú)立成樣本

3、的個(gè)體間相互獨(dú)立)。 樣本容量樣本容量: 樣本中所含個(gè)體的個(gè)數(shù)。樣本中所含個(gè)體的個(gè)數(shù)。如如, ,檢驗(yàn)一批燈泡的質(zhì)量檢驗(yàn)一批燈泡的質(zhì)量, ,從中選擇從中選擇100100只只, ,則則總體總體: :這批燈泡這批燈泡( (有限總體有限總體) )個(gè)體個(gè)體: :這批燈泡中的每一只這批燈泡中的每一只 樣本樣本: :抽取的抽取的100100只燈泡只燈泡( (簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本) )樣本容量樣本容量: :100100樣本觀測(cè)值樣本觀測(cè)值: : x x1 1,x,x2 2,x,x100100定義定義: :設(shè)設(shè)X X為一隨機(jī)變量為一隨機(jī)變量, ,其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為F(x),XF(x),X1 1,X,X

4、2 2,X,Xn n是是一組一組獨(dú)立且與獨(dú)立且與X X同分布同分布的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量, ,稱稱X X為為總體總體;(X;(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )為來(lái)自總體為來(lái)自總體X(X(或分布函數(shù)或分布函數(shù)F(x)F(x)的的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本;n;n為為樣本容樣本容量量在依次觀測(cè)中在依次觀測(cè)中, ,樣本的具體觀測(cè)值樣本的具體觀測(cè)值x x1 1,x,x2 2,x,xn n稱為稱為樣本值樣本值X XX X1 1,X,X2 2,X,X100100100100樣本值樣本值注意注意: :樣本是一組獨(dú)立同總體分布相同的隨機(jī)變量樣本是一組獨(dú)立同總體分布相同的隨機(jī)變量. .總體總體選擇個(gè)體選擇

5、個(gè)體樣本樣本觀測(cè)樣本觀測(cè)樣本樣本觀察值樣本觀察值( (數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)) )數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論樣本有關(guān)結(jié)論統(tǒng)計(jì)的一般步驟統(tǒng)計(jì)的一般步驟: :推斷總體性質(zhì)推斷總體性質(zhì) 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量為了集中簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本所帶來(lái)的總體信息為了集中簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本所帶來(lái)的總體信息, ,考考慮樣本的函數(shù)慮樣本的函數(shù), ,且不含任何未知參數(shù)且不含任何未知參數(shù), ,這樣的這樣的“不含不含未知未知參數(shù)的樣本的函數(shù)參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計(jì)量。稱為統(tǒng)計(jì)量。 是來(lái)自總體是來(lái)自總體例例6.2.1 設(shè)設(shè)nXXX,21),(2N 未知未知,則則( )不是統(tǒng)計(jì)量。不是統(tǒng)計(jì)量。的的s.r.s,其中其中已知已知,n2122221n1i2Xn1n

6、1i2in1n1i2in1n1iin1.XXX26XX5)(4)X(X3)(X2X1i 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 定義定義: :設(shè)設(shè)X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是來(lái)自總體是來(lái)自總體X X的一個(gè)樣的一個(gè)樣本本,g(X,g(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是是n n維隨機(jī)變量的函數(shù)維隨機(jī)變量的函數(shù), ,若若g g中除中除樣本的函數(shù)外不含任何未知參數(shù)樣本的函數(shù)外不含任何未知參數(shù), ,則稱則稱g(Xg(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )為為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量. .統(tǒng)計(jì)量的分布稱為統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布抽樣分布. 樣本均值樣本均值 常用統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)量: 樣本方差樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)

7、準(zhǔn)差 樣本樣本k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩 樣本樣本k階中心矩階中心矩 n1iiXn1X n1i2i2)XX(1n1S n1i2i)XX(1n1S n1ikikXn1A n1ikik)XX(n1B(6) 順序統(tǒng)計(jì)量與樣本分布函數(shù)順序統(tǒng)計(jì)量與樣本分布函數(shù)設(shè)設(shè)X1,X2,Xn的觀察值為的觀察值為x1,x2,xn,從小到大排序得到從小到大排序得到:x(1),x(2),x(n),定義定義X(k)=x(k),由此得到的由此得到的(X(1),X(2),X(n)或它們的函數(shù)都稱為順序統(tǒng)計(jì)量或它們的函數(shù)都稱為順序統(tǒng)計(jì)量.顯然顯然X(1) X(2) X(n)且有且有X(1)=min (X(1),X(2),X(n), X(

8、n)=max(X(1),X(2),X(n)1) 樣本中位數(shù)樣本中位數(shù) 為偶數(shù)為奇數(shù)nXXnXMdnnn,21,122)21(2) 樣本極差樣本極差R= X(n)- X(1)樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù)(經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)) )()1()()1(, 1)1, 2 , 1( , 0)(nkknxxnkxxxnkxxxF),(,)(xXPppnBxnFn 這這里里服服從從二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量格里汶科定理格里汶科定理:設(shè)總體設(shè)總體X的分布是的分布是F(x),則下式成立則下式成立10)()(suplim xFxFPnxn第第6.3節(jié)節(jié) 抽樣分布抽樣分布一、樣本均值的分布一、樣本

9、均值的分布定理：定理：設(shè)設(shè)X1，X2,Xn是來(lái)自總體是來(lái)自總體N( , 2)的樣本，的樣本，X是樣本均值，則有是樣本均值，則有 n,NX2注：注：在大樣本情況下，無(wú)論總體服從何種分布均有在大樣本情況下，無(wú)論總體服從何種分布均有 n,NX2二、順序統(tǒng)計(jì)量的分布二、順序統(tǒng)計(jì)量的分布1、（、（X（1），X（2）X(n)）的概率密度函數(shù)為）的概率密度函數(shù)為 其其它它！, 0 xxx,xfnx,x,xgn21n1iin212、樣本中位數(shù)的概率密度函數(shù)為、樣本中位數(shù)的概率密度函數(shù)為 xfxF1xF12nn2nnxf12nn2nMd ！3、樣本極差的概率密度函數(shù)為、樣本極差的概率密度函數(shù)為 其其它它, 00

10、 x,dttftxftFtxF1nnxf02nR其中其中 xdttfxF )z(z z 1- 1-例例6.3.16.3.1 設(shè)設(shè)XN(0,1), XN(0,1), 分分別為別為0.95,0.975,0.75,0.95,0.975,0.75,求求X X關(guān)關(guān)于于 的的100 100 % %分位數(shù)分位數(shù). .X X(x)(x) 三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其100 100 % %分位數(shù)分位數(shù)定義定義: :設(shè)設(shè)XN(0,1),XN(0,1),對(duì)任意對(duì)任意00 1,1,若若PX= PX= , ,則稱則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的100 100 % % 分位數(shù)分位數(shù), ,記為記為 z解解:

11、 : =0.95 =0.95時(shí)時(shí), ,95. 0)z(95. 0 反查表得反查表得: : z z0.950.95=1.64=1.64類似可得類似可得: :z z0.9750.975=1.96, z=1.96, z0.750.75=0.69=0.69z z 分布及其性質(zhì)分布及其性質(zhì)21.1.定義定義: : 稱稱 n n 個(gè)相互獨(dú)立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和的平方和X X的分布為自由度為的分布為自由度為n n的的 分布分布, ,記作記作2)n(X2 (2 ) X1,X2,Xk獨(dú)立獨(dú)立,Xi (ni),(i=1,2,k),則則2)n.nn(Xk212k1ii

12、2.2.性質(zhì)性質(zhì): : (1) X 1,X2,Xn獨(dú)立獨(dú)立,XiN(0,1),(i=1,2,n),則則 )n(X2n1i2i (3) X1,X2,Xn為來(lái)自總體為來(lái)自總體N( , 2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則則 四、四、 nX2n1i2i （4） n2)n(D,n)n(E22 例例6.3.2 設(shè)設(shè) 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 的的s.r.s,則則 服從服從( )分布。分布。nXXX,21),(2 N niXi12)( 例例6.3.3 設(shè)設(shè) 是取自總體是取自總體 N (0,4) 的的s.r.s, 當(dāng)當(dāng)a= , b= 時(shí)時(shí), ).2(2 X243221)43()2(XXbXXaX 4321,XX

13、XX解解(1)(1)服從服從)n(2 (2)(2)由題意得由題意得 )1 ,0(N)X4X3(b)1 ,0(N)X2X(a4321 1)X4X3(bD1)X2X(aD4321a =1/20b=1/1003. 的密度曲線的密度曲線)(2nXf(x)n=1n=4n=10隨著隨著n n的增大的增大, ,密度曲線逐漸趨于平緩密度曲線逐漸趨于平緩, ,對(duì)稱對(duì)稱. .4. 分布的分布的100 %分位數(shù)分位數(shù)2 定義定義:設(shè)設(shè) ,對(duì)于給定的對(duì)于給定的 (0 1),若若PX= ,則稱則稱為自由度為為自由度為n的的 分布的分布的100 %分位數(shù)分位數(shù),記為記為)(2nX 2 )(2n Xf(x) 1)n(2 查

14、表求查表求100 %分位數(shù)分位數(shù):(1)若若PX= ,則則)(21n 例例6.3.4.設(shè)設(shè)X (10),PX1=0.025, PX2=0.05,求求1, 2.2 解解: )10(2975. 01 查表得查表得:483.201 )10(205. 02 查表得查表得:940. 32 五、五、t 分布及其性質(zhì)分布及其性質(zhì)1.1.定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 , ,隨機(jī)變量隨機(jī)變量 Y Y 且它且它們互相獨(dú)立們互相獨(dú)立, ,則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量的分布為自由度是的分布為自由度是 n n 的的t t 分布分布, ,記作記作)1 , 0(NX)n(2 ).(ntTnY/XT 可以證明可以證明t分布的概

15、率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為)t( )nt1()2n(n2)1n() t (h21n2 特點(diǎn)特點(diǎn): 關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱;隨著自由度的逐漸增大隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線密度曲線逐漸接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線.2.t2.t分布的密度曲線分布的密度曲線: :Xf(x)3 3、t t分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2tn2e21)t (hlim （1） （2）)2n( 2nn)T(D,0)T(E （3） h(t)的圖形關(guān)于的圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱軸對(duì)稱)n(t 4. t分布的分布的100%分位數(shù)分位數(shù):Xf(x) 對(duì)于給定對(duì)于給定 (0 1), 若若Pt(n) = ,則稱則稱為為t分布

16、的分布的100%分位數(shù)分位數(shù), 記為記為:)n(t 1-例例6.3.5. 設(shè)設(shè)tt(15),求求(1)=0.995 (2)=0.005的的100%分分位數(shù)位數(shù);解解:(1)=t0.995(15), 查表得查表得 =2.9467(2)=t0.005(15), 查表得查表得 =-2.9467注注: )n(t)n(t1 例例6.3.6(974) 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 和和 Y 相相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布 , 而而和和 分別是來(lái)自總體分別是來(lái)自總體 X 和和 Y 的的 s.r.s,則統(tǒng)則統(tǒng)計(jì)量計(jì)量 服從服從( )分布分布,參數(shù)為參數(shù)為( ).)9,0(N91,XX 91,YY

17、 292191YYXXU t t9 9解解:),1 , 0(NX91X91ii )1 ,0(N3Yi故故)9(91)3(2912912 iiiiYYY 與與 獨(dú)立獨(dú)立,YX所以所以 )9(9/tYXU 六、六、F 分布及其性質(zhì)分布及其性質(zhì)1.1.定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 且且它們相互獨(dú)立它們相互獨(dú)立, ,則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 的分布為自的分布為自由度是由度是 的的 F F 分布。記作分布。記作),n(U12 ),n(V22 21n/Vn/UF )n,n(21)n,n(FF21可以證明，可以證明，)n,n(F21的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 0y 0,0y , n

18、yn1)2n()2n(ynn2nn)y(2nn212112n2n212121112.F2.F分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線3.性質(zhì)性質(zhì):)n,n(FF1),n,n(FX)1(1221則則若若25n,10n21 5,1021 nnyO)(y 則則若若),n,n(FX)2(21)2n(2nn)F(E222 )4n(4n2nn4n2n2n)F(D222212122 4.F4.F分布的分布的100%分位數(shù)分位數(shù)Xf(x)設(shè)設(shè)F , 對(duì)于給定對(duì)于給定(01),若若PF=,則稱則稱為為F分布的分布的100%分位數(shù)分位數(shù),記為記為:),(21nnF)n,n(F21 1)n,n(F21 5. 5. 10

19、0%分位數(shù)的計(jì)算分位數(shù)的計(jì)算(1)若若PF=,則則)n,n(F21 (2)若若PF=(比較小比較小),則則P1/F1/=1-,)n,n(FF21)n,n(F1121 故故)n,n(F1121 例例6.3.76.3.7 設(shè)設(shè)F FF(24,15),F(24,15),分別求滿足分別求滿足.025. 0FP)3(;95. 0FP)2(;025. 0FP)1( 的的解解 (1)=F0.975(24,15)=2.29(2) =F0.95(24,15)=2.70(3) 比較小比較小,P1/F1/=0.97544. 2)24,15(F1975. 0 所以所以=0.41 七、抽樣分布基本定理七、抽樣分布基本定

20、理1、設(shè) 是來(lái)自總體 的 s.r.s, 表示樣本均值，則 nXXX,21),(2 NX),(NX2 )1 , 0(Nn/X 2、設(shè)、設(shè)XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,從中從中分別抽取容量為分別抽取容量為n1,n2的樣本的樣本,樣本均值分別記為樣本均值分別記為Y,X)n,(NY),n,(NX22221211 ,)YX(E21 222121nnYDXD)YX(D )nn,(NYX22212121 ) 1 , 0(Nnn)()YX(22212121 3、定理、定理6.3.3設(shè)設(shè)X1，X2,Xn是來(lái)自總體是來(lái)自總體),(N2 的樣本，的樣本，2S,X分別是樣本均值和樣本方差，則有分別是樣本均值和樣本方差，則有)1n(S)1n(. 1222 相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與2SX. 2注：由注：由)1n(2S)1n(D, 1nS)1n(E2222 可得可得 1