隨機樣本及抽樣分布

1、第第6.16.2節(jié)節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計學中的基本概念數(shù)理統(tǒng)計學中的基本概念 數(shù)理統(tǒng)計的任務數(shù)理統(tǒng)計的任務: 觀察現(xiàn)象觀察現(xiàn)象,收集資料收集資料,創(chuàng)創(chuàng) 建方法建方法,分析推斷。分析推斷。 統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷: 伴隨著一定概率的推測。其特伴隨著一定概率的推測。其特點是點是:由由“部分部分”推斷推斷“整體整體”。 總體總體:研究對象的全體研究對象的全體( (整體整體) )。個體個體:每一個研究對象每一個研究對象。實際上是對總體的。實際上是對總體的一次觀察。一次觀察。無限總體無限總體第六章第六章 隨機樣本及抽樣分布隨機樣本及抽樣分布 樣本樣本: 由部分個體構(gòu)成的集合。經(jīng)常說由部分個體構(gòu)成的集合。經(jīng)常說,來來自自

2、(或取自或取自 )某總體的樣本。某總體的樣本。樣本具有二重性樣本具有二重性: 在抽樣前在抽樣前,它是隨機向量它是隨機向量,在抽樣后在抽樣后,它是數(shù)值向量它是數(shù)值向量(隨機向量的取值隨機向量的取值)。樣本選擇方式樣本選擇方式:(1)有放回抽樣有放回抽樣.(2)無放回抽樣無放回抽樣特別特別,樣本容量樣本容量總體數(shù)量時總體數(shù)量時, 無放回抽樣可無放回抽樣可近似看作有放回抽樣近似看作有放回抽樣.簡單隨機樣本簡單隨機樣本(s.r.s): 具有兩個特點的樣本具有兩個特點的樣本: 代表代表性性(組成樣本的每個個體與總體同分布組成樣本的每個個體與總體同分布), 獨立性獨立性 (組組成樣本的個體間相互獨立成樣本

3、的個體間相互獨立)。 樣本容量樣本容量: 樣本中所含個體的個數(shù)。樣本中所含個體的個數(shù)。如如, ,檢驗一批燈泡的質(zhì)量檢驗一批燈泡的質(zhì)量, ,從中選擇從中選擇100100只只, ,則則總體總體: :這批燈泡這批燈泡( (有限總體有限總體) )個體個體: :這批燈泡中的每一只這批燈泡中的每一只 樣本樣本: :抽取的抽取的100100只燈泡只燈泡( (簡單隨機樣本簡單隨機樣本) )樣本容量樣本容量: :100100樣本觀測值樣本觀測值: : x x1 1,x,x2 2,x,x100100定義定義: :設設X X為一隨機變量為一隨機變量, ,其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為F(x),XF(x),X1 1,X,X

4、2 2,X,Xn n是是一組一組獨立且與獨立且與X X同分布同分布的隨機變量的隨機變量, ,稱稱X X為為總體總體;(X;(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )為來自總體為來自總體X(X(或分布函數(shù)或分布函數(shù)F(x)F(x)的的簡單隨機樣本簡單隨機樣本;n;n為為樣本容樣本容量量在依次觀測中在依次觀測中, ,樣本的具體觀測值樣本的具體觀測值x x1 1,x,x2 2,x,xn n稱為稱為樣本值樣本值X XX X1 1,X,X2 2,X,X100100100100樣本值樣本值注意注意: :樣本是一組獨立同總體分布相同的隨機變量樣本是一組獨立同總體分布相同的隨機變量. .總體總體選擇個體選擇

5、個體樣本樣本觀測樣本觀測樣本樣本觀察值樣本觀察值( (數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)) )數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論樣本有關(guān)結(jié)論統(tǒng)計的一般步驟統(tǒng)計的一般步驟: :推斷總體性質(zhì)推斷總體性質(zhì) 統(tǒng)計量統(tǒng)計量為了集中簡單隨機樣本所帶來的總體信息為了集中簡單隨機樣本所帶來的總體信息, ,考考慮樣本的函數(shù)慮樣本的函數(shù), ,且不含任何未知參數(shù)且不含任何未知參數(shù), ,這樣的這樣的“不含不含未知未知參數(shù)的樣本的函數(shù)參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量。稱為統(tǒng)計量。 是來自總體是來自總體例例6.2.1 設設nXXX,21),(2N 未知未知,則則( )不是統(tǒng)計量。不是統(tǒng)計量。的的s.r.s,其中其中已知已知,n2122221n1i2Xn1n

6、1i2in1n1i2in1n1iin1.XXX26XX5)(4)X(X3)(X2X1i 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 定義定義: :設設X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是來自總體是來自總體X X的一個樣的一個樣本本,g(X,g(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是是n n維隨機變量的函數(shù)維隨機變量的函數(shù), ,若若g g中除中除樣本的函數(shù)外不含任何未知參數(shù)樣本的函數(shù)外不含任何未知參數(shù), ,則稱則稱g(Xg(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )為為統(tǒng)計量統(tǒng)計量. .統(tǒng)計量的分布稱為統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布抽樣分布. 樣本均值樣本均值 常用統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量: 樣本方差樣本方差 樣本標準差樣本標

7、準差 樣本樣本k階原點矩階原點矩 樣本樣本k階中心矩階中心矩 n1iiXn1X n1i2i2)XX(1n1S n1i2i)XX(1n1S n1ikikXn1A n1ikik)XX(n1B(6) 順序統(tǒng)計量與樣本分布函數(shù)順序統(tǒng)計量與樣本分布函數(shù)設設X1,X2,Xn的觀察值為的觀察值為x1,x2,xn,從小到大排序得到從小到大排序得到:x(1),x(2),x(n),定義定義X(k)=x(k),由此得到的由此得到的(X(1),X(2),X(n)或它們的函數(shù)都稱為順序統(tǒng)計量或它們的函數(shù)都稱為順序統(tǒng)計量.顯然顯然X(1) X(2) X(n)且有且有X(1)=min (X(1),X(2),X(n), X(

8、n)=max(X(1),X(2),X(n)1) 樣本中位數(shù)樣本中位數(shù) 為偶數(shù)為奇數(shù)nXXnXMdnnn,21,122)21(2) 樣本極差樣本極差R= X(n)- X(1)樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù)(經(jīng)驗分布函數(shù)經(jīng)驗分布函數(shù)) )()1()()1(, 1)1, 2 , 1( , 0)(nkknxxnkxxxnkxxxF),(,)(xXPppnBxnFn 這這里里服服從從二二項項分分布布是是一一個個隨隨機機變變量量格里汶科定理格里汶科定理:設總體設總體X的分布是的分布是F(x),則下式成立則下式成立10)()(suplim xFxFPnxn第第6.3節(jié)節(jié) 抽樣分布抽樣分布一、樣本均值的分布一、樣本

9、均值的分布定理：定理：設設X1，X2,Xn是來自總體是來自總體N( , 2)的樣本，的樣本，X是樣本均值，則有是樣本均值，則有 n,NX2注：注：在大樣本情況下，無論總體服從何種分布均有在大樣本情況下，無論總體服從何種分布均有 n,NX2二、順序統(tǒng)計量的分布二、順序統(tǒng)計量的分布1、（、（X（1），X（2）X(n)）的概率密度函數(shù)為）的概率密度函數(shù)為 其其它它！, 0 xxx,xfnx,x,xgn21n1iin212、樣本中位數(shù)的概率密度函數(shù)為、樣本中位數(shù)的概率密度函數(shù)為 xfxF1xF12nn2nnxf12nn2nMd ！3、樣本極差的概率密度函數(shù)為、樣本極差的概率密度函數(shù)為 其其它它, 00

10、 x,dttftxftFtxF1nnxf02nR其中其中 xdttfxF )z(z z 1- 1-例例6.3.16.3.1 設設XN(0,1), XN(0,1), 分分別為別為0.95,0.975,0.75,0.95,0.975,0.75,求求X X關(guān)關(guān)于于 的的100 100 % %分位數(shù)分位數(shù). .X X(x)(x) 三、標準正態(tài)分布及其三、標準正態(tài)分布及其100 100 % %分位數(shù)分位數(shù)定義定義: :設設XN(0,1),XN(0,1),對任意對任意00 1,1,若若PX= PX= , ,則稱則稱為標準正態(tài)分布的為標準正態(tài)分布的100 100 % % 分位數(shù)分位數(shù), ,記為記為 z解解:

11、 : =0.95 =0.95時時, ,95. 0)z(95. 0 反查表得反查表得: : z z0.950.95=1.64=1.64類似可得類似可得: :z z0.9750.975=1.96, z=1.96, z0.750.75=0.69=0.69z z 分布及其性質(zhì)分布及其性質(zhì)21.1.定義定義: : 稱稱 n n 個相互獨立同標準正態(tài)分布的隨機變量個相互獨立同標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和的平方和X X的分布為自由度為的分布為自由度為n n的的 分布分布, ,記作記作2)n(X2 (2 ) X1,X2,Xk獨立獨立,Xi (ni),(i=1,2,k),則則2)n.nn(Xk212k1ii

12、2.2.性質(zhì)性質(zhì): : (1) X 1,X2,Xn獨立獨立,XiN(0,1),(i=1,2,n),則則 )n(X2n1i2i (3) X1,X2,Xn為來自總體為來自總體N( , 2)的簡單隨機樣本的簡單隨機樣本,則則 四、四、 nX2n1i2i （4） n2)n(D,n)n(E22 例例6.3.2 設設 是來自總體是來自總體 的的s.r.s,則則 服從服從( )分布。分布。nXXX,21),(2 N niXi12)( 例例6.3.3 設設 是取自總體是取自總體 N (0,4) 的的s.r.s, 當當a= , b= 時時, ).2(2 X243221)43()2(XXbXXaX 4321,XX

13、XX解解(1)(1)服從服從)n(2 (2)(2)由題意得由題意得 )1 ,0(N)X4X3(b)1 ,0(N)X2X(a4321 1)X4X3(bD1)X2X(aD4321a =1/20b=1/1003. 的密度曲線的密度曲線)(2nXf(x)n=1n=4n=10隨著隨著n n的增大的增大, ,密度曲線逐漸趨于平緩密度曲線逐漸趨于平緩, ,對稱對稱. .4. 分布的分布的100 %分位數(shù)分位數(shù)2 定義定義:設設 ,對于給定的對于給定的 (0 1),若若PX= ,則稱則稱為自由度為為自由度為n的的 分布的分布的100 %分位數(shù)分位數(shù),記為記為)(2nX 2 )(2n Xf(x) 1)n(2 查

14、表求查表求100 %分位數(shù)分位數(shù):(1)若若PX= ,則則)(21n 例例6.3.4.設設X (10),PX1=0.025, PX2=0.05,求求1, 2.2 解解: )10(2975. 01 查表得查表得:483.201 )10(205. 02 查表得查表得:940. 32 五、五、t 分布及其性質(zhì)分布及其性質(zhì)1.1.定義定義 設隨機變量設隨機變量 , ,隨機變量隨機變量 Y Y 且它且它們互相獨立們互相獨立, ,則稱隨機變量則稱隨機變量的分布為自由度是的分布為自由度是 n n 的的t t 分布分布, ,記作記作)1 , 0(NX)n(2 ).(ntTnY/XT 可以證明可以證明t分布的概

15、率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為)t( )nt1()2n(n2)1n() t (h21n2 特點特點: 關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱;隨著自由度的逐漸增大隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標準正態(tài)密度曲線密度曲線逐漸接近于標準正態(tài)密度曲線.2.t2.t分布的密度曲線分布的密度曲線: :Xf(x)3 3、t t分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2tn2e21)t (hlim （1） （2）)2n( 2nn)T(D,0)T(E （3） h(t)的圖形關(guān)于的圖形關(guān)于Y軸對稱軸對稱)n(t 4. t分布的分布的100%分位數(shù)分位數(shù):Xf(x) 對于給定對于給定 (0 1), 若若Pt(n) = ,則稱則稱為為t分布

16、的分布的100%分位數(shù)分位數(shù), 記為記為:)n(t 1-例例6.3.5. 設設tt(15),求求(1)=0.995 (2)=0.005的的100%分分位數(shù)位數(shù);解解:(1)=t0.995(15), 查表得查表得 =2.9467(2)=t0.005(15), 查表得查表得 =-2.9467注注: )n(t)n(t1 例例6.3.6(974) 設隨機變量設隨機變量 X 和和 Y 相相互獨立且都服從正態(tài)分布互獨立且都服從正態(tài)分布 , 而而和和 分別是來自總體分別是來自總體 X 和和 Y 的的 s.r.s,則統(tǒng)則統(tǒng)計量計量 服從服從( )分布分布,參數(shù)為參數(shù)為( ).)9,0(N91,XX 91,YY

17、 292191YYXXU t t9 9解解:),1 , 0(NX91X91ii )1 ,0(N3Yi故故)9(91)3(2912912 iiiiYYY 與與 獨立獨立,YX所以所以 )9(9/tYXU 六、六、F 分布及其性質(zhì)分布及其性質(zhì)1.1.定義定義 設隨機變量設隨機變量 隨機變量隨機變量 且且它們相互獨立它們相互獨立, ,則稱隨機變量則稱隨機變量 的分布為自的分布為自由度是由度是 的的 F F 分布。記作分布。記作),n(U12 ),n(V22 21n/Vn/UF )n,n(21)n,n(FF21可以證明，可以證明，)n,n(F21的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 0y 0,0y , n

18、yn1)2n()2n(ynn2nn)y(2nn212112n2n212121112.F2.F分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線3.性質(zhì)性質(zhì):)n,n(FF1),n,n(FX)1(1221則則若若25n,10n21 5,1021 nnyO)(y 則則若若),n,n(FX)2(21)2n(2nn)F(E222 )4n(4n2nn4n2n2n)F(D222212122 4.F4.F分布的分布的100%分位數(shù)分位數(shù)Xf(x)設設F , 對于給定對于給定(01),若若PF=,則稱則稱為為F分布的分布的100%分位數(shù)分位數(shù),記為記為:),(21nnF)n,n(F21 1)n,n(F21 5. 5. 10

19、0%分位數(shù)的計算分位數(shù)的計算(1)若若PF=,則則)n,n(F21 (2)若若PF=(比較小比較小),則則P1/F1/=1-,)n,n(FF21)n,n(F1121 故故)n,n(F1121 例例6.3.76.3.7 設設F FF(24,15),F(24,15),分別求滿足分別求滿足.025. 0FP)3(;95. 0FP)2(;025. 0FP)1( 的的解解 (1)=F0.975(24,15)=2.29(2) =F0.95(24,15)=2.70(3) 比較小比較小,P1/F1/=0.97544. 2)24,15(F1975. 0 所以所以=0.41 七、抽樣分布基本定理七、抽樣分布基本定

20、理1、設 是來自總體 的 s.r.s, 表示樣本均值，則 nXXX,21),(2 NX),(NX2 )1 , 0(Nn/X 2、設、設XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互獨立相互獨立,從中從中分別抽取容量為分別抽取容量為n1,n2的樣本的樣本,樣本均值分別記為樣本均值分別記為Y,X)n,(NY),n,(NX22221211 ,)YX(E21 222121nnYDXD)YX(D )nn,(NYX22212121 ) 1 , 0(Nnn)()YX(22212121 3、定理、定理6.3.3設設X1，X2,Xn是來自總體是來自總體),(N2 的樣本，的樣本，2S,X分別是樣本均值和樣本方差，則有分別是樣本均值和樣本方差，則有)1n(S)1n(. 1222 相相互互獨獨立立與與2SX. 2注：由注：由)1n(2S)1n(D, 1nS)1n(E2222 可得可得 1