復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算( 僑中優(yōu)質(zhì)課比賽課件)

1、已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di (a=c+di (a，b b，c c，dR)dR)(a+bi)(a+bi)(c+di) =_.(c+di) =_.對任意對任意z z1 1，z z2 2，z z3 3CCz z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3) )交換律：交換律：結(jié)合律：結(jié)合律：(a(ac)+(bc)+(bd)id)i已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di (a=c+di (a，b b，c c，dR)

2、dR)設(shè)設(shè)OZOZ1 1， OZOZ2 2分別與復(fù)數(shù)分別與復(fù)數(shù)z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di對應(yīng)對應(yīng). .x xo oy yZ Z1 1(a(a，b)b)Z Z2 2(c(c，d)d)Z Z向量向量OZOZ1 1+OZ+OZ2 2z z1 1+z+z2 2o ox xy yZ Z2 2(c(c，d)d)Z Z1 1(a(a，b)b)向量向量OZOZ1 1-OZ-OZ2 2z z1 1-z-z2 2已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di (a=c+di (a，b b，c c，dR)dR)Z Z1 1(a(a，b)b)o o

3、x xy yZ Z2 2(c(c，d)d)|z|z1 1-z-z2 2| |表示：表示：_. . 復(fù)平面中點復(fù)平面中點Z Z1 1與點與點Z Z2 2間的距離間的距離. .特別地，特別地，|z|z|表示：表示：_. .復(fù)平面中點復(fù)平面中點Z Z與原點間與原點間的距離的距離. .如：如：|z+(1+2i)|z+(1+2i)|表示：表示：_._.點點(-1(-1，-2)-2)的距離的距離. .點點Z(Z(對應(yīng)復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)數(shù)z)z)到到1.1.復(fù)數(shù)乘法運算：復(fù)數(shù)乘法運算：我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：設(shè)設(shè)z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di =c+di 是

4、任意兩個復(fù)數(shù)是任意兩個復(fù)數(shù)，那那么它們的乘積為：么它們的乘積為： ( (a+bia+bi)()(c+dic+di )= ac+adi+bci+bdi )= ac+adi+bci+bdi2 2 = ac+adi+bci-bd = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i = (ac-bd)+(ad+bc)i注意：注意：兩個復(fù)數(shù)的積是一個確定的復(fù)數(shù)兩個復(fù)數(shù)的積是一個確定的復(fù)數(shù)應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例計算計算 (3+4i)(-2-3i)(3+4i)(-2-3i)解：原式解：原式= -6-9i-8i-12i= -6-9i-8i-12i2 2 = -6-17i+12 = -6-17i+1

5、2 = 6-17i = 6-17i分析：類似兩個多項式相乘，把分析：類似兩個多項式相乘，把i i2 2換成換成-1-1復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律，結(jié)合律以及復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律，結(jié)合律以及乘法對加法的分配律？乘法對加法的分配律？請驗證乘法是否滿足交換律請驗證乘法是否滿足交換律? ?對任意復(fù)數(shù)對任意復(fù)數(shù)z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di=c+di則則z z1 1zz2 2=(=(a+bia+bi)()(c+dic+di )=ac+adi+bci+bdi )=ac+adi+bci+bdi2 2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i=ac+adi+

6、bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i而而z z2 2zz1 1= (= (c+dic+di )( )(a+bia+bi)=ac+bci+adi+bdi)=ac+bci+adi+bdi2 2 =(ac-bd)+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1( (交換律交換律) )對任意對任意z z1 1 ,z ,z2 2 ,z ,z3 3 C. C. 有有 z z1 1zz2 2=z=z2 2zz1 1 ( (交換律交換律) ) (z (z1 1zz2 2)z)z3 3= z= z1 1(z(z2 2zz3 3) () (結(jié)合律

7、結(jié)合律) )z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1zz2 2+z+z1 1zz3 3 ( (分配律分配律) )例例1.1.計算：計算：(1) (1-2i)(3+4i)(-2+i)(1) (1-2i)(3+4i)(-2+i)(2) (1+i)(2) (1+i)2 2(3) (3+4i)(3-4i)(3) (3+4i)(3-4i)點評：點評：實數(shù)集中的完全平方公式、平方差實數(shù)集中的完全平方公式、平方差等公式在復(fù)數(shù)集中仍然適用等公式在復(fù)數(shù)集中仍然適用. .記法：復(fù)數(shù)記法：復(fù)數(shù)z=z=a+bi a+bi 的共軛復(fù)數(shù)記作的共軛復(fù)數(shù)記作zz= = a-bia-bi定義：實部相等，虛部互

8、為相反數(shù)的兩定義：實部相等，虛部互為相反數(shù)的兩 個復(fù)數(shù)叫做互為個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)口答：口答：說出下列復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)說出下列復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)z z=2+3i=2+3iz z= = 3 3z z= -6i= -6iz( =2-3i )( =2-3i )z ( =6i ) ( =6i )z( =3 )( =3 )注意：注意：當(dāng)虛部不為當(dāng)虛部不為0 0時的共軛復(fù)數(shù)稱為時的共軛復(fù)數(shù)稱為 共軛虛數(shù)共軛虛數(shù) 實數(shù)實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身的共軛復(fù)數(shù)是它本身解：解：作圖作圖得出結(jié)論：得出結(jié)論：在復(fù)平面內(nèi)，在復(fù)平面內(nèi)，共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)z z1 1 ,z ,z2 2所對應(yīng)的點所對應(yīng)的點關(guān)于關(guān)于實軸實軸對稱。

9、對稱。 若若z z1 1 , z , z2 2是共軛復(fù)數(shù)，那么是共軛復(fù)數(shù)，那么在復(fù)平面內(nèi)，它們所對應(yīng)的在復(fù)平面內(nèi)，它們所對應(yīng)的點點有怎有怎 的位置關(guān)系？的位置關(guān)系？z z1 1zz2 2是一個怎樣的數(shù)？是一個怎樣的數(shù)？令令z1=a+bi,則則z2=a-bi則則z1z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2結(jié)論：結(jié)論：任意兩個互為共軛任意兩個互為共軛復(fù)數(shù)的乘積是一個復(fù)數(shù)的乘積是一個實數(shù)實數(shù). .yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,o)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o6.6.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)運算性質(zhì)的相關(guān)運算性質(zhì): :ZZ 2

10、222|ZZbaZZ 2121ZZZZ2121ZZZZzzRz zzzz 且且為純虛數(shù)為純虛數(shù), 07.7.復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則探究：我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算，試探探究：我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算，試探 究復(fù)數(shù)除法的法則究復(fù)數(shù)除法的法則. .()()(0).() ()cdi xyiabi cdixyiabicdiabiabicdicdi滿足的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商記作：或()() () ()c di xyia bicx dydx cy ia bi 22cx dyac x cdyacdx cybd x cdybd2222acbdxcdbcadycd2222() ()(0)

11、ac bd bc ada bic dii c dicdcd 說明：在計算時說明：在計算時, ,分子分母都乘以分母的分子分母都乘以分母的“實數(shù)化因式實數(shù)化因式”（共軛復(fù)數(shù)）從而使分母（共軛復(fù)數(shù)）從而使分母“實數(shù)化實數(shù)化”。()()即 ：abiabicdicdi a aa a( (b b - -c c ) )= =b b + +c c( (b b + +c c ) )( (b b - -c c ) )a ab b - -a ac c= =( (分分 母母 有有 理理 化化 ) )b b - - c c()()()()abi cdicdi cdi 222222()acbdbcad iacbdbcad

12、icdcdcd 7.7.復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則)0()()(2222 dicidcadbcdcbdacdicbiadicbia例例2.(1+22.(1+2i) ) (3-4(3-4i) )先寫成分先寫成分式形式式形式然后分母實數(shù)化然后分母實數(shù)化分子分母同時乘分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)以分母的共軛復(fù)數(shù)數(shù)結(jié)果化簡成結(jié)果化簡成代數(shù)形式代數(shù)形式ii1234 iiii(12 )(34 )(34 )(34 ) i51025 i1255 _ _的實部是_的實部是_2i2i1 13i3i4 41.復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)2的值的值y y求x求x9i,9i,4 43xyi3xyiy)y)(x(x軛復(fù)數(shù)，且軛復(fù)數(shù)，且2.