飛躍顛峰穿幽谷--應(yīng)用數(shù)學(xué)大師歐拉

1、飛躍顛峰穿幽谷-應(yīng)用數(shù)學(xué)大師歐拉張文亮關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)應(yīng)用編者按：歐拉-人類歷史上最偉大的應(yīng)用數(shù)學(xué)家，結(jié)合數(shù)學(xué)與生活的第一人。      數(shù)學(xué)有什么用?歐拉第一個(gè)給出回答：他用數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)輪船-啟動(dòng)了波浪動(dòng)力學(xué)；他用數(shù)學(xué)研究耳朵，了解耳膜與聽(tīng)覺(jué)；他用數(shù)學(xué)來(lái)測(cè)量，整合了平面測(cè)量學(xué)；他用數(shù)學(xué)算渠道斷面，開(kāi)啟了應(yīng)用流體力學(xué)；他用數(shù)學(xué)算保險(xiǎn)、精準(zhǔn)貨幣，產(chǎn)生了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)；他用數(shù)學(xué)算老鷹的飛翔，建立了航空動(dòng)力學(xué)。      歐拉是世界上迄今為止最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，1704年出生的

2、歐拉到60歲就失明了。失明后他完成的著作包括：三冊(cè)光學(xué)書(shū)（1769-71），三冊(cè)微積分書(shū)（1768-70），兩冊(cè)口述由男仆抄錄的代數(shù)學(xué)書(shū)（1770），一冊(cè)775頁(yè)關(guān)于月球運(yùn)轉(zhuǎn)的書(shū)（此書(shū)發(fā)表一百年都未能被完全理解），一冊(cè)海軍學(xué)生手冊(cè)（1773），一冊(cè)建立保險(xiǎn)原理的重量級(jí)的數(shù)（1776）。歐拉有三件事被人稱頌：眼睛瞎了還寫(xiě)了無(wú)窮多文章，即使現(xiàn)在用電腦寫(xiě)也不如他多產(chǎn)，886本書(shū)籍和論文一半是瞎了后寫(xiě)的，其中很多文章是重量級(jí)的；歐拉除了文章多產(chǎn)，生孩子也不示弱，生了13個(gè)子女，成活5位，常抱著一個(gè)嬰兒寫(xiě)作，而大一點(diǎn)的孩子們?cè)谒車嫠ｆ覒?；歐拉還培養(yǎng)或影響了一批數(shù)學(xué)家，包括法國(guó)人拉格朗日。歐拉-人類歷

3、史上最偉大的應(yīng)用數(shù)學(xué)家，結(jié)合數(shù)學(xué)與生活的第一人。在他以前，數(shù)學(xué)被認(rèn)為是一種奢侈的頭腦游戲，數(shù)學(xué)不能叫牛生產(chǎn)牛奶，數(shù)學(xué)不能讓小麥生長(zhǎng)，數(shù)學(xué)有什么用呢?歐拉用他的一生回答這個(gè)問(wèn)題：他用數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)輪船-啟動(dòng)了波浪動(dòng)力學(xué)、他用數(shù)學(xué)研究耳朵-了解耳膜與聽(tīng)覺(jué)、他用數(shù)學(xué)來(lái)測(cè)量-整合了平面測(cè)量學(xué)、他用數(shù)學(xué)算渠道斷面-開(kāi)啟了應(yīng)用流體力學(xué)、他用數(shù)學(xué)算保險(xiǎn)、精準(zhǔn)貨幣-產(chǎn)生了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、他用數(shù)學(xué)算老鷹的飛翔-建立了航空動(dòng)力學(xué)今天數(shù)學(xué)課本函數(shù)用f(x)，半徑用r，自然對(duì)數(shù)用e，總和用這些符號(hào)都是他定的。世界每一本高等數(shù)學(xué)里都有歐拉微分方程式解，以及歐拉公式：eix=cosx+isinx.十八世紀(jì)以后，每一位數(shù)學(xué)大師都聲稱

4、受到歐拉的影響，每一個(gè)數(shù)學(xué)分支都可以看到歐拉的影子，歐拉的影響力是這樣的大，卻很少人知道歐拉像一只鳥(niǎo)，終生舉著數(shù)學(xué)與信仰的雙翼在飛翔。輪船之謎一七二七年，法國(guó)巴黎科學(xué)院燈火通明，一批科學(xué)家熱烈討論著歐洲科學(xué)競(jìng)賽里的一篇作品：這實(shí)在是件奇怪的事，一個(gè)在神學(xué)院里專攻古希伯來(lái)文的學(xué)生，竟然會(huì)提出一套數(shù)學(xué)解法-由海浪的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算出一艘大輪船的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)?更奇怪的是，這個(gè)名叫歐拉(Leonhard Euler)的年輕人，是來(lái)自群山之國(guó)瑞士。他自己坦白說(shuō)他一生沒(méi)有看過(guò)海，更沒(méi)見(jiàn)過(guò)輪船，只看過(guò)瑞士的泛湖小舟。他這種超強(qiáng)的數(shù)學(xué)解析能力，實(shí)在是百年難得一見(jiàn)。另一位科學(xué)家接口。經(jīng)過(guò)一番討論，主席裁決：如果我們不把科

5、學(xué)競(jìng)賽的首獎(jiǎng)?lì)C給他，就是太沒(méi)有眼光了。但是以輪船設(shè)計(jì)獲得首獎(jiǎng)的，是一個(gè)根本沒(méi)有看過(guò)輪船的人，這消息如果傳了出去，我們一定會(huì)成為笑柄。這樣吧，今年沒(méi)有第一名，只有佳作，然后把佳作獎(jiǎng)?lì)C給歐拉。希望這人知難而退，以后不要再給我們制造這種難題了。但是，歐拉顯然不大合作，隔年又提出耳朵內(nèi)的薄膜對(duì)于聲波的共振數(shù)學(xué)，他又沒(méi)看過(guò)耳朵薄膜。受不了他的洋溢天才，巴黎科學(xué)院只好把首獎(jiǎng)?lì)C給他。以后的十二年里，他的數(shù)學(xué)怪招又連得十二次首獎(jiǎng)。牧師爸爸一七O七年四月十五日，歐拉生于瑞士的巴塞爾(Basle)。他的父親是巴塞爾郊外一間小教會(huì)的牧師。歐拉從小成績(jī)就很好，十四歲進(jìn)大學(xué)。當(dāng)時(shí)的中小學(xué)還沒(méi)有數(shù)學(xué)課程，歐拉的父親是位業(yè)

6、余的數(shù)學(xué)家，就親自教歐拉數(shù)學(xué)。歐拉在神學(xué)院里遇到一位影響他一生的好老師伯努利(Johannes Bernoulli，1667-1748)。這位法國(guó)老師是因?yàn)樽诮檀笃群Γ酵綍r(shí)刻要面臨死亡的威脅，舉家逃到信仰自由的瑞士。伯努利說(shuō)：在人類的思考學(xué)問(wèn)里，最接近上帝的，不是神學(xué)，而是數(shù)學(xué)。因?yàn)閿?shù)學(xué)家追求最高的精確、最合理的邏輯，而且會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)奇妙的宇宙，竟是經(jīng)得起數(shù)學(xué)家一再推敲考證的對(duì)象學(xué)數(shù)學(xué)的人會(huì)遇到一個(gè)強(qiáng)烈吸引他們的核心，使他們像拋物線般的被吸引回來(lái)，以面對(duì)宇宙里最基本的存在。伯努利的家族出了好多數(shù)學(xué)教授，又都是基督徒，所以被稱為數(shù)學(xué)界的神圣支派。伯努利的數(shù)學(xué)課很特別：不教任何數(shù)學(xué)的內(nèi)容，他只給

7、問(wèn)題，而且是非常難的問(wèn)題。學(xué)生必須自己去看書(shū)找資料，或自己想辦法。下星期學(xué)生交答案，老師討論正確答案后，再給新的題目。在伯努利的課程里，數(shù)學(xué)是沒(méi)有課本的。以歐拉的數(shù)學(xué)能力，要應(yīng)付這種教學(xué)方式，仍然覺(jué)得非常吃力，只有加緊勤奮用功，才能趕上老師沒(méi)有范圍的教法。三年下來(lái)，仍留下的學(xué)生只剩下歐拉與老師的兒子丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)，這兩個(gè)同學(xué)成為一生的好朋友。丹尼爾·伯努利在流體動(dòng)力學(xué)(hydrodynamic)領(lǐng)域中非常有名，是每一個(gè)念土木工程、化學(xué)工程的學(xué)生所知道的。丹尼爾·伯努利又被稱為數(shù)學(xué)物理之父(the founder of mathe

8、matical physics)。數(shù)學(xué)啊！迷人一七二四年，勤奮的天才歐拉，取得巴塞爾大學(xué)神學(xué)碩士學(xué)位。歐拉的父親希望兒子回到教會(huì)擔(dān)任傳道人。當(dāng)時(shí)整個(gè)歐洲大陸，沒(méi)有需要數(shù)學(xué)為專職的工作，以天下之大，竟沒(méi)有歐拉的容身之處。一天，伯努利老師去拜訪歐拉的父親，因?yàn)闅W拉是天生的數(shù)學(xué)家，老師看出歐拉會(huì)成為數(shù)學(xué)界最明亮的一顆彗星，但是他受的神學(xué)教育怎么辦？父親問(wèn)道。伯努利回答：數(shù)學(xué)不會(huì)抖落他身上任何的敬虔信仰，而且你看著吧，有一天他會(huì)成為數(shù)學(xué)界的神學(xué)家!歐拉繼續(xù)留在巴塞爾大學(xué)。當(dāng)時(shí)巴塞爾是醫(yī)學(xué)與藥學(xué)的重鎮(zhèn)，興趣廣泛的歐拉又去旁聽(tīng)生理醫(yī)學(xué)的課。他的數(shù)學(xué)能力碰上任何學(xué)科，就會(huì)像植物吸水一樣，重新變化產(chǎn)生一個(gè)嶄新

9、的東西。他提出耳膜結(jié)構(gòu)與聲波的共振，并用數(shù)學(xué)去證明，這是醫(yī)學(xué)教授辦不到的事。數(shù)學(xué)碰到任何學(xué)科，就會(huì)帶來(lái)革命性的改革，這就是應(yīng)用數(shù)學(xué)迷人的地方。血腥年代一七二七年俄國(guó)在女皇凱撒琳一世(Catherine)的支持下，成立科學(xué)院，向歐洲招募杰出的科學(xué)家到俄國(guó)任教。歐拉也被聘請(qǐng)前往。誰(shuí)知等他到達(dá)俄國(guó)首都圣彼得堡時(shí)，迎接他的不是科學(xué)教育大臣，而是秘密警察。原來(lái)凱撒琳一世駕崩，俄國(guó)進(jìn)入長(zhǎng)達(dá)二十年的血腥內(nèi)戰(zhàn)，新任沙皇殘殺異己，貴族之間爭(zhēng)權(quán)奪利。歐拉期待的一批等著他教育的學(xué)生，完全消失。他不斷看到有人被流放到西伯利亞，異議人士被掛在絞繩上。他本來(lái)被聘任的職位沒(méi)有了，淪落到海軍部當(dāng)一名技術(shù)員。當(dāng)時(shí)很多人逃離俄國(guó)

10、，俄國(guó)人也極端敵視外國(guó)人，歐拉卻留了下來(lái)。歷史上并沒(méi)有任何線索可供我們判斷他初期選擇留下來(lái)的原因，但是有一件事情是可確定的：歐拉在秘密警察的監(jiān)視下，在圣彼得堡持續(xù)研究他的數(shù)學(xué)達(dá)十五年之久。歐拉在這段時(shí)間寫(xiě)成的作品，日后由瑞士政府集結(jié)成歐拉全集，足足有一百巨冊(cè)。這十五年的苦難環(huán)境，反而為他隔絕出一個(gè)沒(méi)有社交、沒(méi)有會(huì)議、沒(méi)有世俗酬酢的讀書(shū)天堂，造就他成為人類歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，并博得數(shù)學(xué)界之棟梁(Pillar in Mathematics)的美譽(yù)。歐拉后來(lái)寫(xiě)道：數(shù)學(xué)家就是藝術(shù)家，像是米開(kāi)朗基羅躺在教堂的天花板下，以無(wú)盡的熱情，一筆、一筆地描繪出最精確的圖畫(huà)什么是數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)是上帝花園中精選的百合花

11、。一七三三年，歐拉與畫(huà)家格塞爾(Gsell)的女兒凱瑟琳(Catharina)結(jié)婚。格塞爾也是瑞士人，與歐拉同樣是身陷鐵幕的異鄉(xiāng)人。歐拉因?yàn)榭床灰?jiàn)和平的契機(jī)，而且他的朋友已大都逃出俄國(guó)，所以他婚后終于決定要逃亡。沒(méi)想到行動(dòng)前發(fā)現(xiàn)妻子懷孕了，愛(ài)家的歐拉只好暫緩逃亡計(jì)劃，隔年逃亡前又發(fā)現(xiàn)妻子懷孕，只好再度留下來(lái)。凱瑟琳總共為他生了十三個(gè)孩子呢！天才老爹歐拉最有趣的是可以一面抱小孩，一面跟大孩子說(shuō)故事，還一面思考他的數(shù)學(xué)。他的八百多篇數(shù)學(xué)研究報(bào)告，有好多篇原稿是寫(xiě)在孩子吃飯的圍兜上、給孩子擦嘴巴的紙巾上他這種隨時(shí)隨處可以解數(shù)學(xué)的能力，與他優(yōu)秀的記憶力有關(guān)。歐拉的長(zhǎng)子后來(lái)回憶道：父親為我們念書(shū)，我們覺(jué)

12、得太好聽(tīng)了，請(qǐng)父親再念一遍。我仍然記得，父親是把書(shū)本合起來(lái)，從書(shū)本的第一行講到最后一行父親還背了許多數(shù)學(xué)公式與復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算。在父親的身上，我看到數(shù)學(xué)不只需要理解，也需要記憶。歐拉天性喜歡小孩，他為小孩設(shè)計(jì)了許多數(shù)學(xué)游戲；每天晚上把兒女聚在一起，對(duì)他們講一篇數(shù)學(xué)，再為他們一一禱告。一七四O年，俄國(guó)殘暴的沙皇死后，俄國(guó)逐漸恢復(fù)和平。歐拉的數(shù)學(xué)名聲已經(jīng)傳遍歐陸，普魯士國(guó)王腓特烈大帝(Frederick)特聘他為宮廷數(shù)學(xué)家，并兼任公主安哈特-笛所(Anhalt-dessau)的老師。幾年后他寫(xiě)了一本非常著名的青少年書(shū)籍寫(xiě)給一個(gè)德國(guó)公主的信(Letters to a German Princess)，

13、論到物理、數(shù)學(xué)、文學(xué)與信仰。書(shū)中寫(xiě)道：任何抽象的思考，或是一般性的想法，離開(kāi)文字(words)都無(wú)法存在。文字的存在不只是為了人與人的溝通，也是為了幫助人對(duì)真理有更深的耕耘。有人聲稱真理來(lái)自證據(jù)，我卻認(rèn)為證據(jù)沒(méi)有文字化，人還是不認(rèn)識(shí)真理。所以在新約圣經(jīng)約翰福音的開(kāi)始，第一句話就是太初有道(In the beginning was the Word)，這是一開(kāi)始，上帝就將他自己，以文字的方式來(lái)表達(dá)那最核心的真理。負(fù)數(shù)存在嗎？歐拉對(duì)信仰的持守，使得德國(guó)高等批判主義分子對(duì)他攻擊愈來(lái)愈厲害，腓特烈大帝對(duì)他也愈來(lái)愈疏遠(yuǎn)。當(dāng)時(shí)的哲學(xué)家流行一種自命不凡的聰明嘴臉，純樸溫和的歐拉顯然與他們格格不入。一七六六年

14、著名的哲學(xué)家休謨(David Hume)來(lái)到德國(guó)，他的無(wú)神論受到盛大的歡迎，當(dāng)時(shí)起來(lái)與他力辯的，竟是那平常不太愛(ài)表現(xiàn)的歐拉。歐拉用數(shù)學(xué)來(lái)辯明真理：你知道什么是根號(hào)1嗎?開(kāi)根號(hào)的1，既不等于0，也不大于0，更不小于0。那你說(shuō)這種東西，在自然界不存在的東西，所以根號(hào)-1根本沒(méi)有意義，所以數(shù)學(xué)里不該有根號(hào)1!但是你錯(cuò)了。如果沒(méi)有開(kāi)根號(hào)的負(fù)數(shù)，就不可能把12分成兩部分，使其相乘等于40。這兩部分就是6加上根號(hào)4與6減去根號(hào)4。有太多自然界找不著的，卻深深存在我們的意識(shí)里：再舉一個(gè)例子：0減去2等于多少?等于2。在自然界里你能找到2嗎?我一生研究數(shù)學(xué)，為數(shù)學(xué)著迷，數(shù)學(xué)給我最佳邏輯，但是我至今仍然不懂什么

15、是2的基本意義。好吧，你說(shuō)無(wú)法證明存在的就不存在!但是我告訴你，數(shù)學(xué)里如果沒(méi)有2，我們的數(shù)學(xué)就無(wú)法計(jì)算：如果2不存在，根號(hào)1不存在，數(shù)學(xué)就不存在：因此，即使無(wú)法用物質(zhì)去證明上帝的存在，上帝仍然存在人的心里。惟一的解為這一場(chǎng)辯論，歐拉失去了他的工作。一七六六年歐拉全家返回圣彼得堡。不久，著名的哲學(xué)家狄德羅(Denis Diderot)到俄國(guó)來(lái)宣傳無(wú)神論，他編過(guò)法國(guó)百科全書(shū)，號(hào)稱自己無(wú)所不知，與他在宮廷對(duì)辯的又是歐拉。歐拉只用一句話，就封住這位哲學(xué)家的口。歐拉說(shuō)：先生，因?yàn)?a+b)n/nx，所以上帝存在，對(duì)不對(duì)?狄德羅答不出來(lái)，羞愧地離開(kāi)俄國(guó)。無(wú)神論的錯(cuò)誤，是用一個(gè)錯(cuò)誤的前提去證明上帝是否存在-如同用無(wú)窮多組可能的(a+b)n