函數(shù)不等式的幾種證明方法數(shù)學(xué)系畢業(yè)論文

1、畢業(yè)論文學(xué) 院 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 班 級(jí) 數(shù)學(xué)一班 學(xué) 號(hào) 姓 名 論文題目 函數(shù)不等式的幾種證明方法分析 指導(dǎo)教師（姓名及職稱） 講師 總評(píng)成績(jī)： 函數(shù)不等式幾種證明方法分析Analysis of methods in proving function inequalities 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2010 （1）班2010720066指導(dǎo)老師：內(nèi)容摘要：不等式在數(shù)學(xué)中有非常重要的地位，對(duì)于不等式的考察可以體現(xiàn)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)水平和嚴(yán)密的邏輯思維。在高中我們就學(xué)過比較法和構(gòu)造函數(shù)法來(lái)解決不等式問題，在高等學(xué)府學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)分析，微積分等等以后，了解到還有許多方法來(lái)證明不等式，比如

2、說(shuō)設(shè)置輔助函數(shù)，考察新函數(shù)單調(diào)性；考察函數(shù)的極值或者是最大最小值；有微分中值定理；函數(shù)的凹凸性；泰勒公式；積分性質(zhì)；積分中值定理；變限積分；柯西中值定理；導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的定義，不等式的放縮等等方法。本文將逐一介紹這些解題方法，每種方法都會(huì)通過一些例題，來(lái)驗(yàn)證一些解題的思想和步驟，給出簡(jiǎn)潔的證明過程，使得大家在碰到數(shù)學(xué)不等式證明方面更為得心應(yīng)手，也顯示出數(shù)學(xué)分析思想在不等式領(lǐng)域中的地位。關(guān)鍵詞：不等式；泰勒級(jí)數(shù)；函數(shù)單調(diào)性；中值定理；定積分1Abstract:：Inequality holds the extremely important status in mathematics, it

3、can inspect students basic knowledge level and strict logical thinking. In high school we learned comparative method and construct assistant function to solve the inequality problem, after learning mathematical analysis or calculus at university, ,we know there are many other methods to prove inequa

4、lity, for example setting auxiliary function, considering the monotonicity of the new function; using the functions extreme value and maximum or minimum values; differential mean value theorems; the concavity or convexity of functions; Taylor formula; integral; integral mean value theorem; variable

5、limit integral derivative; definition of inequality and so on. This paper will introduce the above methods, through some examples to verify the ideas and steps of each methed furthermore we give a concise proof to prove thses inequalities, let everybody can prove mathematical inequalities more handy

6、, and shows the important of mathematical analysis in the inequality field.Keywords: Inequality；Taylors series；Monotone function；Mean value theorem ;Definite1目 錄一 引言1二 解題思想和方法11導(dǎo)數(shù)法12中值定理法93其他證明方法13三 總結(jié)17參考文獻(xiàn)1814一 引言不等式是數(shù)學(xué)非常重要的組成部分，使我們了解量之間的大小關(guān)系，在數(shù)學(xué)中起著很重要的用處。對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)系學(xué)生來(lái)說(shuō)，或者是對(duì)于一個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，多做不等式方面的題目，能豐富數(shù)學(xué)知識(shí)

7、，又能鍛煉邏輯思維，因?yàn)樽C明不等式，方法多變，解題手段靈活，有很強(qiáng)的技巧性。不等式更在一些實(shí)際問題中充當(dāng)工具性的方法，有時(shí)對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題而言，證明其中的不等式只是很小的一部分，但是卻不能忽略它的存在。高等數(shù)學(xué)中的不等式基本可以分為函數(shù)不等式和數(shù)值不等式，兩者都可以通過構(gòu)造新函數(shù)來(lái)證明不等式，兩者證明的方法是很相似的。證明不等式?jīng)]有特定的套路去套用，方法隨著題目的不同而也在變化，有時(shí)只是變換很小的一部分，方法就能徹底的改變。在具體做題目的過程中，要注意觀察，善于聯(lián)想，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，內(nèi)在的一些聯(lián)系來(lái)選擇最合適的方法，熟悉證明方法的推理思維，熟悉步驟技巧，能看透問題的本質(zhì)，這樣就能選出正確的方

8、法去證明。 在高中的時(shí)候，我們就會(huì)一些不等式的證明，但對(duì)于有些不等式，需要借助到高等數(shù)學(xué)或者是微積分才能解決，從構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的性質(zhì)，比如單調(diào)性，極值最值；到套用一些公式，比如Lagrange中值定理，Cauchy中值定理等等；還有研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)，以及積分不等式的解法等等，都是一些非常有技巧性且需要很強(qiáng)邏輯思維能力的題目，下面將一一介紹這些方法。二 解題思想和方法1導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容我們?cè)诟咧芯蛯W(xué)過，大學(xué)之后就給了一個(gè)更精準(zhǔn)的定義。在大學(xué)里，我們加強(qiáng)了用導(dǎo)數(shù)來(lái)求單調(diào)性的能力，并且引入了新的概念即函數(shù)凹凸性，函數(shù)的極值。這些東西在合適的條件下都能表達(dá)一定的大小關(guān)系，所以用導(dǎo)數(shù)來(lái)求

9、解不等式，是一個(gè)很基礎(chǔ)的方法。1.1導(dǎo)數(shù)定義法這一方法要求我們首先找出，使得為不等式的一邊，這時(shí)候利用定義和條件去證明。這種方法較為簡(jiǎn)單，也不是很常用，但不容易想起。例1 現(xiàn)有一個(gè)函數(shù)，都是，為R+，都有，求證 證：因?yàn)樗?，再由?dǎo)數(shù)定義可以得到 又因?yàn)椋?，所以，原不等式得證。這一題其實(shí)只要能想起導(dǎo)數(shù)的定義，再將原式的在0處的導(dǎo)函數(shù)值，就能簡(jiǎn)單的湊出導(dǎo)數(shù)的定義的大框架，問題就迎刃而解了。1.2可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性法這種方法一般將多項(xiàng)式移向不等式的一端，然后將此作為一個(gè)新的函數(shù)，研究它的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域等條件來(lái)研究函數(shù)的一些特征，從而完成證明。這是最能讓人聯(lián)想起來(lái)的一種方法，很基礎(chǔ)也很實(shí)用

10、。關(guān)于導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的定理都反映了導(dǎo)函數(shù)和的關(guān)系，里面會(huì)出現(xiàn)很明顯的大小關(guān)系，如果能將不等式與單調(diào)性結(jié)合在一起，證明將會(huì)變得很簡(jiǎn)單。所以我們也經(jīng)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷原函數(shù)在區(qū)間上的一些性質(zhì)。（1）利用題目來(lái)構(gòu)造新函數(shù)，并且確定好區(qū)間;構(gòu)造函數(shù)較為簡(jiǎn)單技巧：利用兩邊的差；利用不等式兩邊的形式；若有指數(shù)等等，建議用比值來(lái)確定大小關(guān)系等等。通過例題來(lái)簡(jiǎn)單的表述做差法和作商法。例1已知求證：證：原式變?yōu)?例題解釋：本題用了很簡(jiǎn)單的比較作差法，通過恒等變形，再由此聯(lián)想到二次三項(xiàng)式的展開，問題就迎刃而解了。例2有，求證：證:由于對(duì)稱性，可以設(shè)，和都是正數(shù)。此時(shí)作商：=，因?yàn)?，所以，所以得出，所以有。這兩個(gè)例子

11、主要是教大家怎么構(gòu)造新函數(shù)，無(wú)外乎作差或者是作比值，例2中不等式為指數(shù)式，很容易聯(lián)想到指數(shù)的比值性質(zhì)。（2）在構(gòu)造出函數(shù)的基礎(chǔ)上,通過研究其性，從而去證明不等式。例3當(dāng)時(shí)，證明。證：首先構(gòu)造函數(shù)有題意知在這個(gè)范圍內(nèi)是連續(xù)的；。所以在是單增的，所以知所以有，所以，原題得證。例4證明：。證：構(gòu)造新函數(shù)，在上是連續(xù)的。求導(dǎo)可知有定理二知，在上，又因?yàn)?，可知。所?原題得證。很多同學(xué)拿到這個(gè)題目可能無(wú)從下手，但是只要稍稍有點(diǎn)兒整體思想和懂得一點(diǎn)不等式的基本性質(zhì)，問題就迎刃而解了。若構(gòu)造出的輔助函數(shù)在研究的區(qū)間內(nèi)并不是單調(diào)的，從圖像來(lái)看就是表示有波動(dòng)，而不是一直上揚(yáng)或者一直下降的，這時(shí)，就用函數(shù)最值和凹

12、凸性的方法.1.3研究函數(shù)的最值來(lái)證明不等式首先很多同學(xué)都會(huì)下意識(shí)的把極值和最值聯(lián)系起來(lái)，有的甚至可能混淆這兩個(gè)概念。其實(shí)這兩個(gè)概念有著很大的不同：考慮最值時(shí)，我們要考慮的是某一個(gè)區(qū)間，而極值索要考慮的是某個(gè)點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域。極值和最值不同，最值反映了一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的最大或者是最小值，而極值反映的是從一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)在某個(gè)點(diǎn)上跟極值的關(guān)系。必須指出的是，一個(gè)函數(shù)的極值與最值也可能是相同的。那就是此函數(shù)在某個(gè)，此時(shí)的是相同的。（1）構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，并考慮好用哪個(gè)區(qū)間；其實(shí)構(gòu)造函數(shù)最基本的方法也就是那幾個(gè)，大家用好基本的方法，幾乎就能構(gòu)造出想要的函數(shù)了：一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)兩邊都有未知項(xiàng)時(shí)，我們找兩邊之

13、差；如果兩邊函數(shù)的形式如出一轍，那么這個(gè)形式就能充作新函數(shù)；還有的不等式一邊含有未知數(shù)，而另一邊沒有，如，此時(shí)就可以講作為構(gòu)造函數(shù)，通過研究的性質(zhì)來(lái)證明不等式。（2）運(yùn)用定理，求出極值或者是最大最小值。（i）求極值的方法：找出在定義域找出是穩(wěn)定點(diǎn)；因?yàn)橐话銇?lái)說(shuō)極值點(diǎn)就出現(xiàn)在這兩者之間。再用極值的定理來(lái)判斷這個(gè)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。(ii)最大最小值求法:若函數(shù)在上連續(xù)，先找出疑似點(diǎn)，再將疑似點(diǎn)的函數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，這三個(gè)值中最小值；若函數(shù)在上是可導(dǎo)的，極值點(diǎn)又是唯一的，此時(shí)這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)。例1求證：當(dāng)時(shí)，解題思路：這個(gè)題目是一個(gè)基礎(chǔ)的題目，我們可以把函數(shù)兩邊移項(xiàng)導(dǎo)不等式的一邊，構(gòu)造出

14、新的函數(shù)，即，但是早它的定義域上并非單調(diào)函數(shù)，所以不能用函數(shù)的單調(diào)性加以解決。證：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得：，經(jīng)過變形處理此時(shí)令，則。但是。當(dāng)極限存在，即，所以函數(shù)在上連續(xù)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)導(dǎo)數(shù)是小于0的，那么在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)是大于0的，那么就表示在上是單增的，根據(jù)上面的定理可知，此時(shí)，在處取得極小值，即，所以在上有，所以也即, 原不等式得證.例2假設(shè)有解題思路：則不等式的左邊中的，我們發(fā)現(xiàn)左此右兩邊都含有相同形式的項(xiàng)即，此時(shí)將暫時(shí)放開，因?yàn)榧偃鏏>B,則必有A+1>B。此時(shí)不等式只考慮， ,此時(shí)可構(gòu)造新函數(shù).證:等價(jià)于證明，構(gòu)造新函數(shù)，此時(shí)導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的表1 函數(shù)的單調(diào)性表格

15、小于0等于0大于0單調(diào)遞減取得極小值單調(diào)遞增此時(shí)在這個(gè)區(qū)間里面，極值與最小值是相等的，那么當(dāng)，都有，所以，因?yàn)?所以有。所以原不等式得證。例3設(shè)，在，求證不等式證：因?yàn)槌蔀?，?gòu)造一個(gè)新函數(shù)令 并有此時(shí)， 。因?yàn)?，所以對(duì)于在 時(shí)單減，在時(shí)單增，所以在處取得最大值，所以對(duì)于在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以當(dāng)， 所以，所以，原不等式得證。在構(gòu)造出新函數(shù)以后，函數(shù)在某閉區(qū)間上，但在此區(qū)間并非單調(diào)函數(shù)，一般用此方法（若在的區(qū)間內(nèi)單調(diào)，就用1.2的方法了）。1.4利用函數(shù)的凹凸性通過函數(shù)的凹凸性，我們能知道二階可導(dǎo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)凹凸性之間的關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，首先構(gòu)造新的函數(shù)，確定函數(shù)二階可導(dǎo)，通過二

16、次求導(dǎo)來(lái)判定函數(shù)的凹凸性，函數(shù)的凹凸性很好的反映了函數(shù)圖像的大致走向，這樣很清晰的可以得出一些大小關(guān)系，從而證明不等式。需要特別指出的是jensen不等式，（若在區(qū)間上為凸函數(shù)，對(duì)任意的且,則.），它通過構(gòu)造凸函數(shù)，能很快的證明不等式。例1實(shí)數(shù)，求證：的大小關(guān)系。 證：設(shè)，此時(shí)，因?yàn)槲覀儫o(wú)法確定的大小，所以以下分為兩種情況：當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在定義域內(nèi)是，所以由定義得：；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在定義域內(nèi)時(shí)，此時(shí)。例證明時(shí)，有。證：構(gòu)造輔助函數(shù)。此時(shí)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為：二階導(dǎo)數(shù)：，當(dāng)時(shí)，所以是凸函數(shù)。由jensen不等式 有,所以就有,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知,又，所以。以上的幾種方法，全部都是依靠構(gòu)

17、造函數(shù)，依靠導(dǎo)數(shù)來(lái)研究新函數(shù)的一些特點(diǎn)，從而證明不等式，當(dāng)用簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)法不能解決證明時(shí)，還有一些方法是關(guān)于中值定理的，中值定理來(lái)證明不等式，主要是套用定理的固定形式，方法也比較簡(jiǎn)單實(shí)用。2 中值定理法中值定理在大學(xué)數(shù)學(xué)中是極其重要的一部分，甚至是否知道這些定理可以判定一個(gè)學(xué)生是否學(xué)過大學(xué)數(shù)學(xué)。其中最普遍的兩個(gè)中值定理，一個(gè)是Lagrange中值定理，另一個(gè)是Cauchy不等式。2.1用拉格朗日中值定理來(lái)證明不等式Lagrange中值定理很好的反映了函數(shù)的增量或者是函數(shù)的本身和其一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的關(guān)系。證明方法一般有以下幾步：（1）首先構(gòu)造輔助函數(shù)，在的定義域內(nèi)找出能合適中值定理的一個(gè)小區(qū)間。（2

18、）套用公式，對(duì)在定區(qū)域內(nèi)使用Lagrange中值定理（3）用和的關(guān)系，對(duì)所得的結(jié)果。例1證明，其中有。證:由Lagrange中值定理可知：可以設(shè)輔助函數(shù) ，所以 ，所以我們可知 ，原命題得證。例2證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有證：構(gòu)造新函數(shù)=，此時(shí)有2種情況：（i）,對(duì)于,且在上滿足Lagrange中值定理，且。又因?yàn)楫?dāng)由定理可知，使。變形一下即可得到：,題中M=1，所以（ii）如果此時(shí)綜上所述， 原命題得證。當(dāng)不等式中出現(xiàn)函數(shù)的增量和一階導(dǎo)數(shù)這個(gè)大框架時(shí)，很容易就讓人想到此定理，從而很簡(jiǎn)單的完成證明，但是當(dāng)函數(shù)不止一個(gè)時(shí)，比如出現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)或他們的增量跟他們的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，就不能用此定理了，所以有Cau

19、chy中值定理。2.2運(yùn)用Cauchy中值定理.Cauchy中值定理能反映兩個(gè)函數(shù)和他們的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，或者說(shuō)能反映兩個(gè)函數(shù)的增量和它們導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系。一般的解題思路是這樣的;（1）在一個(gè)不等式拿到手以后，首先能構(gòu)造兩個(gè)輔助的函數(shù)和，并在柯西中值定理的這個(gè)框架下，確定它們的區(qū)間；（2）對(duì)和在套用的公式；（3）找到一個(gè)，并利用的關(guān)系，對(duì)原公式進(jìn)行加強(qiáng)。例1現(xiàn)有三個(gè)，它們滿足的條件，試證明證：有，不等式可變形成，此時(shí)我們構(gòu)造函數(shù)和。此時(shí)兩個(gè)新函數(shù)均在，在上是；又， 在上，又因?yàn)椤Ｋ孕潞瘮?shù)，在是滿足柯西；所以此時(shí)在內(nèi)必然存在，能夠使得 成立。 因?yàn)橄拗疲藭r(shí)必有，此時(shí)有 所以可以得到，也即，原不

20、等式得證。解題思路：從題目來(lái)看，不等式可以等價(jià)變形為，此時(shí)左邊的多項(xiàng)式形式很容易使人想起柯西中值定理?？梢钥醋鍪呛瘮?shù)和在區(qū)間上的，這樣就很簡(jiǎn)單的用柯西定理來(lái)證明了。還有一些不等式，需要用泰勒公式來(lái)證明，核心思想是利用泰勒中值定理的公式的應(yīng)用。2.3運(yùn)用泰勒中值定理證明（1）充分考慮一致的條件，選取合適的點(diǎn)將函數(shù)進(jìn)行泰勒展開；有的題目可能要進(jìn)行一些轉(zhuǎn)化；（2）靈活運(yùn)用等價(jià)變形等方法，向著有利于證明的方向演進(jìn)，這個(gè)就要考察各位的知識(shí)面和動(dòng)手實(shí)踐能力了。泰勒公式看起來(lái)式子很長(zhǎng)，但是各位需要找準(zhǔn)訣竅，必須記住泰勒公式。函數(shù)在含有的開區(qū)間內(nèi)有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)在內(nèi)時(shí)，可表示為的一個(gè)次多項(xiàng)式和余項(xiàng)之和。即

21、：+，其中= 例1 若函數(shù)上，又有，求證存在一點(diǎn),使得：。證：將這兩個(gè)點(diǎn)進(jìn)行展開，因?yàn)橛钟?，所以?，其中，即： 這時(shí)取，計(jì)算結(jié)果得：所以此時(shí)取，則有：。一般在證明不等式中，泰勒公式法比較少用到，但是當(dāng)遇到高階導(dǎo)數(shù)，或者是函數(shù)增量和高階導(dǎo)數(shù)混合的，一般常用泰勒公式來(lái)證明。3 其他證明方法在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，我們接觸過很多的公式，除了以上的三個(gè)個(gè)公式可以聯(lián)系到不等式以外，還有涉及到等價(jià)變形的公式，他們可以使一個(gè)比較復(fù)雜的式子簡(jiǎn)化為很多個(gè)簡(jiǎn)單式子的和，這樣就容易知道多項(xiàng)式之間的大小關(guān)系，從而輕松完成證明，其中很有代表性的要屬。還有一些涉及到積分的不等式，需要用積分的思想來(lái)解決，方法靈活多變。3.1

22、 冪級(jí)數(shù)展開法函數(shù)在的某鄰域上有直到無(wú)窮階導(dǎo)數(shù)，則在某一鄰域可展開為的冪級(jí)數(shù)：很多初等函數(shù)都可以展開成這種形式，有時(shí)候在不等式的證明中起著很大的作用。例1，當(dāng)，證明。解題思路：這個(gè)題目用一般的方法，比如說(shuō)構(gòu)造函數(shù)，泰勒展開等等都比較麻煩，注意到都可以用冪級(jí)數(shù)來(lái)展開，這樣就問題就迎刃而解了證：用冪級(jí)數(shù)展開，得到：顯而易見兩個(gè)式子為，所以當(dāng)時(shí)，能得到?？梢钥闯霎?dāng)不等式含有初等函數(shù)，且導(dǎo)數(shù)法.中值定理法都難奏效時(shí)，大家可以試著用一用冪級(jí)數(shù)展開法。3.2運(yùn)用積分學(xué)證明不等式一些不等式中出現(xiàn)了定積分，而且被積函數(shù)可能比較復(fù)雜，無(wú)法找出原函數(shù)，從而無(wú)法計(jì)算積分值，那么不等式的證明也就無(wú)從談起了。在不等式證

23、明中，運(yùn)用積分學(xué)的思想，證明的步驟有：（1）在一個(gè)不等式中找出兩個(gè)可積函數(shù)，可能涉及構(gòu)造新函數(shù)或者是等價(jià)變形，得到兩個(gè)新函數(shù)，假設(shè)為和，只要證得，再由定積分的性質(zhì)，可證。（2）若不等式中含有定積分，可以將常數(shù)當(dāng)做變數(shù)來(lái)處理，從而構(gòu)造輔助函數(shù)，這類積分叫做變限積分，一般在證明不等式中構(gòu)造的是變上限積分，即.例1證明 ： 證：設(shè)，則 ，那么可以得到在的唯一駐點(diǎn)是，在上，在上，那么在處有極大值，又因?yàn)?，且所以，是在上的最小值，所以可以得到，所?，所以得證。例2證明：當(dāng)時(shí)，求證不等式。證：令，所以原式可以變形為 =，因?yàn)楹瘮?shù)在上是遞減的，且大于等于0，所以存在能夠得到： =，所以= ，原命題得證。由

24、此可見，當(dāng)不等式中含有時(shí)，可用定積分的性質(zhì)來(lái)證明.3.4 在不等式中引入?yún)?shù)當(dāng)一些不等式含有積分項(xiàng)，且這個(gè)積分是含有平方項(xiàng)，或的情形，此時(shí)，以上所述方法全不奏效，只能把參數(shù)引入不等式了。這種情況出現(xiàn)的很少，大家可以當(dāng)作儲(chǔ)備只是來(lái)掌握。把數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式，用相關(guān)的理論來(lái)探究新函數(shù)的性質(zhì)，從而解決證明問題。一般適合積分式中含有函數(shù)平方項(xiàng)或者是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)平方項(xiàng)的不等式，即出現(xiàn)或者是，這時(shí)一般引入?yún)?shù)。證明不等式即：在閉區(qū)間上的可積函數(shù)和，滿足。 證明：很明顯由題意可知：，展開可以二次不等式：，判別式為:， 所以易知:三 總結(jié)證明不等式的方法千變?nèi)f化，但是基本的方法和主要依靠的定理，大概就是以上那幾種。從導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)的性質(zhì)，再到到變上限積分，無(wú)論哪一個(gè)方法，都體現(xiàn)了出題者和做題者無(wú)窮的智慧和強(qiáng)大的邏輯思維能力。其實(shí)證明不等式的方法大概包括：比較法；綜合法；分析法；放縮法；數(shù)學(xué)歸納法；換元法；構(gòu)造法等等，在這篇文章中沒有用這樣的方式來(lái)寫，是因?yàn)樵谏厦媪信e得