中學物理學中的數學問題（下）

1、中學物理學中的數學問題（下）目錄第十一章 中學數學思想方法在中學物理學中的應用2 1、分類討論思想在中學物理中的應用2 2、結構圖在中學物理學中的應用（選學）9 3、歸納推理在中學物理學中的應用（選學）13 4、類比推理在中學物理學中的應用（選學）23 5、數形結合思想在中學物理學中的應用31 6、反證法在中學物理學中的應用44 7.化歸原則在中學物理學中的應用48第十二章 中學物理學中的近似計算541、 估算法在中學物理學中的應用542、二項式定理在中學物理學中的應用 56 第十三章 利用中學物理知識驗證數學結論58 第十四章 美學與中學物理學關系探幽58 1、科學美的特點582、科學美的范

2、疇603、科學美在物理學習中的作用69 第十五章中學物理學中的哲學問題74第十六章直覺思維在物理學習中的局限性75第十七章數學與物理學關系綜述（僅供中學教師參考）771.分析力學在中學物理競賽中的應用802.利用常微分方程求解幾個中學物理習題84第十一章 中學數學思想方法在中學物理學中的應用 數學作為工具學科,其思想、方法和知識始終滲透、貫穿于整個物理學習和研究的過程中,為物理概念、定律的表述提供簡潔、精確的數學語言,為學生進行抽象思維和邏輯推理提供有效的方法,為物理學中的數量分析和計算提供有力工具1、分類討論思想在中學物理中的應用 數學知識回顧：每個數學結論都有其成立的條件,每一種數學方法的

3、使用也往往有其適用范圍,在我們所遇到的數學問題中,有些問題的結論不是唯一確定的,有些問題的結論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究,還有些問題的已知量是用字母表示數的形式給出的,這樣字母的取值不同也會影響問題的解決,由上述幾類問題可知,就其解題方法及轉化手段而言都是一致的,即把所有研究的問題根據題目的特點和要求,分成若干類,轉化成若干個小問題來解決,這種按不同情況分類,然后再逐一研究解決的數學思想,稱之為分類討論思想.當數學問題中的條件,結論不明確或題意中含參數或圖形不確定時,就應分類討論. 分類討論思想是指在解決一個問題時,無法用同一種方法去解決,而需要一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決

4、的小問題,將這些小問題加以解決,從而使問題得到解決,這就是分類討論思想. 當我們所研究的各種對象之間過于復雜或涉及范圍比較廣泛時,我們大多采取分類討論的方法進行解決,即對問題中的各種情況進行分類,或對所涉及的范圍進行分割,然后分別研究和求解.分類討論解題的實質,是將整體問題化為部分問題來解決,以增加題設條件.分類討論的原則是不重復、不遺漏.討論的方法是逐類進行,還必須要注意綜合討論的結果,以使解題步驟完整.在中學物理中,學習、研究物理的同時也離不開數學知識的輔助,而深入系統(tǒng)地學習物理更是一個掌握物理學中數學方法的過程.所以,重視數理結合對于降低學習難度、培養(yǎng)學生學習興趣、促進素質教育有著重要的

5、意義.一、物理學中數理之間的辯證關系數學與物理之間是抽象與具體、一般與特殊的關系.數學是一門高度抽象的科學,它完全摒棄了具體的現(xiàn)象;而物理學研究的是客觀的物質的本質,是一門以實驗為基礎的自然科學.所以,當數學知識應用于物理學當中時,就必須受到客觀事實,即物理規(guī)律的制約.當我們在應用數學知識表述物理概念、總結物理規(guī)律、解答物理問題時,又要注意其特殊性和局限性.二、中學物理中數理結合存在的問題：一是忽視了物理學的科學方法,忽視數學公式的推導和論證,僅記憶最后的結果;二是過分強調數學方法和數學推導,忽視對物理概念、規(guī)律、原理、公式以及物理現(xiàn)象等物理意義的講解,尤其是在涉及物理公式時,不能對公式中所蘊

6、含的物理意義、表達的物理過程做深刻地闡釋,而過分地把物理公式作為數學公式處理.例1 如圖所示,有一軸線水平且垂直紙面的固定絕緣彈性圓筒,圓筒壁光滑,筒內有沿軸線向里的勻強磁場B,O是筒的圓心,圓筒的內半徑r=0.40m.在圓筒底部有一小孔a（只能容一個粒子通過）.圓筒下方一個帶正電的粒子經電場加速后（加速電場未畫出）,以v=2×104m/s的速度從a孔垂直磁場B并正對著圓心O進入筒中,該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒.已知該帶電粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞時電量和能量都不損失,不計粒子的重力和空氣阻力,粒子的荷質比q/m=5×107(C/kg),求磁感應強度B多

7、大（結果允許含有三角函數式）？raBOv0解析：帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動,（1）,得： （2）由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時無電量和能量損失,那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向,4個碰撞點與小孔a恰好將圓筒壁五等分,粒子在圓筒內的軌跡具有對稱性,由5段相同的圓弧組成,設每段軌跡圓弧對應的圓心角為,則由幾何關系可得： （3）有兩種情形符合題意（如圖所示）：aO1ROr（1） 情形1：每段軌跡圓弧對應的圓心角為 聯(lián)立（2）（3）并代入值得： （4）,將數據代入(4)式得： （5）（2）情形2：每段軌跡圓弧對應的圓心角為 聯(lián)立（2）（3）并代入值及數據得： （6）例2

8、如圖所示,在直角坐標系的第象限和第象限存在著電場強度均為E的勻強電場,其中第象限電場沿x軸正方向,第象限電場沿y軸負方向在第象限和第象限存在著磁感應強度均為B的勻強磁場,磁場方向均垂直紙面向里有一個電子從y軸的P點以垂直于y軸的初速度v0進入第象限,第一次到達x軸上時速度方向與x軸負方向夾角為45°,第一次進入第象限時,與y軸夾角也是45°,經過一段時間電子又回到了P點,進行周期性運動已知電子的電荷量為e,質量為m,不考慮重力和空氣阻力求：(1)P點距原點O的距離；(2)電子從P點出發(fā)到第一次回到P點所用的時間解析：解一：電子在第象限做類平拋運動,沿y軸方向的分速度為 .設

9、OP=h,則, 可得解二：經分析可知在第四象限中電子做勻速圓周運動,故可知OP的距離就是圓周運動的半徑：由,得答案：在一個周期內,設在第象限運動時間為t3,在第象限運動時間為t2,在象限運動時間為t1,在第象限運動時間為t4在第象限有,解得 , 在第象限電子做圓周運動,周期,在第象限運動的時間為.由幾何關系可知,電子在第象限的運動與第象限的運動對稱,沿x軸方向做勻減速運動,沿y軸方向做勻速運動,到達x軸時垂直進入第四象限的磁場中,速度變?yōu)?.在第象限運動時間為 ,電子在第象限做四分之一圓周運動,運動周期與第周期相同,即,在第象限運動時間為,電子從P點出發(fā)到第一次回到P點所用時間為例3.如圖所示

10、,兩平行光滑的金屬導軌MN、PQ固定在水平面上,相距為L,處于豎直方向的磁場中,整個磁場由若干個寬度皆為d的條形勻強磁場區(qū)域1、2、3、4組成,磁感應強度B1、B2的方向相反,大小相等,即B1B2B.導軌左端M、P間接一電阻R,質量為m、電阻為r的細導體棒ab垂直放置在導軌上,與導軌接觸良好,不計導軌的電阻現(xiàn)對棒ab施加水平向右的拉力,使其從區(qū)域1磁場左邊界位置開始以速度v0向右做勻速直線運動并穿越n個磁場區(qū)域(1)求棒ab穿越區(qū)域1磁場的過程中電阻R上產生的焦耳熱Q；(2)求棒ab穿越n個磁場區(qū)域的過程中拉力對棒ab所做的功W；(3)規(guī)定棒ab中從a到b的電流方向為正,畫出上述過程中通過棒a

11、b的電流I隨時間t變化的圖象；(4)求棒ab穿越n個磁場區(qū)域的過程中通過電阻R的凈電荷量q.解析】(1)棒ab產生的感應電動勢EBLv0,通過棒ab的感應電流I電阻R上產生的焦耳熱Q()2R×(2)因為棒ab勻速穿越n個磁場區(qū)域,所以拉力對棒做的功在數值上等于整個回路中產生的焦耳熱,即拉力對棒ab所做的功WQ總××n,W(3)如圖所示(4)若n為奇數,通過電阻R的凈電荷量q,若n為偶數,通過電阻R的凈電荷量q0例4 1932年勞倫斯和利文斯設計出了回旋加速器.回旋加速器的工作原理如圖所示,置于高真空中的D形金屬盒半徑為R,兩盒間的狹縫很小,帶電粒子穿過的時間可以忽

12、略不計.磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直.A處粒子源產生的粒子,質量為m、電荷量為+q ,在加速器中被加速,加速電壓為U.加速過程中不考慮相對論效應和重力作用.（1）求粒子第2次和第1次經過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t；（3）實際使用中,磁感應強度和加速電場頻率都有最大值的限制.若某一加速器磁感應強度和加速電場頻率的最大值分別為Bm、fm,試討論粒子能獲得的最大動能E.解析：(1)設粒子第1次經過狹縫后的半徑為r1,速度為v1,qu=mv12,qv1B=m解得 同理,粒子第2次經過狹縫后的半徑 ,則 ,（2）設粒子到出口處被加速了n圈解得（3）

13、加速電場的頻率應等于粒子在磁場中做圓周運動的頻率,即當磁場感應強度為Bm時,加速電場的頻率應為，粒子的動能當時,粒子的最大動能由Bm決定,解得當時,粒子的最大動能由fm決定,解得 例5 如圖所示,以A、B和C、D為端點的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內,一滑板靜止在光滑水平地面上,左端緊靠B點,上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C.一物塊被輕放在水平勻速運動的傳送帶上E點,運動到A時剛好與傳送帶速度相同,然后經A沿半圓軌道滑下,再經B滑上滑板.滑板運動到C時被牢固粘連.物塊可視為質點,質量為m,滑板質量M=2m,兩半圓半徑均為R,板長l =6.5R,板右端到C的距離L在RL5R范圍內取值.E

14、距A為S=5R,物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因素均為=0.5,重力加速度取g.(1) 求物塊滑到B點的速度大?。?2) 試討論物塊從滑上滑板到離開滑板右端的過程中,克服摩擦力做的功Wf與L的關系,并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點.解析： （1）mgs+mg·2R=mvB2 ,所以 vB=3（2）設M滑動x1,m滑動x2二者達到共同速度v,則mvB=(M+m)v mgx1=mv2 mgx2=mv2mvB2 由得v=, x1=2R, x2=8R二者位移之差x= x2x1=6R6.5R,即滑塊未掉下滑板討論：RL2R時,Wf=mg(l+L)= mg（6.5R+L）;2RL5R時,Wf

15、=mgx2+mg(lx)=4.25mgR4.5mgR,即滑塊速度不為0,滑上右側軌道.要使滑塊滑到CD軌道中點,vc必須滿足：mvc2 mgR 此時L應滿足：mg(l+L) mvB2mvc2 則 LR,不符合題意,滑塊不能滑到CD軌道中點.答案：（1） vB=3；（2）RL2R時,Wf=mg(l+L)= mg（6.5R+L）2RL5R時,Wf=mgx2+mg(lx)=4.25mgR4.5mgR,即滑塊速度不為0,滑上右側軌道.滑塊不能滑到CD軌道中點.例7.如圖,在場強大小為E、水平向右的勻強電場中,一輕桿可繞固定轉軸O在豎直平面內自由轉動.桿的兩端分別固定兩電荷量均為q的小球A、B；A帶正電

16、,B帶負電；A、B兩球到轉軸O的距離分別為2l、l,所受重力大小均為電場力大小的倍,開始時桿與電場夾角為（）.將桿從初始位置由靜止釋放,以O點為重力勢能和電勢能零點.求：（1）初始狀態(tài)的電勢能；（2）桿在平衡位置時與電場間的夾角；（3）桿在電勢能為零處的角速度.【答案】（1）-3qElcos；（2）30°；（3）當<150°時,；當150°時,或【解析】 （1）初態(tài)：We=qV+(-q)V=q(V+-V-)=-3qElcos（2）平衡位置如圖,設小球的質量為m,合力矩為來源:Z|xx|k.Com3qElsin-mglcos=0由此得，=30°初態(tài)：

17、We=3qElcos,Ep=mglsin，末態(tài)：,能量守恒：解得，物理學的發(fā)展依賴于數學,數學是物理學的表述形式.數學高度的抽象性,使它能夠概括物理運動的所有空間形式和一切量的關系.數學以極度濃縮的語言寫出了物理世界的基本結構,唯有數學才能以最終的、精確的和便于講授的形式表達自然規(guī)律,唯有數學才能應用于錯綜復雜的物質運動過程之中.牛頓的代表作自然哲學的數學原理,正是采用了數學語言才對力學定律做出了科學的、有利的系統(tǒng)論述. 2、結構圖在中學物理學中的應用數學在實際應用技術方面獲得巨大的成功,數學在應用技術方面的成效是不容抹殺否定的.數學在科學活動中所發(fā)揮的實際應用作用是顯而易見的,數學本身就是屬

18、于一種實際應用技術性的工具,如果說沒有數學也就沒有科學是毫不夸張的.數學家或幾何學家們?yōu)槲锢韺W家們準備了各種可供選擇使用的數學公式或幾何形式.公式是數學家通過抽象歸納發(fā)明的,它起到了物理學家所起不到的作用,這是數學所起到的作用.人們受到歡欣鼓舞并試圖用數學手段來解決處理一切問題.數學的優(yōu)美表現(xiàn)在形式上,數學形式化是一種必然,因為它本身就是抽象,大可不必非得存在具體內容.數學形式系統(tǒng)是抽象沒有任何真實物質意義的表示,即不管任何物質變化作用關系內容.數學只是對現(xiàn)象或結果的一種定量描述,而不必管內容實質原因的.以觀察和實驗事實通過推導所獲得到的唯一地可能來把握現(xiàn)象的公式,優(yōu)點在于可以超脫關于產生這些

19、現(xiàn)象的原因,即尋找數學規(guī)律而用不著尋找原因.它的目的作用是為了實際應用,知道原因內容與不知道原因內容是沒有任何區(qū)別的.1、力與物體的平衡2、勻變速直線運動3、力學連接體4、曲線運動5、萬有引力定律6、功、功率和動能定理7、機械能守恒定律8、電場力的性質和能的性質9、磁場作用下物體的運動10、帶電粒子在復合場中的運動11、穩(wěn)恒電流12、電磁感應定律13物理實驗 著名哲學家、數學家羅素就曾說過：“數學,如果正確地看它,則具有至高無上的美正像雕刻的美,是一種冷而嚴肅的美,這種美不是投合我們天性的微弱的方面,這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾,它可以純凈到崇高的地步,能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才

20、能顯示的那種完美的境地.一種真實的喜悅的精神,一種精神上的完備,一種覺得高于人的意識這些是至善至美的標準,能夠在詩里得到,也能夠在數學里得到.”總之,數學美是一種結構美,一種“簡單”的美. 3、歸納推理在中學物理學中的應用英國劍橋大學數學家Little wood教授曾經提出一個有趣的論斷：“在創(chuàng)世之前上帝只是在研究純數學,然后他想搞點應用應該是件有意思的事情.”歸納推理分為完全歸納和不完全歸納,物理中常常用到不完全歸納,合理地運用歸納法對我們解決一些物理問題有很大幫助.運用不完全歸納的前提條件是物理的運動規(guī)律要有反復性和相似性.數學知識回顧：所謂歸納推理,就是從個別性知識推出一般性結論的推理,

21、傳統(tǒng)上,根據前提所考察對象范圍的不同,把歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理.完全歸納推理考察了某類事物的全部對象,不完全歸納推理則僅僅考察了某類事物的部分對象.并進一步根據前提是否揭示對象與其屬性間的因果聯(lián)系,把不完全歸納推理分為簡單枚舉歸納推理和科學歸納推理. 現(xiàn)代歸納邏輯則主要研究概率推理和統(tǒng)計推理. 歸納推理的前提是其結論的必要條件.首先,歸納推理的前提必須是真實的,否則,歸納就失去了意義.其次,歸納推理的前提是真實的,但結論卻未必真實,而可能為假. 偉大的數學家歐拉曾說“數學這門科學,同樣需要觀察、實驗”無獨有偶,大數學家高斯也曾說過,他的許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的,證明只是一個

22、補行的手續(xù)縱觀古今,科學的發(fā)展史其實也是一部觀察史、一部猜想史,更是一部論證史數學的發(fā)展更是這樣的科學結論的得到大致包含以下幾個階段：觀察、實踐推廣猜測一般性結論論證結論而數學歸納法恰恰是論證結論的最佳方法這與數學大師所說的“先從少數的事例中摸索出規(guī)律來,再從理論上論證這一規(guī)律的一般性,這是人們認識自然的客觀法則之一”的觀點大致相同楊振寧教授說：“美國學物理的方法與中國學物理的方法不一樣,中國學物理的方法是演繹法,先有許多定理,然后進行推演,美國對物理的了解是從現(xiàn)象出發(fā),倒過來的,物理定理是從現(xiàn)象歸納出來的,是歸納法.演繹法是學考試的人用的方法；歸納法是做學問的辦法.做學問的人從自己的具體工作

23、分析中抽象出定理來,這樣所注意的就是那些與現(xiàn)象接近的東西.” 倪光炯講：“物理學史表明,真正重要的第一流研究成果,從來不是靠演繹法推算出來的,而是靠分析歸納法”,“演繹法當然也很重要,但它的結論實際上早已隱含在大前提之中了”,認為“從戰(zhàn)術上看,做演繹法似乎很保險,但從戰(zhàn)略上看卻不見得.”“必須記住物理學首先是一門實驗科學,因此我們的研究必須首先面對現(xiàn)象,面對實驗事實,面對原始問題.” “全部科學史還表明：當一種成熟的理論或觀點已被絕大多數人所接受后,便形成所謂主流,研究中隨大流或趕熱門便成為了常見現(xiàn)象.然而自然界比人更富想象力,新的較大的發(fā)展,要求越出主流,另辟蹊徑,要求拋棄一些過去的成見（或

24、偏見）,即要求一個研究者及時而堅決地改變自己原來不正確的思想.事實上,很少有人能做到這一點”. 物理學中許多普遍概念和規(guī)律都主要是用歸納推理得出的.歸納推理是解決物體與物體發(fā)生多次作用后的情況,即當問題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時,應根據題目特點應用數學思想將所研究的問題歸類,然后求出通式.常用它來研究運動規(guī)律已知,在一定條件下連續(xù)進行的、具有共同規(guī)律而具體數量特征不同的多階段運動問題.它具體方法是先分析某一次作用的情況,得出結論；再根據多次作用的重復性和它們的共同點,把結論推廣,然后結合數學知識求解；或導出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關系式,再把結論推廣,后結合數學知識求解.例1：把長為S

25、的平直公路分成n等份,一輛汽車從始端A由靜止出發(fā),以加速度a運動,當它達到每一等份的末端時,加速度增加a/n,則汽車到達終點B時的速度是多少？解析：設經過每一份后的速度分別以v1、v2,、,vn表示.v12=2 aS/n,v22=2 a（1+1/n ）S/n +2 aS/n,v32=2 a（1+2/n ）S/n +2 a（1+1/n ）S/n +2 aS/n,、vn2=2aS/n(2-1/n)+ 2aS/n(2-2/n)+ 2aS/n(2-3/n)+、+2aS/n(2- n /n)= 2aS/n2n- n（n+1）/2n. vn=as(3-1/n)0.5.例2 如圖所示,質量為m的由絕緣材料制

26、成的球與質量為M=19m的金屬球并排懸掛.現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成=60°的位置自由釋放,下擺后在最低點與金屬球發(fā)生彈性碰撞.在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場.已知由于磁場的阻尼作用,金屬球將于再次碰撞前停在最低點處.求經過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°. 【分析】因絕緣球與金屬球每次碰撞后,其速率將減小,從而使其偏離豎直方向的最大角度在減小.而每次兩球碰撞后,絕緣球的速率是有規(guī)律性的變化,要求解本題題設條件下的碰撞次數,關鍵在于歸納出絕緣球在每次碰撞后的速率變化規(guī)律. 【解析】方法1根據多次作用的重復性和它們的共同點,把結論推廣

27、,然后結合數學知識求解.設小球m的擺線長度為l,絕緣球第一次碰撞前的速度為v0,碰撞后絕緣球與金屬球的速度分別為v1、V1,設速度向左為正,小球m在下落過程中與M相碰之前滿足機械能守恒： ,     m和M碰撞過程滿足：mv0=MV1+mv1 ,    ,   聯(lián)立、得：, 由于v1<0,說明絕緣球被反彈,而后絕緣球又以反彈速度的大小和金屬球M發(fā)生碰撞,設第二次碰撞后絕緣球與金屬球的速度分別為v2、V2,滿足： m|v1|=MV2+mv2 ,  由、解得：, 整理得：,

28、 同理第三次碰撞后絕緣球的速率v3為：, 由以上歸納推理得到第n次碰撞后絕緣球的速率為vn, 所以：, 經過第n次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°,則, 聯(lián)立、代入數據解得,（081）n=0586, 當n=3時,碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°. 方法2導出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關系式,再把結論推廣,后結合數學知識求解. 設在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn-1,碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn和Vn-1,由于碰撞過程中動量守恒,碰撞前后動能相等,則mvn-1=MV

29、n+mvn , , 解得, 由以上歸納推理得到第n次碰撞后絕緣球的速率為vn, 再利用方法1的求解可得到結論. 小結：該題除了考查碰撞中的動量守恒定律以及能量守恒定律外,還運用了歸納推理尋找通項公式,即絕緣小球每一次碰撞前與碰撞后的動能關系,從而找到了絕緣小球每次碰后的動能與初動能的關系.找不到這個通項關系,而使用遞推法解題的計算量會非常大.在解決某些物理過程比較復雜的具體問題時,常從特殊情況出發(fā),歸納出一般情況下的猜想,然后用數學歸納法加以證明,從而確定我們的猜想是正確的.此類題要求注意在書寫上的規(guī)范,以便于找出其中的規(guī)律. 例3 我們在火車站?？吹捷d重列車啟動

30、時,機車要往后倒退一下,目的是使各節(jié)車廂之間的掛鉤都離開一段距離,以便于啟動,這是因為機車和車廂與鐵軌之間的最大靜摩擦力大于它們之間的動摩擦力,若機車不倒退直接啟動,啟動以后機車和車廂與鐵軌之間的摩擦力由靜摩擦力變?yōu)閯幽Σ亮?當列車加速到一定的速度后,列車的機車就必須減少牽引力使列車勻速直線運動,資源不能得到充分的利用,所以載重列車常常采用我們所見到的啟動方式啟動.今有一列載重列車,若它不倒退以恒定的牽引力直接啟動,機車的牽引力能帶動49節(jié)車廂（不含機車）,那么它利用倒退后用同樣大小的恒定牽引力啟動,該機車啟動59節(jié)同樣質量的車廂以后,恰好做勻速直線運動,已知機車與各節(jié)車廂的質量均為m,機車和

31、各節(jié)車廂與鐵軌之間的動摩擦力為mg,假設機車倒退后,各節(jié)車廂之間的掛鉤離開相同的距離s,機車加速后,每拉動一節(jié)車廂的瞬間可近似地認為滿足動量守恒定律的條件.求：（1）每一節(jié)車廂與鐵軌之間的最大靜摩擦力？（2）列車采用機車倒退的方式啟動后做勻速直線運動的速度？（最終結果可以用根式表示） 解：（1）設每節(jié)車廂所受最大靜摩擦力為fm,機車的牽引為為F,直接啟動時,有 F=（49+1）fm（1）當采用倒退方式啟動時,有F=（59+1）mg （2）.由、兩式可得：fm=1.2mg （3）（2）設第一節(jié)車廂被拉動前,機車的速度為V1,被拉動后,機車的速度為V1由動能定理有（4）由動量守恒定律有（5）由 、

32、得（6）設第二節(jié)車廂被拉動前,機車的速度為V2,被拉動后,機車的速度為V2,由動能定理有 （7）由動量守恒定律有（8）由 、得 （9）.同理可得 （10）由不完全歸納法得 （11） （12）即列車采用倒退的方式啟動后做勻速直線運動的速度為 ： 例4在高能物理研究中,粒子回旋加速器起著重要作用,如圖甲為它的示意圖.它由兩個鋁制D型金屬扁盒組成,兩個D形盒正中間開有一條窄縫.兩個D型盒處在勻強磁場中并接有高頻交變電壓.圖乙為俯視圖,在D型盒上半面中心S處有一正離子源,它發(fā)出的正離子,經狹縫電壓加速后,進入D型盒中.在磁場力的作用下運動半周,再經狹縫電壓加速.如此周而復始,最后到達D型盒的邊緣,獲得

33、最大速度,由導出裝置導出.已知正離子的電荷量為q,質量為m,加速時電極間電壓大小為U,磁場的磁感應強度為B,D型盒的半徑為R.每次加速的時間很短,可以忽略不計.正離子從離子源出發(fā)時的初速度為零,求（1）為了使正離子每經過窄縫都被加速,求交變電壓的頻率（2）求離子能獲得的最大動能（3）求離子第1次與第n次在下半盒中運動的軌道半徑之比.B甲SB乙解析：使正離子每經過窄縫都被加速,交變電壓的頻率應等于離子做圓周運動的頻率.正離子在磁場中做勻速圓周運動,由洛侖茲力提供向心力又,解得所以（2）當離子從D盒邊緣離開時速度最大,此時離子做圓周運動的半徑為D盒的半徑有，離子獲得的最大動能為（3）離子從S點經電

34、場加速1次后,以速度v1第1次進入下半盒,由動能定理解得,離子從S點經電場加速3次后,以速度v3第2次進入下半盒解得, 離子經電場加速（2n1）次后,第n次進入磁場同理可得,所以（n = 1, 2, 3 ）例5 制備納米薄膜裝置的工作電極可簡化為真空中間距為d的兩平行極板,如圖甲所示,加在極板A、B間的電壓作周期性變化,其正向電壓為,反向電壓為,電壓變化的周期為2r,如圖乙所示.在t=0時,極板B附近的一個電子,質量為m、電荷量為e,受電場作用由靜止開始運動.若整個運動過程中,電子未碰到極板A,且不考慮重力作用.（1）若,電子在02r時間內不能到達極板A,求d應滿足的條件；（2）若電子在02r

35、時間未碰到極板B,求此運動過程中電子速度隨時間t變化的關系；（3）若電子在第N個周期內的位移為零,求k的值.解析：（1）電子在0T時間內做勻加速運動加速度的大小 位移 在T-2T時間內先做勻減速運動,后反向作勻加速運動加速度的大小 ,初速度的大小 ,勻減速運動階段的位移 依據題意 解得 （2）在2nT(2n+1)T,(n=0,1,2, ,99)時間內加速度的大小a2=,速度增量v2=-a2T(a)當0t-2nt<T時,電子的運動速度v=nv1+nv2+a1(t-2nT)解得v=t-(k+1)nT ,(n=0,1,2, ,99)(b)當0t-(2n+1)T<T時,電子的運動速度v=(

36、n+1) v1+nv2-a2t-(2n+1)T解得v=(n+1)(k+1)T-kl,(n=0,1,2, ,99)（3）電子在2(N-1)T(2N-1)T時間內的位移x2N-1=v2N-2T+a1T2電子在(2N-1)T2NT時間內的位移x2N=v2N-1T-a2T2,由式可知v2N-2=(N-1)(1-k)T,由式可知 v2N-1=(N-Nk+k)T,依據題意 x2N-1+ x2N=0,解得例6.光滑的水平地面上,有一輛車,車內有一個人和N個鉛球,系統(tǒng)原來處于靜止狀態(tài).現(xiàn)車內的人以一定的水平速度將鉛球一個一個地向車外拋出,車子和人將獲得反沖速度.第一過程,保持每次相對地面拋球速率均為v ,直到

37、將球拋完；第二過程,保持每次相對車子拋球速率均為v ,直到將球拋完.試問：哪一過程使車子獲得的速度更大？解析：設車和人的質量為M ,每個鉛球的質量為m .由于向量的方向落在一條直線上,可以假定一個正方向后,將向量運算化為代數運算.設車速方向為正,且第一過程獲得的速度大小為V1，第二過程獲得的速度大小為V2 .第一過程,由于鉛球每次的動量都相同,可將多次拋球看成一次拋出.車子、人和N個球動量守恒.0 = Nm(-v) + MV1 ,得：V1 = v 第二過程,必須逐次考查鉛球與車子（人）的作用.第一個球與（N1）個球、人、車系統(tǒng)作用,完畢后,設“系統(tǒng)”速度為u1 .值得注意的是,根據運動合成法則

38、,鉛球對地的速度并不是（-v）,而是（-v + u1）.它們動量守恒方程為：0 = m(-v + u1) +M +(N-1)mu1,得：u1 =第二個球與（N -2）個球、人、車系統(tǒng)作用,完畢后,設“系統(tǒng)”速度為u2 .它們動量守恒方程為：M+(N-1)mu1 = m(-v + u2) +M+(N-2)mu2 ,得：u2 = + 第三個球與（N -2）個球、人、車系統(tǒng)作用,完畢后,設“系統(tǒng)”速度為u3 .鉛球對地的速度是（-v + u3）.它們動量守恒方程為：M+(N-2)mu2 = m(-v + u3) +M+(N-3)mu3得：u3 = + + 以此類推（過程注意：先找uN和uN-1關系,

39、再看uN和v的關系,不要急于化簡通分）,uN的通式已經可以找出：V2 = uN = + + + + 即：V2 = ,我們再將式改寫成：V1 = 不難發(fā)現(xiàn),式和式都有N項,每項的分子都相同,但式中每項的分母都比式中的分母小,所以有：V1 V2 .結論：第一過程使車子獲得的速度較大.例7.一傾角為45°的斜面固定于地面,斜面頂端離地面的高度h01m,斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板.在斜面頂端自由釋放一質量m0.09kg的小物塊（視為質點）.小物塊與斜面之間的動摩擦因數0.2.當小物塊與擋板碰撞后,將以原速返回.重力加速度g10 m/s2.在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中,擋板給予小物塊

40、的總沖量是多少？解法一：一次次計算,得到結果設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動,小物塊受到重力,斜面對它的摩擦力和支持力,小物塊向下運動的加速度為a,依牛頓第二定律得 得：設小物塊碰撞后沿斜面向上運動的加速度大小為a, 依牛頓第二定律有 得：小物塊第一次下滑到最低點時 得 小物塊第一次沿斜面向上運動的最距離為 小物塊第二次下滑到最低點時 得 小物塊第二次沿斜面向上運動的最距離為小物塊第三次下滑到最低點時 得 小物塊第三次沿斜面向上運動的最距離為小物塊第四次下滑到最低點時 得 以沿斜面向上為動量的正方向.按動量定理,碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為 總沖量為 代入數據：I得 N·

41、s 解法二：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動,到達斜面底端時速度為v.由功能關系得 v=4m/s 以沿斜面向上為動量的正方向.按動量定理,碰撞過程中擋板給小物塊的沖量 設碰撞后小物塊所能達到的最大高度為h,則 同理,有 式中,v為小物塊再次到達斜面底端時的速度,I為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量.由式得 式中 由此可知,小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比數列,首項為 總沖量為 由 得 代入數據得 N·s 解法三：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動,小物塊受到重力,斜面對它的摩擦力和支持力,小物塊向下運動的加速度為a,依牛頓第二定律得 設小物塊與擋板碰撞前的速

42、度為v,則 以沿斜面向上為動量的正方向.按動量定理,碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為 由式得 設小物塊碰撞后沿斜面向上運動的加速度大小為a, 依牛頓第二定律有 小物塊沿斜面向上運動的最大高度為 由式得 式中 同理,小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量 由式得 由此可知,小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比數列,首項為 總沖量為 由 得 代入數據得 N·s 鞏固練習： 1一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上,一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下,隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復地跳下、追趕并跳上雪橇,狗與雪橇始終沿一條直線運動.若狗跳離雪橇時雪橇的速度

43、為V,則此時狗相對于地面的速度為V+v（其中u為狗相對于雪橇的速度,V+v為代數和,若以雪橇運動的方向為正方向,則V為正值,u為負值）.設狗總以速度v追趕和跳上雪橇,雪橇與雪地間的摩擦忽略不計.已知v的大小為5m/s,u的大小為4m/s,M=30kg,m=10kg.（1）求狗第一次跳上雪橇后兩者共同速度的大小.（2）求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數.（供使用但不一定用到的對數值：lg2=0301,lg3=0447） 答案：（1）2m/s；（2）狗最多能跳上雪橇3次,雪橇最終得速度大小為V4=5625m/s. 2如圖所示,一排人站在沿x軸的水平軌道旁,原點O兩側的

44、人的序號都記為n（n=1,2,3）.每人只有一個沙袋,x0一側的每個沙袋質量為m=14kg,x0一側的每個沙袋質量m=10kg.一質量為M=48kg的小車以某初速度從原點出發(fā)向正x方向滑行.不計軌道阻力.當車每經過一人身旁時,此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上,u的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍.（n是此人的序號數） （1）空車出發(fā)后,車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？ （2）車上最終有大小沙袋共多少個？答案：（1）3；（2）11.不完全歸納法的應用能夠很好的培養(yǎng)學生的運算能力、觀察能力和邏輯思維能力.在解決物理問題中運用不完全歸納法的一般步

45、驟: ( 1)在弄清楚物體所有的運動過程后,分析物體遵循的物理規(guī)律是否有相似性和反復性; (2)從最簡單的單元開始分析,求出表達式; ( 3)逐步地增加單元,分析二至四個單元,逐步求出表達式; (4)仔細觀察,尋找規(guī)律,寫出一般表達式.愛因斯坦在1920年理論和實踐中說：“經驗科學的發(fā)展過程就是不斷的歸納過程.”1934年物理學中的空間、以太和場的問題：“適用于科學幼年時代的以歸納為主的方法,正在讓位給探索性的演繹法.” 1936年,物理學和實在：“沒有一種歸納法能夠導致物理學的基本概念.對這個事實的不了解,鑄成了19世紀多少研究者在哲學上的根本錯誤.邏輯思維必然是演繹的,它以假設的概念和公理

46、為基礎.”1952年,愛因斯坦給貝索的信：“從經驗材料到邏輯性演繹以之為基礎的普遍原理,在這兩者之間并沒有一條邏輯的道路.因此,我不相信,存在著通過歸納達到認識的道路,至少作為邏輯方法是不存在的.”“理論越向前發(fā)展,以下情況就越清楚：從經驗事實中是不能歸納出基本規(guī)律來的.” 4.類比推理在中學物理學中的應用 類比推理在人們認識和改造客觀世界的活動中具有重要意義.它能觸類旁通,啟發(fā)思考,不僅是解決日常生活中大量問題的基礎,而且是進行科學研究和發(fā)明創(chuàng)造的有力工具,如同Hofstadter所說,類比推理是人類認知的核心.自從1977年Sternberg從智力測驗的角度對命題類比進行研究以來,許多心理

47、學家對類比推理的機制提出了不同的看法.尤其是近年來,隨著研究方法和技術的改進,有關類比推理的研究已經逐漸成為認知領域的一個熱點,并取得了一些有啟發(fā)意義的研究成果類比法在基礎物理理論體系構建中的作用是舉足輕重的,物理學史上很多重大發(fā)現(xiàn)、發(fā)明,往往始于類比.開普勒、麥克斯韋、愛因斯坦等許多著名科學家都曾經對類比法作出過很高的評價.類比法是一種物理的研究方法,也是一種科學方法論,還是一種非常好的教學和學習方法,在物理學的教學中具有極為重要的地位.17世紀初,當開普勒根據弟谷的觀測結果來計算火星的軌道時.由于事先他計算地球軌道,發(fā)現(xiàn)地球的軌道是一個偏心圓（地球的軌道實際上是橢圓,因為偏心率很小被誤認為

48、圓）,所以也認為火星的軌道是偏心圓,至于火星軌道中太陽的位置究竟在什么地方,開普勒只好憑借猜想,給一個位置,然后來計算火星的軌道.當時沒有計算器,也沒有對數表.他就這樣反復設定了70次,每一次都需要大量的冗繁的無味的計算,最后改變思路,改用橢圓軌道,太陽在一個焦點上來試算,才取得成功.這項計算他總共花費了四年的功夫,留下來上萬頁的計算手稿.最后在他的著作中,只總結為15頁的結果.經過70多次的試湊,才使這項計算給出了現(xiàn)今說的開普勒三定律的第一和第二定律.它既突破了從亞里士多德、托勒密直到哥白尼認定的天體運動是圓軌道和均勻速度運動的定式,又為牛頓力學的建立準備了條件.教育家瓦赫捷羅夫說得好：“類

49、比像閃電一樣,可以照亮學生所學學科的黑暗角落.”在物理學的研究和發(fā)展中,無論是對單個問題的解決,還是某些新概念的建立,乃至未知領域的探究,滲透著類比思想與方法.類比法的獨特性,使它對科學的發(fā)展起到積極推動作用,在物理學的研究和發(fā)展中占有重要的地位.麥克斯韋曾寫道：“為了采用某種物理知識而獲得物理思想,我們應當了解物理相似性的存在.利用這種類似,可以用其中之一,說明其中之二.”類比法是物理學研究中的一種重要方法.物理學研究沒有固定的模式,只能在已有認識的基礎上 一步一步摸索前進.在科學觀測和實驗手段缺乏,理論指導和感性認識不足,歸納推理和演繹推理不適用的情況下,類比法則可以充分發(fā)揮優(yōu)勢,啟發(fā)思路

50、,提供線索,指明科學研究的方向,使研究工作少走彎路.例如,1935年日本物理學家湯川秀樹把核力與電磁力相類比,提出了核子通過核力場,由一方放出粒子,另一方吸收粒子而相互作用,并且估算出這種粒子的質量.類比法是提出科學假說,作出科學預言的重要工具.在物理學的發(fā)展史上,許多重要科學假說和科學預言都是應用類比方法建立起來的,在物理學的漫長發(fā)展過程中發(fā)揮了重要作用.例如：1923年德布羅意在光的波粒二象性的啟發(fā)下,把光學中費馬原理與質點力學中最小作用莫泊圖原理進行類比,提出一切實物粒子都具有波粒二象性的科學假說,實物粒子具有波長入=hmy,能量E=h v.1927年戴維遜革末實驗證實了這一假說.再例如：在天體物理研究中,1845年法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯根據天王星軌道的理論計算值和實際測量值不一致的現(xiàn)象,運用萬有引力定律計算了天王星軌道要素的實際數據與理論值的差數,作出了上述現(xiàn)象源于一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星對天王星進行攝動的推測性解釋,并預言了這顆未知行星的位置.1846年9月23日,柏林天文臺的加勒在勒維烈預言的位置差1.的地方果然發(fā)現(xiàn)了這顆行星并命名為海王星.象這樣用類比方法得到結論的例子還很多,如惠更斯把聲現(xiàn)象的一些特性與光現(xiàn)象