數(shù)學(xué)之旅作業(yè)及答案

1、第一單元客觀題1、 愛因斯坦創(chuàng)立廣義相對(duì)論時(shí)用到了以下什么重要的數(shù)學(xué)工具？CA、數(shù)論B、歐式幾何C、黎曼幾何D、線性代數(shù)2、下面這個(gè)方程有沒有整數(shù)解？方程:護(hù)普爐護(hù)有沒有整數(shù)解？ AA、有 B、沒有3、以下哪個(gè)是孿生素?cái)?shù)對(duì)？ BA、11,17 B、17,19 C、7,9 D、11,194、圓與橢圓在以下哪個(gè)數(shù)學(xué)分支中可看作一樣？ BA、代數(shù) B、拓?fù)?C、幾何 D、分析5、 具有同樣周長(zhǎng)的以下列圖形哪個(gè)面積更大？BA、正三角形B、圓C、正六邊形D、正四邊形6、 以下漢字哪一個(gè)可以一筆不重復(fù)地寫出？DA、甲 B、目 C、田 D、日7、偶數(shù)與正整數(shù)哪個(gè)多？ D A、無(wú)法確定B、正整數(shù)C、偶數(shù)D、一

2、樣多8、數(shù)列極限趨于0的直觀定義的弱點(diǎn)是下面哪一點(diǎn)？ CA、罵人不帶臟字B、過于代數(shù)化C、缺乏可操作性D、沒提到09、 課程中費(fèi)曼的故事告訴我們懂得一件事情最重要的是下面列出的哪一條？CA、大象比茶杯高B、記得數(shù)字C、找到感覺 D、恐龍24英尺高10、 超弦理論中蜷縮的空間可以用下面那個(gè)空間來描述BA、Euclid 空間 B、Calabi-Yau 空間 C、Minkowski空間 D、Hilbert 空間第一單元思考題1、哈密頓周游世界問題這是以英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓名字命名的一個(gè)游戲，在一個(gè)正十二面體的二十個(gè)頂點(diǎn)為什么是二十個(gè)頂點(diǎn)上分別標(biāo)上一個(gè)城市名，問可否設(shè)計(jì)一條路線， 沿著正十二面體不重復(fù)周游

3、二十個(gè)城市如圖，為什么?解，如下列圖圖中所示的路線就可以實(shí)現(xiàn)不重復(fù)周游二十個(gè)城市。整個(gè)棋盤呢?2、如圖一個(gè)黑白相間的 8*8的國(guó)際象棋棋盤，去掉左上角和右下角的兩個(gè)白顏色的格子，給31張多米諾骨牌，骨牌的大小正好蓋住兩個(gè)格子，那我們可否用這31張骨牌蓋住1、不可以，31張骨牌能蓋住62個(gè)格子，其中一定是 31個(gè)黑格 子和31個(gè)白格子； 而棋盤除掉兩個(gè)角后，也是剩下 62個(gè)格子， 但是其中有32個(gè)黑格子，30個(gè)白格子；3、所以骨牌不能將黑格 子蓋完，即不能蓋住剩下的整個(gè)棋盤。第二單元客觀題1、 下面哪一位人物用窮竭法證明了圓的面積與其直徑平方成正比？DA、劉徽B、歐幾里得C、阿基米德D、歐多克索

4、斯2、 以下什么成果是阿基米德首先得到的？ C )A、圓的面積與其直徑的平方成正比B、窮竭法 C、拋物線弓形的面積 D、圓周率的值3、 阿基米德求幾何級(jí)數(shù)的和用的是什么方法？ CA、平衡法B、窮竭法C、幾何的方法D、代數(shù)的方法4、歐多克索斯、阿基米德和劉徽等人對(duì)微積分的奉獻(xiàn)主要表達(dá)在什么方面？ CA、函數(shù)B、不定積分C、定積分D、微分學(xué)5、?一種開展連續(xù)不可分量的新幾何學(xué)的方法?是以下哪位數(shù)學(xué)家的著作？CA、伽利略B、開普勒C、卡瓦列里D、牛頓6、現(xiàn)在我們一直在用的"函數(shù)function 這個(gè)詞是誰(shuí)引進(jìn)的？ CA、牛頓B、費(fèi)馬C、萊布尼茲D、卡瓦列里7、 本課程提到的最美的風(fēng)景點(diǎn)是指

5、？CA、流數(shù)術(shù)B、不可分量C、牛頓-萊布尼茲公式D、加百列號(hào)角8、 一直沿用至今的& - 3語(yǔ)言是哪位數(shù)學(xué)家引入的？ CA、康托爾B、牛頓C、魏爾斯特拉斯D、傅立葉9、康托爾所創(chuàng)立的什么理論是實(shí)數(shù)以至整個(gè)微積分理論體系的根底？ CA、群論B、虛數(shù)理論C、集合論D、量子理論10、下面關(guān)于黎曼可積和勒貝格可積的論述那一項(xiàng)為哪一項(xiàng)正確的？ CA、兩種積分函數(shù)類都是不完備的第二單元客觀題十匸方十6C、黎曼可積函數(shù)類是不完備的，勒貝格可積函數(shù)類是完備的B、黎曼可積函數(shù)類是完備的，勒貝格可積函數(shù)類是不完備的D、兩種積分函數(shù)類都是完備的1、試用阿基米德的方法求下面幾何級(jí)數(shù)的和解 所小. 形9等分 怯

6、9等分 分，涂黑H 等于所仆裁 因?yàn)? j每類似F阿呈米德求兒何級(jí)數(shù)扌十千十十務(wù)十 我們?nèi)∫粋€(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)邊進(jìn)行三等分， 接右把左下角的格子涂黑而積猊，然Ju再把右 涂忙左下ffi的-個(gè)恪子而積為擊、接右再把右丨 圧下角格子面積為占*依法繼續(xù)下龍 色格子的面積和，而所有黑色格子的面積利 個(gè)接色格子等而積的移子邯仃8個(gè)，故？廠:履的方法“ 從而將單一位：上角的格子依 用的小格子9筈 顯然所求級(jí)數(shù)的和剛好 總面積的趴這是L2、計(jì)算下述問題并解釋。計(jì)算加百列號(hào)的外表積與體積，并解釋為何在這個(gè)號(hào)角里面灌滿油漆，油漆的體積是有 限的，但它卻能夠涂滿無(wú)限的外表積?解*求解繪而扶弓體積需耍屮到積分的知

7、識(shí)=加白列號(hào)角是函數(shù)妙二 乂 1繞花T軸旋轉(zhuǎn)而成的°山旋轉(zhuǎn)曲而而積計(jì)算公貞得農(nóng)而積1丁d戈=+oc,r/1 +> 2tt如果我們把汕漆F成現(xiàn)實(shí)中的油漆.那么你矣發(fā)現(xiàn)由于藕漆分子具仃 定的尺皮人小，囚而在對(duì)角很細(xì)的地方，油漆是進(jìn)不左的。但是， 當(dāng)我們把油漆看成理想狀杰下可無(wú)限謝分的時(shí)候.收仝出規(guī)冇Z 體積的汕沬灌満了均角.開且涂滿r無(wú)報(bào)外表積的情形。再舉一個(gè)例 子，比方如何用帆位體積的可無(wú)限細(xì)分的理懇油漆漆滿榕個(gè)2維¥而。n，然總川*體枳的汕漆漆滿網(wǎng)格+ 右體積的油漆漆滿皿號(hào)網(wǎng)格彊疼.剛耳十缶十"十貴十-=1林積的油漆漆訓(xùn)樂個(gè)T ift 我們可以這么做，首先把

8、平面用單位網(wǎng)幣剖分，由于是可列的，因此 可以進(jìn)行編1,2嚴(yán)，然肩川*體積的油漆漆満1號(hào)網(wǎng)格，右體 積的油漆漆滿卽；網(wǎng)格3、舉例說明黎曼積分中積分號(hào)和極限號(hào)有時(shí)不可交換，并給出可交換時(shí)需要的條件。解；設(shè)&工=琳h 衛(wèi)燦函數(shù)屮匕久在區(qū)問CM I:收斂到函 數(shù)£ = 1從而/ liiii Sn I dj：二 0,Jn g但足廣n21翹厶 = n + l2n+l = ?故此時(shí)積什號(hào)與極限號(hào)不可交換。町交換的條件是；1屈敕序叫凡和阿：項(xiàng)們仏可逬紋:2.函數(shù)序列snxy在丘廚上一致收斂于sh.即：對(duì)任意林定的疋存在仗淀有關(guān)的1E整數(shù)jVfejin N何時(shí)，禺一 S町討 '切37

9、口川成；匚第三單元客觀題1、以下四個(gè)定義中，哪個(gè)不能作為Rn中的度量距離？ DA、點(diǎn)帆必三曲廠=乳| .：垃=注B、雉 = |1 一 如-I+ %_曲|c、d込訕=晶 的十D、峽門 - I - ：1 - .-門2、度量的三個(gè)根本屬性中不包括以下哪一個(gè)？ DA、三角不等式B、對(duì)稱性C、正定性D、連續(xù)性 3、以下關(guān)于度量和范數(shù)的說法中正確的選項(xiàng)是？ AA、由距離可以定義范數(shù)，但由范數(shù)不可以定義距離B、由范數(shù)可以定義距離，但由距離不可以定義范數(shù)C、由范數(shù)不可以定義距離，由距離也不可以定義范數(shù)D、由范數(shù)可以定義距離，由距離也可以定義范數(shù)4、以下說法中不正確的選項(xiàng)是？對(duì)栄芒，假設(shè)LT為的范數(shù)，那么以下說

10、法中不正確的選項(xiàng)是？a、對(duì)處用飛疋有k +訓(xùn)0胡ITMB、對(duì)也E屈，有閏®C、 假設(shè)入為實(shí)數(shù)，那么有=入I圍ID、 假設(shè).k打忠，貝U'5、以下現(xiàn)象可以用什么原理來解釋？ 在三維空間中，波的傳播有清晰的前后陣面，但是在二維空間中卻沒有A、惠更斯原理 B、疊加原理C、泊松原理D、達(dá)朗貝爾原理6、以下選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)是?以下向量組中哪個(gè)不能構(gòu)成 FQ的基向量A、0，1，1，2，B、1，0，-1丨，2，C、0，1，1，-1，D、1，0，0，0，1，1， 1，0，01，1， 1，1，11，0， 1，2，11，1， 0, 0，17、以下哪個(gè)選項(xiàng)是正確的?假設(shè)向量 a= 1，0，5，2

11、丨，b= 3，-2，3，-4 丨，c=-1，1，t，3線性相關(guān)，那么t的值為？8、以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是?A、一. B、 C、財(cái) D、9、以下說法哪一個(gè)是正確的？向量組 g 碌i嚴(yán)虹;線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是？A、 齊次線性方程組-'只有零解B、 齊性線性方程組'-'有非零解c、 齊性線性方程組詢酬一心d 卜隔緞"有無(wú)窮多個(gè)非零解d、齊性線性方程組 w+ "賁罰有不唯一解10、以下哪個(gè)屬性不是內(nèi)積所具有的？D、正定性A、三角不等式B、對(duì)稱性C、對(duì)第一個(gè)變?cè)木€性性第二單兀思考題1、試驗(yàn)證以下問題給定一個(gè)集合M =,試驗(yàn)證下面兩個(gè)集族是否構(gòu)成集合M上的拓

12、撲？“.Mm血何.間、踞利偽眾碼瓦科2). A 0；擁“h泗呱血叭他碼碼飢七只需耍逐個(gè)驗(yàn)證是仲滿足構(gòu)成拓?fù)涞臈l件即(1"構(gòu)成集介M上的拓?fù)?。容易?yàn)證 (0 4內(nèi)任意個(gè)集合的并仍屬于4 厲)4內(nèi)有限個(gè)集介的交仍屬 TA； (iii) 0和M屬A.(2)占不構(gòu)成集合M 的拓?fù)洹Ｒ驗(yàn)橄赡?amp;,<: = &軍A.不滿足4內(nèi)有 限牛集合的交仍屬M(fèi)這個(gè)性質(zhì)12、驗(yàn)證下述問題。隨著網(wǎng)絡(luò)的迅速開展，人們?cè)絹碓蕉嗟氖褂胑-mail聯(lián)系和交流。試通過任意兩人之間在一段時(shí)間內(nèi)的e-mail交流的次數(shù)來定義一個(gè)距離，使得交流多的距離近，交流少的距離遠(yuǎn)， 并驗(yàn)證它滿足度量距離的三條屬性。解

13、：這個(gè)距離的也義育很多，只要滿足度量的條性質(zhì)即可.人家打分 的時(shí)候汴垃&比方，記人全體為萬(wàn) 幾中任總兩亍人兒B.記他們兩人在一段時(shí)間內(nèi) inai咬流次數(shù)為fc(A.B)c那么我們對(duì)以運(yùn)義兩人的距離為1 _ i+機(jī)0.if A豐玖 if A = B.下面驗(yàn)證這個(gè)距離函數(shù)満足度量的-：條“計(jì)I :(i非負(fù)性顯織冇p(A.B> ilp(A.B) = 且僅SA = B：(ii) 對(duì)稱性顯然成立：(iii) 一：角爾,乍式VA, D.CeC,仃J p(九 E) + p(B.C),if A = C oi- A = B or B = C.pAX 2<pA.B)±pB C), o

14、thers,第四單元客觀題1、 函數(shù)？(x)=x2+5x+4在實(shí)數(shù)域上的不動(dòng)點(diǎn)是什么？BA、-4 ；B、-2 ；C、-1 ； D、0。2、假設(shè)你正在一個(gè)圓環(huán)形注意是圓環(huán)形的公園內(nèi)游玩，手里的公園地圖不小心掉到了地上，問此時(shí)地圖上是否有一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)下面的地方剛好就是它在地圖上所表示的位置？ AA、有；B、沒有；C、不確定。A、有；B、沒有;C、不確定。4、定義在0,1上的連續(xù)函數(shù)空間是幾維的？DA、1 維；B、3 維；C、11 維；D、無(wú)限維。3、慢慢攪動(dòng)咖啡，當(dāng)它再次靜止時(shí)，問咖啡中是否有一點(diǎn)在攪拌前后位置相同？5、假設(shè)把一圓周繞著圓心旋轉(zhuǎn)90。，問在圓周上是否有不動(dòng)點(diǎn)？ AA、有;B、沒

15、有;C、不確定。6、美籍法裔經(jīng)濟(jì)學(xué)家 G. Debreu 由于什么奉獻(xiàn)而獲得了 1983 年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)？ C A、創(chuàng)立了一般均衡理論；B、在非合作博弈的均衡理論方面做出了開創(chuàng)性奉獻(xiàn);C、運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)理論進(jìn)一步開展了一般均衡理論；D 、對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的實(shí)證分析。7、以下哪種表達(dá)了壓縮映像的思想？DA、攪動(dòng)咖啡；B、顯微成像；C、壓縮文件；D、合影拍照。8、電影“ A beautiful mind 中男主人公的原型既是一位經(jīng)濟(jì)學(xué)家，又是一位大數(shù)學(xué)家， 他的名字是？ B A 、 G. Debreu ；B、 J.F. Nash ；C、 L.V. Kantorovich ；D 、 Adam SmithA

16、9、假設(shè)你正在一個(gè)圓形的公園內(nèi)游玩，手里的公園地圖不小心掉到了地上，問此時(shí)你能否 在地圖上找到一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)下面的地方剛好就是它在地圖上所表示的位置？A、能；B、不能；C、不確定。10、以下陳述哪一項(xiàng)為哪一項(xiàng)正確的？ B A、任意維空間中的有界無(wú)窮集合必有收斂子列；B、有限維空間中的有界無(wú)窮集合必有收斂子列，無(wú)窮維那么不然；C、任意維空間中的有界無(wú)窮集合不一定有收斂子列；D 、無(wú)窮維空間中的有界無(wú)窮集合必有收斂子列，有窮維那么不然。 第四單元思考題1、試述均衡的方法。假設(shè)消費(fèi)者甲有6輛自行車，0臺(tái)電腦，消費(fèi)者乙有3輛自行車，6臺(tái)電腦。甲和乙都想1/2用于自行車，1/2用于電腦，請(qǐng)找到一種定價(jià)

17、方式使之到達(dá)供求均衡？解：設(shè)自行車定價(jià)為X,電腦定價(jià)為Y.并設(shè)最終甲有自行車 k輛，電腦L臺(tái)，那么乙最終有自行車9-k輛電腦6-L臺(tái).基于條件可列如下等式：對(duì)甲：6X=kX+LY;kX=LY=6X*1/2;得到 k=3,L=3X/Y.對(duì)乙：3X+6Y=(9-k)X+(6-L)Y;(9-k)X=(6-L)Y=(3X+6Y)*1/2;代入 k=3 得 L=2,3X=2Y.可記 X=2t,Y=3t(t>0).綜上所述，在自行車定價(jià)為2t電腦定價(jià)3t條件下可使供求到達(dá)平衡此時(shí)，甲有自行車 3輛電腦2臺(tái)，乙有自行車6輛電腦4臺(tái)。2、雙煎餅問題有兩張形狀任意的煎餅，任意重疊在一起，問能夠一刀切下去，

18、同時(shí)將兩煎餅二等分嗎，如果能，請(qǐng)說明理由。解：能。以下把煎餅抽象成平面上的封閉凸域理由如下：先給個(gè)簡(jiǎn)單小引理：即對(duì)一個(gè)煎餅，不管相對(duì)F形狀如何，必可切一刀，使它面積二等分。請(qǐng)見.1附件咯再應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理即可對(duì)于凹域可以轉(zhuǎn)化為多個(gè)凸域證明。三煎餅問題證明不重疊情形：針旋轉(zhuǎn)到0X 0與兩圖形相交。證明過程請(qǐng)見附件第五單元客觀題1、擬微分算子在20世紀(jì)60年代成為了一種系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論，它的集大成者為以下哪位數(shù) 學(xué)家？ AA、L.Hormander ；B、A.Calderon ; C、Shing-Tung Yau； D、H.Cartan.2、有一段聲樂可以用y=a sin (bt)來表示，那么

19、這段聲樂的音量是由其中哪個(gè)數(shù)值決定的AB、b ；C、ab ；D、a/b。3、間斷函C心二：蠱數(shù)能不能由Fourier級(jí)數(shù)表出？A、無(wú)法確定；B、不能；C、能。sin mx sinnTt/T (其中 mg 口)4、式子一斤的值為？ AA、0 ；B、1 ；C、-1 ；D、n。A、0.01 , 200 ;B、0.01 , 400 ; C、0.02 , 200 ; D、0.02 , 400。6、頻率表示的是物體每單位時(shí)間每秒振動(dòng)的次數(shù)，它是以什么為單位的？ AA、赫茲；B、庫(kù)侖；C、特斯拉；D、歐姆。7、光的三原色是什么？ D A、紅藍(lán)黃；B、藍(lán)綠黃；C、紅綠黃；D、紅藍(lán)綠。8、 以下哪個(gè)著作可視為調(diào)

20、和分析的發(fā)端？ BA、?自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理?；B、?熱的解析理論?；C、?代數(shù)幾何原理?；D、?幾何原本?。9、 振動(dòng)快的波相對(duì)于振動(dòng)慢的波稱為什么波？ BA、低頻波；B、高頻波。10、 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以由什么理論來定義？ BA、不動(dòng)點(diǎn)原理;B、Fourier分析；C、泰勒級(jí)數(shù)；D、超弦理論。第五單元思考題1、f(x)是周期為2卞的函數(shù), 且= 寫出f(x)的Fourier級(jí)數(shù)/(z) = + y(anCiS7ijr + bnsinm).其中Fourier系數(shù)% = 呂 f打 /(t) cosTwdij 虬 = +f 何 sina.求出an總分值25分 b.求出bn總分值25分2、求調(diào)制信號(hào)的表

21、達(dá)式。如果載波信號(hào)為% =臥心訕,調(diào)制信號(hào)為吩="“曲",那么經(jīng)過調(diào)幅后的已調(diào)其中5，k是波的表達(dá)式"沖M = “ Wl"心域f = Up(i十UJ rasSZtJcosf,個(gè)比例常數(shù)。試用上面給出的調(diào)幅信號(hào)的表達(dá)公式來求解以下問題：一個(gè)載波信號(hào)為 氐=Szj，經(jīng)過調(diào)制后的已調(diào)波為小 口 = ( UMJ 4- 25Qf) co目J*，假設(shè)比例常數(shù)k=1，求調(diào)制信號(hào)的表達(dá)式。第六單元客觀題1、皮亞諾曲線是一條填滿正方形的曲線，那么它的相似維數(shù)是多少呢？ B )A、1 B、2C、3 D、In4/ln32、科克曲線的Hausdo市 維數(shù)是多少？ CA、1B、2

22、 C、In4/ln3D、4/33、一個(gè)外徑為3，內(nèi)徑為2的圓環(huán)的Hausdorff維數(shù)是多少？ CA、1B、3/2C、2 D、In3/ln24、 以下和混沌與分形最不相關(guān)的是？AA、三角初等函數(shù)；B、尤利亞集；C、曼德勃羅集；D、科克曲線。5、費(fèi)根鮑姆Feigenbaum丨在研究混沌理論時(shí)，發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)分叉點(diǎn)參數(shù)距離是后兩個(gè)分 叉點(diǎn)參數(shù)距離的4.669倍，這個(gè)現(xiàn)象說明了？ BA、長(zhǎng)期天氣不可預(yù)測(cè);B、非線性系統(tǒng)造成的混沌中有一定規(guī)律；C、混沌現(xiàn)象不可捉摸；D、偶然發(fā)現(xiàn)，不說明什么。6、 假設(shè)= 那么a是周期為多少的點(diǎn)呢？ CA、1 ；B、2 ；C、3 ；D、4。7、具體到每時(shí)每刻的長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是

23、可能的嗎，為什么？ AA、不可能，由于蝴蝶效應(yīng)；B、可能，不解釋；C、可能，人定勝天；D、不可能，因?yàn)榭茖W(xué)不夠興旺。8、蝴蝶效應(yīng)指的是初始值的微小變化可以極大地影響結(jié)果，可以用于股票、天氣等一段時(shí)間內(nèi)難以預(yù)測(cè)的復(fù)雜系統(tǒng)中，那么蝴蝶效應(yīng)來源于誰(shuí)的發(fā)現(xiàn)呢？AA、洛倫茲；B、牛頓；C、笛卡爾；D、歐幾里得。9、科克曲線所圍的圖形面積是有限的嗎？ AA、有限；B、無(wú)限；C、不確定；D、其他。10、 為了使肺泡與空氣有更多的接觸面，人的肺泡結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，其外表的Hausdo市 維 數(shù)是多少呢？ DA、1 ；B、2 ；C、3 ；D、接近于 3。第六單元思考題1、試做下述練習(xí)題。設(shè)生成科克曲線(Koch curve)的初始三角形為邊長(zhǎng)為 1的單位正三角形。(i)試求出科克曲線所圍圖形的面積;(ii)證明科克曲線長(zhǎng)度為無(wú)窮大。圖將圖、圖、圖中的圖形依次記作M、吒、Mh設(shè)M,的邊長(zhǎng)為1 ° *城的邊數(shù)為an, X的面積為仏岡的長(zhǎng)度匚報(bào)由附詢遞推公式霽込I' W y/32 6所以殆為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為色=3 - 4-/J 1(1)圏的面積£二，圖的面積歸=+-x4