排列與排列數(shù)公式

1、問題問題1 北京、上海、廣州三個民航站之間的直達(dá)北京、上海、廣州三個民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同的單程飛機票？航線，需要準(zhǔn)備多少種不同的單程飛機票？ 起點站 終點站北京上海北京北京上海上海廣州廣州廣州 飛機票北京北京北京北京上海廣州上海上海上海廣州廣州廣州我們把上面問題中被取的對象叫做我們把上面問題中被取的對象叫做元素元素。 于是，于是，所提出的問題就是從所提出的問題就是從3個不同的元素個不同的元素a、b、c中中任取任取2個，然后按一定的順序排成一列，個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排列方法。求一共有多少種不同的排列方法。12341 21 31 41 2 31 2

2、 41 3 21 3 41 4 21 4 33 43 23 13 1 23 1 43 4 23 2 13 2 43 4 12 12 32 42 1 32 1 42 3 12 3 42 4 12 4 34 14 24 34 1 24 1 34 2 14 2 34 3 14 3 2問題問題2 由數(shù)字由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？排列與排列數(shù)排列與排列數(shù)一、排列一、排列定義定義()nm mnnm從 個不同的元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 個不同元素中取出個元素的一個排列。 只有用相同的元素，又按相同的順序組成的排列，才叫

3、做相同的排列相同的排列。1, , ,43a b c d例寫出從個元素中，任取 個元素的不同排列。,abcabdacbacdadbadc解：,bacbadbcabcdbdabdc,cabcadcbacbdcdacdb,dabdacdbadbcdcadcb24共個二、排列數(shù)二、排列數(shù)定義定義()mnnm mnnmP從 個不同元素中，任取個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從 個不同元素中取出個元素的排列數(shù)。用符號表示。第1位第2位nn-1)(1 2 nnPn 第1位第2位第3位第m位nn-1n-2n-m+1)()()(12 1 mnnnnPmn三、排列數(shù)公式三、排列數(shù)公式：(1)(1)mnPn nnm

4、(1)3 2 1nnmnPn n 特別地，當(dāng)時，有公式，!nnnnPn這是從 個不同元素中，取出全部元素參加排列的排列數(shù)，叫做 個不同元素的，記作全排列數(shù)。!0!()!0! 1mnnPmnnm這樣，。注意，當(dāng)時，分母就變成，為使公式仍然成立，規(guī)定特別。公式特點：公式特點：1mnm21n1 因因數(shù)數(shù)是是個個因因數(shù)數(shù)相相乘乘，最最后后一一個個共共有有；面面的的因因數(shù)數(shù)小小后后面面的的每每個個因因數(shù)數(shù)都都比比前前第第一一個個因因數(shù)數(shù)是是)(,)(4-k1kP1 ）例例：計計算算：（)!()!(312 nn）（)()(2nm3m2m1 ）（各各式式：例例：用用排排列列數(shù)數(shù)表表示示下下列列)()(9m4

5、m1m2222 m）（61kk1k51k4k1k1k1)()()!()!()!( ）原原式式（)()!()!)()(2133212 nnnnnn）原原式式（11)-nm3m2m1 ()(）原原式式（12 nmP)()(3m322)(m1)(m-1)(mm2 mm）原原式式（73 mP1x9x84P3P 例例：解解方方程程：8x91x8xNx *由由題題意意得得：)!(!)!(!x1094x883 且且)!()!(x 1012x81)!)()()!(xxx 891012x816 x的的個個位位數(shù)數(shù)例例：求求!100210 120524463221110 !,!,!,!,!,!4543210的的個

6、個位位數(shù)數(shù)是是! , !)(!5672n1nnn5n 時時，當(dāng)當(dāng), 0此此時時個個位位數(shù)數(shù)是是4原原式式的的個個位位數(shù)數(shù)也也是是11121111118.(1)(1)!1 1! 2 2!10 10!(2)(2)(3)(2)(4)kknnnnnnnnmmmnnnnnn nPnPnPPn PnPmPP 求證：，并求。求證：求證：求證：(1) (1)!(1)!nnnnnn n證明：(2! 1!)(3! 2!)(4! 3!)(11! 10!)原式11! 1(2)(1)(2)(1)knPn nnnk(1)(2)(1)(1) 1nnnnk11knnP例：例：11121111118.(1)(1)!1 1! 2

7、 2!10 10!(2)(2)(3)(2)(4)kknnnnnnnnmmmnnnnnn nPnPnPPn PnPmPP 求證：，并求。求證：求證：求證：11(3)(1)!nnnnPPnnn n(4)(1)(1)(1)(2)n nnmmn nnm左邊(1)(1)(2)nmmn nnm (1)(1)1nnnm2211(1)!nnnnn P1mnP 右邊例：例：11129(5)(1)!(1)!2!3!10!211(6)! (1)! (2)!(1)!(2)!nnnnkkkkkk求證：，并化簡：。求證：1 1(5)(1)!(1)!nnnn 證明：111111111!2!2!3!3!4!9!10!原式2(

8、6)!1 (1)(1)(2)kkkkk左邊1!(2)k k1111(1)!(1)!(1)!nnnnn1110! 22! (44)kkkk1(2)!kk2 111(2)!(1)!(2)!kkkk右邊342(7)1! 2! 3!2! 3! 4! (1)! (2)!nnnn求和：1111112!3!3!4!(1)!(2)!nn解：原式112(2)!n21, 2,93例用中任意個不同數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)，共有幾個不同三位數(shù)？399 8 7504P 解：363例從 個同學(xué)中，選 人任組長、副組長和干事，共有幾種？366 5 4120P 解：45例安排 人分別當(dāng)車工、鉗工、刨工、銑工和油漆工，已知甲不能當(dāng)鉗工、

9、油漆工，問有幾種方法？解法一：解法二：23434 3 3!72P P 先考慮誰當(dāng)鉗工、油漆工，14343 4!72P P 先考慮甲，四、幾種特殊的排列四、幾種特殊的排列1.1.優(yōu)優(yōu)先先排列排列5 6例人排一排，甲不在頭，也不在尾，有幾種排法？()特殊位置 頭和尾解法一：2454480P P 解法二：()特殊元素 甲1545480P P 解法三：間接法65652480PP2.2.集團(tuán)排列集團(tuán)排列（捆綁法）（捆綁法）643例已知 男 女排成一排，男一起；女一起；男一起，女一起，分別有幾種排法？3535720P P 432432288P P P 44P1 第第一一步步：排排男男生生有有)(44P有有

10、一一起起后后看看作作一一個個整整體體，第第二二步步：把把男男生生捆捆綁綁在在576PP4444 共共有有3.3.間隔排列間隔排列743例已知 男 女排成一排，男不一起；女不一起；男不一起，女不一起，分別有幾種排法？43451440P P 3434144P P 33P1 第第一一步步：排排女女生生有有)(44P4個空位排男生，即個空位排男生，即兩端共有兩端共有第二步：女生之間加上第二步：女生之間加上441PP4433 共共有有844例已知 男 女排成一排，男不一起且女不一起，有幾種排法？ 解：或4314421152P P P 4.4.有序排列有序排列95例已知 人比賽跑步，甲比乙快，有幾種情形？

11、解：甲比乙快和甲比乙慢的情形一樣多，55/ 260P10, , , , ,a b c d e fa b c例，按順序的排列有幾種？6633120PP解：1163例書架上有 本書，插入 本，要求不改變原順序，有幾種插法？99669 8 7504PP 解：2.(1)(2)(3)(4)七人站成一排照相有幾種站法？若甲必須站在中間，有幾種站法？若甲不能站兩端，有幾種站法？若甲、乙必須相鄰，有幾種站法？77(1)5040P 解：66(2)6720P 先將其余 人排好，再將甲插在中間即可。1656(3)3600P P 6262(4)1440P P 先合后分。綜合練習(xí)綜合練習(xí)5.1, 2,95從中取出 個，

12、組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。規(guī)定奇數(shù)數(shù)字必須排在奇數(shù)位號，求這樣的五位數(shù)的個數(shù)。解：偶數(shù)位上只能放偶數(shù)，而奇數(shù)位上皆可。23472520P P共有個9.1 884穿有號運動衣的位運動員排成一排，其中號運動員必須排在號碼比他大的運動員左邊，共有幾種排法？x解：設(shè)有 種排法，45, 6, 7,8x把號分別與號運動員互換位置，仍然分別得到種排法。8858!xP8064x10. 2534(1)(2)(3)(4)名教師， 名學(xué)生排二排照相，前排人，后排人。共有幾種排法？兩教師在前排？兩教師相鄰且在前排？教師甲在前排，乙在后排？解：本題關(guān)鍵在于將兩排對應(yīng)到一排。2535(2)720P P 125225(3)2480P P P 將教師作為一個整體，先合后分，115345(4)1440P P P 77(1)5040P 12. 104個同學(xué)排一隊行走，要求女相鄰，且既不走前面，又不走后面，問有幾種排法？16456486400P P P 解：13.1, 2,7(1)(2)(3)用排成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)。偶數(shù)不相鄰，有幾種排法？偶數(shù)一定在奇數(shù)位上？奇數(shù)位上一定是奇數(shù)，偶數(shù)位上一定是偶數(shù)？4345(1)P P解： 間隔排列。3444(2)4P P先在個奇數(shù)位上排偶數(shù)。4343(3) P P14. 38人坐 個位置，要求每人兩旁都為空位，有幾種？5解：由題意，有個空位。543只要在個空位之間的個間