穩(wěn)定球面腔中的模結(jié)構(gòu)

1、2.4 穩(wěn)定球面腔中的模結(jié)構(gòu)穩(wěn)定球面腔中的模結(jié)構(gòu) 方形鏡共焦腔與圓形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征方形鏡共焦腔與圓形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡共焦腔與圓形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模 方形鏡共焦腔模式積分方程的精確解析解是長橢球長橢球函數(shù)函數(shù)（本征函數(shù)角向/本征值徑向）；圓形鏡共焦腔模式積分方程的精確解析解是超橢球函數(shù)超橢球函數(shù) 在xa，ya的區(qū)域內(nèi)，即在共焦反射鏡面中心附在共焦反射鏡面中心附近，角向長橢球函數(shù)可以表示為厄米特多項式和高近，角向長橢球函數(shù)可以表示為厄米特多項式和高斯函數(shù)的乘積斯函數(shù)的乘積 當(dāng)腔的菲涅耳數(shù)當(dāng)腔的菲涅耳數(shù)N（a2/L ）時，圓形鏡共焦腔自時，圓形鏡共焦腔自再現(xiàn)?？?/p>

2、用拉蓋爾再現(xiàn)?？捎美w爾-高斯函數(shù)描述高斯函數(shù)描述 知道了鏡面上的場以后，如何求出共焦腔中任一點的場？利用菲涅耳利用菲涅耳基爾霍夫衍射積分基爾霍夫衍射積分The Hermite-Gaussian or Laguerre-Gaussian mode are exact and yet mathematically convenient solutions to the paraxial wave equation in free space. They also provide very close (though not quite exact) approximations for the

3、transverse eigenmodes of stable laser resonators with finite diameter mirrors. 對稱共焦腔基模在鏡面上的分布 高階橫模（強(qiáng)度花樣） 相位分布 單程損耗 單程相移和諧振頻率一、鏡面上場的振幅和相位分布一、鏡面上場的振幅和相位分布LeCrveCyxvsrLyxs00000)(0000,),(),(202221、對稱共焦腔基模在鏡面上的分布為 基模在鏡面上的分布是高斯型的什么 函數(shù)？ 在離中心的距離為 處場的振幅降落為中心處的1/e，通常就用半徑 的圓來規(guī)定基模光斑的大小，并定義 為共共焦腔基模在焦腔基模在鏡面上的光斑尺寸

4、鏡面上的光斑尺寸或或光斑半徑光斑半徑。 共焦腔基模在鏡面上的光斑大小與鏡的橫向幾何尺寸無關(guān)，只決定于腔長。 舉例。Lyxr22Lr Ls0共焦腔模的場主要集中在鏡面中心附近。共焦腔模的場主要集中在鏡面中心附近。2、高階橫模、高階橫模方形鏡的方形鏡的 TEMmn模在鏡面上振幅分布的特點取決于厄米特多項式與高斯分布函數(shù)的乘積，厄米特厄米特多項式的零點決定場的節(jié)線，厄米特多項式多項式的零點決定場的節(jié)線，厄米特多項式的正負(fù)交替的變化與高斯函數(shù)隨著的正負(fù)交替的變化與高斯函數(shù)隨著x、y的增的增大而單調(diào)下降的特性決定著場分布的外形輪大而單調(diào)下降的特性決定著場分布的外形輪廓。廓。 m階厄米特多項式有m個零點，

5、 TEMmn模沿x方向有m條節(jié)線，沿y方向有n條節(jié)線。(P55) 對厄米特高斯函數(shù)，高階橫模的光斑尺寸定義為其坐標(biāo)均方差的四倍 高階橫模與基模光斑尺寸之比為120msms120nsns 圓形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模為拉蓋爾高斯函數(shù)所描述，鏡面上用極坐標(biāo)（ r , ）表示。 基模在鏡面上的振幅分布是高斯型的，整個鏡面上沒有場的節(jié)線。 對高階橫模，鏡面上出現(xiàn)節(jié)線。 TEMmn模沿模沿輻角（輻角（ ）方向的節(jié)線數(shù)目為）方向的節(jié)線數(shù)目為m，沿徑向（，沿徑向（r方向）的節(jié)線圓數(shù)為方向）的節(jié)線圓數(shù)為n，各節(jié)線圓沿，各節(jié)線圓沿r方向不方向不是等距分布的。是等距分布的。(P63) 高階橫模的光斑半徑mns定義為場振

6、幅降落到最外面一個極大值的1/e的點與鏡面中心的距離。3、相位分布、相位分布 鏡面上場的相位分布由自再現(xiàn)模 或 的輻角決定。 與 均為實函數(shù)實函數(shù)，表明鏡面上表明鏡面上各點場的相位相同各點場的相位相同，共焦腔反射鏡本身構(gòu)共焦腔反射鏡本身構(gòu)成場的一個等相位面成場的一個等相位面，無論對基?；蚋唠A橫模，情況都是一樣。),(yxvmn),(rvmn),(yxvmn),(rvmn4、單程損耗、單程損耗共焦腔自再現(xiàn)模TEMmn的單程功率損耗繪出損耗mn作為菲涅耳數(shù)N的函數(shù)，進(jìn)行查表在同一菲涅耳數(shù)下，不同橫模的衍射損耗各不相同，損耗隨著模的階次的增高而增大由于衍射損耗通常很小，平均單程衍射損耗因子近似等于m

7、n（單程百分?jǐn)?shù)衍射損耗率）211mnmn5、單程相移和諧振頻率、單程相移和諧振頻率 共焦腔TEMmn模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為1argmnmn方形鏡：(1)2mnkLmn 圓形鏡：(21)2mnkLmn 方形鏡：方形鏡： 各階橫模的諧振頻率（P57-58） 屬于同一橫模的相鄰兩個縱模之間的頻率間隔為)1(212nmqLcmnqLcmnqqmnq2)1(qmnqnqmmLc21221)1(qmnqqnmnLc21221)1(22mnq 共焦腔模在頻率上是高度簡并的共焦腔模在頻率上是高度簡并的，（2q+m+n）相同的所有模式都具有相同的諧振頻率 由于不同的橫模具有不同的損耗，在頻率在頻率上簡并的模

8、在損耗上一般并不是簡并的上簡并的模在損耗上一般并不是簡并的 各階橫模的諧振頻率 屬于同一橫模的相鄰兩個縱模之間的頻率間隔為)12(212nmqLcmnqLcmnqqmnq2)1(qmnqnqmmLc21221)1(qmnqqnmnLc2)1(圓形鏡：圓形鏡： 振幅分布和光斑尺寸 模體積 等相位面的分布 遠(yuǎn)場發(fā)散角二、共焦腔行波場（共焦場）的特征二、共焦腔行波場（共焦場）的特征Emn(x,y,z)表示TEMmn模在腔內(nèi)任意點(x,y,z)處的電場強(qiáng)度。是由腔的一個鏡面上的場所產(chǎn)生的、并沿著腔的軸線而傳播的行波場。共焦場基?；５恼穹跈M截面內(nèi)的分布由高斯函數(shù)所描述定義在振幅的在振幅的1/e處的基

9、模光斑尺寸處的基模光斑尺寸(spot size)為202022)(1)(12)1 (2)(fzfzfzLzsLs00s鏡面上基模的光斑半徑2Lf 一、振幅分布和光斑尺寸一、振幅分布和光斑尺寸)(000000222)(),(zyxezEAzyxE200s 腔中不同位置處的光斑大小各不相同腔中不同位置處的光斑大小各不相同。在共焦腔鏡面上， ，此時 在共焦腔的中心z=0處，(z)達(dá)到極小值 共焦場中基模光斑的大小隨著坐標(biāo)z按雙曲線 (hyperbolic) 規(guī)律變化fLz2sfz0)()(fs200高斯光束的基模腰斑半徑高斯光束的基模腰斑半徑(waist spot size)1)(22202fzz

10、The parameter (z) is the distance r at which the field amplitude is down by a factor 1/e compared to its value on the axis. We will consequently refer to it as the beam “spot size”. The parameter 0 is the minimum spot size. It is the beam spot size at the plane z=0. These hyperbolas are normal to th

11、e phase fronts and thus correspond to the local direction of energy flow. The hyperboloid is the locus of the points where the exponential factor in the field amplitude is down to e-1 from its value on the axis. The quantity (z) is thus defined as the mode spot size at the plane z. In particular, th

12、e distance which the beam travels from the waist before the beam diameter increases by , or before the beam area doubles, is given simply by the parameter f, called Rayleigh range. The Rayleigh range marks the approximate dividing line between the “near-field” or Fresnel and the “far-field” of Fraun

13、hofer regions for a beam propagating out from a gaussian waist.2 模體積：某一模式的模體積描述該模式在腔內(nèi)所擴(kuò)展的空間范圍。模體積大，對該模式的振蕩有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就多，因而，也就可能獲得大的輸出功率。 基模往往集中在腔的軸線附近，模的階次越高，展布的范圍越寬 估計共焦腔基模的模體積221220000LLVs二、模體積 在腔的軸線附近，共焦場的等相位面近似為球面，與腔的軸線在z0點相交的等相位面的曲率半徑為(radius of curvature of the wavefronts) 等相位面是凹面向著腔的中心的球面，其曲率半

14、徑等相位面是凹面向著腔的中心的球面，其曲率半徑隨坐標(biāo)而變化隨坐標(biāo)而變化，當(dāng)z0 =f= L/2時，R(z0 )=2f=L，共焦腔反射鏡面本身與場的兩個等相位面重合；當(dāng)z0 =0時， R(z0 )； z0 時， R(z0 ) 。 共焦腔反射鏡面是共焦場中曲率最大的等相位面共焦腔反射鏡面是共焦場中曲率最大的等相位面。)(00020zffzfzfzR三、等相位面的分布 在場的任意一個等相位面處放置一塊具有相應(yīng)曲率半徑的反射鏡片，則入射在該鏡片上的場將準(zhǔn)確地沿著原入射方向返回，共焦場分布將不會受到擾動 Given a beam of the type we can form an optical re

15、sonator merely by inserting at points z1 and z2 two reflectors with radii of curvature that match those of the propagation beam spherical phase fronts at these points. Since the surfaces are normal to the direction of energy propagation, the reflected beam retraces itself; thus, if the phase shift b

16、etween the mirrors is some multiple of 2 radians, a self-reproducing stable field configuration results.四、遠(yuǎn)場發(fā)散角四、遠(yuǎn)場發(fā)散角 遠(yuǎn)場發(fā)散角：定義為兩根漸近線之間的夾角。遠(yuǎn)場發(fā)散角：定義為兩根漸近線之間的夾角。 包含在發(fā)散角0內(nèi)的功率占高斯基模光束總功率的86.5%。 More reasonable definition for the far-field beam angle is to use the 1/e or 86% criterion for the beam diamete

17、r, so that the far field half-angular spread is defined by the width corresponding to the 1/e point for the E field amplitude at large z.0022)(2limfzzzfull angular spread 對圓形鏡共焦場行波特性的分析可按與方形鏡同樣的方法進(jìn)行 圓形鏡與方形鏡的基模光束的振幅分布、圓形鏡與方形鏡的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同。散角都完全相同。一般穩(wěn)定球面腔的模式特征一

18、般穩(wěn)定球面腔的模式特征(P65-70)共焦腔模式理論可以推廣到整個穩(wěn)定球面腔系統(tǒng)X任意一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價任意一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價X 任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價于某任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價于某一共焦腔一共焦腔“等價”指具有相同的行波場。這種等價性深刻地揭示出各種穩(wěn)定腔（共焦腔也是其中之一）之間的內(nèi)在聯(lián)系，使得可以利用共焦腔模式理論的研究結(jié)果來解析地表述一般穩(wěn)定球面腔模的特征X任意一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔任意一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價等價 思路：任一個共焦腔模有無窮多個等相位面，可構(gòu)成無窮多個等價球面腔證明所有這些球面腔都是穩(wěn)定腔X任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價于某一共焦腔價于某一共焦腔思路：由穩(wěn)定球面腔的腔參數(shù)（R1、R2、L）可以唯一地解出一組數(shù)（z1、z2、f2），從而唯一地確定等價共焦腔只有當(dāng)所討論的穩(wěn)定腔的孔徑足夠大，腔中的場集中在軸線附近時，本節(jié)的結(jié)論才是正確的2112121221212212()()()()()()()()()()()L RLzLRLRL RLzLRLRL RL RL RRLfLRLR當(dāng)z1、z2、f2求出后，等價共焦腔就唯一地確