第2章投影基礎(chǔ)1

1、第第2 2章章 投影基礎(chǔ)投影基礎(chǔ)2.1 投影的基本知識(shí)投影的基本知識(shí)2.2 點(diǎn)、直線和平面的投影點(diǎn)、直線和平面的投影1. 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影2. 直線的投影直線的投影3. 平面的投影平面的投影2.3 直線與平面、平面與平面的直線與平面、平面與平面的 相對(duì)位置相對(duì)位置 2.1 2.1 投影的基本知識(shí)投影的基本知識(shí) 1.1.投影法投影法 投影法就是投射線通過(guò)空間投影法就是投射線通過(guò)空間物體物體，向選定的面投射，并，向選定的面投射，并在該面上得在該面上得到圖形的方法。到圖形的方法。bcdea投影面HABCDE投影物體投射線投射中心 （1 1）中心投影法）中心投影法 投影線匯交于一點(diǎn)投影線匯交于一點(diǎn)的投

2、影法稱為中心投影法。的投影法稱為中心投影法。由于中心投影法富有真實(shí)感的由于中心投影法富有真實(shí)感的效果，所以效果，所以主要用于建筑透視圖。主要用于建筑透視圖。2.2.投影法及其分類投影法及其分類投影體投影體A AC CB B投影面投影面a ab bc c正投影正投影投射線垂直于投射線垂直于投影面投影面投影體投影體A AC CB B投影面投影面a ab bc c斜投影斜投影投射線傾斜于投射線傾斜于投影面投影面 （2 2）平行投影法）平行投影法 投影線相互平行的投影方法稱為平行投影法。投影線相互平行的投影方法稱為平行投影法。根據(jù)根據(jù)投射線與投影面是否垂直，平行投影法又分為斜投影法和正投影法。投射線與

3、投影面是否垂直，平行投影法又分為斜投影法和正投影法。不同物體的單面投影圖不同物體的單面投影圖HAabB1B2單面投影：?jiǎn)蚊嫱队埃狐c(diǎn)不定位，點(diǎn)不定位，體不定形。體不定形。點(diǎn)的兩個(gè)投影能唯一確定該點(diǎn)的空間位置點(diǎn)的兩個(gè)投影能唯一確定該點(diǎn)的空間位置HVOXa aA上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄返回目錄不同物體的兩面投影圖不同物體的兩面投影圖不同物體的三面投影圖不同物體的三面投影圖HVXOZYW3 3、三投影面體系及其投影、三投影面體系及其投影 三投影面體系由正投影面三投影面體系由正投影面(V(V面面) )；水平投影面；水平投影面(H(H面面) )；側(cè)立投影面（側(cè)立投影面（面）組成。面）組成。 H H

4、、V V、W W面將空間分成八個(gè)分角，我們通常把物體放在第一分面將空間分成八個(gè)分角，我們通常把物體放在第一分角中來(lái)研究。角中來(lái)研究。兩投影面交線投影軸兩投影面交線投影軸; ; OXOYOZ OXOYOZ軸，軸，O O為原點(diǎn)。為原點(diǎn)。三三面投影及其展開(kāi)方法面投影及其展開(kāi)方法 將物體按正投影法從前向后投影將物體按正投影法從前向后投影, ,得到正面投影；從上向下投影得到正面投影；從上向下投影, ,得到水平投影；從左向右投影，得到側(cè)面投影。得到水平投影；從左向右投影，得到側(cè)面投影。 V V面不動(dòng)面不動(dòng), ,將將H H面繞面繞OXOX軸向下旋轉(zhuǎn)軸向下旋轉(zhuǎn)9090, ,與與V V面共面；將面共面；將w w

5、面繞面繞OZOZ軸向軸向后旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)9090, ,與與V V面共面。面共面。(1)(1)點(diǎn)的兩面投影點(diǎn)的兩面投影1.1.點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影2.2 2.2 點(diǎn)、直線和平面的投影點(diǎn)、直線和平面的投影 空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示示A、B、C等；等； 水平投影用小寫(xiě)字母水平投影用小寫(xiě)字母表示表示a、b、c等；等； 正面投影用小寫(xiě)字母正面投影用小寫(xiě)字母加撇表示加撇表示a、b； 側(cè)面投影用小寫(xiě)字母?jìng)?cè)面投影用小寫(xiě)字母加兩撇表示加兩撇表示a、b。點(diǎn)的兩面投影特性：點(diǎn)的兩面投影特性：投影連線垂直于軸線投影連線垂直于軸線 aaaa OX OX 空間點(diǎn)到投影面的距離從頭應(yīng)反映出來(lái)。空間點(diǎn)到投影面的距離從頭

6、應(yīng)反映出來(lái)。點(diǎn)的兩面投影特性：點(diǎn)的兩面投影特性：投影連線垂直于軸線投影連線垂直于軸線 aaaa OZ OZ 空間點(diǎn)到投影面的距離從頭應(yīng)反映出來(lái)?？臻g點(diǎn)到投影面的距離從頭應(yīng)反映出來(lái)。(2) (2) 點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影HVXZYWOayaxazxyzaaaa aa XOZYWYHaxayazayA點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影規(guī)律 投影連線垂直軸線：投影連線垂直軸線：aa0X aa0X ；aaaa 0Z0Z； 點(diǎn)點(diǎn)H H面投影到面投影到0X0X軸的距離及軸的距離及W W面投影到面投影到0Z0Z軸距離兩者相等，反映點(diǎn)到軸距離兩者相等，反映點(diǎn)到V V面的距離。面的距離。 長(zhǎng)對(duì)正長(zhǎng)對(duì)正 高平齊高平齊

7、 寬相等寬相等a aax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。a a aaxazaz解法解法1:1:解法解法2:2:a 通過(guò)作通過(guò)作4545線使線使a a a az z=aa=aax x用圓規(guī)直接量取用圓規(guī)直接量取a a a az z=aa=aax x(3)(3)點(diǎn)的空間位置點(diǎn)的空間位置a. 空間（空間（X X，Y Y，Z Z）XVYOWZHXYWYHOaaaZa Zaaa YaXaAb. b. 在投影面上：在投影面上： 在在H H面上（面上（X X，Y Y，0 0）XVYOWZH 在在V V面上（面上（X X，0 0，Z Z） 在在W W面上（面上（0 0，Y

8、Y，Z Z）bBCdbCdDbdCCbXbHYbOWYZdXdHYdOWYZYWOcYHcXc a aa XOZYWaxayayb c c b b c 投影面上點(diǎn)投影面上點(diǎn) 一個(gè)投影與投影面重合，另兩投影在軸上。一個(gè)投影與投影面重合，另兩投影在軸上。投影軸上點(diǎn)投影軸上點(diǎn) 兩個(gè)投影與軸重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。兩個(gè)投影與軸重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。原點(diǎn)上的點(diǎn)原點(diǎn)上的點(diǎn) 三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。 HVXZYWAaa a Bb Cc c c Ob 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄返回目錄 d d e e f f e f dzxYW YH0例：已知點(diǎn)的兩投影，求其第三投影例：已知點(diǎn)

9、的兩投影，求其第三投影 d a a a 空間點(diǎn)空間點(diǎn)A A；a a 點(diǎn)點(diǎn)A A的水平的水平(H)(H)投影投影; ;a a 點(diǎn)點(diǎn)A A的正面的正面(V)(V)投影投影; ;a a 點(diǎn)點(diǎn)A A的側(cè)面的側(cè)面(W)(W)投影。投影。（4 4）空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)）空間點(diǎn)的直角坐標(biāo) 空間點(diǎn)：書(shū)寫(xiě)形式：空間點(diǎn)：書(shū)寫(xiě)形式：A(x,y,zA(x,y,z) ) 點(diǎn)到各投影面的距離，為點(diǎn)到各投影面的距離，為X X，Y Y，Z Z 。 例例: :點(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)值的坐標(biāo)值A(chǔ)(12A(12，1010，15)15)，求作點(diǎn)，求作點(diǎn)A A的三面投影圖。的三面投影圖。 作投影軸；作投影軸； 量?。毫咳。篛aOax x=12=

10、12、OaOaZ Z=15=15、OaOaYHYH=Oa=OaYWYW=10,=10,得得a ax x、a az z、OaOaYHYH、OaOaYWYW等點(diǎn)等點(diǎn) ； 作圖步驟作圖步驟: :aaaOXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12過(guò)過(guò)a ax x、a az z、a aYHYH、a aYWYW等點(diǎn)分別作等點(diǎn)分別作所在軸的垂線，交點(diǎn)所在軸的垂線，交點(diǎn)a a、a a、a a既為所求。既為所求。 (5) (5) 點(diǎn)的相對(duì)位置點(diǎn)的相對(duì)位置 空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置：空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置： 根據(jù)根據(jù)X X坐標(biāo)值的大小判斷兩點(diǎn)的左右位置；坐標(biāo)值的大小判斷兩點(diǎn)的左右位置； 根據(jù)根據(jù)z z坐標(biāo)值的大小判斷兩點(diǎn)

11、的上下位置；坐標(biāo)值的大小判斷兩點(diǎn)的上下位置； 根據(jù)根據(jù)y y坐標(biāo)值的大小判斷兩點(diǎn)的前后位置。坐標(biāo)值的大小判斷兩點(diǎn)的前后位置。OXa bW YHYaabb 空間兩點(diǎn)到兩個(gè)投影面的距離都對(duì)應(yīng)相等時(shí)，兩點(diǎn)處于同一投射線空間兩點(diǎn)到兩個(gè)投影面的距離都對(duì)應(yīng)相等時(shí)，兩點(diǎn)處于同一投射線上，在該投射線所垂直投影面上投影重合，稱為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。上，在該投射線所垂直投影面上投影重合，稱為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。OH(b)aWYBAXZVabab( )H H面重影面重影，被擋住，被擋住的投影加的投影加( )( )重影點(diǎn)重影點(diǎn)例例: : A A點(diǎn)在點(diǎn)在B B點(diǎn)之前點(diǎn)之前5mm5mm，之上，之上9mm9mm，之右，之右

12、8mm8mm，求，求A A點(diǎn)的投影。點(diǎn)的投影。a a aXZYWYHOb bb 985aa a b b b直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性ABab直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)投影重合為一點(diǎn) 積聚性積聚性直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)投影反映線段實(shí)長(zhǎng) abab=AB=AB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABcosab=ABcosABabAMBa(b)(m)直線投影的基本特性直線投影的基本特性 一般情況直線的投影仍然為直線，特殊情況為一個(gè)點(diǎn)。一般情況直線的投影仍然為直線，特殊情況為一個(gè)點(diǎn)。（1 1）各種

13、位置直線的投影）各種位置直線的投影投影面的平行線投影面的平行線投影面的垂直線投影面的垂直線一般位置線一般位置線VZWYHXbaOabbaAB 三個(gè)投影都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角，且與三根投影三個(gè)投影都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。軸都傾斜。直線的投影可由直線上任意兩點(diǎn)的投影決定。直線的投影可由直線上任意兩點(diǎn)的投影決定。 與與H H面的夾角面的夾角: : 與與V V面的夾角面的夾角: : 與與W W面的夾角面的夾角:（a a）一般位置直線）一般位置直線XZabOYWYHabba2. 2. 直線的投影直線的投影投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而

14、平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面） 一般一般位置位置直線直線與三個(gè)投影面都傾斜直線與三個(gè)投影面都傾斜直線統(tǒng)稱特殊統(tǒng)稱特殊位置位置直線直線垂直于某一投垂直于某一投影面影面b a aba b b aa b ba 實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)ba aa b b 平行的投影面上反映實(shí)長(zhǎng)、直線與另兩投影面傾角。平行的投影面上反映實(shí)長(zhǎng)、直線與另兩投影面傾

15、角。另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。b.b.投影面平行線投影面平行線25XOZYHYWaaa30b bb例題1 1 例：過(guò)點(diǎn)例：過(guò)點(diǎn)A A向向右上方作一正平線右上方作一正平線AB,AB,使使其實(shí)長(zhǎng)為其實(shí)長(zhǎng)為2525，與，與H H面面的傾角的傾角=30=30。例：判斷下列直線的空間位置例：判斷下列直線的空間位置ababababdCdddC鉛垂線鉛垂線側(cè)垂線側(cè)垂線c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )正垂線正垂線 另外兩個(gè)投影另外兩個(gè)投影，反映線段實(shí)長(zhǎng)。且垂直于相應(yīng)的投影軸。反映線段實(shí)長(zhǎng)。且垂直于相應(yīng)的投影軸。 在其

16、垂直的投影面上投影有積聚性。在其垂直的投影面上投影有積聚性。填空題填空題 正垂正垂 ab側(cè)垂側(cè)垂 cd正平正平 ef 鉛垂鉛垂 gh|zA-zB |ABABbbaaCXOa.a.求直線的實(shí)長(zhǎng)對(duì)水平投影面夾角求直線的實(shí)長(zhǎng)對(duì)水平投影面夾角 角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab注：用水平投影、另一高差求實(shí)長(zhǎng)；注：用水平投影、另一高差求實(shí)長(zhǎng)； 用哪個(gè)投影，求哪個(gè)夾角用哪個(gè)投影，求哪個(gè)夾角b.b.求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角 角角aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|ABbbaaCXO|YA-YB|注

17、：用正面投影、另一高差求實(shí)長(zhǎng)；注：用正面投影、另一高差求實(shí)長(zhǎng)； 用哪個(gè)投影，求哪個(gè)夾角用哪個(gè)投影，求哪個(gè)夾角直角三角形直角三角形的四個(gè)要素的四個(gè)要素 四個(gè)要素包括：四個(gè)要素包括：實(shí)長(zhǎng)、投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差及直線對(duì)投影面的傾角實(shí)長(zhǎng)、投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差及直線對(duì)投影面的傾角。已已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。ABab|zA-zB|斜邊直角邊（投影）直角邊（坐標(biāo)差）夾角（投影與斜邊）實(shí)長(zhǎng) 水平投影 Z 正面投影Y 側(cè)面投影X上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄返回目錄 例例 已知線段的實(shí)長(zhǎng)已知線段的實(shí)長(zhǎng)AB AB 以及以及abab和和aa，求它的正面投影，求它的正面

18、投影abab。aXa bAOBb0bb0bb0b b 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄返回目錄(3) (3) 直線上的點(diǎn)的投影直線上的點(diǎn)的投影 從從屬性屬性 點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必定在該直線的同面投影點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必定在該直線的同面投影上，反之若一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)投影都在直線的同名投影上，則該點(diǎn)必定在上，反之若一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)投影都在直線的同名投影上，則該點(diǎn)必定在直線上。直線上。 定比性定比性 若點(diǎn)屬于直線，則點(diǎn)分線段之比，投影之后保持不變。若點(diǎn)屬于直線，則點(diǎn)分線段之比，投影之后保持不變。ACAC：CB = acCB = ac：cb = a ccb = a c：c b = acc b

19、= ac：cbcb。 從屬性從屬性。 定比性：定比性： AC/CB=ac/cbAC/CB=ac/cb= ac/cb= ac/cb 若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上， 則該點(diǎn)必不在此直線上。則該點(diǎn)必不在此直線上。判別方法：判別方法：ABVHCbcac b a d d在在不在不在C C點(diǎn)點(diǎn) 直線直線ABAB上上D D點(diǎn)點(diǎn) 直線直線ABAB上上Db Xa abcc 例例 ：已知線段：已知線段AB投影，將投影，將AB分成分成1：2兩段，求分點(diǎn)兩段，求分點(diǎn)C投影。投影。O上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄返回目錄例：判斷點(diǎn)例：判斷點(diǎn)K K是否在線段是否在線段ABA

20、B上。上。a b k 因因k k 不在不在a a b b 上，上， 故點(diǎn)故點(diǎn)K K不在不在ABAB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 另一判斷法是另一判斷法是因因a a k k : :k k b b a ak k: :k kb b 故點(diǎn)故點(diǎn)K K不在不在ABAB上。上。例例 已知點(diǎn)已知點(diǎn)K K在線段在線段ABAB上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)K K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（應(yīng)用第三投影）（應(yīng)用第三投影）解法二：解法二：（應(yīng)用定比定理）（應(yīng)用定比定理）a aa a b b b bk ka a b b k k k k a aa a b b b bk kk k 3.3.兩直線的相對(duì)位置兩

21、直線的相對(duì)位置 空間兩直線的相對(duì)位置分為：空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉平行、相交、交叉。XOcabdbacda.兩直線平行兩直線平行空間兩直線平行，則其各空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行同面投影必相互平行，反之亦然。，反之亦然。abcda b c d 例：判斷圖中兩條直線是否平行。例：判斷圖中兩條直線是否平行。 對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。名投影互相平行，空間兩直線就平行。結(jié)論：結(jié)論：AB/CDAB/CDXcbadd b a c b d c a 對(duì)于投影面平行線，只有兩個(gè)同對(duì)于投影面平行線，只有兩個(gè)同面投影

22、互相平行，空間直線不一定平行。面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個(gè)投影判斷，其中應(yīng)包括反映實(shí)長(zhǎng)若用兩個(gè)投影判斷，其中應(yīng)包括反映實(shí)長(zhǎng)的投影。的投影。結(jié)論結(jié)論:AB:AB與與CDCD不平行不平行例：判斷圖中兩條直線是否平行。例：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷如何判斷HVXABCDabcda b c d abcdb a c d b.b.兩直線相交兩直線相交判別方法：判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。kk 交點(diǎn)是兩直線的交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)

23、共有點(diǎn)k kKcabb a c d k kd例：過(guò)例：過(guò)C C點(diǎn)點(diǎn)作水平線作水平線CDCD與與ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影12d b a abcdc1 (2 )3(4 )d.d.兩直線交叉兩直線交叉 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上的一是兩直線上的一 對(duì)對(duì)重影重影點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?？臻g位置。、是面的重影點(diǎn)，是面的重影點(diǎn)，、是是H H面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。3 4 結(jié)論：結(jié)論：ABAB與與CDCD兩直線不相交兩直線不相交判判

24、斷斷兩兩直直線線的的相相對(duì)對(duì)位位置置aa bb ss 不在同一不在同一直線上的直線上的三個(gè)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)直線及線直線及線外一點(diǎn)外一點(diǎn)兩平行直線兩平行直線兩相交直兩相交直線線平面圖形平面圖形aa b bss aa b bss aa b bcc dd aa b bss 4.4. 平面的投影平面的投影(1) (1) 平面的表示平面的表示(2) (2) 跡線表示法跡線表示法跡線跡線平面與投影面的交線平面與投影面的交線PvPHPw（3）各種位置平面）各種位置平面a. a. 平面的傾角平面的傾角與與H H面夾角面夾角 與與V V面夾角面夾角 與與W W面夾角面夾角 平行平行垂直垂直傾斜傾斜投投 影影 特特 性性

25、 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把實(shí)形現(xiàn)投影就把實(shí)形現(xiàn) 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線 平面傾斜投影面平面傾斜投影面-投影類似原平面投影類似原平面實(shí)形性實(shí)形性類似性類似性積聚性積聚性b. b. 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性c.c.平面在三投影面體系中的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性投影面投影面平行平行面面 投影面投影面垂直垂直面面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面平行于某一投影面，垂平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面直于另兩個(gè)投影面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面傾斜于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影

26、面都傾斜與三個(gè)投影面都傾斜 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫嫠矫嫠矫?正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面a b c a b c abc投影面平行面投影面平行面積聚性積聚性積聚性積聚性實(shí)形性實(shí)形性結(jié)論：水平面結(jié)論：水平面在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另兩投影面上投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。另兩投影面上投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。水平面的投影水平面的投影正平面的投影正平面的投影表 2-3 投影面平行面的投影特性 名 稱 直觀圖 投影圖 投影特性 水平面 1、水平投影反映實(shí)形。 2、正面投影積聚成平行于 X 軸的直線。 3、側(cè)面

27、投影積聚成平行于 Y 軸的直線。 正平面 1、正面投影反映實(shí)形。 2、水平投影積聚成平行于 X 軸的直線。 3、側(cè)面投影積聚成平行于 Z 軸的直線。 側(cè)平面 1、側(cè)面投影反映實(shí)形。 2、正面投影積聚成平行于 Z 軸的直線。 3、水平投影積聚成平行于 Y 軸的直線。 鉛垂面的投影鉛垂面的投影投影面垂直面投影面垂直面VWHPPHABCacbababbaccc投影特性：投影特性： 1. 1. abc abc積聚為直線。積聚為直線。 2.2. a a b b c c 、a a b b c c 為為 ABCABC的類似形。的類似形。 3 3. . abcabc與與OXOX、OYOY的夾角的夾角反映反映

28、、 。 類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性VWHQQVababbacccAcCabB投影特性：投影特性： （）（） a a b b c c 積聚為直線（具有積聚性）。積聚為直線（具有積聚性）。 （）（） abcabc、a a b b c c 為為 ABCABC的類似形（具有類似性）。的類似形（具有類似性）。 （）（） a a b b c c 與與OXOX、 OZOZ的夾角的夾角反映反映、 。上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄返回目錄投影面正垂面投影面正垂面VWHSWSCabABcabbbaaccc投影特性：投影特性：（1 1） a a b b c c 積聚為直線。積聚為直線。 （2 2）abc

29、abc、 a a b b c c 為為 ABCABC的類似形的類似形 。 （3 3） a a b b c c 與與OZOZ、 OYOY的夾角的夾角反映反映、。 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄返回目錄投影面?zhèn)却姑嫱队懊鎮(zhèn)却姑姹?2-4 投影面垂直面的投影特性 名 稱 直觀圖 投影圖 投影特性 鉛垂面 1、水平投影積聚成直線，與 X 軸夾角為， 與Y軸夾角為。 2、正面投影和側(cè)面投影具有類似性。 正垂面 1、正面投影積聚成直線，與 X 軸夾角為， 與Z軸夾角為。 2、水平投影和側(cè)面投影具有類似性。 側(cè)垂面 1、側(cè)面投影積聚成直線，與 Y 軸夾角為， 與Z軸夾角為。 2、正面投影和水平投影具有類似

30、性。 一般位置平面的投影一般位置平面的投影4.4.平面上的點(diǎn)和直線平面上的點(diǎn)和直線(1)(1)平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn)如果點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上，則點(diǎn)一定在該平面上。如果點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上，則點(diǎn)一定在該平面上。(2)(2)平面內(nèi)取直線平面內(nèi)取直線a. a. 一直線經(jīng)過(guò)平面上兩點(diǎn)，則該直線必在已知平面上。一直線經(jīng)過(guò)平面上兩點(diǎn)，則該直線必在已知平面上。b. b. 一直線經(jīng)過(guò)平面上一點(diǎn)且平行于平面上的另一已知直線，則此直一直線經(jīng)過(guò)平面上一點(diǎn)且平行于平面上的另一已知直線，則此直線必在該平面上線必在該平面上。例：已知例：已知K K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABCABC上，求上，求K K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。

31、bacc a k b k 平面上取點(diǎn)的方法：平面上取點(diǎn)的方法：abcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解 例例 已知已知 ABC ABC 給定一平面，（給定一平面，（1 1）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)K K是否屬于該平面。（是否屬于該平面。（2 2）已）已知平面上一點(diǎn)知平面上一點(diǎn)E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄返回目錄有無(wú)數(shù)解有無(wú)數(shù)解abcb c a abcb c a d mnn m d 例：直線例：直線ABAB、ACAC組成的平面，試在平面內(nèi)

32、任作一條直線。組成的平面，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法解法1 1：解法解法2 2：根據(jù)定理一根據(jù)定理一有多少解有多少解根據(jù)定理二根據(jù)定理二例：在平面例：在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到H H面的距面的距 離為離為10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解有多少解bckada d b c ada d b c k bc例：已知例：已知ACAC正平線，補(bǔ)全平行四邊形正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。解法解法1 1：解法解法2 2：2.3 2.3 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置直線與平面、平面與平面的相對(duì)位

33、置1. 1. 平行平行(1) (1) 直線與平面互相平行直線與平面互相平行 若一直線平行于平面上的任一直線，則此直線必定與該平面平行。若一直線平行于平面上的任一直線，則此直線必定與該平面平行。 返回第2章例例 判斷判斷ABAB和和CEFCEF是否平行是否平行例例 求點(diǎn)求點(diǎn)A A到正平線到正平線BCBC的距離的距離ADAD及其投影及其投影例例: : 已知直線已知直線ABAB及點(diǎn)及點(diǎn)C C，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C C作平面平行于作平面平行于ABAB(2) (2) 兩平面平行兩平面平行 若一平面上相交兩直線，對(duì)應(yīng)地平行于另一平面上的相交兩直線，若一平面上相交兩直線，對(duì)應(yīng)地平行于另一平面上的相交兩直線，則兩平面

34、互相平行。則兩平面互相平行。例例: :已知點(diǎn)已知點(diǎn)K K和和ABCABC的兩面投影，過(guò)點(diǎn)的兩面投影，過(guò)點(diǎn)K K作平面平行于作平面平行于ABCABC。 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)K K作作deacdeac、d de eaac c；過(guò)點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)K K作作fgabfgab、f fg gaab b，相交兩直線，相交兩直線DEDE、FGFG即為所求。即為所求。 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A作平面作平面ABCABC平行平面平行平面DEFDEF 當(dāng)兩平面同時(shí)垂直于某一個(gè)投影面，它們的積聚投影互相平行，當(dāng)兩平面同時(shí)垂直于某一個(gè)投影面，它們的積聚投影互相平行，即可判定兩平面平行即可判定兩平面平行。2. 2. 直線與平面直線與平面 平面與平面相交

35、平面與平面相交 直線與平面相交、平面與平面相交，其關(guān)鍵問(wèn)題是求交點(diǎn)和交線，直線與平面相交、平面與平面相交，其關(guān)鍵問(wèn)題是求交點(diǎn)和交線，并判別可見(jiàn)性。實(shí)質(zhì)是求直線與平面的共有點(diǎn)、兩平面的共有線。同并判別可見(jiàn)性。實(shí)質(zhì)是求直線與平面的共有點(diǎn)、兩平面的共有線。同時(shí)，它們也是可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)、分界線。時(shí)，它們也是可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)、分界線。（1 1） 特殊位置平面與直線相交特殊位置平面與直線相交 由于平面有積聚投影，所以交點(diǎn)的一個(gè)投影可直接求出，而交點(diǎn)由于平面有積聚投影，所以交點(diǎn)的一個(gè)投影可直接求出，而交點(diǎn)的其它投影可利用直線上取點(diǎn)的方法求得的其它投影可利用直線上取點(diǎn)的方法求得返回第2章例例 求求D

36、EDE直線與直線與 ABCABC的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。k k1 2 (1)2Xd e a b c abcde 直線與平面的交點(diǎn)直線與平面的交點(diǎn)K K屬于直線和屬于直線和平面平面 ，交點(diǎn)正投影，交點(diǎn)正投影k k 可以確定。可以確定。 利用線上定點(diǎn)的方法可以求出利用線上定點(diǎn)的方法可以求出交點(diǎn)的水平交點(diǎn)的水平投影投影k k。ABCABC正垂面，正投影正垂面，正投影a a b b c c 積聚。積聚。 利用重影點(diǎn)判定直線的可見(jiàn)性。利用重影點(diǎn)判定直線的可見(jiàn)性。例例 求求DEDE直線與直線與 ABCABC的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。k kd e a b c abcdef 直線與平面的交點(diǎn)直線與平面的交點(diǎn)K K屬于直線和平屬