第2章投影基礎1

1、第第2 2章章 投影基礎投影基礎2.1 投影的基本知識投影的基本知識2.2 點、直線和平面的投影點、直線和平面的投影1. 點的投影點的投影2. 直線的投影直線的投影3. 平面的投影平面的投影2.3 直線與平面、平面與平面的直線與平面、平面與平面的 相對位置相對位置 2.1 2.1 投影的基本知識投影的基本知識 1.1.投影法投影法 投影法就是投射線通過空間投影法就是投射線通過空間物體物體，向選定的面投射，并，向選定的面投射，并在該面上得在該面上得到圖形的方法。到圖形的方法。bcdea投影面HABCDE投影物體投射線投射中心 （1 1）中心投影法）中心投影法 投影線匯交于一點投影線匯交于一點的投

2、影法稱為中心投影法。的投影法稱為中心投影法。由于中心投影法富有真實感的由于中心投影法富有真實感的效果，所以效果，所以主要用于建筑透視圖。主要用于建筑透視圖。2.2.投影法及其分類投影法及其分類投影體投影體A AC CB B投影面投影面a ab bc c正投影正投影投射線垂直于投射線垂直于投影面投影面投影體投影體A AC CB B投影面投影面a ab bc c斜投影斜投影投射線傾斜于投射線傾斜于投影面投影面 （2 2）平行投影法）平行投影法 投影線相互平行的投影方法稱為平行投影法。投影線相互平行的投影方法稱為平行投影法。根據(jù)根據(jù)投射線與投影面是否垂直，平行投影法又分為斜投影法和正投影法。投射線與

3、投影面是否垂直，平行投影法又分為斜投影法和正投影法。不同物體的單面投影圖不同物體的單面投影圖HAabB1B2單面投影：單面投影：點不定位，點不定位，體不定形。體不定形。點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置HVOXa aA上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄不同物體的兩面投影圖不同物體的兩面投影圖不同物體的三面投影圖不同物體的三面投影圖HVXOZYW3 3、三投影面體系及其投影、三投影面體系及其投影 三投影面體系由正投影面三投影面體系由正投影面(V(V面面) )；水平投影面；水平投影面(H(H面面) )；側立投影面（側立投影面（面）組成。面）組成。 H H

4、、V V、W W面將空間分成八個分角，我們通常把物體放在第一分面將空間分成八個分角，我們通常把物體放在第一分角中來研究。角中來研究。兩投影面交線投影軸兩投影面交線投影軸; ; OXOYOZ OXOYOZ軸，軸，O O為原點。為原點。三三面投影及其展開方法面投影及其展開方法 將物體按正投影法從前向后投影將物體按正投影法從前向后投影, ,得到正面投影；從上向下投影得到正面投影；從上向下投影, ,得到水平投影；從左向右投影，得到側面投影。得到水平投影；從左向右投影，得到側面投影。 V V面不動面不動, ,將將H H面繞面繞OXOX軸向下旋轉軸向下旋轉9090, ,與與V V面共面；將面共面；將w w

5、面繞面繞OZOZ軸向軸向后旋轉后旋轉9090, ,與與V V面共面。面共面。(1)(1)點的兩面投影點的兩面投影1.1.點的投影點的投影2.2 2.2 點、直線和平面的投影點、直線和平面的投影 空間點用大寫字母表空間點用大寫字母表示示A、B、C等；等； 水平投影用小寫字母水平投影用小寫字母表示表示a、b、c等；等； 正面投影用小寫字母正面投影用小寫字母加撇表示加撇表示a、b； 側面投影用小寫字母側面投影用小寫字母加兩撇表示加兩撇表示a、b。點的兩面投影特性：點的兩面投影特性：投影連線垂直于軸線投影連線垂直于軸線 aaaa OX OX 空間點到投影面的距離從頭應反映出來?？臻g點到投影面的距離從頭

6、應反映出來。點的兩面投影特性：點的兩面投影特性：投影連線垂直于軸線投影連線垂直于軸線 aaaa OZ OZ 空間點到投影面的距離從頭應反映出來?？臻g點到投影面的距離從頭應反映出來。(2) (2) 點的三面投影點的三面投影HVXZYWOayaxazxyzaaaa aa XOZYWYHaxayazayA點的三面投影規(guī)律點的三面投影規(guī)律 投影連線垂直軸線：投影連線垂直軸線：aa0X aa0X ；aaaa 0Z0Z； 點點H H面投影到面投影到0X0X軸的距離及軸的距離及W W面投影到面投影到0Z0Z軸距離兩者相等，反映點到軸距離兩者相等，反映點到V V面的距離。面的距離。 長對正長對正 高平齊高平齊

7、 寬相等寬相等a aax例：已知點的兩個投影，求第三投影。例：已知點的兩個投影，求第三投影。a a aaxazaz解法解法1:1:解法解法2:2:a 通過作通過作4545線使線使a a a az z=aa=aax x用圓規(guī)直接量取用圓規(guī)直接量取a a a az z=aa=aax x(3)(3)點的空間位置點的空間位置a. 空間（空間（X X，Y Y，Z Z）XVYOWZHXYWYHOaaaZa Zaaa YaXaAb. b. 在投影面上：在投影面上： 在在H H面上（面上（X X，Y Y，0 0）XVYOWZH 在在V V面上（面上（X X，0 0，Z Z） 在在W W面上（面上（0 0，Y

8、Y，Z Z）bBCdbCdDbdCCbXbHYbOWYZdXdHYdOWYZYWOcYHcXc a aa XOZYWaxayayb c c b b c 投影面上點投影面上點 一個投影與投影面重合，另兩投影在軸上。一個投影與投影面重合，另兩投影在軸上。投影軸上點投影軸上點 兩個投影與軸重合，另一個投影在原點上。兩個投影與軸重合，另一個投影在原點上。原點上的點原點上的點 三個投影都與原點重合。三個投影都與原點重合。 HVXZYWAaa a Bb Cc c c Ob 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 d d e e f f e f dzxYW YH0例：已知點的兩投影，求其第三投影例：已知點

9、的兩投影，求其第三投影 d a a a 空間點空間點A A；a a 點點A A的水平的水平(H)(H)投影投影; ;a a 點點A A的正面的正面(V)(V)投影投影; ;a a 點點A A的側面的側面(W)(W)投影。投影。（4 4）空間點的直角坐標）空間點的直角坐標 空間點：書寫形式：空間點：書寫形式：A(x,y,zA(x,y,z) ) 點到各投影面的距離，為點到各投影面的距離，為X X，Y Y，Z Z 。 例例: :點點A A的坐標值的坐標值A(12A(12，1010，15)15)，求作點，求作點A A的三面投影圖。的三面投影圖。 作投影軸；作投影軸； 量?。毫咳。篛aOax x=12=

10、12、OaOaZ Z=15=15、OaOaYHYH=Oa=OaYWYW=10,=10,得得a ax x、a az z、OaOaYHYH、OaOaYWYW等點等點 ； 作圖步驟作圖步驟: :aaaOXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12過過a ax x、a az z、a aYHYH、a aYWYW等點分別作等點分別作所在軸的垂線，交點所在軸的垂線，交點a a、a a、a a既為所求。既為所求。 (5) (5) 點的相對位置點的相對位置 空間兩點的相對位置：空間兩點的相對位置： 根據(jù)根據(jù)X X坐標值的大小判斷兩點的左右位置；坐標值的大小判斷兩點的左右位置； 根據(jù)根據(jù)z z坐標值的大小判斷兩點

11、的上下位置；坐標值的大小判斷兩點的上下位置； 根據(jù)根據(jù)y y坐標值的大小判斷兩點的前后位置。坐標值的大小判斷兩點的前后位置。OXa bW YHYaabb 空間兩點到兩個投影面的距離都對應相等時，兩點處于同一投射線空間兩點到兩個投影面的距離都對應相等時，兩點處于同一投射線上，在該投射線所垂直投影面上投影重合，稱為對該投影面的重影點。上，在該投射線所垂直投影面上投影重合，稱為對該投影面的重影點。OH(b)aWYBAXZVabab( )H H面重影面重影，被擋住，被擋住的投影加的投影加( )( )重影點重影點例例: : A A點在點在B B點之前點之前5mm5mm，之上，之上9mm9mm，之右，之右

12、8mm8mm，求，求A A點的投影。點的投影。a a aXZYWYHOb bb 985aa a b b b直線對一個投影面的投影特性直線對一個投影面的投影特性ABab直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點投影重合為一點 積聚性積聚性直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實長投影反映線段實長 abab=AB=AB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABcosab=ABcosABabAMBa(b)(m)直線投影的基本特性直線投影的基本特性 一般情況直線的投影仍然為直線，特殊情況為一個點。一般情況直線的投影仍然為直線，特殊情況為一個點。（1 1）各種

13、位置直線的投影）各種位置直線的投影投影面的平行線投影面的平行線投影面的垂直線投影面的垂直線一般位置線一般位置線VZWYHXbaOabbaAB 三個投影都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影三個投影都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。軸都傾斜。直線的投影可由直線上任意兩點的投影決定。直線的投影可由直線上任意兩點的投影決定。 與與H H面的夾角面的夾角: : 與與V V面的夾角面的夾角: : 與與W W面的夾角面的夾角:（a a）一般位置直線）一般位置直線XZabOYWYHabba2. 2. 直線的投影直線的投影投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而

14、平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側平線（平行于面）側平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面） 一般一般位置位置直線直線與三個投影面都傾斜直線與三個投影面都傾斜直線統(tǒng)稱特殊統(tǒng)稱特殊位置位置直線直線垂直于某一投垂直于某一投影面影面b a aba b b aa b ba 實長實長實長實長實長實長ba aa b b 平行的投影面上反映實長、直線與另兩投影面傾角。平行的投影面上反映實長、直線與另兩投影面傾

15、角。另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。b.b.投影面平行線投影面平行線25XOZYHYWaaa30b bb例題1 1 例：過點例：過點A A向向右上方作一正平線右上方作一正平線AB,AB,使使其實長為其實長為2525，與，與H H面面的傾角的傾角=30=30。例：判斷下列直線的空間位置例：判斷下列直線的空間位置ababababdCdddC鉛垂線鉛垂線側垂線側垂線c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )正垂線正垂線 另外兩個投影另外兩個投影，反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。 在其

16、垂直的投影面上投影有積聚性。在其垂直的投影面上投影有積聚性。填空題填空題 正垂正垂 ab側垂側垂 cd正平正平 ef 鉛垂鉛垂 gh|zA-zB |ABABbbaaCXOa.a.求直線的實長對水平投影面夾角求直線的實長對水平投影面夾角 角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab注：用水平投影、另一高差求實長；注：用水平投影、另一高差求實長； 用哪個投影，求哪個夾角用哪個投影，求哪個夾角b.b.求直線的實長及對正面投影面的夾角求直線的實長及對正面投影面的夾角 角角aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|ABbbaaCXO|YA-YB|注

17、：用正面投影、另一高差求實長；注：用正面投影、另一高差求實長； 用哪個投影，求哪個夾角用哪個投影，求哪個夾角直角三角形直角三角形的四個要素的四個要素 四個要素包括：四個要素包括：實長、投影長、坐標差及直線對投影面的傾角實長、投影長、坐標差及直線對投影面的傾角。已已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。ABab|zA-zB|斜邊直角邊（投影）直角邊（坐標差）夾角（投影與斜邊）實長 水平投影 Z 正面投影Y 側面投影X上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄 例例 已知線段的實長已知線段的實長AB AB 以及以及abab和和aa，求它的正面投影，求它的正面

18、投影abab。aXa bAOBb0bb0bb0b b 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄(3) (3) 直線上的點的投影直線上的點的投影 從從屬性屬性 點在直線上，則點的各個投影必定在該直線的同面投影點在直線上，則點的各個投影必定在該直線的同面投影上，反之若一個點的各個投影都在直線的同名投影上，則該點必定在上，反之若一個點的各個投影都在直線的同名投影上，則該點必定在直線上。直線上。 定比性定比性 若點屬于直線，則點分線段之比，投影之后保持不變。若點屬于直線，則點分線段之比，投影之后保持不變。ACAC：CB = acCB = ac：cb = a ccb = a c：c b = acc b

19、= ac：cbcb。 從屬性從屬性。 定比性：定比性： AC/CB=ac/cbAC/CB=ac/cb= ac/cb= ac/cb 若點的投影有一個不在直線的同名投影上，若點的投影有一個不在直線的同名投影上， 則該點必不在此直線上。則該點必不在此直線上。判別方法：判別方法：ABVHCbcac b a d d在在不在不在C C點點 直線直線ABAB上上D D點點 直線直線ABAB上上Db Xa abcc 例例 ：已知線段：已知線段AB投影，將投影，將AB分成分成1：2兩段，求分點兩段，求分點C投影。投影。O上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄例：判斷點例：判斷點K K是否在線段是否在線段ABA

20、B上。上。a b k 因因k k 不在不在a a b b 上，上， 故點故點K K不在不在ABAB上。上。應用定比定理應用定比定理abka b k 另一判斷法是另一判斷法是因因a a k k : :k k b b a ak k: :k kb b 故點故點K K不在不在ABAB上。上。例例 已知點已知點K K在線段在線段ABAB上，求點上，求點K K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（應用第三投影）（應用第三投影）解法二：解法二：（應用定比定理）（應用定比定理）a aa a b b b bk ka a b b k k k k a aa a b b b bk kk k 3.3.兩直線的相對位置兩

21、直線的相對位置 空間兩直線的相對位置分為：空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉平行、相交、交叉。XOcabdbacda.兩直線平行兩直線平行空間兩直線平行，則其各空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行同面投影必相互平行，反之亦然。，反之亦然。abcda b c d 例：判斷圖中兩條直線是否平行。例：判斷圖中兩條直線是否平行。 對于一般位置直線，只要有兩個同對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。名投影互相平行，空間兩直線就平行。結論：結論：AB/CDAB/CDXcbadd b a c b d c a 對于投影面平行線，只有兩個同對于投影面平行線，只有兩個同面投影

22、互相平行，空間直線不一定平行。面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應包括反映實長若用兩個投影判斷，其中應包括反映實長的投影。的投影。結論結論:AB:AB與與CDCD不平行不平行例：判斷圖中兩條直線是否平行。例：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側面投影求出側面投影如何判斷如何判斷HVXABCDabcda b c d abcdb a c d b.b.兩直線相交兩直線相交判別方法：判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。必符合空間一點的投影規(guī)律。kk 交點是兩直線的交點是兩直線的共有點

23、共有點k kKcabb a c d k kd例：過例：過C C點點作水平線作水平線CDCD與與ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影12d b a abcdc1 (2 )3(4 )d.d.兩直線交叉兩直線交叉 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交點交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。不符合空間一個點的投影規(guī)律。 “交點交點”是兩直線上的一是兩直線上的一 對對重影重影點的投影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?？臻g位置。、是面的重影點，是面的重影點，、是是H H面的重影點。面的重影點。3 4 結論：結論：ABAB與與CDCD兩直線不相交兩直線不相交判判

24、斷斷兩兩直直線線的的相相對對位位置置aa bb ss 不在同一不在同一直線上的直線上的三個點三個點直線及線直線及線外一點外一點兩平行直線兩平行直線兩相交直兩相交直線線平面圖形平面圖形aa b bss aa b bss aa b bcc dd aa b bss 4.4. 平面的投影平面的投影(1) (1) 平面的表示平面的表示(2) (2) 跡線表示法跡線表示法跡線跡線平面與投影面的交線平面與投影面的交線PvPHPw（3）各種位置平面）各種位置平面a. a. 平面的傾角平面的傾角與與H H面夾角面夾角 與與V V面夾角面夾角 與與W W面夾角面夾角 平行平行垂直垂直傾斜傾斜投投 影影 特特 性性

25、 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把實形現(xiàn)投影就把實形現(xiàn) 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線 平面傾斜投影面平面傾斜投影面-投影類似原平面投影類似原平面實形性實形性類似性類似性積聚性積聚性b. b. 平面對一個投影面的投影特性平面對一個投影面的投影特性c.c.平面在三投影面體系中的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性投影面投影面平行平行面面 投影面投影面垂直垂直面面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面平行于某一投影面，垂平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面直于另兩個投影面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面傾斜于另兩個投影面與三個投影

26、面都傾斜與三個投影面都傾斜 正平面正平面 側平面?zhèn)绕矫嫠矫嫠矫?正垂面正垂面 側垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面a b c a b c abc投影面平行面投影面平行面積聚性積聚性積聚性積聚性實形性實形性結論：水平面結論：水平面在它所平行的投影面上的投影反映實形。在它所平行的投影面上的投影反映實形。 另兩投影面上投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。另兩投影面上投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。水平面的投影水平面的投影正平面的投影正平面的投影表 2-3 投影面平行面的投影特性 名 稱 直觀圖 投影圖 投影特性 水平面 1、水平投影反映實形。 2、正面投影積聚成平行于 X 軸的直線。 3、側面

27、投影積聚成平行于 Y 軸的直線。 正平面 1、正面投影反映實形。 2、水平投影積聚成平行于 X 軸的直線。 3、側面投影積聚成平行于 Z 軸的直線。 側平面 1、側面投影反映實形。 2、正面投影積聚成平行于 Z 軸的直線。 3、水平投影積聚成平行于 Y 軸的直線。 鉛垂面的投影鉛垂面的投影投影面垂直面投影面垂直面VWHPPHABCacbababbaccc投影特性：投影特性： 1. 1. abc abc積聚為直線。積聚為直線。 2.2. a a b b c c 、a a b b c c 為為 ABCABC的類似形。的類似形。 3 3. . abcabc與與OXOX、OYOY的夾角的夾角反映反映

28、、 。 類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性VWHQQVababbacccAcCabB投影特性：投影特性： （）（） a a b b c c 積聚為直線（具有積聚性）。積聚為直線（具有積聚性）。 （）（） abcabc、a a b b c c 為為 ABCABC的類似形（具有類似性）。的類似形（具有類似性）。 （）（） a a b b c c 與與OXOX、 OZOZ的夾角的夾角反映反映、 。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄投影面正垂面投影面正垂面VWHSWSCabABcabbbaaccc投影特性：投影特性：（1 1） a a b b c c 積聚為直線。積聚為直線。 （2 2）abc

29、abc、 a a b b c c 為為 ABCABC的類似形的類似形 。 （3 3） a a b b c c 與與OZOZ、 OYOY的夾角的夾角反映反映、。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄投影面?zhèn)却姑嫱队懊鎮(zhèn)却姑姹?2-4 投影面垂直面的投影特性 名 稱 直觀圖 投影圖 投影特性 鉛垂面 1、水平投影積聚成直線，與 X 軸夾角為， 與Y軸夾角為。 2、正面投影和側面投影具有類似性。 正垂面 1、正面投影積聚成直線，與 X 軸夾角為， 與Z軸夾角為。 2、水平投影和側面投影具有類似性。 側垂面 1、側面投影積聚成直線，與 Y 軸夾角為， 與Z軸夾角為。 2、正面投影和水平投影具有類似

30、性。 一般位置平面的投影一般位置平面的投影4.4.平面上的點和直線平面上的點和直線(1)(1)平面上取點平面上取點如果點在平面內(nèi)的任一直線上，則點一定在該平面上。如果點在平面內(nèi)的任一直線上，則點一定在該平面上。(2)(2)平面內(nèi)取直線平面內(nèi)取直線a. a. 一直線經(jīng)過平面上兩點，則該直線必在已知平面上。一直線經(jīng)過平面上兩點，則該直線必在已知平面上。b. b. 一直線經(jīng)過平面上一點且平行于平面上的另一已知直線，則此直一直線經(jīng)過平面上一點且平行于平面上的另一已知直線，則此直線必在該平面上線必在該平面上。例：已知例：已知K K點在平面點在平面ABCABC上，求上，求K K點的水平投影。點的水平投影。

31、bacc a k b k 平面上取點的方法：平面上取點的方法：abcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解 例例 已知已知 ABC ABC 給定一平面，（給定一平面，（1 1）判斷點）判斷點K K是否屬于該平面。（是否屬于該平面。（2 2）已）已知平面上一點知平面上一點E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄有無數(shù)解有無數(shù)解abcb c a abcb c a d mnn m d 例：直線例：直線ABAB、ACAC組成的平面，試在平面內(nèi)

32、任作一條直線。組成的平面，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法解法1 1：解法解法2 2：根據(jù)定理一根據(jù)定理一有多少解有多少解根據(jù)定理二根據(jù)定理二例：在平面例：在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到H H面的距面的距 離為離為10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解有多少解bckada d b c ada d b c k bc例：已知例：已知ACAC正平線，補全平行四邊形正平線，補全平行四邊形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。解法解法1 1：解法解法2 2：2.3 2.3 直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面的相對位

33、置1. 1. 平行平行(1) (1) 直線與平面互相平行直線與平面互相平行 若一直線平行于平面上的任一直線，則此直線必定與該平面平行。若一直線平行于平面上的任一直線，則此直線必定與該平面平行。 返回第2章例例 判斷判斷ABAB和和CEFCEF是否平行是否平行例例 求點求點A A到正平線到正平線BCBC的距離的距離ADAD及其投影及其投影例例: : 已知直線已知直線ABAB及點及點C C，過點，過點C C作平面平行于作平面平行于ABAB(2) (2) 兩平面平行兩平面平行 若一平面上相交兩直線，對應地平行于另一平面上的相交兩直線，若一平面上相交兩直線，對應地平行于另一平面上的相交兩直線，則兩平面

34、互相平行。則兩平面互相平行。例例: :已知點已知點K K和和ABCABC的兩面投影，過點的兩面投影，過點K K作平面平行于作平面平行于ABCABC。 過點過點K K作作deacdeac、d de eaac c；過點；過點K K作作fgabfgab、f fg gaab b，相交兩直線，相交兩直線DEDE、FGFG即為所求。即為所求。 過點過點A A作平面作平面ABCABC平行平面平行平面DEFDEF 當兩平面同時垂直于某一個投影面，它們的積聚投影互相平行，當兩平面同時垂直于某一個投影面，它們的積聚投影互相平行，即可判定兩平面平行即可判定兩平面平行。2. 2. 直線與平面直線與平面 平面與平面相交

35、平面與平面相交 直線與平面相交、平面與平面相交，其關鍵問題是求交點和交線，直線與平面相交、平面與平面相交，其關鍵問題是求交點和交線，并判別可見性。實質(zhì)是求直線與平面的共有點、兩平面的共有線。同并判別可見性。實質(zhì)是求直線與平面的共有點、兩平面的共有線。同時，它們也是可見與不可見的分界點、分界線。時，它們也是可見與不可見的分界點、分界線。（1 1） 特殊位置平面與直線相交特殊位置平面與直線相交 由于平面有積聚投影，所以交點的一個投影可直接求出，而交點由于平面有積聚投影，所以交點的一個投影可直接求出，而交點的其它投影可利用直線上取點的方法求得的其它投影可利用直線上取點的方法求得返回第2章例例 求求D

36、EDE直線與直線與 ABCABC的交點。的交點。k k1 2 (1)2Xd e a b c abcde 直線與平面的交點直線與平面的交點K K屬于直線和屬于直線和平面平面 ，交點正投影，交點正投影k k 可以確定?？梢源_定。 利用線上定點的方法可以求出利用線上定點的方法可以求出交點的水平交點的水平投影投影k k。ABCABC正垂面，正投影正垂面，正投影a a b b c c 積聚。積聚。 利用重影點判定直線的可見性。利用重影點判定直線的可見性。例例 求求DEDE直線與直線與 ABCABC的交點。的交點。k kd e a b c abcdef 直線與平面的交點直線與平面的交點K K屬于直線和平屬