2020年高考文數(shù)(人教版)教學(xué)案第8講二次函數(shù)

1、第 8 講二次函數(shù). _1 熟練掌握二次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì).2 會(huì)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.|諜前預(yù)可知識(shí)梳理1 二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：f(x)= ax2+ bx+ c(az0)頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(k, h)，則其解析式為 f(x) =a(x- k)2+ h .零點(diǎn)式：若二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(xi,O),(血,0)，則其解析式為 f(x) = a(xxi)(x- X2)2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式2f(x)=ax+bx+c(a0)2f(x)-ax+bx+c(a0當(dāng)*， 時(shí)，恒有 f(x)0;0ta0,.亠當(dāng)*時(shí)，恒有 f(x)0.0)在區(qū)間m,

2、n上的最值問題，有以下結(jié)論：1若 k m, n，則 ymin= f(k) = h, ymax= maxf(m), f(n).2若 k? m, n,當(dāng) kvm 時(shí),y= f(x)在m, n上單調(diào)遞增，ymin= f(m), ymax= f(n);當(dāng) kn 時(shí)，y= f(x)在m, n上單調(diào)遞減，ymin= f(n), ymax= f(m).熱身練習(xí)1若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為(2, 1),且過點(diǎn)(3,1)，則此函數(shù)的解析式為(B)2 2A . y= 2(x+ 2) 1 B . y= 2(x 2) 1C. y= 2(x+ 2)2 1 D. y= 2(x 2)2 1設(shè)所求函數(shù)的解析式為y= a(x 2

3、)2 1,把點(diǎn)(3,1)代入得 a= 2.故所求函數(shù)的解析式為y= 2(x 2)2 1.2.已知函數(shù) f(x) = ax2+ bx+ c,如果 abc 且 a+ b+ c= 0,則它的圖象可能是(D)因?yàn)?abc 且 a + b + c= 0,所以 a0 , c 2 時(shí)，f(x)是增函數(shù)，有 f(2)vf(3)vf(4),又 f(2- 1)= f(2 + 1)，即 f(1)= f(3),所以 f(2)vf(1)vf(4).4 .若 f(x)= (m- 1)x2+ 2mx+ 3 為偶函數(shù)，則 f(x)在區(qū)間(一 5,- 2)上是(A)A .增函數(shù)B .減函數(shù)C .部分為增函數(shù)，部分為減函數(shù)D無法

4、確定增減性由 f(x)= f(-x),可得 m= 0,所以 f(x) = - x2+ 3，由此知 f(x)在(-5,- 2)上是增函數(shù).5 .函數(shù) f(x)=- 2x2- x+ 1, x - 3,1.1 1(1) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3,- 4，單調(diào)遞減區(qū)間為 4, 1；9(2) f(x)的最大值為，最小值為-14 .81 1(1) 當(dāng) x - 3,1時(shí)，函數(shù) f(x)在-3,-上為增函數(shù)，在,1上為減函數(shù).119(2) 當(dāng) x=-4 時(shí)，y 取得最大值 f(-4)= 8；1又因?yàn)?x=- 3 與對(duì)稱軸 x=- 4 的距離大于 x= 1 與對(duì)稱軸的距離，所以x=- 3 時(shí)取得最小值，且最小

5、值為f(-3) =- 14.高 _-二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)OD 若函數(shù) f(x) = 2X2+ mx 1 在區(qū)間1 ,+ )上遞增，則 f( 1)的取值范圍為作出 f(x)的圖象,所以 1，解得 m4.4所以 f( 1) = m+ 1 5,所以 a 的取值范圍為5,+a).若 f(x)在5,5上單調(diào)遞減，則a 5,所以 aw5，所以 a 的取值范圍為(一 5.若 f(x)在5,5上單調(diào)，則a5 或a 5,所以 a 5.所以 a 的取值范圍為(一R,5U5 ,+).若 f(x)在5,5上不單調(diào)，則5 a5 ,所以一 5a 0,得 x 0,4,3所以問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)S=：x2+ x 在區(qū)間0,4

6、上的最大值與最小值.2因?yàn)閷?duì)稱軸 x= 30)在區(qū)間m, n上的最值問題的討論，要注意如下幾點(diǎn)：1方法：數(shù)形結(jié)合法；軸定區(qū)間定的二次函數(shù)的最值2依據(jù)：函數(shù)的單調(diào)性;3關(guān)鍵：抓住對(duì)稱軸的位置進(jìn)行討論.2212.(2017 北京卷)已知 x0, y0,且 x+ y= 1,則 x2+ y2的取值范圍是-,1(方法一)由 x+ y= 1，得 y= 1 x._ 2 2 2 2 2121又 x 0, y 0，所以 0WXW1, x + y = x + (1 x) = 2x 2x+ 1 = 2(x R +121由 0WxW1，得 0W(x 2)2W4，即2Wx2+ y2W1 所以 x2+ y2 , 1.22

7、2(方法二)x + y = (x+ y) 2xy,已知 x0, y0, x+ y= 1,所以 x2+ y2= 1 2xy.1因?yàn)?1 = x+ y 2 xy，所以 0WxyW4,1221所以壬1 2xyW1，即 x + y 【2 1.(方法三)依題意，x2+ y2可視為原點(diǎn)到線段 x+ y 1= 0(x0, y0)上的點(diǎn)的距離的平 方，如圖所示，2 2 2 2(x + y )max= |OA| = |OB| = 1.1 故 x + y 【2, 1.:二匚軸動(dòng)或區(qū)間動(dòng)的二次函數(shù)的最值2EB (經(jīng)典真題)設(shè)函數(shù) f(x)= x2+ ax+ b(a, b R).當(dāng) b =+ 1 時(shí)，求函數(shù) f(x)

8、在 1,1上的最小值 g(a)的表達(dá)式.22 2故(x + y )min=(1|21.2)= 2,堪 3 當(dāng) b=a4+1 時(shí)，f(x)=(x+a)2+1,故函數(shù)的對(duì)稱軸為直線 x=a.當(dāng) aW2 時(shí)，f(x)在1,1上遞減,所以 g(a)= f(1) =a4+ a + 2.a當(dāng)一 22 時(shí)，f(x)在1,1上遞增,2所以 g(a)= f( 1) = 4 a + 2.2a + a+2，aw2,綜上，g(a) =1, 22.對(duì)于軸動(dòng)或區(qū)間動(dòng)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，要注意抓住對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系及二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論.3.函數(shù) f(x)= x2 2x + 2 在區(qū)間t, t+

9、 1上的最小值為 g(t)，求 g(t)的表達(dá)式及其最值.2f(x)= (x 1) + 1.當(dāng) tt+ 1, f(x)在t, t+ 1上單調(diào)遞減，所以g(t) = f(t+ 1) = t2+ 1,如圖(1)；當(dāng) 0wtw1 時(shí)，x= 1 t, t+ 1,所以 x= 1 時(shí)，g(t) = f(1) = 1,如圖 ；ut *+l|0 1i0 P 1 H-l ii Qit t+lx(1)2當(dāng) t1 時(shí),x= 1t, f(x)在t, t+ 1上單調(diào)遞增，所以g(t) = f(t) = (t 1) + 1,如圖 ,2t+ 1,t1.g(t)min= 1, g(t)無最大值.課0刑 _,1.對(duì)于函數(shù) y= ax2+ bx+ c,要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a豐0,當(dāng)題目條件未說明 0 時(shí)，就要分 a = 0 和 a豐0 進(jìn)行討論.2. 二次函數(shù)的重要性質(zhì)是單調(diào)性和對(duì)稱性，因此，研究二次函數(shù)的性質(zhì)，要特別注意 對(duì)稱軸的位置.3.對(duì)二次函數(shù) y= ax2+ bx + c 在m, n上的最值的研究是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)，同時(shí)也是高考的熱點(diǎn)，2x=-b m, n時(shí)，4aCb是它的一個(gè)最值，另一個(gè)最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得.2a-4.二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值問題的處理，常常要利用數(shù)形結(jié)合