2020版高考數(shù)學(xué)人教版理科一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)：40直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法Word版含解析

1、課時(shí)作業(yè)40直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1.已知函數(shù) f(x)= 1x，a, b 為正實(shí)數(shù)，A= f 葺 B = fOb),a+ b 2ab(11解析：因?yàn)?丁何，又 f(x) =2X在 R 上是單調(diào)減函數(shù),2a+ b解析：在 B 中,va2+ b2-2(a b-1) = (a2-2a+1)+ (b2+ 2b +1) = (a- 1)2+ (b + 1)2 O.a2+ b2 2(a- b- 1)恒成立.3.已知 p3+ q3= 2,求證 p + qw2,用反證法證明時(shí)，可假設(shè) p+ q2;已知 a, b R, |a| + |b|0B. a2+ b2 2(a- b- 1)a a+ 1

2、DTbRC. a2+ 3ab2b2,即 AwBwC.C.的假設(shè)正確；的假設(shè)錯(cuò)誤D .的假設(shè)錯(cuò)誤；的假設(shè)正確解析：反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論，對于，其結(jié)論的反面是P+q2,所以不正確；對于，其假設(shè)正確.4 .分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)abc,且 a+ b+ c= 0,求證-b2-ac0B. a c0C. (a b)(a c)0D. (a b)(a c)0解析：由題意知，；b2 ac 3a?b2 ac3a2?(a + c)2 ac3a2?a+ 2ac + c ac 3a 0? 2a2+ ac+ c20?(a c)(2a + c)0?(a c)(a b)0.5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 2n2

3、n + 1, n 的第一個(gè)取值應(yīng)是(C )A . 1 B. 2C. 3 D. 4解析：川=1 時(shí)，21= 2,2X1 + 1 = 3,2n2n+ 1 不成立；n = 2 時(shí)，22= 4,2X2+ 1 = 5,2n2n+ 1 不成立；n = 3 時(shí)，23= 8,2X3+ 1 = 7,2n2n+ 1 成立.n 的第一個(gè)取值應(yīng)是 3.6. 設(shè) a, b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：a+ b1;a+ b = 2;a+ b2;a2+ b22:ab1.其中能推出：“ a, b 中至少有一個(gè)大于 1”的條件是(C )A .B.C .D.1 2解析：若 a= 2，b= 3 則 a + b1.但 a1, b2，故

4、推不出;若 a= 2, b= 3,則 ab1，故推不出；對于，即 a+ b2.則 a, b 中至少有一個(gè)大于 1,反證法：假設(shè) a 1 且 b 1,貝卩 a+ b2 矛盾，因此假設(shè)不成立，a, b 中至少有一個(gè)大于 1.二、填空題7. 設(shè) a= 3 + 2 2, b= 2+7,則 a, b 的大小關(guān)系為 ab.解析：a= 3+ 2 2, b= 2+ .7 兩式的兩邊分別平方，可得 a2=11 + 4 6, b2= 11 + 4 .7，顯然,6 7.Aa1，則 a, b, c, d 中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假 設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：a, b, c, d 全是負(fù)數(shù).解析：“

5、至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，故結(jié)論的否定是“a, b, c, d 中沒有一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即 a, b, c, d 全是負(fù)數(shù)時(shí)左端應(yīng)在 n= k 的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為(k2+1) + (k2+2)+ (k+1)2.解析：:當(dāng) n= k 時(shí)左端為 1 + 2+3+k+(k+1) + (k+ 2) +k2則當(dāng) n=k+ 1 時(shí)，左端為 1 + 2 + 3+k2+ (k2+1) + (k2+ 2) + 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明1 + 2+3+ + n2=”+n,則當(dāng)n= k+ 1+ (k+ 1)2,故增加的項(xiàng)為(k2+ 1)+ (k2+ 2)+ (k+ 1)2.三、解答題10.等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為

6、 Sn, ai= 1+ 2,9+3 2.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng) an與前 n 項(xiàng)和 Sn；設(shè) bn=目(門 N*),求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.ai =Q2+1,解：(1)解：由已知得_!, 3a1+ 3d= 9 + 3 2,( = 2,故 an= 2n 1+ , 2, Sn= n(n+ 2).(2) 證明：由(1)得 bn=目=n+ 2假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng) bp, bq, br(p, q, r N*，且互不相等)成等比數(shù)列，貝yb = bpbr，即(q+ 2)2= (p+ 2)(r + , 2).(q2 pr) + 2(2q p r) = 0.*；q2Pr=0,T

7、p,q,rN,I2q p r = 0.f p+r 2= pr，即(p r)2= 0.p= r，與 pzr 矛盾.假設(shè)不成立，即數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù) 列.1 1 111. (2019 河北八校一模)已知 f(n) = 1+ 3+ + n(n N*), g(n)= 2(n+ 1 1)(n N*).(1)當(dāng) n= 1,2,3 時(shí)，分別比較 f(n)與 g(n)的大小(直接給出結(jié)論); 由(1)猜想 f(n)與 g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解：(1)當(dāng) n= 1 時(shí)，f(1) = 1, g(1) = 2( 2-1), f(1)g(1),當(dāng) n= 2 時(shí)，f(2)= 1+12

8、, g(2) = 2( 3- 1), f(2)g(2),1 1當(dāng) n= 3 時(shí)，f(3)= 1+2+一3, g(3) = 2, f(3)g(3).1)(n N*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng) n= 1 時(shí)，上面已證.2假設(shè)當(dāng) n= k 時(shí)，猜想成立，即 1+扌 2+馬+ 2 心 k+ 1-1).J2/k+ 1 - 1)+2= 2/k+ 1 + / - 2;k + 1； k + 1，: k+ 1而 g(k + 1)= 2( .：k+ 2- 1)= 2，: k+ 2-2,下面轉(zhuǎn)化為證明：20+ 1 +J2 寸 k + 2.k+ 1只要證：2(k + 1)+ 1 = 2k+ 32 . k+ 2 k+

9、 1 即可，需證：(2k + 3)24(k + 2)(k + 1),即證：4k2+ 12k + 94k2+ 12k+ 8,此式顯然成立，所以，當(dāng) n =k+ 1 時(shí)猜想也成立.猜想：f(n)g(n)(n N ),則當(dāng) n = k + 1 時(shí)，f(kx+L(X)LDox 4-ffi亠-H-Hex、+XL氷m(L) -Sy寸FL寸(X)丄ICNIXAVPScoco乂+XL代(X)4(L)-Sy二Lobx亠+exu(x)4OL m葺二qev-(q)4(e)4-m_q一+亙_V_q皿_q一+亙(_q-+-e-)_qe+氓+_qe_H JYT-(q)4 (e)4-t遐K-Q _qeT-(q)4 (e)4

10、-0_qe-v-(q)4(e)4- 8_qeA-(q)4 (e)4-v_qe-w-(q)4 (e)4-(8)氷JX+L=(x)4呈mdL冷整23U)(L丄十 U?尖供&Neu反二*白9迷(2)由 OWx1 得 x3x,31113 3(x 1)(2x +1) 3故 f(x) = x3+ 1 x+x2= xh+44,又因?yàn)?吃,=244,所tM3以 f(x)433綜上，3f(x)W2*尖子生小題庫一一供重點(diǎn)班學(xué)生使用，普通班學(xué)生慎用14.已知兩個(gè)半徑不等的圓盤疊放在一起(有一軸穿過它們的圓心)，兩圓盤上分別有互相垂直的兩條直徑將其分為四個(gè)區(qū)域，小圓 盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為 X1, x2, X3，x4,大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別 記為如,y,y3, y4，如圖所示.將小圓盤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) i(i= 1,2,3,4)次, 每次轉(zhuǎn)動(dòng) 90記Ti(i = 1,2,3,4)為轉(zhuǎn)動(dòng) i 次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和，例女口 T1= x1y2+ x2y3+ x3y4+ x4y1.若 x1+ x2+ x3+ x40, y+ y2+ y3+A . T1, T2, T3, T4中至少有一個(gè)為正數(shù) B . T1, T2, T3, T4中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)有二丄1+ x x+ 1x+x x3 1 x+x2.C.T1