2020高考理數(shù)(新課標(biāo)版)總復(fù)習(xí)教學(xué)案第4章第4節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、1第四節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入考綱傳真1理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件 2 了解復(fù)數(shù)的代 數(shù)表示法及其幾何意義 3 能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相 加、減的幾何意義.1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的概念：形如 a+ bi(a, b R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中 a 叫做復(fù)數(shù) z 的實(shí)部, b叫做復(fù)數(shù) z 的虛部(i 為虛數(shù)單位).(2) 分類:滿足條件(a, b 為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a+ bi 為實(shí)數(shù)？b= 0a+ bi 為虛數(shù)？bM0a+ bi 為純虛數(shù)？a = 0 且 bM0(3) 復(fù)數(shù)相等：a+ bi = c + di? a= c, b= d(a, b, c, d R).(4)

2、 共軛復(fù)數(shù)：a+ bi 與 c+ di 共軛? a = c, b= d(a, b, c, d R).(5)復(fù)數(shù)的模：向量 0Z 的模叫做復(fù)數(shù) z= a+ bi 的模，記作園或|a+ bi|，即|z|=|a+ bi|=a2+ b2(a, b R).3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1) 運(yùn)算法則：設(shè) zi= a+ bi, Z2= c+ di, a, b, c, d R.課刖知識全通關(guān)夯實(shí)基礎(chǔ)*拒除盲點(diǎn)2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù) z = a + bi，_ 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)乙- 對應(yīng)平面向量 0Z = (a, b).2宙匚曲& 8#加)2+di)=ic_&d)+(血+ad)i(2) 幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或

3、三角形法則進(jìn)行如圖給出的平行四邊形 0Z1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即oz =常用結(jié)論21 + i 1 i1(1，二=i，禹2. b+ ai = i(a+ bi).4n4n 土 14n 土 24n+3*4n .4n+1 .4n+2 .4n+33. i = 1, i+= i, i+= 1, i+= i(n N ); i + i+ i+ i土=0(n N*).4. zz 二 |z|2= |z|2, |Z1Z2|= |Z1| I,I：二骨，Zn匸 Zf.基礎(chǔ)自測1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 復(fù)數(shù) z= a+ bi(a, b R)中，虛

4、部為 bi.()(2) 復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(3) 實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).()(4) 復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()答案(1)X(2)X(3)X VOZi土OZ2,乙 Z2= 0Z2 OZi.ac+M+班+dS32. (教材改編)如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn) A 表示復(fù)數(shù) z,則圖中表示 z 的共軛4復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A. AC. CB 共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱.3.(教材改編)設(shè) m R，復(fù)數(shù) z= m? 1 + (m+ 1)i 表示純虛數(shù)，則 m 的值為 ()A. 1B . - 1C. D.

5、 0m2 1 = 0A 由題意得，解得 m= 1,故選 A.m+ 伴 0匕 1+ ?i 2+ i 5iA= 5 = I2 i(2 i2+ i)55 .(教材改編)設(shè) x, y R，若(x+ y) + (y 1)i = (2x+ 3y) + (2y+ 1)i，則復(fù)數(shù)z= x+ yi 在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B .第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限x+ y= 2x+ 3y,x=4,D 由題意知解得71=2y+1,y= 2.則復(fù)數(shù) z= 4 2i 在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D.4 .復(fù)數(shù)1 + 2i汀=(s*o叱5復(fù)數(shù)的有關(guān)概IHSU念1 i1. (2018 全國卷I)設(shè) z=

6、韋 + 2i，則 |z|=()A. 0B.2C. 1D. 21 一 i(1 一 i)Cz=+ 2i =+ 2i = i，所以 |z|= 1.1 + i(1 + i j1 i)2. （2018 浙江高考）復(fù)數(shù) 1 一i（i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（B 宀.丄丄=1 + i,1 i 1 i 1 + i2所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 1 i，故選 B.1 ia_i3. （2017 天津高考）已知 a R, i 為虛數(shù)單位，若 右為實(shí)數(shù)，則 a 的值為a i a i 2 i 2a 1 a + 2 i 2a 1 a+ 2牡R，齊=一 =為實(shí)數(shù),a+ 2二 一=0，二a= 2J規(guī)律方法解決復(fù)數(shù)概念問題的策略1

7、復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部 與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形 式，即 a+ bia，b R 的形式，再根據(jù)題意列出實(shí)部、虛部滿足的方程 組即可.課堂題型全突破方法簡潔62 求復(fù)數(shù)模的常規(guī)思路是利用復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算先求出復(fù)數(shù)z，然后利用復(fù)數(shù)7模的定義求解.題型外_復(fù)數(shù)的運(yùn)算?考法 1 復(fù)數(shù)的【例 1】(1)(2018 全國卷川)(1 + i)(2 i)=()A3 iB 3+ iC. 3 iD . 3+ i(2)(2016 全國卷I)設(shè)(1 + 2i)(a+ i)的實(shí)部與虛部相等，其中 a 為實(shí)數(shù)，則 a二()A. 3B. 2

8、C. 2D. 3(3)若 a 為實(shí)數(shù)， 且(2 + ai)(a- -2i) = 4i,則 a=()A. 1B. 0C. 1D . 2(1)DA(3)B(1)(1 + i)(2 i) = 2 i + 2i i2= 3+ i.故選 D.(2) (1 + 2i)(a+ i) = a 2+ (1 + 2a)i,由題意知 a 2= 1 + 2a,解得 a= 3,故 選 A.(3) 因?yàn)?2 + ai)(a 2i) = 4i, 所以 4a + (a24)i = 4i.4a=0,所以 a2 4= 4.解得a=0故選 B.?考法 2 復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算【例 2】(1)(2018 天津高考)i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)+2

9、 =(2)(2018 江蘇高考)若復(fù)數(shù) z 滿足 i1+ 2i，其中 i 是虛數(shù)單位，則 z 的實(shí)部為_.6+ 7i6+ 7i 1 2i6+ 14+ 7i 12i2(1)1 + 2i 1+ 2i 1 2i(1)4i81 + 2i 1+ 2i i(2)z= = 2 i故 z 的實(shí)部為 2.?考法 3 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算1 z【例 3】（1）（2019 太原模擬）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 =i，則 z 的共軛復(fù)數(shù)為（）A. iBiC. 2i D 2iz（2）（2016 全國卷川）若 z= 4+ 3i，則可二（ ）A. 1B . 14 34 3C5+5iD.45i(3)若復(fù)數(shù)z 滿足 2z+ 7 = 3 2i，

10、其中 i 為虛數(shù)單位，則 z 等于()A. 1 + 2iC. 1+ 2i1 z(1)由 =i 得 1 z= i + zi.1 + z1 i 即(1 + i)z= 1 i，貝 U z=1 + i因此 z = i，故選 A.(2)vz= 4+ 3i，二 z = 4 3i， 2 匸.42+ 32= 5，.43i4 3. |z|二 5 二 55i.設(shè)z= a+ bi(a，b R)，則 7 = a bi，所以 2(a+ bi) + (a bi) = 3 2i，整3a = 3，a= 1，B. 1 2iD . 1(1)AD (3)B9理得 3a + bi = 3 2i，所以解得X 2，lb= 2,所以 z=

11、 1 2i，故選 B.10規(guī)律方法復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題策略1 復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位 的看作一類同類項(xiàng)，不含 i 的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.2 復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題時(shí)要注 意把 i的幕寫成最簡形式.3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，一般化為 a+ bi a,b R 的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.跟蹤練習(xí)(1)(2019 合肥模擬)已知 i 為虛數(shù)單位，則2 =()(2019 惠州模擬)已知復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為 z，若 z(1 i)= 2i(i 為虛數(shù)單位)，則 z=(

12、)A. iB. i 1C. i 1 Di(2019 南昌模擬)設(shè) z 的共軛復(fù)數(shù)是 7，若 z+ 7 = 2,Z2= 2i，則 z=()(2+ ij(3 4i) 10 5i(1)A (2)C (3)D (1)法一：二二 5,故選 A.2 i2 i2法二：= 5,故選 A.5A.C.12.T1125+1 1C. 1 + iD. 1 i11(2)由已知可得 I 二丑2i 1+i二一 1 + i，貝 U z= 1 i，故選 C.1 i (1 i【1 + i)(3)對四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證可知，當(dāng)z= 1 i 時(shí)，符合題意，故選 D.121 11qi，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為 2， 2，位于第四象限，故選 D.

13、復(fù)數(shù)(1 i)(a+ i) = a+ 1 + (1 a)i，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(a+ 1,1 a)在第a+1v0，二象限，故丫解得 av1，故選 B.1 a 0，規(guī)律方法與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法第一步，進(jìn)行簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；第二步，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a+ bi 與復(fù)平面上的點(diǎn) a，b-對應(yīng).Q跟蹤塚習(xí)(1)(2019 廣州模擬)設(shè) z= 1 + i(i 是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)-+ z2在復(fù)平復(fù)數(shù)的幾何意1題型31義【例 4】(1)(2018 北京高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)占的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位1 i于()A第一象限B第二象限C第三象限

14、D第四象限(2)(2019 鄭州模擬)若復(fù)數(shù)(1- i)(a+ i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限， 貝 U 實(shí) 數(shù)a 的取值范圍是()A.(, 1)C.(1,+x)B.( x,1)D.(1，+x)1DB 門1 + i1i 1+i號二1+ 2i，1的共軛復(fù)數(shù)為113面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D(zhuǎn).第四象限145i(2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù) z=齊可所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱的點(diǎn)為A,則 A 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A. 1 + 2iB . 1-2iC. 2+ iD . 2+ i22222(1 i)(1)A (2)C(1)因?yàn)?z= 1 + i，所以；+ z=+ (1 + i) =+

15、1 +z1 + i(1 + i(1 i)221 i )2i + i = 廠+ 2i = 1 + i，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),位于 第一象限，故選 A.5i(1 2i)(2) 依題意得，復(fù)數(shù) z= i(1 2i) = 2+ i，其對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1 + 2r(1 2i)(2,1)，因此點(diǎn) A( 2,1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為一 2+ i.C z= i( 2+ i)二一 1 2i, 復(fù)數(shù) z= 1 2i 所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為Z( 1, 2),位于第三象限.故選 C.3.(2016 全國卷I)設(shè)(1 + i)x= 1+ yi，其中 x, y 是實(shí)數(shù)，則 X+ yi 匸()A.1B. 2C/3D.2B (1 + i)x= 1+ yi, x+ xi = 1 + yi.又Tx,yR, x=1,y=x=1.x+yi| = |1 + i|= 2,故選 B.真題自主驗(yàn)效果近年灣題+感悟規(guī)律154.(2015 全國卷I)已知復(fù)數(shù) z 滿足(z 1)i = 1 + i，則 z=()A. 2 iB . 2+ iC. 2 iD . 2+ ii + 1C (z 1)i i + 1, - - z 1 i 1 i, z 2 i，故選 C.自我感悟：_1. (2017 全國卷I)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()2 2A. i(1 + i)B. i (