新人教九年級下冊數(shù)學(xué)解直角三角形及其應(yīng)用參考學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1新人教九年級下冊數(shù)學(xué)新人教九年級下冊數(shù)學(xué)(shxu)解直角解直角三角形及其應(yīng)用參考三角形及其應(yīng)用參考第一頁，共29頁。 問題問題 要想使人安全地攀上斜靠在墻面要想使人安全地攀上斜靠在墻面(qin min)(qin min)上的梯子的頂端上的梯子的頂端, ,梯子與地面所成的角梯子與地面所成的角,一般要滿足一般要滿足50507575. .現(xiàn)有一個長現(xiàn)有一個長6m6m的梯子的梯子. .問問(1)(1)使用這個使用這個(zh ge)(zh ge)梯子最高可以安全攀上多高的墻梯子最高可以安全攀上多高的墻( (精精確到確到0.1m)0.1m) 對于問題對于問題(1),(1),當(dāng)梯子當(dāng)梯子(t zi

2、)(t zi)與地面成的角與地面成的角為為7575時時, ,梯子梯子(t zi)(t zi)頂端與地面的距離是使用這個梯子頂端與地面的距離是使用這個梯子(t zi)(t zi)所以攀到的最所以攀到的最大高度大高度. . 問題問題(1)(1)可以歸結(jié)為可以歸結(jié)為: :在在RtRtABCABC中中, ,己知己知A=75A=75, ,斜邊斜邊AB=6,AB=6,求求A A的對邊的對邊BCBC的長的長. .sin,sin6 sin75sin750.97,6 0.975.8由得由計算器求得BCABCABAABBC 因此使用這個梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約為因此使用這個梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約

3、為5.8m.5.8m.第2頁/共30頁第二頁，共29頁。 問題問題 要想使人安全地攀上斜靠要想使人安全地攀上斜靠(xi ko)(xi ko)在墻面上的梯子的頂在墻面上的梯子的頂端端, ,梯子與地面所成的角梯子與地面所成的角,一般要滿足一般要滿足50507575. .現(xiàn)有一個現(xiàn)有一個長長6m6m的梯子的梯子. .問問(2)(2)當(dāng)梯子底端距離墻面當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m2.4m時時, ,梯子與地面所成的角梯子與地面所成的角等于等于(dngy)(dngy)多少多少( (精確到精確到1 1) )這時人是否能夠安全使用這個梯子這時人是否能夠安全使用這個梯子? ? 對于問題對于問題(wnt)(2),(

4、wnt)(2),當(dāng)梯子底端距離墻面當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m2.4m時時, ,求梯子求梯子與地面所成的角與地面所成的角的問題的問題(wnt),(wnt),可以歸結(jié)為在可以歸結(jié)為在RtRtABCABC中中, ,己己知知AC=2.4,AC=2.4,斜邊斜邊AB=6,AB=6,求銳求銳角的度數(shù)角的度數(shù). .2.4cos0.4666由于利用計算器求得ACAB 因此當(dāng)梯子底端距離墻面因此當(dāng)梯子底端距離墻面2,4m2,4m時時, ,梯子與地面所成梯子與地面所成的角大約是的角大約是6666. . 由由505066667575可知可知, ,這時使用這個梯子是安全的這時使用這個梯子是安全的. .第3頁/共30頁

5、第三頁，共29頁。在在RtRtABCABC的中的中, , (1) (1)根據(jù)根據(jù)A=75A=75, ,斜邊斜邊AB=6,AB=6,你能求出這個你能求出這個(zh ge)(zh ge)直角直角三角莆的其他元素嗎三角莆的其他元素嗎? ? (2) (2)根據(jù)根據(jù)AC=2.4,AC=2.4,斜邊斜邊AB=6,AB=6,你能求出這個你能求出這個(zh ge)(zh ge)直角三直角三角形的其他元素嗎角形的其他元素嗎? ?三角形有六個元素三角形有六個元素(yun s),(yun s),分別是三條邊和三分別是三條邊和三個內(nèi)角個內(nèi)角. .第4頁/共30頁第四頁，共29頁。 事實(shí)上事實(shí)上, ,在直角三角形的六個

6、元素中在直角三角形的六個元素中, ,除直角外除直角外, ,如如果再知道兩個元素果再知道兩個元素( (其中至少有一個是邊其中至少有一個是邊),),這個三角就可這個三角就可以確定下來以確定下來(xi li),(xi li),這樣就可以由已知的兩個元素求這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素出其余的三個元素. . 在直角三角形中在直角三角形中, ,由己知元素求未知元素的過程由己知元素求未知元素的過程(guchng),(guchng),就是解直角三角形就是解直角三角形. .第5頁/共30頁第五頁，共29頁。222(1)(2)90(3)sin,sin;cos,cos;tan,tan.三邊之間的關(guān)系

7、兩銳角之間的關(guān)系邊角之間的關(guān)系的對邊的對邊斜邊斜邊的鄰邊的鄰邊斜邊斜邊的對邊的對邊的鄰邊的鄰邊abcABAaBbABccAbBaABccAaBbABAbBa 第6頁/共30頁第六頁，共29頁。,sincaA ,coscbA ,tanbaA .cotabA ,sincbB ,coscaB ,tanabB .cotbaB 第7頁/共30頁第七頁，共29頁。w靈活靈活(ln hu)(ln hu)變換變換: :同角之間的三角函數(shù)同角之間的三角函數(shù)(snjihnsh)(snjihnsh)的關(guān)系的關(guān)系3.3.如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,B,C,A,B,C的對邊分別的

8、對邊分別(fnbi)(fnbi)是是a,b,c.a,b,c.求證求證:sin2A+cos2A=1:sin2A+cos2A=1222:sin,cos,abAAabcccQ證明2222cossincbcaAA222cba 22cc. 1. 1cossin22AA即.cos1sin22AA.sin1cos22AA.cos1sin2AA或.sin1cos2AA或第8頁/共30頁第八頁，共29頁。同角之間的三角函數(shù)同角之間的三角函數(shù)(snjihnsh)(snjihnsh)的關(guān)系的關(guān)系3.3.如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,B,C,A,B,C的對邊分別的對邊分別(fnb

9、i)(fnbi)是是a,b,c.a,b,c.求證求證:tanAcotA=1,:tanAcotA=1,:tan,cot,abAAbaQ證明. 1cottanabbaAA,tancossinAbacbcaAA.sincoscot,cossintanAAAAAAsin,cos,abAAccQ又.cotsincosAabcacbAsA第9頁/共30頁第九頁，共29頁。同角之間的三角函數(shù)同角之間的三角函數(shù)(snjihnsh)(snjihnsh)的關(guān)系的關(guān)系w平方和關(guān)系平方和關(guān)系(gun x):(gun x):. 1cossin22AA.cos1sin2AA或.sin1cos22AA.sin1cos2AA

10、或商的關(guān)系商的關(guān)系(gun (gun x):x):.sincoscot,cossintanAAAAAA倒數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系: :. 1cottanAA.cot1tanAA.tan1cotAA第10頁/共30頁第十頁，共29頁。例例1.1.如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中, C=90, C=90,AC= .BC= ,AC= .BC= ,解個直角三解個直角三角形角形. .6:tan32609090603022 2.BCAACABAABAC Q解26第11頁/共30頁第十一頁，共29頁。1cossin22AA1cottanAAAAAAcossincot1tan第12頁/共30頁第十二頁，共29

11、頁。例例2 2 如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中, B=35, B=35,b=20,b=20,解這個解這個(zh ge)(zh ge)直直角三角形角三角形( (精確到精確到0.1)0.1):90903555解AB tan202028.6tantan350.70bBabaBQsin,202035.1sinsin350.57bBcbcB Q你還有其你還有其它辦法求它辦法求出出c c嗎嗎? ?第13頁/共30頁第十三頁，共29頁?，F(xiàn)在我們來本章引言提出現(xiàn)在我們來本章引言提出(t ch)(t ch)的有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題的有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題. . 先看先看19721972年的情形年的情

12、形, ,設(shè)塔頂中心點(diǎn)為設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B,B,塔身中心線塔身中心線與垂直中心線的夾角為與垂直中心線的夾角為A,A,過過B B點(diǎn)向垂直中心線引垂線點(diǎn)向垂直中心線引垂線(chu xin),(chu xin),垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn)C.C.在在RtRtABCABC中中, , C=90C=90,BC=5.2m,AB=54.5m.,BC=5.2m,AB=54.5m.5.2sin0.095454.55 28.所以BCAABA 類似地類似地, ,可以求出可以求出20012001年糾偏后塔身中心線與垂年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角直中心線的夾角(ji jio),(ji jio),你愿意試著計算一下嗎你愿意試著計

13、算一下嗎? ?第14頁/共30頁第十四頁，共29頁。在在RtRtABCABC中中, C=90, C=90, ,根據(jù)下列根據(jù)下列(xili)(xili)條件解直角三條件解直角三角形角形. .(1)c=30,b=20;(1)c=30,b=20;(2) B=72(2) B=72,c=14.,c=14. (3) B30，a = .7第15頁/共30頁第十五頁，共29頁。 例例3 20123 2012年年6 6月月1818日，日，“神舟神舟”九號載人航天飛船與九號載人航天飛船與“天宮天宮”一號一號目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會對接目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會對接.“.“神舟神舟”九號與九號與“天宮天宮”一號的組合體一

14、號的組合體當(dāng)在離地球當(dāng)在離地球(dqi)(dqi)表面表面343km343km的圓形軌道上運(yùn)行的圓形軌道上運(yùn)行. .如圖如圖, ,當(dāng)組合體運(yùn)行到當(dāng)組合體運(yùn)行到地球地球(dqi)(dqi)表面上表面上P P點(diǎn)的正上方時，從中能直接看到的地球點(diǎn)的正上方時，從中能直接看到的地球(dqi)(dqi)表表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置? ?最遠(yuǎn)點(diǎn)與最遠(yuǎn)點(diǎn)與P P點(diǎn)的距離是多少點(diǎn)的距離是多少?(?(地球地球(dqi)(dqi)半徑半徑約為約為6 400 km6 400 km，取取3.1423.142，結(jié)果取整數(shù)，結(jié)果取整數(shù)) )？第16頁/共30頁第十六頁，共29頁。 分析分析: :從飛船上能最

15、遠(yuǎn)直接從飛船上能最遠(yuǎn)直接(zhji)(zhji)看到的地球上的點(diǎn)看到的地球上的點(diǎn), ,應(yīng)是視應(yīng)是視線與地球相切時的切點(diǎn)線與地球相切時的切點(diǎn). . 如圖如圖, , O O表示地球表示地球, ,點(diǎn)點(diǎn)F F是飛船的位置是飛船的位置,FQ,FQ是是O O的切線的切線, ,切點(diǎn)切點(diǎn)Q Q是從飛船觀測地球時的最遠(yuǎn)點(diǎn)是從飛船觀測地球時的最遠(yuǎn)點(diǎn), P Q , P Q 的長就是地面上的長就是地面上P P、Q Q兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離, ,為計算為計算 P Q P Q 的長需要先求出的長需要先求出POQ.(POQ.(即即).). 在解決例在解決例3 3的的問題時問題時, ,我們綜合我們綜合(zngh)(zngh

16、)運(yùn)用了運(yùn)用了圓和解直角三形圓和解直角三形的知識的知識. .第17頁/共30頁第十七頁，共29頁。解解: :在圖中在圖中,FQ,FQ是是OO的切線的切線(qixin), (qixin), FOQFOQ是直角三角形是直角三角形. .例例3 20123 2012年年6 6月月1818日，日，“神舟神舟”九號載人航天飛船與九號載人航天飛船與“天宮天宮”一號目一號目標(biāo)飛行器成功標(biāo)飛行器成功(chnggng)(chnggng)實(shí)現(xiàn)交會對接實(shí)現(xiàn)交會對接.“.“神舟神舟”九號與九號與“天宮天宮”一一號的組合體當(dāng)在離地球表面號的組合體當(dāng)在離地球表面343km343km的圓形軌道上運(yùn)行的圓形軌道上運(yùn)行. .如圖

17、如圖, ,當(dāng)組合體運(yùn)當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面上行到地球表面上P P點(diǎn)的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)點(diǎn)的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置在什么位置? ?最遠(yuǎn)點(diǎn)與最遠(yuǎn)點(diǎn)與P P點(diǎn)的距離是多少點(diǎn)的距離是多少?(?(地球半徑約為地球半徑約為6 400 km6 400 km，取取3.1423.142，結(jié)果取整數(shù)，結(jié)果取整數(shù)) )？6400cos0.94916400343OQaOF18.36a弧弧PQPQ的長為的長為18.3618.36 3.142640064002051(km)180180當(dāng)組合體在當(dāng)組合體在P P點(diǎn)正上方時，從組合體觀測點(diǎn)正上方時，從組合體觀測(gunc

18、)(gunc)地球時的地球時的最遠(yuǎn)點(diǎn)距離最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P P點(diǎn)約點(diǎn)約2051km.2051km.第18頁/共30頁第十八頁，共29頁。例例4 4 熱氣球的探測器顯示熱氣球的探測器顯示, ,從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為3030, ,看這棟高樓底串聯(lián)的俯角為看這棟高樓底串聯(lián)的俯角為6060, ,熱氣球與高樓的水平熱氣球與高樓的水平(shupng)(shupng)距離為距離為120m,120m,這棟高樓有多高這棟高樓有多高( (結(jié)果取整數(shù)結(jié)果取整數(shù))?)?分析分析: :我們我們(w men)(w men)知道知道, ,在視線與水平在視線與水平線所成的角中線所成的角中, ,

19、視線在水平線上方的仰角視線在水平線上方的仰角, ,視線在水平下方的是俯角視線在水平下方的是俯角, ,因此因此, ,在圖在圖中中,=30,=30,=60,=60. . 在在RtRtABDABD中中,=30,=30,AD=120,AD=120,所以可以所以可以利用解直角三角形的知識利用解直角三角形的知識(zh shi)(zh shi)求出求出BD,BD,類似地可以求出類似地可以求出CD,CD,進(jìn)而求出進(jìn)而求出BC.BC.第19頁/共30頁第十九頁，共29頁。:,30 ,60 ,120.tan,tan,tan120 tan30312040 3,3ADBDCDADADBDAD 解 如圖Qtan120

20、tan601203120 3,40 3120 3160 3277CDADBCBDCD 答答: :這棟樓高約為這棟樓高約為277m.277m.第20頁/共30頁第二十頁，共29頁。 1. 1.建筑物建筑物BCBC上有一旗桿上有一旗桿AB,AB,由距由距BC 40mBC 40m的的D D處觀察旗桿頂部處觀察旗桿頂部(dn b)a(dn b)a的仰角為的仰角為5454, ,觀察底部觀察底部B B的仰部的仰角為的仰部的仰角為4545, ,求旗桿求旗桿的高度的高度( (精確到精確到0.1m).0.1m).第21頁/共30頁第二十一頁，共29頁。2.2.如圖如圖, ,沿沿ACAC方向開山修路方向開山修路,

21、 ,為了加快施工進(jìn)度為了加快施工進(jìn)度, ,要在小山的要在小山的另一邊同時施工另一邊同時施工, ,從從ACAC上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)B B取取ABD=140ABD=140,BD=520m, ,BD=520m, d=50d=50, ,那么那么(n me)(n me)開挖點(diǎn)開挖點(diǎn)E E離離D D多遠(yuǎn)正好能多遠(yuǎn)正好能A,C,EA,C,E使成一使成一直線直線,(,(精確到精確到0.1m)?0.1m)?第22頁/共30頁第二十二頁，共29頁。例例5.5.如圖如圖, ,一般海輪位于燈塔一般海輪位于燈塔(dngt)P(dngt)P的北偏東的北偏東6565方向方向, ,距距離燈塔離燈塔(dngt)80(dngt)80

22、海里的海里的A A處處, ,它沿正南方向航行一段時間后它沿正南方向航行一段時間后, ,到達(dá)位于燈塔到達(dá)位于燈塔(dngt)P(dngt)P的南偏東的南偏東3434方向上的方向上的B B處處, ,這時這時, ,海海輪所在的輪所在的B B處距離燈塔處距離燈塔(dngt)P(dngt)P有多遠(yuǎn)有多遠(yuǎn)( (結(jié)果取整數(shù)結(jié)果取整數(shù))?)?:cos(9065 )80 cos2572.505解 如圖在中Rt APCPCPA34 ,sin,72.505130sinsin34Rt BPCBPCbPBPCPBB在中 Q 因此因此, ,當(dāng)海輪當(dāng)海輪(hiln)(hiln)到達(dá)位于燈塔到達(dá)位于燈塔P P的南偏東的南偏東

23、3434方向時方向時, ,它距離燈塔大約它距離燈塔大約130130海里海里. .第23頁/共30頁第二十三頁，共29頁。 解直角三角形有文泛的應(yīng)用解直角三角形有文泛的應(yīng)用, ,解決問題時解決問題時, ,要根據(jù)實(shí)要根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用相關(guān)知識際情況靈活運(yùn)用相關(guān)知識, ,例如例如, ,當(dāng)我們要測量如圖所示當(dāng)我們要測量如圖所示大壩的高度大壩的高度h h時時, ,只要測出仰角只要測出仰角和大壩的坡面長度和大壩的坡面長度(chngd)l,(chngd)l,就能算出就能算出h=lsin,h=lsin,但是但是, ,當(dāng)我們要測理如當(dāng)我們要測理如圖所示的山高圖所示的山高h(yuǎn) h時時, ,問題就不那么簡單問題就不

24、那么簡單 了了, ,這時由于不能這時由于不能很方便函地得到仰角很方便函地得到仰角和山坡長度和山坡長度(chngd)l.(chngd)l.第24頁/共30頁第二十四頁，共29頁。 與測壩高相比與測壩高相比, ,測山高的困難在于測山高的困難在于(ziy),(ziy),壩坡是壩坡是”直直”的而的而山坡是山坡是”曲曲”的的, ,怎樣解決這樣的問題呢怎樣解決這樣的問題呢? ? 我們設(shè)法我們設(shè)法”化曲為直化曲為直, ,以直代曲以直代曲”.”.我們可以我們可以(ky)(ky)把山坡把山坡”化化整為零整為零”地劃分為一些小段地劃分為一些小段, ,圖中表示其中一部分小段圖中表示其中一部分小段, ,劃分小段時劃分

25、小段時, ,注意使每一小段上的山坡的是注意使每一小段上的山坡的是”直直”的的, ,可以可以(ky)(ky)量出這段坡長量出這段坡長li,li,測出相應(yīng)的仰角測出相應(yīng)的仰角1,1,這樣就可以這樣就可以(ky)(ky)算出這段山坡的高度算出這段山坡的高度hi=lisini.hi=lisini.第25頁/共30頁第二十五頁，共29頁。 上面的方面分別算出各段山坡的高度上面的方面分別算出各段山坡的高度h1,h2,hn,h1,h2,hn,然后我然后我們們(w men)(w men)再再”積零為整積零為整”把把h1,h2,hn,h1,h2,hn,相加相加, ,于是得到山高于是得到山高h(yuǎn).h. 以上解決問題所用的以上解決問題所用的”化整為零化整為零, ,積零為整積零為整”化曲為直化曲為直, ,以直代曲以直代曲”的做法的做法, ,就是高等數(shù)學(xué)中微積分的基本思想就是高等數(shù)學(xué)中微積分的基本思想, ,它在數(shù)它在數(shù)學(xué)中有重要地位學(xué)中有重要地位(dwi),(dwi),在今后的學(xué)習(xí)中在今后的學(xué)習(xí)