專題座行列式的計(jì)算方法

1、專題講座行列式的計(jì)算方法i遞推法例i求行列式的值:a+0ap001q+QaP001口+00IlIIII0III00AG+討(1)-:的構(gòu)造是：主對角線兀全為第一條次對角線的元全為1,列式為n階.解把類似于，但為k階的三對角線型行列式記為把（1）的行列式按第一列展開，有兩項(xiàng)，二-;主對角線上方第一條次對角線的元全為比匸，下方其余元全為0;即-:為三對角線型.又右下角的（n）表示行另一項(xiàng)是9+砂a+00o1a+p如001o000優(yōu)+0一項(xiàng)是S-1)ap0001a+Pap001住+00ftft00tiilrl0上面的行列式再按第一行展開，得的構(gòu)造相同，于是有遞推關(guān)系：2=陽）A-i"eQz

2、3：-乘一個(gè)n-2階行列式，這個(gè)n-2階行列式和原行列式(2)移項(xiàng)，提取公因子類似地:d皆-型“二©（刀心-曲心）耳-邊£=0（6-如）2-也話一1二俘（2一2_J丄-二1（遞推計(jì)算）直接計(jì)算®=分+0d+0Q01劇+0畑/.2-叫=嚴(yán)（+材-込g+型=若?。环駝t，除以二:后移項(xiàng)：再一次用遞推計(jì)算:%】+nx-1aaa+舊la丿心丫a+i人=0-撫當(dāng)3=a從aajX+1-1M+l_-a(3)DifDif=i+f4g丿3+1項(xiàng))aa)=1+1+1=用+1從而-一fl»+l盤=0且0工靄則Q=fi由（3）式，若-'0-a少+1)/0-a少+1)/當(dāng)&

3、quot;a注遞推式（2）通常稱為常系數(shù)齊次二階線性差分方程注1仿照例1的討論，三對角線型的n階行列式和二對角線型行列式有相同的遞推關(guān)系式注意2a0012a屮0012a-00002a2aa00a2aa00a2a00«illA00-2aN-2FK=2aF-a2F烏二F二加a.(3)(4)(5)(6)2a=險(xiǎn)場一盤耳,的構(gòu)造也相同，故必有兩個(gè)序列的起始值二廠二.相同，遞推關(guān)系式（5）和（6）坨二呂上=12衛(wèi)由（4）式，二的每一行都能提出一個(gè)因子a，故二等于乘一個(gè)n階行列式，這一個(gè)行列式就是例1的：:.前面算出丄”_*，故=（»+Dfll例2計(jì)算n階范德蒙行列式行列式11-1a3

4、勺屈2叫解：M-1M-1M-1勺JIJiriiriei也al砌（衍-兔）Q©(說-的)0dtj2(cJj-i)-如）11=x-1P.-1陽即n階范德蒙行列式等于勺=1："山1這n個(gè)數(shù)的所有可能的差'-',的乘積2=H他-勺）旬購注2;耳=0<=>3j使轉(zhuǎn)二勺2.拆元法例3:計(jì)算行列式aaa-axaDn=-a-ax-a-a-aa(x+a)1-1+(x-a)Dxaa*=-心p)7+(x+紗7x(x+a)(x十a(chǎn))Q=LZ(x+t2)B+(x2-ax(X-a)"；'-:'<''"吩+二+就“疋顯

5、0+42ax-aaaaa-axaaa4-a-axaaaX-a-a-axaa+ljaaaa-axaaaZF+-a-axaX««*a-a-a-axX3.加邊法例4計(jì)算行列式.根據(jù)這一特點(diǎn)，可采用加邊法.(M)各列元素分別相同1耳1筍6斗0z+aLgLiz0001乳+禺a(chǎn)3簽=LioX00a2x+aK匸100aD二aLa2些A+as分析：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是除對角線外解4.數(shù)學(xué)歸結(jié)法例5計(jì)算行列式x+y0001x+_y0001疋+護(hù)00000-xy000-1x+y0001x+_y0001疋+護(hù)00000-xy000-1解：DY=x+yD2二+“+bD3-x3+丹+砂猜測：'

6、"證明n=k的情形:(1)n=1,2,3時(shí)，命題成立假設(shè)n<k-1時(shí)命題成立考察=（天+刃（尸+宀+兀嚴(yán)十嚴(yán)）-次尹：+嚴(yán)3y+滬+嚴(yán)巧疋+丿0001開xy00Dk=01x+y*00Il00000011xy-000x+j00AA*«««*IlIIIIiri00-*x+j00-*1x+7=（畫+刃如一W兀十+宀+滬+嚴(yán)仏二占+宀+X嚴(yán)入=0+y)D-xyS+產(chǎn)=八+嚴(yán)7+工嚴(yán)+h故命題對一切自然數(shù)n成立5消去法求三對角線型行列式的值例6求n階三對角線型行列式的值：2(1)的構(gòu)造是：主對角線元全為元全為1，其余的元全為0.解用消去法，把：中主對角線下方

7、第一條次對角線的元12，主對角線上方第一條次對角線與下方第一條次對角線的1全部消成0:首先從第二行減去第一行的倍，于是第二行變?yōu)?0,2-上二1嚴(yán)2其次從第三行減去第二行（指新的第二行，以下同）的4aQ2-=-?I0,-03J倍，則第三行變?yōu)樵購牡谒男袦p去第三行的5o,o.a2-=-?3 43.倍，則第四行變?yōu)轭愃频刈鱿氯?，直到第料?om2-最后所得的行列式為'n行減去第nn+1-1行的沖-1托倍，則第n行變?yōu)?2)上面的行列式是三角型行列式，它的主對角線元順次為4”+12,93)又主對角線下方的元全為0.故的值等于3)中各數(shù)的連乘積，即丄：.-+I.注3般的三對角線型行列式00巾o

8、0000°G00°務(wù)00巾o0000°G00°務(wù)(4)也可以按上述消去法把次對角線元等于該三角型行列式的主對角線元的連乘積也可以按上述消去法把次對角線元等于該三角型行列式的主對角線元的連乘積丄全部消去，得到一個(gè)三角型行列式，它的值6乘以已知行列式例7求行列式的值：兩曲-一稱為循環(huán)行列式，各行自左到右均由/''I'循環(huán)排列而得，并使主對角線元全為*1'解設(shè)1的立方根為，即加兀+泌型，花二23則其中i是虛數(shù)單位，又叫=1,】；=1,23右乘以行列式111曬二枷1222眄%+m池+a汨卿+<?帕+砌諂2(1)a2+q沁+Q

9、嗎用-I，得J2a3+兔W+a2>=W(的+曲W+叭W)砌+宓W+逐枷:=W；（&+勺詡+為甘）故（1）的行列式的第一列可由提出公因子'-S-.，提后的元順次為-n.,類似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子;:和：-a.'-iV和，:m，-.22j因II右兩邊約去，得D押丫=（說+砒嗎+口外）（暫+碼W+勺叱）（Q+砒書+&gW$）互不相等，幫它們所構(gòu)成的凡德蒙行列式''.的值不為零，可以從上式的左6二E（的+血晦+他曲）JU1注4在n階的一般情形，設(shè)1的n次方根為2br.2燈%=cosHrsinnn則得行列式的值為D廠11仙+

10、如肌+眄wj)這里的是由構(gòu)成的n階循環(huán)行列式:a25-牛衍-務(wù)“-1'an-2*#a2口4硏7利用線性代數(shù)方程組的解例8求n階行列式的值：(1)-:的構(gòu)造是：第i行的元順次為牢'嵐又第n行的元順次為二、.解（1）的行列式與凡德蒙行列式11(2)的比值可以看成線性代數(shù)方程組兀+打也+1XM二可+務(wù)可+£碼+“+疔=a；的解S如能解出r，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式但方程組（3）又可以看成n次多項(xiàng)式方程廣-耳嚴(yán)-X”廣'刃1召=0''''jr看作系數(shù)）有n個(gè)根幻角幾（t是未知數(shù),用根與系數(shù)的關(guān)系，即得(3)A(4)X,二0+

11、fla+l,+flBn他-丐)8遞推方程組方法例9求行列式的值：-:是n階行列式（在右下角用（n）表示），其結(jié)構(gòu)是：主對角線元全為x;主對角線上n-1列減第n列，得方的元全為y,下方的元全為z.解從（1）的行列式的第一列減第二列，第二列減第三列，第-y7z-XX()上面的行列式按第一行展開，有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是（x-y）乘一個(gè)n-1階行列式，這個(gè)n-1階行列式和（2）中的n階行列式的構(gòu)造相同，即上述展開的第一項(xiàng)可表示為（口幾;展開的另一項(xiàng)是(1嚴(yán)=故遞推式若z=y，則上式化為=DDz+W-滬(3)類似地有(4)=(兀-y)DK_2+y(才-戸嚴(yán)A=仗-丿也+y-y）2又q屮-y付%（一恥+為y-Xx|y劉故可對（4）式遞推計(jì)算如下：2=（兀-刃礎(chǔ)】+（"丁嚴(yán)=（刃【（MDz+yb-y嚴(yán)卄（"刃z二（x-刃+（刃I=O-才©-+金-刃心1+卽（X-7）1-1=0-y嚴(yán)2+（“2）（刃“=u-滬Ay）E）+a-2）用-滬=0-_y）z帛+仇-3上面得到原行列式當(dāng)z=y時(shí)的值.下面討論zmy的情形.把（1）的行列式的y與z對調(diào)，這相當(dāng)于原行列式的行與列互換，這樣的做法，行列式的值不變.于是y和z對調(diào)后，丄;.-'一的值不變，這時(shí)（3