熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算

1、13.1.2.直角坐標系下二重積分的直角坐標系下二重積分的 計算計算教學目的：教學目的：1.熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算；熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算； 2.懂得用二重積分求面積及體積。懂得用二重積分求面積及體積。教學重點：一般區(qū)域上二重積分的計算教學重點：一般區(qū)域上二重積分的計算 教學難點：把二重積分化為不同次序的累次積分教學難點：把二重積分化為不同次序的累次積分 （化二重積分為累次積分）（化二重積分為累次積分）二二重重積積分分殊殊的的劃劃分分方方法法計計算算方方法法無無關關！故故可可以以取取特特則則積積分分值值與與劃劃分分的的上上可可積積在在設設,),(Dyxfxyoxdxx

2、ydyy dxdyd xbad 曲頂柱體體積的計算曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為設曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DdyxfV),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xDydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下累次積分計算DdyxfV),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd badcbadcDdydx

3、yxfdxdyyxfdxdyyxfdcbaDyxf),(),(),(,),(上連續(xù)，則在若即：矩形區(qū)域上的二重積分可以化為任何一種次序的累次積分即：矩形區(qū)域上的二重積分可以化為任何一種次序的累次積分此時，選擇哪種次序就看此時，選擇哪種次序就看被積函數被積函數（積分要簡單）（積分要簡單）一一.矩形區(qū)域上二重積分的計算矩形區(qū)域上二重積分的計算dcbadcbadxyxfdydyyxfdx),(),( 1 , 0 1 , 0,1DdxdyxyxD其中求dxdyxyxD1dyxyxdx10101)1 (111010 xydxydx10)1ln(dxx10)1ln()1 (xx10dx. 12ln2解解:

4、先對先對y積分積分,后對后對x積分積分先對先對x積分積分,后對后對y積分積分dxdyxyxD110101dxxyxdydxxydyy)111 (11010dyyyy)1ln(11110=?例例1.上連續(xù)，在若,)()(),(dcbaDyxyxfDdxdyyx)()(則特殊的特殊的,.)()(dcbadyydxx例例2.計算二重積分.10 10,，其中DdxdyeDyx解解:dyedxedxdyeyxDyx1010.) 1(2 e二二、一般區(qū)域上二重積分的計算一般區(qū)域上二重積分的計算且在D上連續(xù)時, 0),(yxf當被積函數bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()

5、()(21baxd由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則當被積函數),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負均非負DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計算方便,可

6、選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd1D2D3D321DDDD則 X-型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. Y-型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.3D2D1D.321DDDD(2) 若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域 ,

7、 (如右圖)在直角坐標系下在直角坐標系下,將二重積分化為累次積分計算的步驟將二重積分化為累次積分計算的步驟: (1)先畫出區(qū)域先畫出區(qū)域D的圖形；的圖形； (2)根據圖形特點確定積分順序根據圖形特點確定積分順序,是先對是先對x積分積分還是先對還是先對y積分積分; (3)確定區(qū)域確定區(qū)域D的坐標應滿足的不等式的坐標應滿足的不等式,從而確從而確定積分的上定積分的上、下限下限,化二重積分為累次積分化二重積分為累次積分.注意注意:(1)最后的積分限一定是常數；最后的積分限一定是常數； (2)先對什么變量積分，積分限一定是另一個變量先對什么變量積分，積分限一定是另一個變量的函數的函數(或常數或常數)。x

8、y211xy o221d y例例3. 計算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y.1, 2所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域及及雙雙曲曲線線 xyxyx是由直線其中計算DdyxD,22解解xxo12xy 2 x1 xyDy積分后對積分先對xy,) 1 ( xyxDx121: xxDdyyxdxdyx1222122 49)(

9、213 dxxx例4.積分后對積分先對yx,)2(2 x1D2D221yy1xy 1 xyxoy2須分段表達！的左邊界注意：)(1yxD即即21DDD 21121:1xyyD 221:2xyyD Ddyx 22dyyydyyy)31138()131138(21251212 212221212122yydxyxdydxyxdy49 比較可見比較可見,此題選此題選擇先對擇先對y積分較簡積分較簡便便.xoyxy 2 x1 xy22 yD*D64272dxyxdyyy12221?:*22 Ddyx 問問例例5. 計算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后

10、對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 對稱軸垂直求由兩個半徑相等且其.V的體積相交的圓柱面所圍立體解解的的方方程程為為設設兩兩圓圓柱柱面面222222azxayx oxyz22xaz 2210:xayaxoD例6.于于是是得得到到 122188DdxaVV 2202208xaadyxadx3022316)(8adxxaa 例例7. 計算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解:

11、 由被積函數可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, dyey2無法用初等函數表示無法用初等函數表示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例8.例例9. 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),

12、(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224說明說明: 有些累次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.例例10. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy步驟步驟：(1)先根據已知累次積分寫出積分區(qū)域并作圖；先根據已知累次積分寫出積分區(qū)域并作圖； (2)根據積分區(qū)域及圖寫出邊界曲線

13、的方程；根據積分區(qū)域及圖寫出邊界曲線的方程； (3)根據邊界曲線的方程寫出另一積分次序。根據邊界曲線的方程寫出另一積分次序。改變累次積分的次序改變累次積分的次序xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例11.xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例12.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例13.解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)

14、0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例14. dyey2無法用初等函數表示無法用初等函數表示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例15.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數數表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例16.二二.內容小結內容小結在直角坐標

15、系下在直角坐標系下 二重積分化為累二重積分化為累次積分的方法次積分的方法 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )

16、充分利用對稱性應用換元公式設設)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設設Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考題思考題 1)(xdyyf不能直接積出不能直接積出,改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf思考題解答思考題解答故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.

17、其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是頂是頂 點分別為點分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . . 3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對化為先對y后對后對x的二次積分的二次積分, ,應為應為_._.練練 習習 題題 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化

18、為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應為應為 _. _. 5 5、將將二二次次積積分分 22221),(xxxdyyxfdx改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、將將二二次次積積分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、將將二二次次積積分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、畫畫出出積積