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1、第十一章第十一章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程引引 言言 由靜力學(xué)力系簡(jiǎn)化理論知:平面任意力系向任一簡(jiǎn)由靜力學(xué)力系簡(jiǎn)化理論知:平面任意力系向任一簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化可得一力和一力偶,此力等于平面力系的主化中心簡(jiǎn)化可得一力和一力偶,此力等于平面力系的主矢,此力偶等于平面力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。矢,此力偶等于平面力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。 由剛體平面運(yùn)動(dòng)理論知:剛體的平面運(yùn)動(dòng)
2、可以分解由剛體平面運(yùn)動(dòng)理論知:剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。 若將簡(jiǎn)化中心和基點(diǎn)取在質(zhì)心上,則動(dòng)量定理(質(zhì)若將簡(jiǎn)化中心和基點(diǎn)取在質(zhì)心上,則動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)描述了剛體隨同質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)的變化和外力心運(yùn)動(dòng)定理)描述了剛體隨同質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)的變化和外力系主矢的關(guān)系。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)側(cè)面。系主矢的關(guān)系。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)側(cè)面。剛體相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)變化與外力系對(duì)質(zhì)心的主矩剛體相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)變化與外力系對(duì)質(zhì)心的主矩的關(guān)系將有本章的動(dòng)量矩定理給出。它揭示了物體機(jī)械的關(guān)系將有本章的動(dòng)量矩定理給出。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)
3、動(dòng)規(guī)律的另一個(gè)側(cè)面。運(yùn)動(dòng)規(guī)律的另一個(gè)側(cè)面。11.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩xyzOMArvm)( vmmO 設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn) 某瞬時(shí)的動(dòng)量為某瞬時(shí)的動(dòng)量為 ,質(zhì)點(diǎn)相對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)固定點(diǎn) 的矢徑為的矢徑為 ,如,如圖。圖。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的矩,的矩,定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩,即,即MvmOrvmrvmmO)( 垂直于垂直于 ,大小等于,大小等于 面積的二面積的二倍,方向由右手法則確定。倍,方向由右手法則確定。)( vmmOOMAOMA 類(lèi)似于力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩的關(guān)系,質(zhì)點(diǎn)類(lèi)似于力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩的關(guān)系,質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定坐標(biāo)
4、軸的動(dòng)量矩等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)固定坐標(biāo)軸的動(dòng)量矩等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的動(dòng)量矩在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影矩在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影,即即zOzvmmvmm)()(質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩是代數(shù)量,其正負(fù)號(hào)可由右質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩是代數(shù)量,其正負(fù)號(hào)可由右手法則來(lái)確定。動(dòng)量矩是瞬時(shí)量。在國(guó)際單位制中,手法則來(lái)確定。動(dòng)量矩是瞬時(shí)量。在國(guó)際單位制中,動(dòng)量矩的單位是動(dòng)量矩的單位是smkg/211.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成,其中第個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成,其中第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為動(dòng)量為 ,對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)
5、量矩為,對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為 ,則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn) 的動(dòng)量矩為的動(dòng)量矩為niiivmiivmrOiiiiiOOvmrvmmL)(即:即:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定義為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定義為質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)動(dòng)量矩的矢量和中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)動(dòng)量矩的矢量和。 2、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩 以固定點(diǎn)以固定點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)軸,將上式投為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)軸,將上式投影到影到 軸上,則有軸上,則有z)()(iizziiOzvmmvmmL即:即:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩定義為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩定義為質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定軸動(dòng)量
6、矩的代數(shù)和中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定軸動(dòng)量矩的代數(shù)和。11.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 3、平動(dòng)剛體的動(dòng)量矩、平動(dòng)剛體的動(dòng)量矩xyzCiMCvivO 設(shè)平動(dòng)剛體的質(zhì)量為設(shè)平動(dòng)剛體的質(zhì)量為 ,質(zhì)心,質(zhì)心 的速度為的速度為 。其上任一點(diǎn)。其上任一點(diǎn) 的質(zhì)量的質(zhì)量為為 ,速度為,速度為 ,則,則 。任選。任選一固定點(diǎn)一固定點(diǎn) ,則有,則有mCviMimivCivvOCiiiiiOvrmvmrL)(由于由于 ,所以,所以CiirmrmCCOvmrL即:即:平動(dòng)剛體對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩等于視剛體為平動(dòng)剛體對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩等于視剛體為質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)量集中
7、于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的動(dòng)量矩。 11.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 4、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩ziMiriivm 設(shè)剛體繞定軸設(shè)剛體繞定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ,剛體上任一質(zhì)點(diǎn)剛體上任一質(zhì)點(diǎn) 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ,到轉(zhuǎn)軸,到轉(zhuǎn)軸的距離為的距離為 ,則其速度的大小,則其速度的大小為為 ,于是有,于是有z)()(2iiiiiiizzrmrvmvmmL令令2iizrmJ 稱(chēng)為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸稱(chēng)為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸 的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,于是有,于是有zJzzzJL 即:即:定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)
8、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角速度的乘積的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角速度的乘積。iMimiriirv 11.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩rOAvm 例1 均質(zhì)圓盤(pán)可繞軸 轉(zhuǎn)動(dòng),其上纏有一繩,繩下端吊一重物 。若圓盤(pán)對(duì)轉(zhuǎn)軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ,半徑為 ,角速度為 ,重物 的質(zhì)量為 ,并設(shè)繩與原盤(pán)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng),求系統(tǒng)對(duì)軸 的動(dòng)量矩。OAOJrA 解:)(22JmrJmrJmvrLLLO盤(pán)塊 的轉(zhuǎn)向沿逆時(shí)針?lè)较颉LmO11.2動(dòng) 量 矩 定 理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理xyzOMArvm)( vmmOF)(FmO 設(shè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn) 的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩為為 ,作用力,作
9、用力 對(duì)同一點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)的矩為的矩為 ,如圖所示。,如圖所示。O)( vmmOF)(FmO 將動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù),將動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù),得得)()()(vmdtdrvmdtrdvmrdtdvmmdtdO由由 ,且,且 ,則上式可改寫(xiě)為,則上式可改寫(xiě)為Fvmdtd)(vdtrdFrvmvvmmdtdO)(因?yàn)橐驗(yàn)?, ,于是得,于是得0vmv)(FmFrO)()(FmvmmdtdOO11.2動(dòng) 量 矩 定 理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理即:即:質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)同一點(diǎn)的矩等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)同一點(diǎn)的矩
10、。這就是。這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理量矩定理。 將上式投影在直角坐標(biāo)軸上,并將對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩將上式投影在直角坐標(biāo)軸上,并將對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與對(duì)軸的動(dòng)量矩的關(guān)系代入,得與對(duì)軸的動(dòng)量矩的關(guān)系代入,得)()(Fmvmmdtdxx)()(Fmvmmdtdyy)()(Fmvmmdtdzz即:即:質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)同一軸的矩于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)同一軸的矩。11.2動(dòng) 量 矩 定 理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 在特殊情況下,若在特殊情況下,若 ,則,則0)(FmO常矢量)( vmmO 若若 ,則,則0)(Fmz常量)( v
11、mmz即:即:若作用在質(zhì)點(diǎn)上的作用力對(duì)某固定點(diǎn)(或固定若作用在質(zhì)點(diǎn)上的作用力對(duì)某固定點(diǎn)(或固定軸)之矩恒等于零,則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)軸)之矩恒等于零,則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩為常矢量(或常量)。量矩為常矢量(或常量)。這就是這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒定理恒定理。11.2動(dòng) 量 矩 定 理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理OlMvgmNxy 例2 圖示為一單擺(數(shù)學(xué)擺),擺錘質(zhì)量為 ,擺線長(zhǎng)為 ,如給擺錘以初位移或初速度(統(tǒng)稱(chēng)初擾動(dòng)),它就在經(jīng)過(guò) 點(diǎn)的鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)。求此單擺在微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。mlO 解:以擺錘為研究對(duì)象,受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。在任一瞬時(shí),擺錘
12、的速度為 ,擺的偏角為 ,則 v2)(mlmvlvmmzsin)(mglFmz式中負(fù)號(hào)表示力矩的正負(fù)號(hào)恒與角坐標(biāo) 的正負(fù)號(hào)相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢(shì)。11.2動(dòng) 量 矩 定 理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理由 ,得)()(Fmvmmdtdzzsin)(2mglmldtd即0sinlg 這就是單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。當(dāng) 很小時(shí)擺作微擺動(dòng), ,于是上式變?yōu)閟in0lg 此微分方程的解為)sin(tlgA其中 和 為積分常數(shù),取決于初始條件??梢?jiàn)單擺的微幅擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。擺動(dòng)的周期為AglT2顯然,周期只與 有關(guān),而與初始條件無(wú)關(guān)。l11.2動(dòng) 量 矩 定 理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)
13、量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有 個(gè)質(zhì)點(diǎn),作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分個(gè)質(zhì)點(diǎn),作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分為外力為外力 和內(nèi)力和內(nèi)力 。由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有。由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有neiFiiF)()()(iiOeiOiiOFmFmvmmdtd這樣的方程共有這樣的方程共有 個(gè),相加后得個(gè),相加后得n)()()(iiOeiOiiOFmFmvmmdtd由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn),因此上式右端的底二項(xiàng)由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn),因此上式右端的底二項(xiàng)0)(iiOFm上式左端為上式左端為OiiOiiOLdtdvmmdtdvmmdtd)()(于是得于是得)(eiOOFmLdtd11.2動(dòng) 量 矩 定 理二、質(zhì)點(diǎn)
14、系的動(dòng)量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理即:即:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和。這就是這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理。應(yīng)用時(shí),取投影式應(yīng)用時(shí),取投影式)(eixxFmLdtd)(eiyyFmLdtd)(eizzFmLdtd即:即:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一軸的矩的代數(shù)和。于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一軸的矩的代數(shù)和。11.2動(dòng) 量 矩 定 理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系
15、的動(dòng)量矩定理 在特殊情況下,若在特殊情況下,若 ,則,則0)(FmO常矢量OL 若若 ,則,則0)(Fmz常量zL即:即:若作用在質(zhì)點(diǎn)系上的作用力對(duì)某固定點(diǎn)(或固若作用在質(zhì)點(diǎn)系上的作用力對(duì)某固定點(diǎn)(或固定軸)之矩恒等于零,則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)(或該軸)定軸)之矩恒等于零,則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩為常矢量(或常量)。的動(dòng)量矩為常矢量(或常量)。這就是這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒定理量矩守恒定理。11.2動(dòng) 量 矩 定 理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理OOXOYMgm1gm2vN例3 高爐運(yùn)送礦石的卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為 ,質(zhì)量為 ,繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車(chē)和礦石的總質(zhì)量為 。
16、作用在鼓輪上的力偶矩為 ,鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)R慣量為 ,軌道傾角為 。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計(jì),求小車(chē)的加速度 。 解:以系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力如圖。以順時(shí)針為正,則vRmJLO2RgmMFmeOsin)(2由 ,有)(eiOOFmLdtdRgmMvRmJdtdsin)(221mO2mMJa11.2動(dòng) 量 矩 定 理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理因 , ,于是解得Rvadtdv2222sinRmJgRmMRa若 ,則 ,小車(chē)的加速度沿軌道向上。RgmMsin20a 必須強(qiáng)調(diào)的是:為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正負(fù)號(hào)保持協(xié)調(diào),動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完全一致。11.2動(dòng) 量 矩 定 理二
17、、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理ABCDz0aallCABDzaall例4 水平桿AB長(zhǎng)為 ,可繞鉛垂軸 轉(zhuǎn)動(dòng),其兩端各用鉸鏈與長(zhǎng)為 的桿AC及BD相連,桿端各聯(lián)結(jié)重為 的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連,使桿AC與BD均為鉛垂時(shí),這系統(tǒng)繞 軸的角速度為 (如圖)。如某時(shí)此細(xì)線拉斷后,桿AC和BD各與鉛垂線成 角。不計(jì)各桿的質(zhì)量,求這時(shí)系統(tǒng)的角速度 。a2zlPz0 解:以系統(tǒng)為研究對(duì)象,系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力,這些力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒,即21zzLL11.2動(dòng) 量 矩 定 理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理ABDzaallABCDz0aall其中
18、02012)(2agPaagPLz22)sin(2lagPLz于是202)sin(22lagPagP由此求出斷線后的角速度為022)sin(laa顯然,此時(shí)的角速度 。 0OAOXu11.2動(dòng) 量 矩 定 理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 例5 一繩跨過(guò)定滑輪,其一端吊有質(zhì)量為 的重物 ,另一端有一質(zhì)量為 的人以速度 相對(duì)細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為 ,質(zhì)量不計(jì),并且開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止,求人的速度。mmAur 解:以系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力如圖。gmgmOY由于 ,且系統(tǒng)初始靜止,所以 。0)(eOFm0OLuavvve 設(shè)重物A上升的速度為 ,則人的絕對(duì)速度 的大小為vavvuva所以0m
19、vrrmvLaO即0)(mvrrvumLO11.2動(dòng) 量 矩 定 理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理由上式解得重物A的速度為2uv 于是人的絕對(duì)速度為2uva由上可知,人與重物A具有相同的的速度,此速度等于人相對(duì)繩的速度的一半。如果開(kāi)始時(shí),人與重物A位于同一高度,則不論人以多大的相對(duì)速度爬繩,人與重物A將始終保持相同的高度。11.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程ziMiriivmABAXAYAZBXBY1F2FnF 設(shè)剛體繞定軸設(shè)剛體繞定軸 轉(zhuǎn)動(dòng),受力如轉(zhuǎn)動(dòng),受力如圖所示。設(shè)剛體對(duì)軸圖所示。設(shè)剛體對(duì)軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為為 ,則,則 ,由,由zzzJzzJL )(ezzFmLdtd得得
20、)(ezzFmJ)(ezzFmdtdJ)(22ezzFmdtdJ即:即:剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積,等剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積,等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。以。以上各式均稱(chēng)為上各式均稱(chēng)為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程。應(yīng)用剛。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程可以解決動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題。體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程可以解決動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題。11.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 例6 如圖所示,已知滑輪半徑為R ,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ,帶動(dòng)滑輪的皮帶拉力為 和 。求滑輪的角加速度 。RRO1F2F 解:由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程)(21F
21、FRJ于是得JRFF)(21由上式可見(jiàn),只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)(包括靜止)或雖非勻速轉(zhuǎn)動(dòng),但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí),跨過(guò)定滑輪的皮帶拉力才是相等的。J1F2F11.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程O(píng)gmCa 例7 圖示物理擺的質(zhì)量為 , 為其質(zhì)心,擺對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 。求微小擺動(dòng)的周期。mCOJ 解:設(shè) 角以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。?dāng) 角為正時(shí),重力對(duì) 點(diǎn)之矩為負(fù)。由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程,有OsinmgaJO 當(dāng)微擺動(dòng)時(shí),有 ,故方程寫(xiě)為0OJmga 此方程通解為)sin(0tJmgaO 為角振幅, 為初相位。它們均由初始條件確定。0擺動(dòng)周期為mgaJTO2sin11.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 如將上式改寫(xiě)
22、為224mgaTJO這就表明,如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置,并將物體懸掛于 點(diǎn)作微幅擺動(dòng),測(cè)出擺動(dòng)周期后即可計(jì)算出此物體對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。OOM0 例8 如圖,飛輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ,以初角速度 繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng),其阻力矩 ( 為常數(shù))。求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,角速度降至初角速度的一半,在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)。J0 解:以飛輪為研究對(duì)象,由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程,有dtdJ(1)M11.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程將(1)式變換,有dtdJ將上式求定積分,得tdtdJ02002ln2ln00JJt將(1)式改寫(xiě)為dtddtdJ即dJd將上式求定積分,得0002dJd轉(zhuǎn)過(guò)的角度為002J因此轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)4200
23、Jn11.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程1O2OM1r2r例9 如圖所示,嚙合齒輪各繞定軸 、 轉(zhuǎn)動(dòng),其半徑分別為 、 ,質(zhì)量分別為 、 ,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 、 ,今在輪 上作用一力矩 ,求其角加速度。2O1O2Ogm22OX2OYFnF1OMgm11OX1OYFnF 解:分別以?xún)奢啚檠芯繉?duì)象,受力如圖,由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程,有111rFMJ222rFJ由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系,得2211rr注意到 ,聯(lián)立求解以上三式得FF212221221rJrJMr1r2r2m1m1J2J1OM11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念 由前知,剛體對(duì)軸由前知,剛體對(duì)軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為:的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為
24、:剛體剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸上所有質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸 的垂直距離的平的垂直距離的平方乘積的算術(shù)和方乘積的算術(shù)和。即。即zz2iizrmJ對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體,上式可寫(xiě)成積分形式對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體,上式可寫(xiě)成積分形式dmrJz2 由定義可知,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與質(zhì)量有關(guān),而且與質(zhì)量的分布有關(guān);在國(guó)際單位制中,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是: 。同一剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的,而它對(duì)某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量卻是常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí),必須指明它是對(duì)哪一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2mkg11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1、均質(zhì)細(xì)桿對(duì)過(guò)質(zhì)心和端點(diǎn)且垂直于桿軸線軸
25、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Oz1z2l2lxxdx 取桿的軸線為 軸, 軸的位置如圖。在距 軸為 處取一長(zhǎng)度為 的微段,它的質(zhì)量為xzzxdxdxlMdm 2222121MldxxlMJllzz,對(duì)于 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 。于是整個(gè)細(xì)長(zhǎng)桿對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dxxlMdmx22z同法可得對(duì) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1z2222222131)2()2()2(MlxldxllMdxxllMJllllz11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2、細(xì)圓環(huán)對(duì)過(guò)質(zhì)心垂直于圓環(huán)平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zR 設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為 ,半徑為 。則MR222)(MRRmrmJiiizxyRrdr 3、薄圓板對(duì)過(guò)質(zhì)
26、心垂直于板平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為 ,半徑為 。則 ,圓環(huán)的質(zhì)量為 ,于是圓板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2RMrdrdm22022212MRrdrrdmrJRz11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 4、圓柱體對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量z 設(shè)圓柱體的質(zhì)量為 ,半徑為 ,則MR22221)(2121MRRmRmJiiz 5、薄平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 取如圖坐標(biāo)軸。任取微面元 ,其質(zhì)量為 ,則iSxyzOixiyir2iiyxmJ2iixymJ22222)(iiiiiiiiizymxmyxmrmJ于是得到薄平板對(duì)三坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系式,即yxzJJJiSim11
27、.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、規(guī)則形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 對(duì)于薄圓板,注意到它關(guān)于直徑的對(duì)稱(chēng)性,有24121MRJJJzyxxy2a2a2b2b 6、矩形薄平板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)板的質(zhì)量為 ,則M222121)(121121MaamamJiiy同理2121MbJx而它對(duì)垂直于板平面的質(zhì)心軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為z)(12122baMJJJyxz11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理 定理:定理:剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等于剛體剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,加對(duì)于通過(guò)質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,加上剛
28、體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積,即,即2MdJJzCzx1x)(1yyz1z1xx y1y1zz 1rrdiMOC 證明:如圖所示,作直角坐標(biāo)系,則)(212121yxmrmJiizC)(222yxmrmJiiz因?yàn)?, ,于是1xx dyy1iiiizmdymdyxmdyxmJ21212121212)()(11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理 由質(zhì)心坐標(biāo)公式 ,當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)取在質(zhì)心 時(shí), , ,又有 ,于是得MymyiC1C0Cy0iiymMmi2MdJJzCz證畢。 由定理可知:由定理可知:剛體對(duì)于所有平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,
29、剛體對(duì)于所有平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理 C1zz2zab 例10 如圖所示,已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為 ,對(duì) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ,求桿對(duì) 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。M1z1J2z2J 解:由 ,得2MdJJzCz21MaJJzC(1)22MbJJzC(2)得) 1 ()2()(2212abMJJ11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量四、組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 l 2OABll 2OABll 2 例11 均質(zhì)直角折桿尺寸如圖,其質(zhì)量為 ,求其對(duì)軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。m3O 解:22225)2)(2()2)(2(12131mllmlm
30、mlJJJABOAOOABll 211.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量四、組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 z12R22Rl例12 如圖所示,質(zhì)量為 的均質(zhì)空心圓柱體外徑為 ,內(nèi)徑為 ,求對(duì)中心軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。zm1R2R 解:空心圓柱可看成由兩個(gè)實(shí)心圓柱體組成,外圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ,內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 取負(fù)值,即內(nèi)外JJJz外J內(nèi)J設(shè) 、 分別為外、內(nèi)圓柱體的質(zhì)量,則1m2m21121RmJ外22221RmJ內(nèi)于是2222112121RmRmJz11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量四、組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)單位體積的質(zhì)量為 ,則lRm211lRm222代入前式得)(21)(21222122214241RRRRlRRlJzmRRl
31、)(2221注意到 ,則得)(212221RRmJz11.4轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量五、回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑)五、回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑) 在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來(lái)計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,其定義為mJzz 稱(chēng)為剛體對(duì) 軸的回轉(zhuǎn)半徑。顯然 具有常度的單位。如果已知回轉(zhuǎn)半徑 ,則剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為zzzzz2zzmJ 回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是:假想地將剛體的質(zhì)量集中到一點(diǎn)處,并保持剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變,則該點(diǎn)到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長(zhǎng)度。 由定義知,回轉(zhuǎn)半徑僅與剛體的形狀有關(guān),而與剛體的材質(zhì)(即與剛體的質(zhì)量)無(wú)關(guān)。即幾何形狀相同,材質(zhì)不同的均質(zhì)剛體,其回轉(zhuǎn)半徑相同。11.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理OxyzCxy
32、zimCriririv 如圖所示如圖所示, 為固定點(diǎn),為固定點(diǎn), 為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為定點(diǎn)的動(dòng)量矩為OCiiiiiOOvmrvmML)(對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn) ,由圖可見(jiàn),由圖可見(jiàn)imiCirrr于是于是iiiiiCiiiCOvmrvmrvmrrL )(由于由于 ,Ciivmvm令令 ,它是質(zhì),它是質(zhì)iiiCvmrL 點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩。于是得點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩。于是得CCCOLvmrL即:即:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn) O的動(dòng)量矩等于集中于質(zhì)心的的動(dòng)量矩等于集中于質(zhì)心的系統(tǒng)動(dòng)量系統(tǒng)動(dòng)量 對(duì)于對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩再加上此系統(tǒng)對(duì)于點(diǎn)的動(dòng)量
33、矩再加上此系統(tǒng)對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩質(zhì)心的動(dòng)量矩 (應(yīng)為矢量和)。(應(yīng)為矢量和)。CLCvm11.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理可寫(xiě)成的動(dòng)量矩定理可寫(xiě)成eiiCCCOFrLvmrdtddtLd)(展開(kāi)上式括弧,注意右端項(xiàng)中展開(kāi)上式括弧,注意右端項(xiàng)中 ,于是上式,于是上式化為化為iCirrreiieiCCCCCCFrFrdtLdvmdtdrvmdtrd 因?yàn)橐驗(yàn)?, , , ,于,于是上式成為是上式成為CCvdtrdCCadtvd0CCvmveiCFameiiCFrdtLd 上式右端是外力對(duì)質(zhì)心的主矩,于是得上式右端是外力對(duì)質(zhì)心的主矩,于是得)(eiCCF
34、MdtLd11.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 即:即:質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩。這就是。這就是質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。OArc)(rb)( 例13 均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為 ,半徑為 。細(xì)桿OA質(zhì)量為 ,長(zhǎng)為 ,繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 、求下列三種情況下系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩:m2rmrl3(a)圓盤(pán)與桿固結(jié);(b)圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度 逆 時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng); (c)圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度 順 時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。OA解:(a)222222222183)
35、3(2)2(2131mrmrmrmrrmrmmlJO11.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理222mrJLOOOArb)(OArc)(b)0A22222211833)3)(2(3)2()(mrmrmrmrrrmJmrmvmLJLLLAAAAOAO桿盤(pán)桿(c)2A222222222318)2(31833)3)(2(3)2()(mrmrmrmrmrmrmrrrmJmrmvmLJLLLAAAAOAO桿盤(pán)桿11.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 由剛體平面運(yùn)動(dòng)理論知:平面運(yùn)由剛體平面運(yùn)動(dòng)理論知:平面運(yùn)動(dòng)剛體的位置可由基點(diǎn)的位置與剛體動(dòng)剛體的位置可由基點(diǎn)的位置與剛體繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)角確定。取質(zhì)心為基點(diǎn),繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)角確定。取質(zhì)
36、心為基點(diǎn),如圖所示,則剛體的位置可有質(zhì)心坐如圖所示,則剛體的位置可有質(zhì)心坐標(biāo)和標(biāo)和 角確定。剛體的運(yùn)動(dòng)可分解為角確定。剛體的運(yùn)動(dòng)可分解為隨同質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩隨同質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩CDxyxyO部分。取如圖的動(dòng)坐標(biāo)系,則剛體繞質(zhì)心的動(dòng)量矩部分。取如圖的動(dòng)坐標(biāo)系,則剛體繞質(zhì)心的動(dòng)量矩為為CCJL 為剛體過(guò)質(zhì)心且垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為剛體過(guò)質(zhì)心且垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。CJCxyxyOnF1F3F2F 設(shè)剛體在力設(shè)剛體在力 、 、 、 作作用下作平面運(yùn)動(dòng),由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理用下作平面運(yùn)動(dòng),由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得1FnF2F eCF
37、aM)()(eCCCCFmJJdtddtdL11.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程上式也可寫(xiě)成上式也可寫(xiě)成eCFdtrdM22)(22eCCFmdtdJ以上兩式稱(chēng)為以上兩式稱(chēng)為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程。應(yīng)用時(shí),前。應(yīng)用時(shí),前一式取其投影式。即一式取其投影式。即)(eCCeCeCFmJYyMXxM )(2eCCeneFmJFvMFdtdvM 或或11.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程C 例14 一均質(zhì)圓柱,重 ,半徑為 ,無(wú)初速地放在傾角為 的斜面上,不計(jì)滾動(dòng)阻力,求其質(zhì)心的加速度。WrCNFW 解:以圓柱體為研究對(duì)象,受力如圖。圓柱體在斜面上的運(yùn)動(dòng)形式,取決于接觸處的光滑程度,下面分三種情況進(jìn)行討
38、論:CNWCaOxy (1)設(shè)接觸處完全光滑 此時(shí)圓柱作平動(dòng),由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理eCxXMa即sinWagWC得圓柱質(zhì)心的加速度singaC11.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程CNWCaOxyF (2)設(shè)接觸處相當(dāng)粗糙 此時(shí)圓柱作純滾動(dòng),這時(shí)滑動(dòng)摩擦力 。由maxFF )(eCCeCyeCxFmJYMaXMa有FWagWCsin(1)cos0WN (2)FrrgW221(3)由純滾動(dòng)條件有raC(4) 由(1)、(3)、(4)式解得sin32gaC同時(shí)可解得sin3121WagWFC由于圓柱作純滾動(dòng),故cosmaxfWfNFF11.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程所以:sin31cosWfW,可得tgf31這就是圓
39、柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件。 (3)設(shè)不滿(mǎn)足圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件,即當(dāng) 時(shí),則圓柱體在斜面上既滾動(dòng)又滑動(dòng)。在這種情況下,關(guān)系式(4) 不成立。 設(shè)圓柱體沿斜面滑動(dòng)的動(dòng)摩擦系數(shù)為 ,則滑動(dòng)摩擦力f cosWfNfF(5)于是,由式(1)、(2)、(3)、(5)聯(lián)立解得rf gcos2)cos(sinfgaCtgf31raC13.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程O(píng)ABC 例15 均質(zhì)圓柱體A和B重量均為 ,半徑均為 。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱A上,繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時(shí),質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。OAPTOXOYABCPTBDCax 解:分別以A、B為研究對(duì)象,受力如圖。A
40、作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),B作平面運(yùn)動(dòng)。對(duì)A和B分別應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程和平面運(yùn)動(dòng)的微分方程,有TrJAA(1)TPagPC(2)rTJBC (3)其中221rgPJJCATT(4)Pr13.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系A(chǔ)Dra)(BABDCrraa(5)聯(lián)立求解(1)(5),得gaC54OABCOABC13.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程例16 均質(zhì)桿質(zhì)量為 ,長(zhǎng)為 ,在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面,另一端沿著鉛垂墻壁,從圖示位置無(wú)初速地滑下。不計(jì)摩擦,求開(kāi)始滑動(dòng)的瞬時(shí),地面和墻壁對(duì)桿的約束反力。mlABCgmxyABCgmANBN 解:以桿AB為研究對(duì)象,受力如圖。桿作平面運(yùn)動(dòng),設(shè)質(zhì)心C的加速度為 、 ,
41、角加速度為 ,如圖。由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程CxaCyaABCCxaCyaBaAaACaBCa)(eCCeCyeCxFmJYMaXMa有BCxNma(1)mgNmaACy(2)cos2sin2lNlNJBAC(3)13.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程ABCCxaCyaBaAaACaBCa 以C點(diǎn)為基點(diǎn),則A點(diǎn)的加速度為nACACCAaaaa在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí), ,故 ,將上式投影到 軸上,得00nACasin0ACCyaa所以sin2sinlaaACCy(4) 再以C點(diǎn)為基點(diǎn),則B點(diǎn)的加速度為nBCBCCBaaaa同理,在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí), ,故 ,將上式投影到 軸上,得00nBCacos0CBCxaa所以cos2coslaaCBCx(5)13.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 聯(lián)立求解(1)(5)式,并注意到2121mlJC可得sin23lg)sin431 (2 mgNAcossin43mgNBABCgmxy注: 亦可由坐標(biāo)法求出(4)、(5)式:sin2lxCcos2lyCcos2lxCsin2lyC cos2sin22llxC sin2cos22llyC運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí), ,故0cos2lxaCCx sin2lyaCCy 13.6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程AB
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